初中数学九年级复习：直线与圆的位置关系

专题20直线与圆的位置关系(1)

阅读与思考

圆心到直线的距离与圆的半径的大小量化确定直线与圆的相离、相切、相交三种位置关系.直线与圆相

切是研究直线与圆的位置关系的重点与切线相关的知识，包括弦切角、切线的性质和判断、切线长定理、

切割线定理等.

证明一直线是圆的切线是平面几何问题中一种常见的题型，证明的基本方法有：

1.利用定义，判断直线和圆只有一个公共点；

2.当已知一条直线和圆有一个公共点时，就把圆心和这个公共点连接起来，再证明这条半径和直线垂

直；

3.当直线和圆的公共点没有确定时，就过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径

熟悉如下基本图形和以上基本结论.

例题与求解

【例1】如图，已知AB为。。的直径,CB切。。于点2,切。。于点O,交的延长线于E

若AB=3,DE=2,则BC的长为()(青岛市中考试题)

A.2B.3C.3.5D.

例1题图

解题思路：本例包含了切线相关的丰富性质，从C点看可应用切线长定理，从E点看可应用切割线定

理，又EC为。。的切线，可应用切线性质，故解题思路广阔.

【例2】如图，。。是△ABC的外接圆，已知NACB=45°,ZABC=120°,。。的半径为1.

(1)求弦AC,AB的长；

(2)若尸为的延长线上一点，试确定尸点的位置，使力与。。相切，并证明你的结论.

(哈尔滨市中考试题)

解题思路：第(2)题是考查探索能力的开放性几何题，只要探求得PB与8C,或PC与BC的关系，或

求得PB或PC的长，点尸的位置即可确定.

【例3】已知"BC是。。的内接三角形，为。。的切线，B为切点,尸为直线上一点.过点尸

作BC的平行线交BT于点£,交直线AC于点F.

(1)当点尸在线段上时(如图)，求证：PA-PB^PE-PF-,

(2)当点尸为线段姑的延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，

请说明理由.(北京市中考试题)

解题思路：本例是“运动型”的开放性问题，要求点在运动变化中，判断原结论是否成立，通过观察、

比较、归纳、分析等系列活动，逐步确定应有的结论.

【例4】已知：如图1,把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边0c上的动点尸重合(尸不与点。，

C重合)，为折痕，点、M,N分别在边8C,上.连接AP,MP,AM,AP与MN相较于点R。。过

点M,C,P.

(1)请你在图1中作出。。(不写作法，保留作图痕迹)；

A17Ap

(2)煞与於是否相等？请说明理由；

/1/V/1Z-X

(3)随着点尸的运动，若。。与AM相切于点M时，。。又与相切于点".设AB为4,请你通过

计算，画出这时的图形(图2、图3供参考).

(宜昌市中考试题)

解题思路：对于(3),只依靠AB的长不能画出图形，需求出关键的量，因为4=90°,。。过点

C,P,故将画出矩形的条件转化为求出CP(或MP)的长当矩形确定后，依据线段CP的长，就可确定尸

点的位置.

【例5】如图，已知△ABC内接于。。，AD,为。。的切线，作DEUBC,交AC于点E,连接£。并

延长交BC于点E求证：BF=FC.（太原市竞赛试题）

解题思路：要证明BF=PC,只需证FO_LBC即可，连接。4,OB,0D,将问题转化为证明NZM。

=ZEFC.

【例6】如图，在等腰△A8C中，已知AB=AC,/C的平分线与4B交于点尸，M是△ABC的内切。/与

边BC的切点，作ATO//AC,交。/于点。，求证：尸。是。/的切线.（全国初中数学联赛试题）

解题思路：设。/切AB于点S,连接的，/S,〃），直接证明/尸。/=90°困难，不妨证明ZW）/=N

PSI,即证明△P/S0ZV7D

能力训练

A级

1.B4,PB切。。于A,8,ZAPB=78°，点C是。。上异于A,8的任意一点，则/ACB=.

2.如图，以AABC的边A8为直径作。。交BC于点D,过点。作。。的切线交AC于点E.要使£）E_L

AC,则△ABC的边必须满足的条件是（武汉市中考试题）

第2题图第3题图

3.如图，物切。。于点A,C是上任意一点，ZPAB=62°,则/C的度数是.

（荆门市中考试题）

4.直角梯形ABC。中，AD//BC,ZB=90°,AZ）+BC<OC.若腰。C上有一点尸，APLBP,则这

样的点（）

A.不存在B.只有一个C.只有两个D.有无数个

5.如图，已知AB是。。的直径，CD,CB是。。的切线，D,8为切点，0C交。。于点E,AE的

延长线交BC于点F连接AZ）,BD,给出以下四个结论：①4D〃0C；②E为△COB的内心；@FC=FE.

其中正确的结论是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

6.如图，ABC。为。。的内接四边形，AC平分/氏4。并与8。相交于E点，CB切。。于点C并与

AD的延长线相交于点?图中的四个三角形①②△ABC,③④△BEC,其中一定相似的是

)（连云港市中考试题）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

第5题图第6题图

7.如图，"BC内接于。0,AE切。。于点A,BC//AE.

⑴求证：△ABC是等腰三角形；

⑵设AB=10cm,BC=8cm,点尸是射线AE上的点，若以A,P,C为顶点的三角形与△ABC相似,

问这样的点有几个?（南昌市中考试题）

8.如图，Rt^ABC中，ZC=90°,以AC为直径的。。交斜边AB于点E,0D//AB.

求证：（1）ED是。。的切线；

（2）2DE2=BEOD.

9.如图，在△ABC中，a,b,c分别是44,ZB,/C的边，且a,6是关于x的一元二次方程遇十

4(c+2)=(c+4)x的两个根.点。在AB上，以8。为直径的。。切AC于点£.

(1)求证：△ABC是直角三角形；

3

(2)若tanA4时，求AE的长.(内蒙古中考试题)

10.如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,以A3为直径作。。交AC边于点。，E是边BC中点，连

接。E.

(1)求证：直线。E是。。的切线；

(2)连接0c交于点R若。尸=6,求tan/ACO的值.(武汉市中考试题)

11.如图，。。的半径r=25,四边形ABC。内接于。O,ACLBD于点H,尸为。1延长线上一点,

S.ZPDA=ZABD.

(1)试判断PO与。。的位置关系，并说明理由；

34s—3

(2)若tan/AO8=W，PA=%AH,求2。的长;

(3)在(2)的条件下，求四边形A8CO的面积.(成都市中考试题)

B级

1.如图，AB是。。的直径，CD是弦，过点C的切线与AD的延长线交于点E.若/ZMB=56°,

ZABC=64°,则NCE£>=.

2.如图，。。与矩形ABC。的边A。，AB,BC分别相切于点E,F,G,尸是力G上的一点，贝

（广州市中考试题）

4cm,6cm,那么尸到BC的距离为cm.（全国初中数学联赛试题）

4.如图，在RtZVIBC中，ZA=90°,。。分别与AB,AC相切于点E,F,圆心。在BC上，若AB

=a,AC=b,则。。的半径等于（）

「ab

A.JabB.D.

•a~\~bab

5.如图，在。。的内接△ABC中，NABC=30°,AC的延长线与过点5的。。的切线相交于点D若

Q0的半径OC=1,BD//OC,则CD的长为（）

A1+小R2小小方

A.1+33J3J

第4题图第5题图第6题图

6.如图，。。的内接ZXABC的外角NACE的平分线交。。于点。.DF±AC,垂足为尸，DE±BC,

垂足为E.给出以下四个结论：①CE=CF；②NACB=/EDF；③。E是。。的切线；④今。=力。.其

中正确的结论是（）（苏州市中考试题）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

7.如图，已知AC切。。于点C,CP为0。的直径，A8切。。于点。，与CP的延长线交于点R若

AC=PC.

求证：(l)Br>=2BP；(2)PC=3BP.(天津市中考试题)

8.如图，在直角梯形ABCA中，AD//BC,ZABC=90°,AB=12cm,AD=8cm,BC=22cm,AB为

QO的直径.动点P从点A开始沿A。边向点D以Icm/s的速度运动，动点。从点C开始沿CB边向点B

以2cm/s的速度运动.P,。分别从点A,C同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停

止.设运动时间为f(s).

(1)当f为何值时，四边形尸0。为平行四边形？

(2)当f为何值时，PQ与。。相切？(呼和浩特市中考试题)

9.如图，已知在△ABC中，ZABC=90°，。是AB上一点，以。为圆心，为半径的半圆与AB交于

点E,与切于点，AD=2,.求证：S,S。小是方程卜+的两个根.(河南

ACAE=1△AODABCD10/—554=0

省中考试题)

10.如图，点。在/AP8的平分线上，。。与以相切于点C

(1)求证：直线P8与。。相切；

(2)尸。的延长线与。。交于点E,若。。的半径为3,PC=4,求弦CE的长.(武汉市中考试题)

11.如图，直线y=$+4交x轴于点2,交y轴于点A,。。过A,0两点.

(1)如图1,若。。交于点C,当。在。4上时，求弦AC的长；

(2)如图2,当。。与直线/相切于点A时，求圆心。的坐标；

(3)当。4平分△498的外角时，请画出图形，并求。O的半径的长.

12.如图，AB是。。的直径，AB=d,过点A作。。的切线并在其上取一点C,使AC=AB,连接。C

交。。于点。，8。的延长线交AC于点E.求AE的长.(四川省竞赛试题)

专题20直线与圆的位置关系(1)

例1、B提示：连接00,则AODE-ACBE

例2、(1)AC=6AB=y/2(2)提示：若「4是。。的切线，则又

PRA7~)

BO]_AO,得.•.生=匕ZAOD=90°,4c=30。，

BCDC

ZA(9C=120°,:.AD=2OD=2DC,:.'PB=2BC,即当尸B=2BC时，PA是

。。的切线

例3、提示(1)证明APE4~AP3E(2)当P为加延长线上一点时，第(1)题的

结论仍成立

APAFAP

例4、(1)略(2)—,理由如下：假设工片不，则MN〃C。。ND=90。，

ANADANAD

：.CD±AD,MN_LAD,A与P关于MN对称，而P与。不重

合，这与“过一点(A)”只.能作一条直线与已知直线(MN)垂直”矛盾，二假设

AFAP

不成工，即---丰

ANAD

(3)证明AABAf之AMCP,得MC=A3=4,设PD=x,则CP=4—x,

：.BM=PC=4—x,连接并延长交BC于J,则四边形印为矩形，

//CP,.,.AMOJ~AMPC得丝=.=1,.•.07=1—(4—x),0H=-MP=

CPMP222

4-OJ=；(4+x),MC?=MPi-CPi,(4+x)2一(4一x)2=16,解得x=l

即尸£>=1,PC=3,'BC=BM+MC=PC+AB=7,由此画图

例6连切点半径/S,和/D,得D,A,E,。四点共圆，得SI=DI=MI,ZPSI=

ZIMC=ZIMB=9Q°,设ZB=ZACB=2a,则NPCB=a,ZSPI=ZB+ZPCB

=3a,贝1JNS/P=9O。—NS77=90°—3a,MD〃AC,:./DMB=ZACB=2a,

ZIMD=90°-ZDMB=900-2a=ZIDM./DIM=180°-ZIDM-ZIMD=4a,

而ZMIC=900-ZICM=90°-a,:.ADIP=180°-ZDIM-AMIC=900-3a=

NS/P,•.•在AP/S与AP/D中，PI=PI,ZSIP=ZDIP,SIDI,^IS^APID,

ZPDI=NPS/=90。，故PD是。/的切线

A级

1、51。或129°2、AB=AC

3、62。或H8。4、D提示：以AB为直径的圆与DC相交

5、A6、。

7、(1)略(2)满足条件的点有两个：①过点C作CP〃交AE于点P,则AAPC~

11

AfiCA,这时AP=BC=8c机；②过点C作。。的切线交AE于点P则AAPC~

1122

25

ACAB,这时AP——cm

8、(1)提示：连接证明/0即=90。，OD=^AB,BC=2DE

(2)在用AACB中，BC2=BE£B,又BC=2DE,QDE)2=BE工B,又AB=

2OD,(2DE)2=BE2OD,2DE?=BEOD

9、(1)由已知，得％2_(c+4)x+4(c+2)=0,由两根关系得a=c+4,ab=c+2,

a?+b2=(a+b)2-2ab=(c+4)2-8(c+2)=C2,.♦.AABC是直角三角形

(2)提示：连接OE,则0E〃3C,a=6,b=8,c=10,AE=5

10、(1)连接OD,OE,BD,AB是。。的直径，.•.Na)B=ZAr)B=90。，

E是BC的中点，；.£)£=CE=£E,OD=OB,OE=OF,：.NODE/bOBE,

/ODE=ZOBE=90°,...直线DE是©O的切线

(2)作。"_LAC于点〃，由(1)知&)_LAC,£C=EB.,.・0A=05,・・・O£〃AC且。£=1A。，・・・NCQF二

2

ZOEF,ZDCF=ZEOF.

'：CF=OF,：.ADCF^AEOF,：.DC=OE=AD,：.BA=BC,：.ZA=45°.

CH1

OHLAD,：.OH=AH=DH,：.CH=3OH,故tanZACO=—.

CH3

11.(1)略(2)连接。。并延长与。。相交于点E,连接BE.设A8=3比

34H-3

"：tanZADB=-,PA=AH,AC_LBO于点H.

43

：.DH=4k,AD=5k,B4=(4百一3)4,PH=PA+AH=4也k.

AtanZP=——="./尸=30°,PD=8k.

PH3

'：BD±AC,：.ZP+ZPDB=90°.

"PDLDE,：.ZPDB+ZBDE=9Q°.：.ZBDE=ZP=30°.

是直径，；./DBE=90°,DE=2r=50.

：.BD=DE•cosZBDE=50•cos300=25也.

(3)连接CE.

•；r>E是直径，AZDCE=90°.

4

：.CD=DE•sinZCED=DE•sinZCA£>=50x-=40.

5

VZPDA=ZABD=ZACD,ZP=ZP,：./\PDA^/\PCD.

.PDDAPA.8k5k.(4石-3一

"PC-CD-PB'"PC"46"短,

解得尸C=64,k=4x/3-3.

：.AC=PC~PA=64~(4出-3)k=(40-3)2=7+240.

:.S八=S+S°=-BD^-AH+-BD-CH=-BDrAC=-x25^x(7+24>/3)=900+175>^.

四边形4BCD/\ABDACBD2丁2222

B级

1.86°2.45°

3.连接BP,MQ,PC,QN,

由PM_LAB,PNLAC,PQ_LBC可得尸，Q,C,N四点共圆，P,Q,B,M四点共圆.

由△MPQS2\2PN得PQ=-JMPNP=2-Je.

4.C

5.B【提示】连接。8,过C作CHLBD交于点〃

.•.OB//C是正方形，CH=1.

VZABC=30°,：.ZOAC=6Q°=/D.

在RtACDH中，—=sinZD=",

CD2

・3^=1后

6.D

7.提示：(1)连接OZ),由得BD=LBC,又BD2=BP•BC.

2

(2)由(1)可知BC=2B。，BD=2BP,得BC=4BP,

：.PC+BP=4BP,：.PC=3BP.

8.(1)•..直角梯形ABC。，AD//BC,

J.PD//QC.

当PD=QC时，四边形PQCD是平行四边形.

由题意可知AP=3CQ=2t,

：.8~t=2t,3f=8,r=g时，四边形PQCD为平行四边形.

(2)设尸。与。。相切于点"，过P作尸于E.

:直角梯形A8CD,AD//BC,：.PE=AB.

有题意可知AP=BE=t,CQ=2t,

:・BQ=BC—CQ=22—2t,EQ=BQ—BE=22—2t—1=22—3九

TAB为。。的直径，ZABC=ZDAB=90°,

：.AD,5C为。。的切线.

:・AP=PH,HQ=BQ.

：.PQ=PH+HQ=AP+BQ=22~t.

在RtAPEQ中，PMEQ2=PQ2,

・・・122+(22—3〃=(22—2。2,即初一88什144=0,力一"任18=0,

.*•t=2,『9.

在AO边运动时间为42=§=8s,而f=9>8,，f=9舍去.

11

.•.当仁2时，P。与。O相切.

提示：

9.AB=4,BC=CD=3,△SAOiQ=2-

(*949)

作BH_LAC于"，贝URtzXAOOsRtZXABH,得丝=丝.

BHAB

-18

10.(1)过点。作于点D连接。C.

;切切。。于点C,：.O