人教版九年级数学上册第二十四章圆（B卷解析版）

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第二十四章圆（学霸加练卷）

（时间：60分钟，满分：100分）

一.选择题（本题共14小题，每小题3分，共42分。）

1.（2022•北倍区自主招生）如图，是0。的切线，A为切点，03交于点C,若0。的半径长为1,

AB=y/3,则线段BC的长是（）

A.1B.72C.2D.V3

【分析】连接。1，如图，先根据切线的性质得到N54O=90。，则利用勾股定理可计算出03=2,然后计

算OB-OC即可.

【解答】解：连接。4,如图，

•.•AB是OO的切线，A为切点，

:.OA±AB,

，ZE4O=90°，

在RtAOAB中，OB=yJo^+AB2=「+（回=2,

:.BC=OB-OC=2-1=1.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.

2.（2022•渝北区自主招生）如图，矩形ABCD中，BC=4,CD=2,以AD为直径的半圆O与3c相切于

点E,连接班＞,则阴影部分的面积为（）

o

\D

A.7UB.九一2C.7i+2D.刀"+4

【分析】连接OE交8。于P点，如图，根据切线的性质得到NOEC=90。，再证明四边形ABEO和四边形

OECD为矩形，贝lJOD=a4=BE=2,NDOE=90°,接着证明AODR三A£B厂得到&。奸=5.尸，所以阴影

部分的面积=S扇加OE，从而根据扇形的公式计算即可.

【解答】解：连接OE交5。于尸点，如图，

・・・以AD为直径的半圆。与相切于点E,

.\OE±BC,

/.ZOEC=90°,

•・・四边形ABCD为矩形，

.•.ZOAB=ZABE=NC=ZODC=90°,

.•.四边形ABEO和四边形OECD为矩形，

,\OD=OA=BE=2,ZDOE=90°,

在AO£>尸和AEB厂中，

ZOFD=ZEFB

</DOF=ZBEF,

OD=EB

/.AODF=AEBF(AAS),

..S^ODF=SgBF，

阴影部分的面积=S^DOE=90x2-=n.

用形〃。七360

故选：A.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了矩形的性质和扇形面积的计

算.

3.（2022•南陵县自主招生）如图，AB和3c是的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），BC>AB,M是

ABC的中点，则从〃向BC所作垂线的垂足。是折弦ABC的中点，若A8=2近，BD=0,则CD的长

C.273D.3A/2

【分析】在CD上截取CE=AB，连接CM,EM,BM,AM,证明AABMvACEM,得出廓/=

进而得出3D=DE即可解答.

【解答】解：如图，在8上截取CE=AB,连接CM,EM,BM,AM,

是ABC的中点,

:.AM=CM,

又ZA=NC,

在AABM和NCEM中,

CE=AB

<ZA=ZC,

AM=CM

\ABM=ACEM(SAS),

•;MDLBC,

BD=DE,

•.­AB=2y/2,BD=y[2,

:.CD=CE+DE=AB+BD=2应+应=3应.

故选：D.

【点评】本题考查了圆周角定理以及圆心角，弦，弧之间的关系定理，熟记定理并灵活运用是解题的关键,

在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二

项皆相等.这源于圆的旋转不变性.

4.（2022•南岸区自主招生）如图，在OO中，ZBOC=80°,则NA等于（）

【分析】根据圆周角定理即可解决问题；

【解答】解：ZBOC=80°

2

.•.ZA=40°.

故选：D.

【点评】此题目考查了圆周角定理，属于中考基础题.

5.（2021•武昌区校级自主招生）如图，在RtAABC中，NC=90。，BC=6cm,AC=8cm,。是边上

一点，且BD:CD=1:2,点。在4）上，QO与AB、3c相切于E、F,则。。的面积为（）cm?.

93

【分析】连接OE,OF,OB,根据切线的性质可得NOEB=NQFB=90。，在RtAABC中，利用勾股定理

求出AB的长，再根据已知可得求出BD=2s,然后根据AABD的面积=AAOB的面积+ABOD的面积，可

求出OE=O尸=3,再利用圆的面积公式，进行计算即可解答.

3

【解答】解：连接OE,OF,OB,

•••OO与M、3c相切于E、F,

NOEB=NOFB=90。,

ZC=90°,BC-6cm,AC-8cm,

...AB=A/BC2+AC2=yj62+82=10(cm),

•・BD:CD=1:2,

.\BD=^BC=2（cm）,

•・•AABD的面积=AAOB的面积+ABOD的面积

,-BDAC=-ABOE+-BDOF,

222

:.BDAC=ABOE+BDOF,

.•.2x8=10。石+2。尸，

4

E=OF=~,

:O3

.•.0O的面积=»xg）2

_16（2、

-7C\CYYl）,

故选：A.

【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的

关键.

6.（2021•巴南区自主招生）如图，与0。相切于点A,尸。交0。于点3,点C在0。上，连接AC,

BC.若NP=45。，则NACB的度数为（）

A.15°B.22.5°C.30°D.37.5°

【分析】连接Q4,根据切线的性质得NO4P=90。，则Z4OP=45。，然后根据圆周角定理得到N4CB的度

直线R4与相切于点A，

:.OA±PA,

:.ZOAP=90°，

•.•NP=45。，

45°,

ZACB=-ZAOB=22.5°.

2

故选：B.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.解决本题的关

键是掌握圆周角定理.

7.（2021•西湖区校级自主招生）如图，AC、班＞是QO的两条相交弦，ZACB=ZCDB=60°,AC=2-43,

则O。的直径是（）

A____D

A.2B.4C.百D.2出

【分析】连接08，作于E,由圆周角定理和已知得出NA=NACB=60。，证出AACB为等边三角

形，得5C=AC=2&,ZOBE=30°,由垂径定理得鹿=工3。=8，由直角三角形的性质得。£=1,

2

OB=2OE=2,即可得出结论.

【解答】解：连接08,作OEL3c于E,如图所示：

ZA=ZCDB^60°,ZACB=60。，

ZA=ZACB^60°,

.•.AACB为等边三角形，

JBC=AC=2A/3,ZOBE=30°,

­.OE±BC,

:.BE=-BC=-j3,

2

:.OE^—BE=1,OB=2OE=2,

3

.•.0O的直径=203=4：

【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识；熟

练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键.

8.（2021•郎溪县校级自主招生）如图A/U3C为圆。的内接三角形，。为BC中点，E为。4中点，ZABC^40°,

ZBCA=80°,则Z.OED的大小为（）

【分析】如图，连接OC,取OC中点连接£F、DF,根据圆周角定理得到Z4OC=2N4BC=80。,

OE=OF,求得/0£1产=/。叱=3（180。-80。）=50。，连接03,推出AOFD为等边三角形，得到

OD=OF=OE,于是得到结论.

【解答】解：如图，连接OC,取OC中点连接砂、DF,

:.ZAOC=2ZABC=80°,OE=OF,

NOEF=ZOFE=1（180°-80°）=50°,

连接OB,

•.•。为3C中点，

:.BD=CD,ODA,BC,

:.ZDOC=-ZBOC,

2

•••NBACJNBOC,

2

:.ZDOC=ZBAC,

ZDOC=ABAC=180°-40°-80°=60°,

♦.•尸为oc中点,

:.OF=FD,

.•.AOED为等边三角形，

:.OD=OF=OE,

.•.点。是AE7Z）外接圆的圆心，

ZFED=-ZFOD=3Q°,

2

ZOED=50°-30°=20°.

【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构

造等腰直角三角形是解题的关键.

9.（2021•武进区校级自主招生）如图，正方形ABCD的边AB=1,89和AC都是以1为半径的圆弧，则

无阴影两部分的面积之差是（）

【分析】图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此

两个扇形的面积的和-正方形的面积=无阴影两部分的面积之差，即90万=

3602

【解答】解：如图：

正方形的面积nH+Sz+S+Sd；①

两个扇形的面积=2S3+SJ+S2；②

②一①,得：S3=2S扇形一S正方形=901；：乂2一］=3一］.

【点评】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法.找出正方形内四个图形面积

之间的联系是解题的关键.

10.（2021•武进区校级自主招生）若一直角三角形的斜边长为c,内切圆半径是r,则内切圆的面积与三角

形面积之比是（）

A.-^―B.-^―C.-^―D.2,

c+2rc+r2c+rc2+r2

【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是。，b.则直角三角形的面积是

"+产r；又直角三角形内切圆的半径r="丁°,则a+b=2r+c,所以直角三角形的面积是r（r+c）；

因为内切圆的面积是万/，则它们的比是旦.

c+r

【解答】解：设直角三角形的两条直角边是。，b,则有：

ca+b+c

8=------r,

2

又一="+I,

2

Q+〃=2T+C,

将a+b=2r+c代入S='+咕］得:S=少+2c,=r（r+c）.

22

又•・,内切圆的面积是万厂之，

它们的比是一二.

c+r

故选：B.

【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形

的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关犍.

11.（2020•连城县校级自主招生）如图，A4BC中，钻是。。的直径，AC交于点E,3c交。。于点

。，点。是BC中点，°。的切线DR交AC于点P,则下列结论中①N4=Z4BE；②或）=小；③AB=AC；

④产是EC中点，正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】连接8、AD,首先由"是0O的直径，得出ADLBC,推出AB=AC,由等腰三角形的性质

及等角对等弧可得从而可得BD=DE,根据三角形中位线的性质可得8//AC,从而得

ZDFE=90°,得DF//BE,根据。是BC的中点，得出止是ABEC的中位线，得到点尸是EC的中点，

最后由假设推出①不正确.

【解答】解：连接OD,AD.DE.

•.・钻是OO的直径，

:.ZADB=90°（直径所对的圆周角是直角），

:.ADYBC,

•.•点。是3c中点，

:.ZBAD=ZCAD,AB=AC,故③正确;

BD=DE,

:.BD=DE,故②正确；

:DF是OO的切线，

:.OD±DF,

AO^BO,BD=DC,

:.OD//AC,

:.DF.LAF,

:.DF//BE,

，点/是EC的中点，故④正确；

只有当AABE是等腰直角三角形时，ZBAC=ZABE=45°,

故①错误，

正确的有②③④共3个，

故选：C.

【点评】此题考查的知识点是切线的性质、等腰三角形的判定与性质及圆周角定理，解答此题的关键是运

用等腰三角形性质及圆周角定理及切线性质作答.

12.（2020•青田县校级自主招生）如图，正方形ABCD的边长为2,点尸在41上，以尸为圆心的扇形与边

3c相切于点T,与两边交于点E,F,则弧EF长度的最小值是（）

［分析］利用正方形的性质可得弧EF长度最小时的状态.

【解答】解：当点P与A或。点重合时，圆心角为90。，可知此时弧跖最长，

根据正方形和扇形的对称性可得，当点P在题中点时，此时弧的长度最短,

ZDPF=ZAPE=60°,

:.NEPF=60°,

弧EF的长度为60义2=2£,

故选：C.

【点评】此题考查的是切线的性质、正方形的性质及弧长的计算，确定点尸为中点时，弧£F的长度最

短是解决此题的关键.

13.(2020•金东区校级自主招生)如图，然是直径，点C,。在半圆至上，若Nfi4c1=40。，则NAOC=(

)

A.110°B.120°C.130°D.140°

【分析】连接BC,根据圆周角定理得出N4CB=90。，求出/B=90。-/54c=50。，根据圆内接四边形的

性质得出NADC+N3=180。，再求出答案即可.

【解答】解：连接3C,

AB是直径,

ZACS=90°,

ABAC=40°,

.•.ZB=90°—Zfi4c=50°,

四边形A3CD是圆的内接四边形，

:.ZADC+ZB=180°,

ZADC=180°-50°=130°,

故选：C.

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识点，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此

题的关键.

14.（2020•和平区校级自主招生）如图，钻为OO的直径，C为的中点，。为劣弧CB上一个动点（点

。不与3,C重合），过。作O。的切线交互延长线于点尸，连接8并延长交至延长线于点Q,给出

下列结论：

①若CB//DP,则NZMB=22.5。；

②若PB=BD,则NDR4=30。；

③DP可能成为ZBDQ的平分线；

④若OO的半径为1,则CD.CQ=A5；

@00<ZPDQ„45°.

其中正确结论的个数为（）

【分析】C为AB的中点，可得AC=BC,由AB为。。的直径，可得AABC是等腰直角三角形，所以

ZCBA=ZCAB=45°,①若CB/AD尸，得NDPO=45。,再结合切线性质，得尸是等腰直角三角形，所

以ZDOP=45。，即可求出圆周角度数；②若PB=BD,可证AODB是等边三角形，即可求出“以=30。；

③由①即可得DP可能成为NBD。的平分线；④证明AACZJSACQA,得C。=AC。=AB；⑤NPD。不

可能等于NQD3,而NQr>8=45。，所以⑤错误.

【解答】解：C为48的中点，

/.AC=BC,

・.・AB为0O的直径，

・•.AABC是等腰直角三角形，

..ZCBA=ZCAB=45°,

①•：CB/IDP,

:.ZDPO=ZCBA=45°,

?是切线，

ZODP=90°,

.•.AODP是等腰直角三角形，

.-.ZZ)OP=45O,

/DAB=-ZDOP=22.5°,

2

故①正确；

②若PB=BD,

:.ZPDB=ZDPB,

•.•ZPDB+ZODB=ZDPB+ZDOP=90°，

:.ZODB=ZDOP,

DB=OB,

♦;OD=OB,

\ODB是等边三角形，

ZDOP=60。,

,\ZDPA=30°,

故②正确；

③由①即可得DP可能成为/加。的平分线，故③正确;

④「C为的中点，

:.ZCDA=ZCAB,

ZACD=ZACQ,

「.AACDSACQA,

.AC_CQ

~CD~~CA"

:.CDCQ=AC2=(@2=2,

・.・AB=2,

/.CD-CQ=AB,

故④正确；

⑤ZQDB=ZCAB=45°,

:.00<ZPDQ<45°,

所以⑤错误.

故选：B.

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理及推论，三角形相似的性质及判定，等边三角形的性质及判

定，解题关键是抓住几个等腰直角三角形.

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

15.（2022•徐汇区校级自主招生）如图，一个较大的圆内有15个半径为1的小圆，所有的交点都为切点，

图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分，则阴影部分的面积为22+16—%.

一3一

【分析】如图，O”为边的高，利用两圆相切的性质得到AB=AC=3C=8,则可判断AABC为等边三

角形，则CH=4,利用含30度角的直角三角形三边的关系得到OC=还，再利用圆与圆相切的性质得到

3

OO的半径OE=OC+CE=3-+1,然后用大圆的面积减去15个小圆的面积得到阴影部分的面积.

【解答】解：如图，为3c边的高，

•••所有小圆相切，

：.AB=AC=BC=8,

;.AASC为等边三角形，

:.NOCB=30°

■.OH±BC,

:.CH=4,

:.OH=—CH=—,

33

OC=2,OH=—,

3

0c与0。相切，

.•.00的半径。£'=。。+。£=空+1,

...阴影部分的面积=万。（苧+1）2—15义万xF=22+；6,万.

故答案为：22+16^兀.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了等边三角形的判定与性质.

16.（2022•宁波自主招生）如图，在O。中、三条劣弧他、BC、CD的长都相等，弦AC与5。相交于点E,

弦54与CD的延长线相交于点尸，且ZF=40。，则NAS）的度数为_70。

C

【分析】连接3C,根据弧相等，得到Na4C=NBDC=N3C4=ND3C,设出Z4CD=N4BD=x,根据外

角的性质得出ZBAC=x+4Q°,进而利用三角形的内角和求出x即可解答.

【解答】解：连接3C,

•.•弧AB、BC、CD的长相等，

ZBAC=ZBDC=ZBCA=ZDBC,

^ZACD=ZABD=x,

•.•"=40°,

:.ZBAC=x+4O°,

ZBDC=ZBCA=ZDBC=x+4O°,

在AABC中，x+40°+x+x+x+40°+40°=180°,

解得x=15。，

:.ZDBC=NBCA=55°,

:.ZAED=ZBEC=70°.

故答案为：70。.

【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记定理并灵活运用，圆周角定理：在同圆或等圆中，同

弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

17.（2022•南陵县自主招生）如图，是半圆。的直径，四边形CDMN和ZZEFG都是正方形，其中C,D,

E在AB上，F、N在半圆上.若则正方形CDAW的面积与正方形DEFG的面积之和是16,则的长为

【分析】连接OV,OF,设正方形CDMN的边长为“，正方形D£FG边长为b,OD=c,根据正方形的性

版CN=CD=a,DE=EF=b,设OA=ON=OF=OB=r,根据勾股定理得出/+(〃+二/①,

〃+3一°)2=/②，①—②得出/+3+0)2—〃—。一了二。，把等式的左边分解因式后得出

2(a+b)(a-b+c)=0,求出》=Q+C,再代入①，即可求出答案.

【解答】解：连接ON,CR,设正方形CDAW的边长为。，正方形DEFG边长为方，OD=c,贝UCN=CD=a,

DE=EF=b,

•/四边形CDMN和DEFG都是正方形，

ZNCD=90°,/FED=90。,

设OA=ON=OF=OB=Y,

由勾股定理得：NC1+C(f=ON2,OE2+EF2=OF2,

a2+(〃+c)2=/①，廿+3一0)2=/②，

①—②，得Q2+(Q+c)2—b2—(b—C)2=0,

(a2-b2)+[(a+c)2一(Z?—cP)]=0,

(a+b)(a-b)+(a+c+b-c)(a+c-b+c)=O,

(a+b)(a—b)+(a+b)(a—b+2c)=0,

(a-i-b)(a-b+a-b-i-2c)=0,

2(a+b)(a—Z?+c)=0,

a+bwO,

「.a—Z?+c=O,

即〃=Q+C,

把b=a+c代入①，得4十/二,，

・・・正方形CDMN的面积与正方形D£FG的面积之和是16,

.\a2+〃=16,

.•.户=16,

解得r=4（负值舍去），

/.AB=2r=8.

故答案为：8.

【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识点，能求出6=a+c是解此题的关键.

18.（2022•海曙区自主招生）如图，点A、B、C均在坐标轴上，AO=BO=CO=1,过A、。、C作

E是:OO上任意一点，连结CE,BE,则CE2+BE2的最大值是6.

【分析】连接AC,OD,DE,设E（尤,y）,利用90。的圆周角所对的弦是直径可得，AC是的直径，

再利用平面直角坐标系中的两点间距离公式求出CE2+B£2=2（x2+y2）+2,OE2=x2+y2,可得当OE为

。。的直径时，OE最大,。5+匹2的值最大，然后进行计算即可解答.

【解答】解：连接AC,OD,DE,

ZAOC=90°,

」.AC是。。的直径，

AO=BO=CO=1,

A(0,l),C(l,0),B(-l,0),

AC=&,

CE2=(X-1)2+/,

BE2=(X+1Y+y2,

CE2+BE2=(x-1)?+y2+{x+1)2+/=2(x2+y2)+2,

OE2=x2+y2,

.•.当OE为OD的直径时，OE最大,。序+的2的值最大,

OE2=AC2=（V2）2=2,

CE2+BE2的最大值=2x2+2=6,

故答案为：6.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，圆周角定理，坐标与图形的性质，点与圆的位置

关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

19.（2022•九龙坡区自主招生）如图，正方形ABCD的边长为4,。为对角线的交点，点E,尸分别为

AD的中点，以C为圆心，4为半径作圆弧3D,再分别以E,b为圆心，2为半径作圆弧30,OD,则图

中阴影部分的面积为_4万-8_.（结果保留》）

BEC

【分析】连接BD,根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可

得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形CBD减去直角三角形CBZ）的面积之差.

【解答】解：连接BD,EF,如图，

•.•正方形ABCD的边长为4,。为对角线的交点，

由题意可得：EF,BD经过点O,且EF±CB.

•.•点E,尸分别为BC,AD的中点，

：.FD=FO=EO=EB=2,

OB=OD,OB—OD.

/.弓形。5=弓形。0.

阴影部分的面积等于弓形BD的面积.

90%x421

$阴影=§扇形CBD-'ACBD=一记。—x4x4=4^--8.

故答案为：4万-8.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算.通过添加适当的辅助线将不规则的阴影部分的

面积转化成规则图形的面积的差是解题的关键.

20.（2021•太仓市自主招生）如图，有一块矩形木板ABCD,AB=13dm,BC=8dm,工人师傅在该木板

上锯下一块宽为Mm的矩形木板MBQV,并将其拼接在剩下的矩形木板AAWD的正下方，其中8、

C'、M分别与M、B、C、N对应.现在这个新的组合木板上画圆，要使这个圆最大，则x的取值范围

是_2用此3_,且最大圆的面积是dm2.

【分析】如图，设。。与相切于点4,交8与E,连接O",延长"O交CD于尸，设。。的半径为r.在

RtAOEF中，当点E与“重合时，。。的面积最大，此时郎=4,利用勾股定理求出半径，再构建不等式

求出x的取值范围即可;

【解答】解：如图，设与相相切于点H,交CD与E,连接延长"O交CD于F,设的半

在RtAOEF中，当点E与“重合时，。。的面积最大，此时EF=4,

,则有：r2=(8-r)2+42,

r=5.

0。的最大面积为25n,

3+X..5

由题意:

13-X..10

2张/3，

故答案为琛乐3,25%.

【点评】本题考查垂径定理、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识

解决问题.

三.解答题（共4小题，满分40分，每小题10分）

21.（2021•太仓市自主招生）如图，然为O。直径，点。为相下方0。上一点，点C为弧中点，连

接CD,CA.

（1）若NABD=a,求NBDC（用a表示）；

（2）过点C作CE_LAB于"，交AD于E,NCAD=0,求NACE（用£表示）；

（3）在（2）的条件下，若0/7=5,">=24,求线段DE的长.

【分析】（1）连接AD,i^ZBDC=y,ZCAD=/3,则NC4B=ZBDC=/,证明=0=90。一y,

ZABD=2?,得出ZABD=2ZBDC,即可得出结果;

（2）连接3C,由直角三角形内角和证明NACE=NABC,由点C为弧ARD中点，得出

ZADC=ZCAD=ZABC=jS,即可得出结果；

（3）连接OC,证明NCOB=NABD,得出AOCf/sAABD,则空=堡=,，求出ND=2OH=10,由勾

BDAB2

股定理得出AB=NAD。+BD2=26,则AO=13,AH=AO+OH=18,证明AAHE^AADB，得出理=空，

ADAB

求出AE=理，即可得出结果.

2

【解答】解：（1）连接AD,如图1所示：

设/BDC=y,ZCAD=/3,

则NC4B=N5DC=y,

・・•点C为弧AfiQ中点,

/.AC=CD,

ZADC=ZCAD=J3.

ZDAB=J3-/,

・・•AB为G）O直径，

:.ZADB=90°，

/./+^=90°,

.”=90。—7,

.•.NABD=90。—NDAB=90。—（4一7）=90。—90。+/+/=2/,

:.ZABD=2ZBDC,

ZBDC=-ZABD=-a；

22

（2）连接5C,如图2所示：

。：AB为OO直径，

:,ZACB=90°,即ZBAC+ZABC=90。，

\-CEYAB,

:.ZACE+ZBAC=90。,

:.ZACE=ZABC,

♦・•点。为弧ABD中点，

/.AC=CDf

/.ZADC=ZCAD=ZABC=j3f

ZACE=J3；

（3）连接OC,如图3所示：

:.ZCOB=2ZCAB,

•・,ZABD=2ZBDC,ZBDC=ZCAB,

；.NCOB=ZABD,

・.・ZOHC=ZADB=90°f

:.AOCHs/sABD,

.OHOC

茄一法—5’

:.BD=2OH=W,

AB=^AD2+BD2=7242+102=26,

「.A。=13,

AH=AO+O〃=13+5=18,

・・・ZEAH=ZBAD,ZAHE=ZADB=90°,

/.^AHE^^ADB,

AHAE18AE

----=,即—=

ADAB2426f

:.AE=—39,

2

399

:.DE=AD-AE=24——=-.

22

【点评】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；正确

作出辅助线是解题的关键.

22.(2021•成都自主招生)如图，OO是RtAABC的外接圆，AB为直径，ZABC=3O°,CD_LOC于C,

£D_LAB于/，

(1)判断ADCE1的形状;

(2)设的半径为1,且。月=求证：ADCE=AOCB.

2

B

【分析】（1）ADCE为等腰三角形，理由为：根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由圆周角WC

的度数，求出圆心角NAOC的度数为60。，再由Q4=OC,得到三角形。1C为等边三角形，可得出三内

角为60。，再由OC与8垂直，根据垂直的定义得到NOCD为直角，利用平角的定义求出NDCE为30。，

又EF垂直于Afi,得到NAFE为直角，由NA为60。，得出NE为30。，可得出NDCE=NE,根据等角

对等边可得出=即三角形DCE为等腰二角形；

（2）由半径为1及O尸的长，根据AO+OF求出AF的长，在直角三角形中，根据30。角所对的直角

边等于斜边的一半，由川的长得出AE的长，再由AE-AC求出CE的长，在直角三角形ABC中，由加

为直径，NS为30。，根据锐角三角函数定义求出3c的长，发现3C=CE,再由三角形H9C与三角形

DCE都为底角为30。的等腰三角形，得到两对底角相等，利用ASA可得出两三角形全等.

【解答】解：（1）ADCE为等腰三角形，理由为：

•.・NABC=30。，圆周角NABC与圆心角NAOC都对AC,

.•.NAOC=2NABC=60。，

又•.•Q4=OC,

.1△CMC为等边三角形，

:.ZOAC=ZOCA^60°,

•：OC^CD,

.•.NOCD=90。，

ZDCE=180°-90°-60°=30°,

又YEFLAF,

:.ZAFE^9Q°,

ZE=180°—90°—60°=30°,

;.ZDCE=ZE,

DC=DE,

则ADCE为等腰三角形;

J3-1

(2)■.■OA=OB^\,OF=——，

2

出一］