重庆市某中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷

重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷

选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1.（4分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的为（

C.x2-4=0D.X2+2X+4=0

3.（4分）在反比例函数丫上3图象的每一支曲线上，y都随尤的增大而减小，则左的取值范围是（）

x

A.k>3B.左>0C.k<3D.k<0

4.（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AOE是以点A为位似中心的位似图形，相似比为1：3,点A

在无轴上，点A的坐标是（-1,0）,点B的坐标是（-2,2），则点D的坐标是（）

A.(-3,4)B.(-4,6)C.(-4,5)D.(-3,5)

5.（4分）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是龙,

则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（）

A.y=10（I+x）3

B.y=10+10（1+龙）+10（1+无）2

C.y=10+lttr+尤2

D.j=10（1+x）2

6.（4分）估计愿（不巧避）的值应在（）

A.8和9之间B.9和10之间

C.10和11之间D.11和12之间

7.（4分）若丁上三■」，贝胫a-2c+e的值为（）

bdf33b-2d+f

A.AB.1C.1.5D.3

3

8.（4分）下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形

③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，…….按此规律，图形⑩中共有〃个小三角形，这里的

n=)

△△△

△△△△△△

△△△△△△△△△△

△△△△/WW\△△△△△△△

图形①图形②图形③图形④

A.87B.74C.62D.53

9.（4分）如图，正方形ABC。的对角线AC与8。的交于点。，点E为边上一动点，连接。E,CFLDE

于点R连接OR若/BDE=ci,则尸的度数为（）

A.2aB.30°+aC.45°-aD.60°-2a

10.（4分）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为ai,第二个数记为及，第三个数记为°3,以此类推，第〃

个数记为a”（〃为正整数），已知ai=x.并规定：珈+1=——--，Tn=a\'ai'ai---an,Sn=ai+a2+a3+'"+an.贝!J：

1-an

①42=（25;②T1+T2+T3+…+乃000=;③对于任意正整数亿T3k+3（S3A-S3A+2）=73尢-73屋1-T3h2成立，

1-X

以上结论中正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

二.填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）

11.（4分）计算：（』）、（『2）°=

2

12.（4分）已知关于x的一元二次方程/-x+2加=0的一个根是2,贝!]«?=.

13.（4分）一个不透明的箱子里装有。个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同.每次将箱子里的球搅拌

均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25,那么可以估

算出。的值为

14.（4分）若一个多边形的内角和为720。，则从该多边形一个顶点出发可画的对角线条数是

15.（4分）如图，矩形ABC。的顶点A、8分别在反比例函数>=2（尤>0）与y=-2（无<0）的图象上，点C、

XX

。在x轴上，AB.5。分别交y轴于点£、F,则阴影部分的面积为.

x-m>

16.（4分）若关于元的不等式组《2U的解集为x>0,且关于y的分式方程上E=3」L有非负整数

x-4<2（x-2）2~yy~2

解，则所有满足条件的整数机的值的和是

17.（4分）如图，菱形ABC。的边长为4,ZBAD=60°,过点8作BE_LAB交CO于点E,连接AE,F为AE

的中点，X为BE的中点，连接FH和CF,CF交3E于点G,则GF的长为

18.（4分）若一个四位自然数A,满足百位数字与千位数字的平方差恰好是A去掉千位与百位数字后得的两位数，

则称这个四位数A为“活泼数”，例如A=2521,因为52-22=21,故2521是一个“活泼数”；若一个四位自

然数8,各个数位上的数字互不相等且满足十位数字比千位数字大1,个位数字比百位数字大1,则称这个四位

数8为“可爱数”，例如1425,因为2-1=1,5-4=1,故1425是一个“可爱数”，对于一个“活次数”

_____2_____

A=abcd，规定：F（A）=丁卜+b-4cd,对于一个"可爱数"规定：G（3）=p-”，则尸（5611）

a+b

XGC3142）=_______________________；当B的百位数字为4时，若G（R）是整数,则所有满足条件的奇

3F（A）+9

数四位数A的和是.

三.解答题（共8小题，满分78分）

19.（8分）（1）解方程：二—士士一3

x-22-x

x-3(x-2)<8

(2)解不等式组：，/x+1

x-4〈券

20.（10分）先化简，再求值：.个工,其中x满足％2-X-1=0.

2

xx+1X+2X+1

21.（10分）学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究.他们发现作平行四边形一组对角的角平分线

与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是

一个特殊四边形.他的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论.请根据她的思路完成以下作图和填

空：

用直尺和圆规，过点8作NA8C的角平分线，交AC于点日连接BE、DF.（只保留作图痕迹）

己知：如图，四边形A2C。是平行四边形，AC是对角线，DE平分NAOC,交AC于点E.求证：四边形

是平行四边形.

证明：：四边形A8CD是平行四边形，

：.AD=CB,①,

：.ZDAC^ZBCA.

,：DE^ZADC,B尸平分/CBA,

•■•ZADE=yZADC-ZCBF=yZABC-

ZADC^ZCBA,

；•②,

AAADE^ACBF（ASA）.

：.DE=BF,ZDEA=ZBFC.

...四边形8皮不是平行四边形.

同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均

具有此特征.请你依照题意完成下面命题：

过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则④.

E

BC

22.（10分）教育部制定了独立的《义务教育劳动课程标准》，其中规定：以劳动项目为载体，以孩子经历体验劳

动过程为基本要求，培养学生的核心劳动素养.某校分别从该校七、八年级学生中各随机调查了100名学生，

统计他们上周的劳动时间，劳动时间记为X分钟，将所得数据分为5个组别（A组：90^x^100；8组：80Wx

＜90；C组：70W尤＜80；。组：60W尤＜70；E组：0«60）,将数据进行分析，得到如下统计：

①八年级8组学生上周劳动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82,82,81,81,81,81,80,

80,80,80.

②八年级100名学生上周劳动时间频数分布统计表：

③七、八年级各100名学生上周带动时间的平均数、中位数、众数如表:

年级平均数中位数众数

七年级81.379.582

八年级81.3C83

请你根据以上信息，回答下列问题：

（1）a—，b—，c—；

（2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生上周劳动情况更好，请说明理由；（写出一条理由即

可）

（3）已知七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计两个年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分

钟）的学生一共有多少人？

七年级100名学生上周

劳动时间分布扇形图

23.（10分）四边形A3C0中，AB//CD,BCLAB,AB=12,DC=6,BC=8,动点尸从A点出发，沿A-3方向

以每秒1个单位的速度运动，同时，动点。从点A出发，沿折线A-O-C方向以每秒2个单位的速度运动，当

。点到达。点时，P、。两点都停止运动.设动点尸运动的时间为1秒，y\=AP+DQ.

(1)请直接写出关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；

(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数yi的图象，并写出函数yi的一条性质；

(3)若函数”=x+b的图象跟函数yi的图象有两个交点，请直接写出b的取值范围.

y八

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

°12345678910x

24.（10分）新学期学校门口开了一家文具店，为了更好的迎接同学们，商家购进了一批笔记本和签字笔.商家用

1600元购买笔记本，800元购买签字笔，每本笔记本比每支签字笔的进价贵6元，且购进签字笔的数量是笔记本

的2倍.

（1）求商家购买每本笔记本和每支签字笔的进价？

（2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本14元，签字笔的售价为每支5元时，平均每天可售出20

本笔记本，40支签字笔.据调查，笔记本的售价每降低0.5元平均每天可多售出5本，且开学活动力度大，降价

幅度不低于10%.商家在保证签字笔的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使笔记本和签字笔平均

每天的总获利为270元，则每本笔记本的售价为多少元？

25.(10分)如图，直线y=L+2分别与x轴，y轴交于点A,点C,点尸是反比例函数y=K(kWO)图象与直

2x

线AC在第一象限内的交点，过点尸作尸轴于点8,且A8=6.

(1)求反比例函数的表达式；

(2)点。是直线PB右侧反比例函数图象上一点，且SMPD=9,直线尸。交y轴于点E,点M,N是直线AC

2

上两点，点M在点N的左侧且MN=AP,求EM+ON的最小值及此时点N的坐标；

(3)在(2)的条件下，点尸为反比例函数图象上一点，若,请直接写出所有符合条件的

点P的横坐标.

备用图

26.（10分）在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,。为线段BC上一点（点。不与B,C重合），连接AD

（1）如图1,105°,CD=G求3。的长度；

（2）如图2,。为BC中点，E为平面内一点，连接。E,CE,AE,BE,将线段。E绕。顺时针旋转90°得到

线段。E连接ARZFAC+ZECB^90°,G为线段EC上一点，AGLCE,求证：CE=&AF+2AG；

（3）如图3,P,H为射线AO上两个点，ZB//A=90°,AP=2BH,将沿直线3尸翻折至所在平

面内得到△8KP,直线尸K与直线交于点T.若AB-/7，当线段3尸取得最小值时，请直接写出△APT的面

J7

图1图2

积.图3

重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷

参考答案与试题解析

选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）

1.（4分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的为（）

【答案】D

2.（4分）下列方程中，有两个相等实数根的是（）

C.%2-4=0D.尤2+2犬+4=0

【答案】B

3.（4分）在反比例函数了上宜•图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则上的取值范围是（）

X

A.k>3B.左>0C.k<3D.左<0

【答案】A

4.（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AOE是以点A为位似中心的位似图形，相似比为1：3,点A

在无轴上，点A的坐标是（-1,0）,点B的坐标是（-2,2），则点D的坐标是（）

A.（-3,4）B.（-4,6）C.（-4,5）D.（-3,5）

【答案】B

5.（4分）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是尤,

则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（）

A.y=10（1+x）3

B.y=10+10（1+龙）+10（1+无）2

C.j=10+10x+x2

D.j=10（1+无）2

【答案】B

6.（4分）估计正（蓊的）的值应在（）

A.8和9之间B.9和10之间

C.10和11之间D.11和12之间

【答案】B

7.（4分）若包底建」，则3a-2c+e的值为（）

bdf33b-2d+f

A.AB.1C.1.5D.3

3

【答案】A

8.（4分）下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形

③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，…….按此规律，图形⑩中共有〃个小三角形，这里的

n—（）

△

△△△

△△△△△△

△△△△△△△△△△

△△△△AAAAA△△△△△△△

图形①图形②图形③图形④

A.87B.74C.62D.53

【答案】B

9.（4分）如图，正方形ABC。的对角线AC与3D的交于点。点E为边上一动点，连接。E,作CFLOE

于点R连接。下，若NBDE=cc,则尸的度数为（）

【答案】C

10.（4分）给定一列数，我们把这列数中第一个数记为“1,第二个数记为42,第三个数记为43,以此类推，第"

个数记为许（〃为正整数），已知m=x.并规定：an+\――--,Tn—ax'ai'ay-an,Sn—a\+ai+a-i+--+an.则：

1-an

①。2=45;②T1+T2+T3+…+为000=4「-1;③对于任意正整数73斤+3（S3斤1S3斤+2）=T3k-T3k-1-T3k-2成立,

l-x

以上结论中正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

二.填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）

11.（4分）计算：（工）」+（TT-2）0=3.

2

【答案】3.

12.（4分）已知关于尤的一元二次方程/-x+2根=0的一个根是2,则很2=1

【答案】L

13.（4分）一个不透明的箱子里装有。个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同.每次将箱子里的球搅拌

均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25,那么可以估

算出。的值为20.

【答案】20.

14.（4分）若一个多边形的内角和为720。，则从该多边形一个顶点出发可画的对角线条数是

【答案】3.

15.（4分）如图，矩形ABC。的顶点A、8分别在反比例函数y=2G>0）与y=-2（无<0）的图象上，点C、

。在x轴上，AB,8。分别交y轴于点E、F,则阴影部分的面积为_£

x-m

16.（4分）若关于x的不等式组42”的解集为公>0,且关于y的分式方程互=3'匚有非负整数

x-4<2（x-2）2~yy~2

解，则所有满足条件的整数机的值的和是

【答案】-8.

17.（4分）如图，菱形A2CD的边长为4,ZBAD=60°,过点B作交CO于点E,连接AE,F为AE

的中点，X为BE的中点，连接FT?和CRCF交BE于点G,则GF的长为1豆.

—2―

18.（4分）若一个四位自然数A,满足百位数字与千位数字的平方差恰好是A去掉千位与百位数字后得的两位数，

则称这个四位数A为“活泼数”，例如A=2521,因为52-22=21,故2521是一个“活泼数”；若一个四位自

然数8,各个数位上的数字互不相等且满足十位数字比千位数字大1,个位数字比百位数字大1,则称这个四位

数B为“可爱数”，例如1425,因为2-1=1,5-4=1,故1425是一个“可爱数”，对于一个“活次数”

_____2_____

A二abed，规定：F（A）/"'+卜1一，,对于一个“可爱数"3=innpq,规定：G（B）=p-n,则F（5611）

a+b

XG（3142）=32；当8的百位数字为4时，若G（R）是整数,则所有满足条件的奇数四位数A的和

—11—3F（A）+9

是83600.

【答案】1^2；83600.

11

三.解答题（共8小题，满分78分）

19.（8分）（1）解方程：-LhkXy

x-22-x

'x_3（x_2）<8

（2）解不等式组：LX+1.

-4<—

【答案】见试题解答内容

2

20.（10分）先化简，再求值：其中x满足/-%-1=0.

2

xx+1X+2X+1

【答案】x+1.1.

2

x

21.（10分）学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究.他们发现作平行四边形一组对角的角平分线

与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是

一个特殊四边形.他的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论.请根据她的思路完成以下作图和填

空：

用直尺和圆规，过点2作NABC的角平分线，交AC于点R连接BE、DF.（只保留作图痕迹）

已知：如图，四边形A8CD是平行四边形，AC是对角线，OE平分/AOC,交AC于点E.求证：四边形8EOF

是平行四边形.

证明：\•四边形ABCZ）是平行四边形，

C.AD^CB,①NDHBC,

：.ZDAC=ZBCA.

E平分/AOC,3/平分NC54,

・・・NADE二//ADOZCBF=yZABC-

ZADC=ZCBAf

：.②/ADE=/CBF,

：.AADE^^CBF(ASA).

：.DE=BF,ZDEA=ZBFC.

：.③/DEA=/BFC,

...四边形是平行四边形.

同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均

具有此特征.请你依照题意完成下面命题：

过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则④这两个交点与这条对角线两

侧的对角顶点的连线所围成的四边形是平行四边形.

B-------------------------------------AC

【答案】AO〃BC,ZADE^ZCBF,/DEA=NBFC；这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成

的四边形是平行四边形.

22.（10分）教育部制定了独立的《义务教育劳动课程标准》，其中规定：以劳动项目为载体，以孩子经历体验劳

动过程为基本要求，培养学生的核心劳动素养.某校分别从该校七、八年级学生中各随机调查了100名学生，

统计他们上周的劳动时间，劳动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：90^x^100；8组：80Wx

<90；C组：70<尤<80；。组：60Wx<70；E组：0Wx<60）,将数据进行分析，得到如下统计：

①八年级2组学生上周劳动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82,82,81,81,81,81,80,

80,80,80.

②八年级100名学生上周劳动时间频数分布统计表：

分组ABCDE

频数14b28136

③七、八年级各100名学生上周带动时间的平均数、中位数、众数如表：

年级平均数中位数众数

七年级81.379.582

八年级81.3c83

请你根据以上信息，回答下列问题：

（1）a=10,b=39,c=80；

（2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生上周劳动情况更好，请说明理由；（写出一条理由即

可）

（3）已知七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计两个年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分

钟）的学生一共有多少人?

七年级100名学生上周

劳动时间分布扇形图

【答案】（1）10,39,80；

（2）八年级的较好，理由：八年级学生参加劳动的时间的中位数、众数均比七年级的大;

（3）七、八年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有718人.

23.（10分）四边形ABC。中，AB//CD,BCLAB,AB=12,DC=6,BC=8.动点尸从A点出发，沿方向

以每秒1个单位的速度运动，同时，动点。从点A出发，沿折线A-O-C方向以每秒2个单位的速度运动，当

。点到达C点时，P、。两点都停止运动.设动点P运动的时间为x秒，yi=AP+DQ.

（1）请直接写出yi关于龙的函数关系式并注明自变量尤的取值范围；

（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数yi的图象，并写出函数yi的一条性质；

（3）若函数*=x+b的图象跟函数yi的图象有两个交点，请直接写出b的取值范围.

y八

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(10-x(0<x<5)

【答案】⑴ji=

13x-10(5<x<8)

（2）作