2023年高考数学一轮复习：基本不等式及应用（新高考地区专用解析版）

考向04基本不等式及应用

【2021・全国•高考真题】已知月，歹2是椭圆C：7+的两个焦点，点M在C上，则I阿H加匐的最大

值为（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】由题，"=9万=4,则网+皿=2a=6,

所以周引/幽士四］=9（当且仅当|峥|=|吟|=3时，等号成立）.

I2J

故选：C.

【2022年新高考全国II卷】（多选题）若心y满足f+y2一孙=i,贝u（）

A.x+y<lB.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

【答案】BC

【解析】因为吟上（a,*R）,由Y+y2-xy=l可变形为，（尤+»一1=3孙43］亨:，

解得-2Wx+yW2,当且仅当X=y=-1时，x+y=-2,当且仅当x=y=l时，x+y=2,所以A错误，B

正确；

22

由/+/-盯=1可变形为（炉+/）_1=孙4工解得f+y2<2,当且仅当尤=y=±l时取等号，所以

C正确；

因为Y+;/-邛=1变形可得+^y2=1,设x-5=cos。,,1=sin。，所以

］2222522111

x=cos0+—j=sin0,y=~^=sin0,因止匕%+y=cos0+—sin0+-j=sin0cos0=1+-j=sincos+

=„sin［20-口/，］,所以当人更丫=-3时满足等式，但是Y+y221不成立，所以D错误.

33V6；L3J3-3

故选：BC.

1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

(1)正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法

(2)定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.

(3)等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：

①若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立(彼此不冲突)

②若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始

范围.

注意：形如y=x+3(a>0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的

x

单调性求解.

2.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略

拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面

的问题：

(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；

(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；

(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.

3.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足

使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个

数，“1”的代换法等.

1.几个重要的不等式

（1）a2>0（ae7?）,Va>0（a>0）,|a|>0（ae7?）.

（2）基本不等式：如果a,6eR+,则2必（当且仅当“a=b”时取

特例：a>0,a+->2;-+->2（a/同号）.

aba

（3）其他变形：

①/+。2（沟通两和（+人与两平方和«2+b2的不等关系式）

2,12

②ab4巴广（沟通两积ab与两平方和a2+b2的不等关系式）

③（沟通两积ab与两和a+Z?的不等关系式）

④重要不等式串：J拓W-W即

—+-2V2

ab

调和平均值〈几何平均值〈算数平均值（平方平均值（注意等号成立的条件）.

2.均值定理

已知x,yeR+.

（1）如果x+y=S（定值），则孙=「（当且仅当“x=y”时取即“和为定值，积有最大值”.

（2）如果孙=尸（定值），则x+y»2历=26（当且仅当“无=y"时取"=”）.即积为定值，和有最小值”.

3.常见求最值模型

模型一：mx+—>2y[nm（m>0,ri>0）,当且仅当x=时等号成立；

xVm

模型二：mx-\——--=m（x—a）-\——-——Fma>2y1mn+ma（m>0,n>0）,当且仅当时等号成立；

x—ax—aVm

模型三：丁」——=——1———（a>0,c>0）,当且仅当X―归时等号成立；

ax+bx+cax+^+£_2\lac+bVa

x

模型四：x（“一如）=*3〈工・（丝上S）2=W（机>0,〃>0,0<x<3）,当且仅当》=△时等号成

mm24mm2m

1.基本不等式

如果a>0,6>0,那么，而〈巴也，当且仅当a=b时，等号成立.其中，把叫作°,b的算术平均数，而

22

叫作a,b的几何平均数.即正数a,b的算术平均数不小于它们的几何平均数.

基本不等式1：若a,beR,则々2+^2>2成，当且仅当&=人时取等号；

基本不等式2：若a,beR+,则*2，石（或a+622而），当且仅当a=6时取等号.

2

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定

值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.

1.（2022•全国•模拟预测）已知正数。，8满足a+劝=1,贝：/+2户+1的最小值为

ab

【答案】4石+4##4+46

【解析】

【分析】

根据题意得“2+2〃+1=/+2〃+（"+2°了,再化简整理利用基本不等式求解即可.

abab

【详解】

a2+2Z?2+1_a2+2b2+(tz+2Z?)2_2a1+4ab+6b2

ababab

।---------[2a_6b

=—+—+4>2.—­—+4=4A/3+4,当且仅当-T,

baa[a+2b=l

即a=2粗-3,人=2-百时取得等号.

故答案为：4A/3+4.

2.（2022・福建龙岩•模拟预测）若正实数a,b满足工+1=族+1,则而的最小值为.

ab

【答案】1

【解析】

【分析】

利用基本不等式可得疝+122、b，以而为整体求解.

Vab

【详解】

••--+->2.^,当且仅当。=6时等号成立

abVab

即+122，^,贝+V^F-2>0

：.4ab>1^4ab<-2（舍去），BPab>\

故答案为：1.

3.（2022•江苏・南京市江宁高级中学模拟预测）已知实数〃力满足lna+ln〃=ln（a+4〃），则时的最小值是

【答案】16

【解析】

【分析】

根据对数定义和运算可得ab=a+4b,a>Q,b>Q,利用基本不等式a+4b>代入整理计算.

【详解】

a>Q

b>0

]na+]nb=]nab=ln（a+4b）,则可得《

a+4b>0

ab=a+4b

ab=a-\-4b,a>0,b>0

ab=a+4b>2y1a-Ab=4y[ab当且仅当a=8,。=2时等号成立

ab>16

故答案为：16.

12

4.（2022糊南•长郡中学模拟预测）已知〃，人为正实数，直线,=办+》将圆（x-2）2+（尸1）2=1平分，则—十7

ab

的最小值是.

【答案】8

【解析】

【分析】

根据圆的性质，结合基本不等式进行求解即可.

【详解】

因为直线y=ax+6过圆心(2,1),所以l=2a+Z?,

因为。、b为正实数，

所以_L+2=(_L+2](2a+/7)=2+2+2+超24+2、g@=8,当且仅当？=学时取等号，即2a=b=1时

abyab)ab\abab2

取等号，

故答案为：8

1.(2022•广东茂名•二模)已知从=3。2-236eR),则|3a-切的最小值为()

A.0B.1C.2D.72

【答案】C

【解析】

【分析】

llu=y/3a+b

由〃2=34—2可得+b)(—力=2,令＜广，表示出再由

v=\l3a-b

(3a-bf=9a2-6ab+&2=(1-^)//2+(1+v2+//v,结合不等式知识，即可求得答案.

【详解】

由/=3/一2可得：3。—,故(回+))(疯一)=2,

a=%-(〃+")

〃=+b

令＜则

v=y[3a-b

71Z、

b=-^-v)

因为(3a"=9o2_6ab+62="

当且仅当(1-等)/=(1+2|2〃=豆+1_卜//=—1—6

>即I-或彳时等号成立,

V=y]3-lV=1-#f

所以|3。-勿22,即|3。-6的最小值为2,

故选：C.

2.(2022•浙江湖州•模拟预测)已知“>0力>。，定义”(a,b)=maxk+2”,；+2〃1,则H(0,b)的最小值是

()

A.5B.6C.8D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

H(a,b)>a+22b

利用定义得到9，两个不等式相加后利用基本不等式可求出结果.

H(a,b)2—+限

a

【详解】

H(a,b)>a+22~b

由定义H(aM=max]a+22H：+2"],得,

g

H(a,b)>-+2b

a

oo

所以2"(〃,加之Q+22"+—+2"=〃+—+224+2”22+2也6-2b=6+4=10,

aa

9

Q=—a=3

当且仅当a,即X时,取等号.

22~b=2b

所以H(Q,Z?)\5,即"(。力)的最小值为5.

故选：A

3.(2022・全国•模拟预测(文))若实数九，,满足2、+4,=2心，则x+2y的最小值为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】

由条件结合基本不等式求1+2y的最小值.

【详解】

因为2'+4V=2X+22y＞2y/2x+2y，又2工+4'=2x+2y

所以2*+2＞技2^^+’

所以X+2”2,当且仅当x=l,y=g时取等号，

所以x+2y的最小值为2,

故选：C.

14

4.（2022・江西萍乡•三模（文））已知正实数工，丁满足lg%+lgy=2,则—+一的最小值为（）

1y

1248

A.—B.—C.—D.一

5555

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知可得呼=100,利用基本不等式即可求出.

【详解】

由lgx+lgy=lg冲=2,则町7=100,

141~4~。14

所以上+222、3=；,当且仅当一=一，即x=5,y=20时等号成立，

尤y\xy5xy

142

所以一+一的最小值为

xy5

故选：B.

5.（2022•江西•南昌市八一中学三模（文））已知实数a,b满足各+占=1,且。＞»,贝］"2+4”的最小

值为（）.

A.1B.2A/2C.4D.4拒

【答案】C

【解析】

【分析】

对已知等式进行变形，然后利用基本不等式进行求解即可.

【详解】

由———I——=1=a（b+1）+b（a+1）=（o+1）0+1）n08=1,

a+1b+\

a2+4b2（a-2b）、4ab~4_f二4“

--------=-------------=a-2b+------>2（a-2b）----------=4,

a-2ba-2ba-2btVa-2b

4

当且仅当Q—2b=——时取等号，即〃—2b=2时取等号，

故选：c

6.（2022・辽宁实验中学模拟预测）己知实数。，6满足片+log.6=l,（0<。<1）,则:logf一"的最小值为

（）

A.0B.-1C.1D.不存在

【答案】A

【解析】

【分析】

由题设条件可得log.b=l-/,从而利用换底公式的推论可得10gzi。=上，代入要求最小值的代数式中，

1-a

消元，利用均值不等式求最值

【详解】

a2+logfo=l=>logZ>=l-«2=>loga=—

aflfc1-a

又则

_logfea—a-=—[------v-+(1-er)-122/-------xfl—a*j—1=0

4&b4(1-/)I)V4(l-a2)I)

1,2历

当且仅当40_片）=1一°一即。=彳时取等号

故选：A

7.（2022•山东泰安•模拟预测）已知4/+9//+2丫4=1,贝I]5炉+3y2的最小值是（）

125

A.2B.—C.—D.3

72

【答案】A

【解析】

【分析】

对原式因式分解得（4必+〉2）（f+2>2）=1,然后利用基本不等式即可求解.

【详解】

[S4x4+9xy+2/=l,得（4x2+y2）（x2+2y2）=lw「x+y；x+2y^5x+3y,

=

23

即4V（5/+3/），所以5/+3/22,当且仅当4d+寸=/+？/,即丁=3/=亍时，等号成立，所以

5d+3y2的最小值是2.

故选：A.

8.（2022.安徽•合肥市第八中学模拟预测（文））已知无>0,y>0,满足f+2孙一1=。，则3尤+2y的最小

值是（）

A.&B.73C.273D.2应

【答案】D

【解析】

【分析】

将给定等式变形为y=二匚，0<x<l,再代入并结合均值不等式求解作答.

2x

【详解】

1_?

由f+2孙一1=0,得丫=----,ffnx>0,y>0,贝I]有0<x<l,

2x

因此，3x+2y=3x+i—^=2X+->2.£^-=2A/2,当且仅当2x=工，即％=变时取“=”，

xx\xx2

所以3尤+2〉的最小值为20.

故选：D

9.（2022•浙江•镇海中学模拟预测）若正实数无，y满足孙（x+y）=4,则2x+y的最小值为（）

A.3B.2.72C.2A/3D.3蚯

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用即可求解.

【详解】

4

因为正实数x,y满足孙（x+y）=4,所以尤（x+y）=1.

所以（2x+y）2=y2+4x（x+y）=y2+—=y2+—+—>3-^64=12,

yyy

88

y2=———即卜二石一1时等号成立,

当且仅当yy

b=2

孙(％+y)=4

所以2x+y的最小值是2VL

故选：C.

10.（2022•江苏・南京市天印高级中学模拟预测）已知正实数a,6满足。+6=1,则下列结论不正确的是（）

A.有最大值:B.一■H丁的最小值是8

/ab

C.若o>b,则，■<&D.log?a+log?b的最大值为-2

【答案】B

【解析】

【分析】

利用基本不等式，以及对数的运算，不等式的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】

对A：a>0,b>0,l=a+bN2而，，猴弓,当且仅当a=6=g时，等号成立，故A正确；

14门4、b4a12

对B：—+工=—+不（a+»=5+—+丁29,当且仅当2a=b,即时，等号成立，故B错误；

ab\abJab33

对C：a>b>0,a2>b29~~v<~~v>故C正确；

ab

对D：由A可知0<ab4,，故log,a+log26=log。威>Vlog,J=-2,当且仅当。=b='时，等号成立，故D正

4~-42

确.

故选:B.

14

11.（2022・湖北•黄冈中学模拟预测）已知a,b为正实数，直线>=与曲线y=ln（x+。）相切，则一+:的

ab

最小值为（）

A.8B.9C.10D.13

【答案】B

【解析】

【分析】

设切点为（%，%）,求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切点的坐标，可得。+匕=1,再

由乘1法结合基本不等式，即可得到所求最小值.

【详解】

设切点为（%,%）,

y=ln（x+/?）的导数为y'=—^~,

x+b

由切线的方程。可得切线的斜率为1,令京匕=L%=l-b,

则%=ln（l-b+切=0,故切点为（1一6,0）,

代入y=x—4,得a+b=l,

a、6为正实数,

14,、/14、L/?4〃「c

则n(|一+—=(〃+Z?)(—+—)=5+—+——>5+2

ababab

1?14

当且仅当〃=§,匕=］时，七十；取得最小值9,

ab

故选：B

12.（2022•湖南吊B阳市第二中学模拟预测）已知正项等比数列｛4｝满足%=%+2%,若存在5、%,使得

《“•=16a；,则工+3的最小值为（）

mn

A.总ID

3-1

【答案】D

【解析】

【分析】

设等比数列｛%｝的公比为q,则4＞。，根据已知条件求出q的值，由已知条件可得出根+〃=6,将代数式

14114

?与幺m+同相乘，利用基本不等式可求得上+2的最小值.

mn6mn

【详解】

设等比数列｛〃〃｝的公比为0,则9＞。，由〃3=%+2%可得9—2=0,解得4=2,

因为〃加二16。；,则.2利7-2"-1=16〃；,/.m+n-2=4,可得用+〃=6,

由已知加、HGN\所以,

当且仅当〃=2根=4时，等号成立,

因此，上1+色4的最小值为3

mn2

故选：D.

21

13.（2022・安徽•合肥一六八中学模拟预测（理））已知正数无，y满足---------1---------=1,则x+y的最小值

x+3y3x+y

()

3+20R3+五3+2加3+逝

A.C.D.

-4~488

【答案】A

【解析】

【分析】

利用换元法和基本不等式即可求解.

【详解】

21

令x+3y=根，3x+y=n,贝I］一+—=1,

mn

即+力=(x+3y)+(3x+y)=4(x+y),

.m+nmn21m2nm2n

・・x+y=-------+1=—H--------1---------F->2.4

44m+n24〃4m44n4m4

=2」+…+3

2A/244

当且仅当：==,即加=2+&，〃=0+1时，等号成立,

4〃4m

故选：A.

2112

14.（2022・上海・位育中学模拟预测）已知，＞0/＞。，且必=1,则---1----1-------的最小值为.

3a2b3a+4b

【答案】20

【解析】

【分析】

利用基本不等式可求最小值.

【详解】

21123a+4b123a+4b12

------1--------1----------------------------1--------------=---------------1--------------

3a2b3a+4b6ab3a+4b63a+4b

而丝生+「三7之20,当且仅当3a+46=60时等号成立,

63a+4。

3A/2-A/63A/2+A/6

a=------------a二---------------------

3〃+4〃=6A/23

由可得3或,

ab=l-3应+而3A/2-A/6

b=------------a二---------------------

44

3母一瓜3艮底

a=

,,3a+4b12,r--3~3

故~+~~^2近,当且仅当,或，等号成立,

63a+4b3忘+而3>/2-A/6

b=

44

71io―

故F+4+广费的最小值为2五—

3a2b3a+4b

故答案为：2夜.

15.（2022・四川・宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（文））已知6为正实数，且工+苫=12,则。+匕的

ab

最小值为____________

【答案】|

【解析】

【分析】

由基本不等式求解

【详解】

10b9a

百日百上（〃+人）（一+一）G后

由题意八〃b=10+—a+—[0I]C0+I219=4A

1212-123

〃

当且仅当gh=号9即。=I:力=1时等号成立，

ab3

4

故答案为：—

J真题练）

1.（2022・全国•高考真题（文））已知9m=10,a=l（F—11力=8加—9,贝1J（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>QD.b>0>a

【答案】A

【解析】

【分析】

根据指对互化以及对数函数的单调性即可知加=log910>l，再利用基本不等式，换底公式可得相>lgll,

logs9>m,然后由指数函数的单调性即可解出.

【详解】

由9M=10可得利=1崎1。=需>1,而lg91gli<「g9；gll［=［号］<i=（igioy,所以需>悬，

即机>lgll,所以a=l（F—11>10瞑1—11=0.

又lg81gl0<（如;lgl°）=［等）所以胃〉十,upiog9>m.

8

所以Z,=8"'-9<a°战9—9=0.综上，a>0>b.

故选：A.

2.（2021.全国.高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（）

A.y=x2+2x+4B.in

,=|s^|+|sinx|।

4

C.y=2x+22-xD.y^lnx+—

Inx

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出B,。不符

合题意，C符合题意.

【详解】

对于A,J=X2+2X+4=（X+1）2+3>3,当且仅当x=-l时取等号，所以其最小值为3,A不符合题意；

对于B,因为0Vsinx|<l,y=|sinx|+-^->274=4,当且仅当卜也讨=2时取等号，等号取不到，所以其

Sill

最小值不为4,B不符合题意；

41—

对于C,因为函数定义域为R,而2工>0,y=2*+22r=2，+7722a=4,当且仅当2*=2，即x=l时取

2

等号，所以其最小值为4,C符合题意；

4

对于D,y=inx+--,函数定义域为（0,1）（l,+oo）,而InxsH且InxwO,如当lnx=-l,k芍，D不符合

Inx

题意.

故选：C.

【点睛】

本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解

出.

22

3.（2021•全国•高考真题）已知耳，F?是椭圆C：/+q=l的两个焦点，点”在C上，则讣|叫|的最

大值为（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】

【分析】

本题通过利用椭圆定义得到+|Mq=2。=6,借助基本不等式|叫\-\MF2\<即可得到答

案.

【详解】

由题，a2=9,b2=4,贝“加耳|+|211/^=2〃=6,

所以司《也当四］=9（当且仅当|5|=|咋|=3时，等号成立）.

故选：C.

【点睛】

4.（多选题）（2022•全国•高考真题）若x,y满足Y+V-9=1,则（）

A.x+y<\B.尤+y2-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>l

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假.

【详解】

因为H），由Y+V-盯=1可变形为，（尤+y）2-1=3盯,解得

-2<x+y<2f当且仅当x=y=—l时，x+y=-2,当且仅当x=y=l时，x+y=2,所以A错误，B正确;

22

由Y+y2-孙=1可变形为（/+>2）_1=孙<与匕，解得/+丫242,当且仅当尤=y=±l时取等号，所以

C正确；

因为Y+y2f=1变形可得,一£|2+%2=1,设x£=coso¥y=sin6,所以

125.2.111

x=cos3+-j=sin0,y=—T=sin0,因止匕x2+y2=cos2^+—sin20+—j=sin0cos0=1+sin20--cos26+—

=i+lsJ20-^]Jl，2],所以当尤=3尸=_3时满足等式，但是/+不成立，所以D错误.

3316八3」33

故选：BC.

5.（多选题）（2020・海南•高考真题）已知a>0,b>0,且a+b=l,则（）

A.a2+b2>-B.2a-b>-

22

C.log,a+log2b>-2D.y/a+4b<y/2

【答案】ABD

【解析】

【分析】

根据。+6=1,结合基本不等式及二次函数知识进行求解.

【详解】

对于A,a2+b2=a2+（l-a）2=2a2-2a+l=

当且仅当。=b=；时，等号成立，故A正确；

对于B,a-b=2a-l>-l,所以2修>27=」，故B正确；

2

对于C,log2a+log2b=log2ab<log21——I=log2-=-2,

当且仅当。=b=；时，等号成立，故C不正确；

对于D,因为（6+振『=1+2痣Vl+cz+b=2,

所以6+6V0,当且仅当。=6=g时，等号成立，故D正确；

故选：ABD

【点睛】

本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核

心素养.

Ar

6.（2022•全国•高考真题（理））已知ASC中，点。在边上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.当一土

AB

取得最小值时，BD=.

【答案】A/3-1##-1+V3

【解析】

【分析】

AC2二

设CD=2BD=2m>0,利用余弦定理表示出而后'结合基本不等式即可得解.

【详解】

设CD=2BD=2m>0,

则在△ABD中，AB2^BD2+AD2-2BDADCOSZADB=m2+4+2m,

在AACD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4m2+4-4m,

AC2_4m2+4-4机4（根N+4+2m^-12（l+m）12

=44

所以益7-+4+2〃zm2+4+2m----------

v7m+1

12

>4——^4-2A/3

3

当且仅当加+1=；即根=6-1时，等号成立,

m+1

所以当去取最小值时，机=6-1.

AB

故答案为：^3-1.

D

7.（2021.天津.高考真题）若。>0,b>0,则:+点+6的最小值为.

【答案】20

【解析】

【分析】

两次利用基本不等式即可求出.

【详解】

«>0,Z?>0,

.\-+-^-+b>2.^^+b=-+