2023年中考数学试题分类汇编：圆有关的位置关系

2023中考数学知识点梳理+试题分类汇编(22)圆有关的位置关系

圆和圆的位置关系如图6—9

若连心线长为d,两圆的半径分别为R,r,则：

1.两圆外离d>R+r；

2.两圆外切d=R+r；

3.两圆相交R-r<d<R+r(R>r)

4,两圆内切d=R—r；(R>r)

5.两圆内含d<R-ro(R>r)

定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。

如图6—10,01,02为圆心,

则有：AB_LO1O2,且AB被0102平分

十四、两圆的公切线

和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线,两圆在公切线同旁时，叫外公切线,在公切线两旁

时,叫内公切线,公切线上两个切点的距离叫公切线的长。

如图6-11,若A.B.C.D为切点,则AB为内公切线长,CD为外公切线长

内外公切线中的重要直角三角形，如图6—12,001A为直角三角形。

d2=(R—r)2+e2为外公切线长,

又如图6—13,001C为直角三角形。

十五、相切在作图中的应用

生活、生产中经常需要由一条线(线段或孤)平滑地渡到另一条线上,通常称为圆弧连接,

简称连接,连接时,线段与圆弧,圆弧与圆弧在连接外相切,如图6-14

在A点切在B点切在C点切

图6-14

（2023哈尔滨）5.如图,PA.PB是O的切线，切点分别是A.B,假如/P=60°,

那么/A0B等于（）D

A.60°B.90°C.120°D.150°

（2023台州市）如图，正方形ABCD边长为4,以BC为直径的半圆O交对角线BD于E.则直

线CD与。O的位置关系是▲，阴影部分面积为（结果保存泥）▲.

答案:相切（2分），Jt

（桂林2023）25.（本题满分10分）如图，。。是AABC的外接圆，FH是。。的切线,

切点为F,

FH〃BC,连结AF交BC于E,NABC的平分线BD交AF于D,连结BF.

（1）证明:AF平分NBAC；

（2）证明：BF=FD；

（3）若EF=4,DE=3,求AD的长.

25.（本题10分）证明（1）连结OF

,:FH是©0的切线

：.OF.LFH.....................1分

VFH/7BC,

尸垂直平分BC2分

H

，BF=FC

尸平分NBAC.......3分

（2）证明：由（1）及题设条件可知

Z1=Z2,Z4=Z3,Z5=Z2....................4分

.*.Z1+Z4=Z2+Z3

.*.Z1+Z4=Z5+Z3....................5分

ZFDB=ZFBD

：.BF=FD........................6分

(3)解：在ABFE和AAFB中

VZ5=Z2=Z1,ZF=ZF

:.△BFEsAAFB.......................7分

,....................8分

BF2=FEFA

FA*

9分

2

：.F…A=—7=—49

44

49r21

：.AD=------710分

44

（2023年兰州）6.已知两圆的半径R、r分别为方程的两根，两圆的圆心距为1,两圆

的位置关系是

A.外离B.内切C.相交D.外切

答案B

（2023年兰州）10.如图，正三角形的内切圆半径为1,那么这个正三角形的边长为

A.B.C.D.

o

第10题图

答案D

（2023年无锡）6.已知两圆内切，它们的半径分别为3和6,则这两圆的圆心距d

的取值满足（▲）

A.B.C.D.

答案D

（2023年无锡）27.（本题满分10分）如图，已知点口，通过A.B的直线口以每秒

1个单位的

速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发,在直线上以每秒1个单位的速

度沿直线向右下方向作匀速运动.设它们运动的

时间为秒.

（1）用含/的代数式表达点P的坐标；

（2）过O作OC_LAB于C,过C作CD±x轴

于D,问：为什么值时，以P为圆心、1为半

径的圆与直线OC相切？并说明此时

与直线CD的位置关系.

答案解：⑴作PH_L0B于H(如图1),•••0B=6,0A=Q,/.Z0AB=30°

VPB=t,ZBPH=30°,；.BH=,HP=

，0H=：.P()

国I1囱9

rvio

⑵当。P在左侧与直线0C相切时(如图2),

V0B=,NB0C=30°

BC=—(6-1)=3——t

由，得（s）,此时。P与直线CD相割.

当。P在左侧与直线0C相切时（如图3）,

13

PC=t--（6-t）=-t-3

由，得（S）,此时。P与直线CD相割.

综上，当或时，。P与直线0C相切，。P与直线CD相割.

（2023年兰州）26.（本题满分10分）如图，已知AB是。0的直径，点C在。0上，过点

C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,ZC0B=2ZPCB.

（1）求证：PC是。。的切线；

（2）求证：BC=AB；

（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N,若AB=4,求MN•MC的值.

答案（本题满分10分）

解：（1）V0A=0C,ZA=ZAC0

VZC0B=2ZA,ZC0B=2ZPCB

.•.ZA=ZAC0=ZPCB.........................................1分

VAB是。0的直径

.\ZAC0+Z0CB=90°.........................................2分

ZPCB+Z0CB=90°,BPOC±CP..................................3分

：0C是。0的半径

；.PC是。0的切线.......................................4分

(2),/PC=AC/.ZA=ZP

.•.ZA=ZACO=ZPCB=ZP

VZCOB=ZA+ZACO,ZCBO=ZP+ZPCB

ZCBO=ZCOB5分

.•.BC=OC

/.BC=2AB......................................6分

(3)连接MA,MB

:点M是弧AB的中点

弧AM=<BMZACM=ZBCM......7分

VZACM=ZABMAZBCM=ZABM

ZBMC=ZBMN

/.△MBN^AMCB

BM_MN

MC—BM

/.BM2=MC•MN.................8分

VAB是。0的直径，弧AM=^MBM

.•.ZAMB=90°,AM=BM

VAB=4/.BM=2V2..............................................9分

.'.MC•MN=BM2=8...........................................10分

（2023宁波市）6.两圆的半径分别为3和5,圆心距为7,则两圆的位置关系是

A.内切B,相交C.外切D.外离

13.（2023年金华.假如半径为3cm的。O1与半径为4cm的。02内切，那么两圆的圆心距

0102...cm.

答案：1;

6.（2023年长沙）已知。01.。02的半径分别是、，若两圆相交，则圆心距0102也许

取的值是B

A.2B.4C.6D.8

（2023年成都）8.已知两圆的半径分别是4和6,圆心距为7,则这两圆的位置关系是

（）

（A）相交（B）外切（C）外离（D）内含

答案:A

（2023年眉山）4.©01的半径为3cm,©02的半径为5cm,圆心距0102=2cm,这两圆

的位置关系是

A.外切B.相交C.内切D.内含

答案:C

毕节24.（本题12分）如图，已知CD是AABC中AB边上的高，以CD为直径的。。分别

交CA、CB于点E、F,点G是AD的中点.求证：GE是。O的切线.

C

A0DB

24.证明：（证法一）连接1分

,/是。O的直径，

2分

1•,是的中点，

4分

6分

••

*8分

.即.10分

是。O的切线.12分

（证法二）连接.1分

VAG=GD,CO=OD,

2分

4分

V0C=0E.

:.Z2=Z4.

.•.Z1=Z3,6分

又OE=OD,OG=OG,

8分

10分

是。0的切线.12分

15.（10重庆潼南县）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,0O是以AB为直径的圆，则直线

DC与。O的位置关系是.相离

C

A

15题图B

1.(2023年杭州市)如图，台风中心位于点P,并沿东北方向PQ移动，已知台风移

动的速度为30千米/时,受影响区域的半径为200千米,B市位

于点P的北偏东75°方向上，距离点.320千米处..

(1)说明本次台风会影响8市；

(2)求这次台风影响B市的时间.

答案:⑴作BHXPQ于点H,在RtABHP中,

由条件知,PB=320,ZBPQ=30°,得BH=320sin30°=160<200,

.本次台风会影响B市.............

(2)如图，若台风中心移动到Pi时，台风开始影响8市，台风中心移动到P2时，台风影响

结束.

由(1)得=160,由条件得BPi=BP?=200,

/.所以P1P2=2V2002-1602=240,

...台风影响的时间...8(小时)..........

(2023陕西省)23.如图，在RT4ABC中NABC=90°,斜边AC的垂直平分线

交BC与D点,交AC与E点,连接BE

(1)若BE是△口£(；的外接圆的切线，求NC的大小？

(2)当AB=1,BC=2是求aDEC外界圆的半径

B

（第23题图）

解：（1）丁DE垂直平分AC

ZDEC=90°

ADC为外接圆的直径

■DC的中点0即为圆心

连结0E又知BE是圆0的切线

.*.ZEB0+ZB0E=90o

在RTZkABC中E斜边AC的中点

.*.BE=EC

，ZEBC=ZC

又丁ZB0E=2ZC

.•.ZC+2ZC=90°

.,.ZC=30°

(2)在RTZXABC中AC=A/AB2+BC2=A/5.*.EC=-AC=^

22

ZABC-ZDEC=90°AABC^ADEC

.ACBC.5

・・-----=——..DC=—

DCEC4

△DEC外接圆半径为』

8

（2023年天津市）（22）（本小题8分）

已知是O的直径，是。的切线，是切点，与。交于点

（I）如图①，若，，求的长（结果保存根号）；

（II）如图②，若为的中点，求证直线是。的切线.

解：(I)；是。的直径，是切线,

•*.ZBAP=9O°.

在RtA中，，，

BP=2AB=2x2=4.

由勾股定理，得..................5分

(H)如图，连接、,

V是。的直径，

，有.

在双△中，为的中点，

CD=-AP=AD.

2

ZDAC^ZDCA.

又V,

，ZOAC=ZOCA.

'：ZOAC+ZDAC=ZPAB=90°,

：.ZOCA+ZDCA=ZOCD=90°.

即OCVCD.

.直线是。的切

线...................................................................8分

（2023山西22.（本题8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的。O通过

点D,E是。O上一点，且NAED=45°.

（1）试判断CD与。O的关系，并说明理由.

（2）若。O的半径为3cm,AE=5cm.求NADE的正弦值.

M:（I）C"LjCJO相切.......................（I分）

理由是:连接

Pl/AOD=2Z4£O=2x45"=9O,........（2分）

四边形A8C”是平行四边形.A

...LCDOa/.AOD-W,......................（3分）

.1.0D1Cl）./.C。与。。相切......（4分）

（2）连接AE.则/AD*：=4ABE...................（6分）

v.18是©0的M径.（第220b

A/.AEH=90°,AB-2x3=6（cm）.…（7分）

在KlAA做中.sinZAWK篇n二«m/.ADE=»inLARE=…（8分）

1.（2023宁德）.如图，在8X4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，。A的

半径为1,©B的半径为2,将。A由图示位置向右平移1个单位长后,

OA与静止的。B的位置关系是（）.D

A.内含B.内切C.相交D.外切

2.（2023黄冈）6分）如图，点P为AABC的内心，延长AP交AABC的外接圆于D,在AC

延长线上有一点E,满足AD=AB•AE,求证:DE是。0的切线.

第20题图

证明：连结DC,DO并延长交。O于F,连结AF.VAD=AB•AE,ZBAD=ZDAE,；.△

BAD^ADAE,AZADB=ZE.又^.^/ADB=/ACB,.,./ACB=NE,BC〃DE,/

CDE=ZBCD=ZBAD=ZDAC,又：NCAF=NCDF,/FDE=NCDE+/CDF=N

DAC+/CDF=/DAF=90°,故DE是。O的切线

1.（2023山东济南）

如图所示，菱形ABCD的顶点A.B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴

上，NBAD=60°,点A的坐标为（一2,0）.

⑴求线段AD所在直线的函数表达式.

⑵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A-D-C-B-A的顺序在菱形的

边上匀速运动一周，设运动时间为t秒.求t为什么值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与

对角线AC相切？

答案：1解:⑴：点A的坐标为（一2,0）,NBAD=60°,ZAOD=90°,

OD=OA,tan60°=,

...点D的坐标为（0,）,1分

设直线AD的函数表达式为，

，解得，

•.直线AD的函数表达式为.3分

⑵；四边形ABCD是菱形，

.•.ZDCB=ZBAD=60°,

.•.Zl=Z2=Z3=Z4=30°,

AD=DC=CB=BA=4,5分

如图所示:

①点P在AD上与AC相切时，

AP/=2r=2,

.'.tl=2,...........................................6分

②点P在DC上与AC相切时，

CP2=2r=2,

，AD+DP2=6,

.'.t2=6............................................7分

③点P在BC上与AC相切时，

CP3=2r=2,

.•.AD+DC+CP3=10,

?3=10..........................................8分

④点P在AB上与AC相切时，

AP4=2r=2,

：.AD+DC+CB+BP4=14,

/.t4=14,

.,.当t=2、6、10、14时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切.

.................................................................9分

1.（2023四川宜宾）若。。的半径为4cm,点A到圆心。的距离为3cm,那么点A与。O的

位置关系是（）

A.点A在圆内B.点A在圆上C.点A在圆外D.不能拟定

2.（2023山东德州）已知三角形的三边长分别为3,4,5,则它的边与半径为1的圆的公

共点个数所有也许的情况是

(A)0,1,2,3(B)0,1,2,4(C)0,1,2,3,4(D)0,1,2,4,5

3.(2023山东德州)

如图,在4ABC中,AB=AC,D是BC中点,AE平分/BAD交BC于点E,点O是AB上一点,

©O过A.E两点,交AD于点G,交AB于点F.

(1)求证:BC与。O相切；

(2)当/BAC=120°时，求NEFG的度数.

答案：LA

2、C

3.(1)证明：连接OE,.........................................1分

：AB=AC且D是BC中点，

；.AD_LBC.

:AE平分NBAD,

.•.ZBAE=ZDAE,-------------------------------3分

VOA=OE,

.•.ZOAE=ZOEA.

ZOEA=ZDAE.

...OE〃AD.

AOEXBC.

；.BC是。O的切线.------------------6分

(2)：AB=AC,ZBAC=120°,

.,.ZB=ZC=30°.---------------------------------7分

Z.ZEOB=60°.-----------------------------------8分

.•.ZEAO=ZEAG=30°.-------------------9分

；.NEFG=30°10分

（2023年常州）6.若两圆的半径分别为2和3,圆心距为5,则两圆的位置关系为

A.外离B.外切C.相交D.内切

（2023株洲市）15.两圆的圆心距，它们的半径分别是一元二次方程的两个根，这两

圆的位置关系是外切

（2023河北省）23.（本小题满分10分）

观测思考

某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1,图14-2

是它的示意图.其工作原理是:滑块Q在平直滑道1上可以

左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且

PQ带动连杆OP绕固定点O摆动.在摆动过程中,两连杆的接图14-1

点P在以OP为半径的。O上运动.数学爱好小组为进一步研

究其中所蕴含的数学知识,过点O作OH±1于点H,并测得

OH=4分米,PQ=3分米,OP=2分米.

解决问题

（1）点。与点。间的最小距离是一分米；

点。与点。间的最大距离是一分米；

点。在/上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间

的距离是分米.

（2）如图14-3,小明同学说：“当点Q滑动到点H

的位

置时,PQ与。O是相切的.”你认为他的判断对吗？

为什么？

（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到1

的距离最小.”事实上，还存在着点P到1距离最大

的位置，此时，点P到1的距离是分米;

②当OP绕点O左右摆动时,所扫过的区域为扇形,

求这个扇形面积最大时圆心角的度数.

解：(1)456；

(2)不对.

0P=2,PQ=3,0Q=4,且42W32+22,即0Q2W

PQ2+0P2,

.•.0P与PQ不垂直.；.PQ与。0不相切.

(3)①3；

②由①知，在。O上存在点P,到1的距离为3,此

时，OP将不能再向下转动，如图3.OP在绕点O左

右摆动过程中所扫过的最大扇形就是OP.

连结P,交0H于点D.

VPQ,均与1垂直，且PQ=,

四边形PQ是矩形..-.OH±P,PD=D.

由OP=2,0D=OHHD=1,得/

DOP=60°.

AZPO=120°.

/.所求最大圆心角的度数为120°.

(2023河南)11.如图,AB切。。于点A,BO交。O于点C,点D是上异于点C.A的一点,

若/ABO=32。，则NADC的度数是.

29°

（2023广东中山）14.如图，PA与。O相切于A点，弦ABLOP,垂足为C,OP与。O相交

于D点，已知OA=2,OP=4o

（1）求NPOA的度数；

（2）计算弦的长。

14.(1)60°(2)

1.（2023山东青岛市）如图，在RtAABC中，ZC=90°,ZB=30°,BC=4cm,

以点C为圆心，以2cm的长为半径作圆，则。C与AB的位置关系是（）.

A.相离B.相切C.相交D.相切或相交

答案：B

2.（2023山东青岛市）如图，有一块三角形材料（△ABC）,请你画出一个圆，使其

与4ABC的各边都相切.

解:

R

结论:

答案：对的画出两条角平分线，拟定圆心；...............2分

拟定半径；...............3分

对的画出圆并写出结论.4分

3.（2023山东烟台）如图以AABC的一边AB为直径作。O,。。与BC边的交点D恰好为

BC的中点,过点D作。O的切线交AC边于点Eo

（1）求证:DEXAC；

（2）若/ABC=30°,求tanNBCO的值。

Eh・松

答案：

（2023•珠海）5.如图，PA.PB是0的切线,切点分别是A.B,假如/P=60°,

那么/AOB等于（）D

A.60°B.90C.120°

D.150°

（2023•浙江温州）9.如图，在AABC中,AB=BC=2,以AB为直径的。0与BC相切于点B,

则AC等于（C）

A.B.c.2D.2

（益阳市2023年中考题12）.如图，分别以A.B为圆心,

线段AB的长为半径的两个圆相交于C、D两点，则NCAD的度数为

答案：120°

6.（上海）已知圆O1.圆02的半径不相等，圆O1的半径长为3,若圆02上的点A满足

AO..3,则圆O1与圆02的位置关系是..）

A.相交或相切B.相切或相离C.相交或内含D.相切或内含

21.（莱芜）在RtAACB中，ZC=90°,ACHcm,BC=4cm,以BC为直径作。O交AB于点

D.

（1）求线段的长度；

（2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与。O相切？请说明理

由.

21.（本小题满分9分）

解：（1）RtAACB中，：AC=3cm,BC=4cm,ZACB=90°，,AB=5cm.........1分

连结CD,VBC为直径，ZADC=ZBDC=90°

VZA=ZA,ZADC=ZACB,ARtAADC^RtAACB.

..........................................4分

（2）当点E是AC的中点时,ED与。O相切.............5分

证明：连结OD,：DE是RtZ\ADC的中线.

；.ED=EC,；./EDC=/ECD.

VOC=OD,ZODC=ZOCD.............................7分

ZEDO=ZEDC+ZODC=ZECD+ZOCD=ZACB=90°.

...ED。。。相切.....................9分

1.（2023,安徽芜湖）若两圆相切，圆心距是7,其中一圆的半径为10,则另一圆的半径

为.

【答案】3或17

2.（2023,浙江义乌）已知直线与。O相切，若圆心O到直线的距离是5,则。O的

半径是▲.

【答案】5

3.（2023,安徽芜湖）如图，BD是。O的直径,OA，OB,M是劣弧上一点，过点M作

OO的切线MP交OA的延长线于P点,MD与OA交于点No

（1）求证：PM=PN；

（2）若BD=4,PA=AO,过B点作BC〃M