2025中考数学专项复习：垂线段最短模型（含答案）

2025中考数学专项复习垂线段

最短模型含答案

模型展现

类型垂线段最短两条线段和的最小值问题

A

图示

B'BB〃0N、,B

直线/外一定点A和直线/上一动点P是/A98内部一点，点”,N分别是

特点

点BOAO8上的动点

作点P关于08的对称点P,过点P作

过点A作于点此时

结论OA的垂线，分别与08,OA交于点N,M,itk

AB的值最小

时PN+MN的值最小

@怎么用

1.找模型

遇到“一定点两动点”求线段和（其中一条线段为两动点的连线）最值问题,考虑垂线段最短模型

2.用模型

通过对称的性质，三角形的三边关系及垂线段最短确定最值点位置

满分技法:求线段和最值实质上是将线段和转化到一条直线上，结合垂线段最短解决问题

结论:作点尸关于OB的对称点过点P作OA的垂线，分别与O8,OA交于点此时

PN+MN的值最小

证明:如图，若尸为04,06上任意一点,连接N'P',M'P',

则PN'=P'Nr,

PN'+M'N'=P'N'+M'N'>P'M'>P'M,

：.当P'M±OA时,PN+MN的值最小.

思考延伸:经典的“胡不归”就是垂线段最短问题

模型典例

1.如图，在电△4BC中,/C=90°,4D是/R4C的平分线，点E是AB上任意一点，若4D=5,AC=4,

则。E的最小值为（）

C

例1题图

A.3B.4C.5D.6

2.模型构造如图，在中,A8=42氏4。=45°,/84。的平分线交石。于点。,

E,F分别是ARAB上的动点，则BE+EF的最小值是

___________________针对训练_______________________

1.如图，在Rt/XABC中,/。=90°,4。=6,及7=2,点P是AB边上的一点（异于48两点），过点P

分别作边的垂线，垂足分别为M,N,连接MV,则AW的最小值是

2.如图,在Rt/\ABC中,NZCB=90°,NB=30°,人。=2,点D是BC边上一个动点,连接AD,过点D

作DE_LAD交AB于点E,则线段AE的最小值为

3.如图，正方形ABCD的边长为10,E为。A延长线上一动点，连接3E,以BE为边作等边△8ER连

接AR,则A尸的最小值为

第3题解图

4.模型迁移如图，在平面直角坐标系中，04=3,06=4,点P的坐标为（4,0）,点河,N分别在线段

AB,y轴上,求PN+MN的最小值.

第4题图

5./拔高如图，某小区有一块圆形的空地。O,在。。上点ABC,。处安装四个景观灯.已经修好一

条长为20米的经过圆心O的直路8。,根据设计需要在边A。，CD之间再修一条小路即,使得点

E,F分别在边CD,4D上，为了美观使得CE=D斤出是AC的中点，经测量46=12米，并以4B

C,E,斤为顶点整修一块周长最小的五边形绿化地.试问，是否存在符合要求的周长最小的五边形

ABCEF7若存在，请求出五边形AB-CEF周长的最小值;若不存在,请说明理由.

A

_______________________课后练习________________________

1.（2021-枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，对角线47,8。相交于点O,AC=60,8。=6,点P是

47上一动点，点E是的中点，则PD+PE的最小值为（）

DC

AEB

A.3A/3B.6V3C.3D.6A/2

2.如图，在矩形ABCD中，AC=8,ABAC=30°,点P是对角线/。上一动点,连接BP.

(1)线段8P的最小值为；

(2)若以AP,为邻边作OAPfiQ,连接PQ,则线段PQ的最小值为.

ADAD

SE

BCBC

备用图

3.如图，在△ABC中，AC=8C=6,S△/巫=12,点。为AB中点，点分别是CD和BC上的动点,

则BM+MN的最小值是____.

A

BNC

4.如图，在①△ABC中,ZC=90°,ZB==30°,BC=6,AD平分NC4B交于点。，点E为边4B上

一点，则线段OE长度的最小值为_

AEB

【答案】解:在①△ABC中，

,_AC

tanBRBC9

AC-x6=2V3.

o

•••ZC=90°,ZB=30°,

AZCAB=60°,

•••AO平分/CAB,

ZCAD=^-x60°=30°.

在Rt/XACD中，

tanZCA£>=O,

AC

.-.CD=^x2V3=2.

o

•••4D平分NCAB,且。C，AC,

点D到48边的距离等于线段CD的长,

即线段OE长度的最小值为2.

5.（3分）如图，在矩形4BCD中，4B=4,8。=6,点E是对角线上一点，ER，于点斤，EG，

CD于点G,连接尸G,则EF+斤G的最小值为.

6.如图，在电ZVIBC中，//CB=90°,AC=6,BC=8,AD是N8AC的平分线，若P,Q分别是4D

和AC上的动点,求PC+PQ的最小值.

【思路引领】过点。作CM±AB交43于点交AO于点P,过点P作PQ，AC于点Q,由人。是

ABAC的平分线.得出PQ=,这时PC+PQ有最小值，即CA1的长度，运用勾股定理求出AB,

再运用S^ABC=^-AB-CM=得出CM的值，即PC+PQ的最小值.

7.（2023•江门三模）如图,△ABC中，AACB=90°,AB+BC=8,tanA=彳■，点。分别是边AB.

AC上的动点，则OC+OD的最小值为（）

96

,125

【思路引领】如图，作。关于48的对称点。，连接CO,交4B于及过。作O。，AC于。，交AB

于。，则OC=此时OC+OD的值最小，就是CD的长，根据相似三角形对应边的比可得结论.

8.（2021春•龙岗区月考）如图，点P是乙40。的角平分线上一点，垂足为点。，且P0=5,

点M是射线OC上一动点，则PN的最小值为.

°-VC

【思路引领】根据垂线段最短可知当PMLOC时，PA1最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答

案.

9.（2024春•北京期中）如图，菱形ABCD的周长为24,2ABD=30°,点P是对角线BD上一动点，Q是

的中点，则PC+PQ的最小值是（）

B.3V3C.3V5D.6V3

【思路引领】点Q和点。是定点，点P在直线BD上一动点，是轴对称最值问题，连接CQ，由菱形的对

称性可知，点A和点。关于BD对称，连接AQ,AQ即为所求.

10.（2021春・金寨县期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点〃为对角线8。上一动点,ME±BC

于点于点尸，连接EF,则EF的最小值为（）

【思路引领】连接,证出四边形MECF为矩形，由矩形的性质得出即=MC，当，8。时，MC

取得最小值，此时是等腰直角三角形，得出MC即可得出结果.

11.在锐角△ABC中，4,ZABC=30°,RD平分/43C,点河、N分别是BD、上的动点，连接

MN、CM,则CM+AW的最小值是多少？

【思路引领】过点。作CE，于点瓦交口。于点M'，过点M'作M'N'±BC,则CE即为CM+

的最小值,再根据BC=4,NABC=30°,由锐角三角函数的定义即可求出CE的长.

12.如图，在AABC中，AC=6,S4ABe=12,点。为4B中点，点河，N分别是CD和上的动点,

则BM+MN的最小值是.

【解答】解:如图所示：

A

P

•••49，％于点0，

/.AP是点A到直线I的最短距离.

13.如图，在菱形ABCD中，入。=6,口。=8,对角线AC与8。交于点。，点E是人口的中点，点A1,N分

别在上，则EM+AW的最小值为.

14.如图，已知二次函数y=-y®2++2的图象与宓轴交于A,B（点A在点B的左侧）两点，与沙轴交

于点C,河为直线上一动点，N为立轴上一动点，连接⑷W,ARV,求+MN的最小值.

y

15.如图，等边△ABC中，AB=6,点P是BC边上一点，则4P的最小值是

解析提示:

16.如图,在锐角三角形4BC中，8。=4方，/4BC=45°,BD平分/ABC,M、N分别是上的

动点，则CM+AW的最小值是

解析提示:

17.如图，△ABC中，乙4cB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,P为直线AB上一动点，连接PC,则线段

PC的最小值是

18.如图，点/的坐标为(―1,0),点B(a,a),当线段AB最短时,点B的坐标为

19.如图，菱形ABCD的边长为9，面积为18V3,尸、E分别为线段BD、上的动点，则PE+PC的最小

值为

20.如图，等边△ABC的边长为4,4D是边上的中线，M是4D上的动点，E是边上点，若AE=

1,EM+CA1的最小值为o

21.如图，ZVIBC中，AB=AC=13,BC^IO,AD是边上的中线且AD=12,R是AD上的动点，E

是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为。

22.如图，正方形4BCD的边长是2,/D4C的平分线交。。于点E,若点P、Q分别是AO和AE上的动

点，则DQ+PQ的最小值为»

23.如图，在AABC中，ZB=90°,43=12,BC=5,。为边AC上一动点，DE，43于点E,DF±BC

于点尸，则即的最小值为（）

•M

A.4.8B.瑞~C•置D.13

-LoJ.O

24.如图，在A4BC中，乙4=90°,ZB=60°,AB=2,若。是边上的动点，则240+。。的最小值

()

A.2V3+6B.6C.V3+3D.4

25.如图，在锐角三角形ABC中，AB=4,△ABC的面积为10,平分乙4BC,若M、N分别是

上的动点，则CM+AW的最小值为()

A.4B.5C.4.5D.6

26.如图，△4BC中，ABAC=75°,ZACB=60°,AC=4,则△4BC的面积为；点、D,点、E,点、F

分别为BC,AB,AC上的动点，连接DE,EF,FD,则的周长最小值为

备用图

10

模型展现

类型垂线段最短两条线段和的最小值问题

A

图示

B'BB〃0N、,B

直线/外一定点A和直线/上一动点P是/A98内部一点，点”,N分别是

特点

点BOAO8上的动点

作点P关于08的对称点P,过点P作

过点A作于点此时

结论OA的垂线，分别与08,OA交于点N,M,itk

AB的值最小

时PN+MN的值最小

@怎么用

1.找模型

遇到“一定点两动点”求线段和（其中一条线段为两动点的连线）最值问题,考虑垂线段最短模型

2.用模型

通过对称的性质,三角形的三边关系及垂线段最短确定最值点位置

满分技法:求线段和最值实质上是将线段和转化到一条直线上，结合垂线段最短解决问题

结论:作点P关于OB的对称点P,过点P作04的垂线，分别与OE,04交于点MM,此时

PN+MN的值最小

证明:如图，若“为04,06上任意一点，连接N'P',M'P',

则PN'=P'Nr,

PN'+M'N'=P'N'+M'N'>P'M'>P'M,

：.当P'M±OA时,PN+MN的值最小.

思考延伸:经典的“胡不归”就是垂线段最短问题

模型典例

1.如图，在电△4BC中,/C=90°,4D是/R4C的平分线，点E是AB上任意一点，若4D•=5,•AC=4•,

则。E的最小值为（）

C

AEB

例1题图

A.3B.4C.5D.6

思路点拨:遇到角平分线和垂直，想到角平分线上的点到角的两边的距离相等.

A【解析】在Rt/\ACD中，人。=5,4。=4,ACD=y/AD2-AC2=V52-42=3,当DE_LAB时,DE

的值最小（垂线段最短），：AD是/A4C的平分线,/。=90°,CD=DE（角平分线性质），.•._0£的最小

值为3.

2.模型构造如图,在△ABC中,48=4,/84。=45°,/艮4。的平分线交8。于点。,

E,F分别是ARAB上的动点，则BE+EF的最小值是.

例2题图

思路点拨：求线段和最小值，一定点两动点，先转化在一条线段，再利用垂线段

最短求解即可。

____________________针对训练_______________________

1.如图，在加△48。中,/。=90°,4。=6,口。=2,点尸是48边上的一点（异于人,口两点），过点？

分别作AC,边的垂线，垂足分别为双，N,连接MN,则MN的最小值是.

第1题图

【答案】丝①

5

【解析】如解图，连接PC在△4BC中，

・・・AACB=90°,AC=6,BC=2,

/.AB=y/AC2+BC2=V62+22=2V10.

•：PM°AC,PN±BC,

：.ZPMC=ZPNC=AACB=90°,

r.四边形PMCN是矩形（三个角是直角的四边形是矩形），

MN=PC（矩形的对角线相等），_第1题解图

当POLB时,PC的值最小（垂线段最短），此时PC=AC；gC6x2_3V10

2V10—5

（直角三角形等面积转化），

AMN的最小值为3

5

2.如图，在Rt/XABC中，乙4CB=90°,/B=30°,AC=2,点D是边上一个动点，连接4D,过点D

作DE_LAD交AB于点E,则线段AE的最小值为.

C

AEB

第2题图

【答案】《

O

【解析】如解图，取AE的中点F,连接FD,过点F作FGYBC于点G.设=则AF=DF=

^-AE=^~,­：AC=2,ZB=30°,AACB=90°,：.AB=4,BF=AB-AF=4-：.GF=^BF=2-

?GF&DF,；.2-子Wy,解得.♦.线段AE的最小值为一*

第2题解图

3.如图，正方形ABCD的边长为10,E为D4延长线上一动点，连接班;，以BE为边作等边连

接AF,则AF的最小值为.

第3题解图

【答案】5

【解析】如解图，以点B为旋转中心，将逆时针方向旋转60°,得到△GBE,连接AG,Z.AABG=

60°,AB=BG,AF=GE（旋转性质），.•.△ABG是等边三角形，且点G与直线AD的位置保持不变，当EG

±DA时,GE的长最短（垂线段最短），•：AB=AG=10,,最短长度为GE=^-AG=5,故AF的最

小值为5.

第3题图

4.模型迁移如图，在平面直角坐标系中，04=3,08=4,点P的坐标为（4,0）,点分别在线段

AB,y轴上，求PN+MN的最小值.

第4题图

【答案】解:：OA=3,05=4,

AB=5,

如解图，过点P作PM'±AB于点M',交夕轴于点N,.

•：PN+MN>PN'+N'M',,即PN+MNNPM',根据垂线段最短可知，PN+AW的最小值为线段刊W7

的长，

•/ABAO=APAM',AAOB=AAM'P=90°,

△ABO〜△APAT,

黑=相似三角形的判定与性质），

.5-4

"7PM，'

：.PM'=备

5第4题解图

.♦.PN+7W的最小值为24

5

5./拔高如图，某小区有一块圆形的空地OO,在。O上点处安装四个景观灯.已经修好一

条长为20米的经过圆心O的直路80,根据设计需要在边CD之间再修一条小路EF,使得点

E,F分别在边CD,AD上，为了美观使得尸，口是AC的中点，经测量48=12米，并以

C,E,F为顶点整修一块周长最小的五边形绿化地.试问，是否存在符合要求的周长最小的五边形

ABCEF?若存在，请求出五边形AB-CEF周长的最小值;若不存在,请说明理由.

A

F

第5题图

【答案】解:存在，

如解图，是AC的中点，且BD是OO的直径，BC=AB=12米,/BAD=ABCD=90°,ZADB

=/CDS（圆周角定理），由勾股定理得,人。=CD=16米，

•/CE=DF,：.AF+CE=16^,

：.L五边形ABCEF=AB+BC+CE+EF+AF^12+12+16+EF=40+EF,

：.当EF取最小值时,Z/五边形ABCEF就有最小值.

延长CD至点G,使DG=CE,连接GF并延长，过E作EH±GF于点H.

•：CE=DF,DG=CE,

:.DF=DG,

：.ZGFD=NDGF,

又•/AADB=NCDB,ZADC=ZGFD+ZDGF,

：.ZCDB=ZEGH,

大•：CE=DF,

.•.EG=CD=16米.

在RtNBDC中，sinZGDB=条=4,

BD5

HE

:,在RtAEGH中,sin/EGH=3

~EG5

：EF>EH=挚，当点重合时，取等号,

5

••./in=%=9.6米.

5

••上有用形ABCEF（min）=40+EF=49.6米，

存在符合要求的周长最小的五边形4BCEF,它的周长最小值为49.6米.

_______________________课后练习________________________

1.（2021.枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，对角线47,8。相交于点O,AC=6*,8。=6,点P是

/C上一动点，点E是48的中点，则PD+PE的最小值为（）

A.3V3B.6A/3C.3D.6V2

【答案】A

【解答】解:如图，连接DE,

在/\DPE中，DP+PE>DE,

：.当点P在DE上时，尸。+PE的最小值为DE的长,

•.•四边形ABCD是菱形，

/.AO=CO=3®BO=DO=3,AC±BD,AB^AD,

：.tanZABO==VS,

130

：./ABO=60°,

.♦.△ABD是等边三角形，

•.•点E是AB的中点，

：.DE±AB,

sinAABD—,

DU

.DE_V3

：.DE^3V3,

故选：4

2.如图,在矩形ABCD中，AC=8,ABAC=30°,点P是对角线力。上一动点,连接BP.

⑴线段B尸的最小值为；

(2)若以4P,为邻边作LJAPBQ，连接PQ,则线段PQ的最小值为.

备用图

【答案】(1)当时，BF取最小值,

VAC=8,ZBAC=30°,

AB—AC・cos30°=4V3,

BP最小=AB«sin30o=2V3;

故答案为：26；

(2)根据题意，作图如下：

四边形APBQ是平行四边形,

,/AO==2A/3,PQ=2OP,

要求PQ的最小值，即求0P的最小值，当0P_LAC时，QP取最小值,

OP—A0,sin30°=V3,

.,.PQ的最小值为W

3.如图，在△ABC中，AC=BC=6,S4ABe=12,点。为AB中点，点双，N分别是CD和上的动点，

则BM+MN的最小值是.

【答案】解:如图，•••C4=CB,。是的中点,

.•.CD是乙4cB的平分线，

.•.点N关于CD的对称在上，

过点B作_L力。于点H.

,**4。=6,S4ABC~12,

Ayx6-BH=12,

解得BH=4,

•/BM+MN=BM+MN'>9=4,

.•.BAZ+TIW的最小值为4.

故答案为：4.

方法二：；CA=CB,。是48的中点，

.•.CD是的垂直平分线，

:.BM=AM,

BM+MN=AM+MN,

当4M_LBC时最小,

.•.BM+AW的最小值为4.

4.如图，在A力ZVIB。中，ZC=90°,ZB=30°,BC=6,AD平分/CAR交BC于点。，点E为边AB上

一点，则线段。E长度的最小值为.

【答案】解:在放A4BC中,

,AC

tanRB=BC，

/.AC=^-x6=2V3.

o

ZC=90°,ZB=30°,

ZCAB=60°,

AD平分NCAB,

ACAD=^-x60°=30°.

在母△ACD中，

tanZGAZ?=??，

AC

*.CD—x2^/3^—2・

o

•/AD平分NCAB,且。C，AC,

.•.点D到48边的距离等于线段CD的长,

即线段。石长度的最小值为2.

5.（3分）如图，在矩形4BCD中，48=4,8。=6,点E是对角线上一点，EF，8C于点斤，EG，

CD于点G,连接尸G,则EF+9G的最小值为

【答案】解：如图，在人。上取一点P,使得PD=P8,连接BP,PC,EC,过点。作CJ±BP于点J,过点E

作EK_LBP于点K.

•.•四边形ABCD是矩形，

,AD=BC=6,ADIIBC,乙4=90°,

设PD—PB=2，则a?=(6—re)?+4?,

...X—1—3,

O

SAPBC=；.PB・C7=/x6x4,

72

・・・AD//CB,

：./ADB=/DBC,

•：PD=PB,

・・."DB=/PBD,

・・・APBD=APBC,

•：EK.LBC,EK_LBP,

:・EF=EK,

•：EG±CD9

：.4EFC=AFCG=ACGF=90°,

・・・四边形EFCG是矩形，

:・FG=EC,

・・.EF+FG=EK+CE,CJ=,,

io

：.EF+FG的最小值为3.

-LO

6.如图，在AtZVLBC中，ZACS=90°,AC=6,BC=8,AD是乙BAC的平分线，若P,Q分别是4D

和AC上的动点，求PC+PQ的最小值.

【思路引领】过点。作CM1.交于点M,交4D于点P,过点P作PQ，AC于点Q,由AD是

ZBAC的平分线.得出PQ=,这时PC+PQ有最小值，即CA1的长度，运用勾股定理求出AB,

再运用S^ABC=^-AB-CM=，4C・8C,得出CA1的值，即PC+PQ的最小值.

【解答】解:如图，过点。作CM±AB交AB于点/■，交AD于点P,过点P作PQ_LAC于点Q,

AD是/BAG的平分线.

.•.PQ=PM,这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，

,.•AC=6,BC=8,乙4cB=90°,

/.AB=y/AC2+BCP=V62+82=10.

VSMBC=^AB-CM=^AC-BC,

.eAC-EC6x824

••加二^二kF

即PC+PQ的最小值为”.

一5

【总结提升】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+F。有最小值时点P和。的位置.

7.（2023-江门三模）如图，ZVIB。中，乙4cB=90°,AB+BC=8,tanA=彳■，点O、。分别是边AB、

AC上的动点，则OC+OD的最小值为（）

B

R26「9696

A24CD

5B-T-125-f

【思路引领】如图，作。关于AB的对称点C,连接，交人口于及过。作。。，AC于。，交

于。，则OC=00,此时OC+OD的值最小，就是C79的长，根据相似三角形对应边的比可得结论.

【解答】解：作。关于的对称点C,连接，交于E,过。作CD_LAC于。，交AB于。，则OC

=。0,此时OC+QD的值最小，就是。。的长;

,△ABC中,/ACB=90。,tanA=1，

...BC3

"tanA=AC=4

.BC_3

•.•AB+BC=8,

：.BC^3,AB=5,AC=4,

：S4ABe=:BC*AC=^AB-CE,

.•.3X4=5CE,

:・CE=S19

5

24

:・CC=2CE=3

5

•//C'EO=AODA=90°,ACfOE=AAOD,

・・.N4=NC,

・・・/CD。=乙4（汨=90°,

・・・△CD。〜△ACS,

24

,CrD_CCr即CfD_V

,・记一衍即3TF

■ST,

即OC+OD的最小值为是黑;

故选：。.

【总结提升】本题考查轴对称一最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知

识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题.

8.（2021春•龙岗区月考）如图，点P是AAOC的角平分线上一点，PD，04,垂足为点。，且P0=5,

点河是射线OC上一动点，则的最小值为5.

上

工

0MC

【思路引领】根据垂线段最短可知当PM，OC时，PA1最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答

案.

【解答】解:根据垂线段最短可知：当PM±OC时，最小，

当_FW_LOC时，

又1/0P平分AAOC,PD±OA,PD^3,

:.PM=PD=5,

故PM的最小值为5,

故答案为：5.

【总结提升】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解

题的关键.

9.（2024春•北京期中）如图，菱形ABCD的周长为24,AABD=30°,点P是对角线上一动点，Q是

的中点，则PC+PQ的最小值是（）

C.3V5D.6V3

【思路引领】点Q和点。是定点，点P在直线上一动点，是轴对称最值问题，连接CQ,由菱形的对

称性可知，点A和点。关于BD对称，连接匐，AQ即为所求.

【解答】解:如图，由菱形的对称轴可知，点力和点。关于BD对称，连接AQ,AQ即为所求.

连接A。，

•••=30°,四边形ABCD是菱形,

ZABC=60°,AB^BC,

.•.△AB。是等边三角形，

•.•点Q为BC的中点，•M

：.AQ±BC,

■：菱形ABOD的周长为24,

AB—BC—6,

在RtLABQ中，AABC=60°,

ZBAQ=30°,

BQ=-^-AB=；x6=3,

.,.AQ=V3BQ=3V3.

故选：B.

【总结提升】本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此

题的关键.

10.（2021春・金寨县期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点,ME上BC

于点E,北下上①于点尸，连接ER,则EF的最小值为（）

B.2V2C.V3D.V2

【思路引领】连接证出四边形MECF为矩形,由矩形的性质得出EF=MCMC±BD^,MC

取得最小值,此时△BCA1是等腰直角三角形，得出即可得出结果.

（解答］解：连接,如图所示：

•.•四边形ABCD是正方形，

/.ZC=90o,/DBC=45°,

；ME工BC于E,MF_LCD于F

：.再边形MECF为矩形,

：.EF=MC,

当MC，BD时，MC取得最小值,

此时△BCM是等腰直角三角形，

：.MC=~BC=V2,

.•.EF的最小值为四；

故选：。.

【总结提升】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及最小值问

题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键.

11.在锐角△4BC中，BC=4,ZABC=30°,BD平分乙4及7,点Af、N分别是RD、上的动点，连接

MN、GM,则CAf+AW的最小值是多少？

【思路引领】过点。作CE，于点E,交口。于点AT,过点M'作M'N'±BC,则CE即为CAf+

MN的最小值,再根据BC=4,乙4BC=30°,由锐角三角函数的定义即可求出CE的长.

【解答】解：过点。作CE_L于点E,交BO于点AT,过点M'作M'N'±BC,

•.•BD平分/ABC,

/.M'N'+CM'=EM'+CM'=CE,

则CE即为CM+AW的最小值，

1.•BC=4,ZAB。=30°,

CE=BC.sinSO0=4X-1-=2.

.•.CM+AW的最小值是2.

【总结提升】本题考查的是轴对称一最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三

角函数的定义求解是解答此题的关键.

12.如图，在4ABC中，AC=BC=6,SAABC=12,点。为AB中点，点M,N分别是CD和BC上的动点,

则BM+MN的最小值是.

【解答】解:如图所示:

•••49，/于点9，

4P是点A到直线I的最短距离.

13.如图，在菱形4BCD中，47=6,口。=8,对角线入。与8。交于点。,点后是48的中点，点“，代分

别在47,反7上,则£70+1亚的最小值为.

【答案】（1）2遍（2）73

14.如图，在矩形ABCD中，4B=4,BC=6,点E是对角线BD上一点，EF_LBC于点F,EG_LCD于

点G,连接FG,则EF+FG的最小值为.

【答案】噂

14.如图，已知二次函数5=—方/+1_劣+2的图象与立轴交于A,B（点A在点B的左侧）两点，与沙轴交

于点C,河为直线8。上一动点，N为立轴上一动点,连接⑷W,MN,求AM+MN的最小值.

A/0NB\x

【答案】M

15.如图,等边AABC中，=6,点P是BC边上一点,则AP的最小值是

BP解析提示：B

【解答】解:过A点作于H,如图,•M

•••△ABC为等边三府形，.•.S=3,

.•.A//=A/62-32=3V3,

当P点与〃点重合时，AP的值最小，AP的最小值是3/W.

16.如图,在锐角三角形ABC中，BC=4v*乙48c=45°,BD平分NABC,M、N分别是BD、上的

动点，则CAf+AW的最小值是

解析提示:

【解答】解：过点。作CE_LAB于点、E,交BD于点M'，过点AT作M'N'_LBC于AT,则CE即为CM+

MN的最小值，

•••BC=，ZABC=45°,BD平分2ABC,

八8无是等腰直角三角形，

/.CE=BC・cos45°=4V2x夸=4.

故CM+MN的最小值为4.

17.如图，△ABC中，ZACB=90°,AC=3,8C=4,AB=5,P为直线AB上一动点，连接PC,则线段

PC的最小值是O

【解答】解:在中，乙4cB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,

V当PC_LAB时，PC的值最小，

此时:△ABC的面积=-1~.4B.PC制.ACBC,

5PC=3x4,

/.PC=2.4,

18.如图，点A的坐标为(一1,0),点B(a,a),当线段AB最短时,点B的坐标为

y

【解答】解:过点A作AD_L03于点。，过点。作OE_Lc轴于点E,

•.•垂线段最短，

当点B与点D重合时线段AB最短.

•.•直线OB的解析式为夕=c,

A△AOD是等腰直角三角形，

：.OE=^-OA=1,

19.如图，菱形ABCD的边长为9，面积为18V3,P、E分别为线段BD、BC上的动点,则PE+PC的最小

值为

•.•四边形ABCD是菱形，.•.A,。关于BD对称,

/.PA=PC,：.PE+PC=AP+PE,

•：AP+PE>AHf：.PE+POAH,

,**S爰形ABCD~BC*AH,

.L=J^1=2岛

：.PE+PO2V3,

.♦.PE+PC的最小值为2心，故答案为：2遍.

20.如图，等边△4BC的边长为4,40是边上的中线，M•是4D上的动点，E是？1。边上点，若AE=

1,EM+CM的最小值为o

【解答】解:连接BE,与AD交于点、M.则BE就是EM+CM的最小值,

过B作BN_LA。于N,

△ABC是等边三角形，

：.AN=^-AC,

♦.•等边△ABC的边长为4,

/.AC=4,vAE=l,

:.NE=1,BN=4AB=2V3,

BE=^BN2+NE2=V(2V3)2+12=V13,

.•.EA1+CM的最小值为V13,

故答案为：J*.

21.如图，△ABC中，AB=AC=13,BC=10,4D是BC边上的中线且AD=12,尸是AD上的动点，E

是47边上的动点，则CF+EF的最小值为。

【解答】解:作E关于AD的对称点“，连接CM交AD于F,连接EF,过。作CN±AB于N,

-：AB=4。=13,5。=10,AD是5。边上的中线，

BD=DC=5,AD±BC,AD平分ABAC,

二”在AB上，

在Rt/\ABD中，AD=12,

SAABC=。xBCxAD=^-xABxCN,

.™rBCxAD10x12120

・・・E关于AD的对称点河，

・・.EF=FM,

:・CF+EF=CF+FM=CM,

根据垂线段最短得出：C/W>CN,

即CF+EF>号，

J-O

即CF+EF的最小值是等,

JLo

故答案为：粤.

13

A

BD-C

22.如图,正方形ABCD的边长是2,ADAC的平分线交。。于点瓦若点P、Q分别是4D和AE上的动

点，则DQ+PQ的最小值为__»

（解答］解:作。关于AE1的对称点。，再过D作D'P'_LAO于P,

•/DD'±AE,NAFD=AAFD',

•：AF^AF,ADAE=NCAE,

：./\DAF^/\D'AF,

。是D关于AE的对称点，AZ7=AD=2,

D'P'即为。Q+PQ的最小值，

1/四边形ABCD是正方形，

ADAD'=45°,

:.AP=PD,

：.在REAP'D'中，

P'D'-+AP'2=AD'2,AD'2=4,

•：AP'^P'D',

2Pz=AD'2，即2P'D'2=4,

：.P'D'DQ+PQ的最小值为V2.故答案为：V2.

23.如图，在A4BC中，ZB=90°,46=12,BC=5,D为边AC上一动点，DE_LAB于点E,DF±BC

于点尸，则即的最小值为（）

A.4.8B.署C.患D.13

J-OJ-O

【答案】B

【分析】

根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形EDFB是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=BD,则

EF的最小值即为BD的最小值，根据垂线段最短，知：BD的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高.

【详解】

解:如图，连接

AB2+BC?=3,即人。=7122+52=13.

又DE_LAB于点E,DF_LBC于点、F,

r.四边形EDFB是矩形，

：.EF=BD.

的最小值即为Rt^ABC斜边上的高，

AyAB-BC=yAC-BD,即BD="廿=党^=瞿，