2024-2025学年度九年级数学上册 解一元二次方程（公式法与因式分解法） 专项练习（含答案）

2024-2025学年度九年级数学上册解一元二次方程（公式法与因式分

解法）专项练习

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（2024•河北石家庄•二模）已知一元二次方程的两根分别为%=3,X2=-4,则这个方程不可能为

（）

A.2（x-3）（x+4）=0B.（x+4）（x-3）=0

C.(x-3)(3x+12)=0D.(x+3)(x-4)=0

2.（八年级下•广西梧州•期中）解关于x的方程——7冽x+12/=o得（)

A.国二—3m,x2=4mB.石=3m,x2=4m

C.西=-3m,x2=-4mD.x1=3m,x2=-4m

3.（九年级上-福建漳州•期中）用公式法解方程2f+5x-1=0,所得解正确的是（)

-5±V33—5+V33^

A.x=-------D.X=-------

42

5±V33n5±V33

C.x=------U.x=------

42

4.（九年级上•河南新乡•期中）下列一元二次方程最适合用因式分解来解的是（）

A.x2=4B.(x-2y=(2x+3)(x-2)

C.(x+4)(5-x)=5D.x2-4x+2=0

5.(八年级下•安徽阜阳•阶段练习)如图，在Y/BCD中，NEL3C于点£,BE=a,AE=CE=2a,

且a是一元二次方程x2+3x-4=0的根，则Y/3CD的周长为（）

A.6+2指B.8+V5C.10D.4+46

6.（九年级上•河南开封•期末）若关于x的一元二次方程的根为片-2±j22-4xlx（-4）,则这个方程

2x1

是（）

A.X2+2X+4=0B./一2X+4=0C.x2+2x-4=0D.x2-2x-4=0

7.（八年级下•四川内江•期中）若分式方程—；+1=y有增根，贝Ua的值是（）

x-2x-2

A.1B.3C.-1D.-2

8.（2024•浙江杭州•一模）在实数范围内定义一种新运算“X”，其运算规则为。※6=3（a+b）-5M.根

据这个规则，方程工派卜+1）=-1的解是（）

44、4、

A.x=—B.x=1C.x=--^x=1D.%=/或x=l

9.（22-23九年级上•广东梅州•阶段练习）已知工二。是一元二次方程％2—x_i=o较大的根，则下面对。

的估计正确的是

A.0<a<lB.1<«<1,5C.1.5<6/<2D.2<Q<3

10.（九年级上•安徽安庆•期末）如图，已知点/（6,0）,点B在V轴正半轴上，将线段48绕点A顺时针

旋转60。到线段NC,若点C的坐标为（10,小），则〃7的值为（）

D.1

、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.方程方=3x的解是

12.（2024•江西九江•二模）若关于x的一元二次方程一-3cx-c+l=0的一个根为%=-1,则另一个根

为工2=.

13.（八年级上•上海青浦•期中）在实数范围内因式分解：-2X2-2X+1=.

14.（八年级下•陕西榆林•阶段练习）己知仍=5,26=3,求代数式/-2帅=.

15.（八年级下•山东泰安•期中）已知三角形的两边长分别是5和8,第三边的长是一元二次方程

（x-3）（X-10）=0的一个实数根，则该三角形的周长是.

16.（22-23九年级上•湖北武汉•阶段练习）如图，点C在线段N8上，2在线段/C上，且

AD=CD,AB=2,若则/D的长为.

ADB

17.（八年级下•浙江杭州•期中）已知x为实数，若（/+3xy+2（/+3x）-3=0,贝UX2+3X=.

18.（八年级下•湖北黄石•期中）如图，已知矩形NBCD,AB=9,AD=4,£为CD边上一点，CE=6,

点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着R4边向终点A运动，连接尸£,设点P运动的时间为/秒，则

当/的值为时，△尸/E是以PE为腰的等腰三角形.

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

19.（8分）（八年级下•福建福州•阶段练习）解下列方程:

(1)x2=3x-1：⑵x2-4x+3=0.

20.（8分）（2024八年级下•江苏无锡•专题练习）

x6

（1）解方程：4（3x+9）=2x（3x+9）.（2）解分式方程:---------1=----7

x—2x—4

21.（10分）（2023•江苏宿迁•模拟预测）先化简，再求代数式的值：+-其中a

\a-2a4-a

满足方程/+4a+l=0

22.（10分）（九年级下•山东烟台•期中）用指定的方法解方程：

（1）X2-4X-1=0（用配方法）（2）3/一1卜=一9（用公式法）

⑶5（》-3『=犬一9（用因式分解法）（4）2/+”=>+2（用适当的方法）

23.（10分）（2024•安徽六安•三模）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.其规律是：从第3行起,

每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和.图中两平行线之间的一列数：1,3,

6,10,15,

我们把第1个数记为生,第2个数记为出,第3个数记为。3，……，第〃个数记为

1

11

16

（1）根据这列数的规律，%=_，«„=

（2）这列数中有66这个数吗？如果有，求〃；如果没有，请说明理由.

24.（12分）（八年级下•上海奉贤•期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x-3与x轴和y轴分

别交于点5、C,与直线＞=》相交于点4

（1）求点A的坐标；

（2）已知点尸在线段。4上.

①若点/是。/的中点，求线段8尸的长度；

②点。在直线/C上，点〃在x轴上，当四边形。尸血）是正方形时，求点尸的坐标.

参考答案:

1.D

【分析】本题考查了一元二次方程的根，分别求出各选项中方程的根，然后再根据一元二次方程的根的定

义进行判断即可得到答案.

【详解】解：A、2(x-3)(x+4)=0,解得：西=3,x2=-4,符合题意；

B、(x+4)(x-3)=0,解得:%=3,X2=-4,不符合题意；

C、(x-3)(3x+12)=0,解得：西=3,X2=-4,不符合题意；

D、(x+3)(x-4)=0,解得：x,=-3,x2=4,不符合题意；

故选：D.

2.B

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法求解即可.

直接运用因式分解法解一元二次方程即可.

【详解】解：X2-7mx+12m2=0>

(无一—4加)=0,

x-3机=0或x-4m=0,

/=3m,x2=4m,

故选B.

3.A

【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握公式法；因此此题可根据公式法求解

方程.

【详解】解：2X2+5X-1=0

a=2,b=5,c=—1,

・•・△=/-4。。=25+8=33>0,

.—b±J/-4QC-5±V33

・・x=------------------=-------------;

2a4

故选A.

4.B

【分析】本题主要考查解一元二次方程根据解一元二次方程的方法直接开平方法、因式分解法、公式法、

配方法，结合方程的特点选择合适的方法，进行判断即可.

【详解】解：A./=4适合用直接开平方法，符合题意；

B.(x-2)2=(2x+3)(x-2),适合用因式分解法，符合题意；

C.(x+4)(5-x)=5适合用公式法，符合题意；

D.V-4x+2=0适合用配方法法，符合题意；

故选：B.

5.A

【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，以及用因式分解法解一元二次方程，是基础知识要熟

练掌握.先解方程求得。，再根据勾股定理求得N3,从而计算出Y/BCD的周长即可.

【详解】解：入是一元二次方程d+3x-4=0的根，

+3a—4=0,

即(a—l)(a+4)=0,

解得，a=l或a=T(不合题意，舍去).

BE=1,AE=CE=2,

在RtZk/BE中，AB=ylAE2+BE2=V12+22=45>

BC=EB+EC=3,

:.nABCD的周长=2(45+BC)=2(指+3)=6+2店.

故选：A.

6.C

【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键在于熟知关于%一元二次方程

办2+法+C=0(a20)若有解，则其解为X=.

2a

【详解】解：由题意得：。=1,6=2,c=—4f

*,•该方程为一+21-4=0,

故选：C.

7.B

【分析】本题考查的是分式方程的增根，在分式方程变形的过程中，产生的不适合原方程的根叫做分式方

程的增根.分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出工的值，代入整式方程计算即可求出。

的值.

【详解】解：去分母得：l+x-2=a-x,

分式方程工+1=y有增根，

x-2x-2

x—2=0,

..x=2,

才巴x=2彳弋入,1+x-2=Q-xf

得1+2-2=。-2,

..—3,

经检验：4=3时分式方程有增根，符合题意.

故选B.

8.C

【分析】根据新定义，列出常规式的方程，解答即可.

本题考查了新定义的应用、解一元二次方程，正确理解定义，建立方程是解题的关键.

［详解］,/a^.b=3(^a+b^-5ab,xX(x+l)=—l,

3(x+x+l)—5x(x+1)=—1,

整理，得5%2_%一4=0,

4、

解得％=或x=l,

故选C.

9.C

【分析】先用公式法求出两个解，再观察可知，较大解中包含石，最后利用有的范围，求出解的范围.

【详解】解：,・•一元二次方程/一％_1=0的解为：

-b±y/b2-4ac-(-1)±A/5

x=---------=-------,

2a2

较大的根为：a=t避,

2

,/2<V5<3,

A3<1+V5<4,

1,5<a<2，

故选：C.

【点睛】本题考查一元二次方程的解法和无理数取值范围，正确代入公式计算是关键.

10.A

【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，旋转的性质，一元二次方程的解法,

先证明48=/C=3C,设8（0,了），再建立方程组解题即可.

【详解】解：如图，连接BC,

“BC为等边三角形,

：.AB=AC=BC,

设8(0)),

.j62+y2=（6-10）2+m2@

"u+w7y=62+/②，

由①得：yuy/m2-2。③，

把③代入②得：3--208/一64x64=0,

（3m2-256）（m2+16）=0,

3加2-256=0，

解得：加=电必，（经检验负根舍去）；

3

故选A

11.再=0,%=3

【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的关键.

把方程化为/_3%=0,再利用因式分解的方法解方程即可.

【详解】解：♦.*=3x,

/.%2-3x=0，

/.x（x-3）=0,

・•・x=0或％—3=0,

解得：=3,X2=0.

故答案为：%=0,%=3.

12.-2

【分析】此题考查的是一元二次方程的解，一元二次方程的解法，利用方程的解的含义先求解c=T,再

解方程即可.

【详解】解：••・关于x的一元二次方程/-3%-0+1=0的一个根为占=-1,

.,.(-1)2-3CX(-1)-C+1=0,

解得：c=-l,

...原方程为Y+3X+2=0,

(x+l)(x+2)=0,

解得：无］=-1,x2=-l-

故答案为：-2

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先利用求根公式求出方程的根，然后根据题目中所说的方法进

行分解因式即可，解题关键是熟练掌握求方程的根再分解因式的方法.

【详解】解：令-2/-2x+l=0,

1+V31-73

解得：X]-----，--------

222

,2_1.(i+VsY1-V3

—2.x—2.x+1——2xH---------xH-------------

\2八2

故答案为：-2x+]+『x+1'

14.一6或15

【分析】本题考查了解一元二次方程，求代数式的值；由已知消去字母a,得到关于b的一元二次方程,

解之求得6的值，即可求得a的值，从而求得结果.

【详解】解：由。-26=3得：a=2b+3,代入。6=5中，整理得2〃+36-5=0,

解得：b=,b=1,

2

对应地：a=—2,〃=5；

当a=_2,6=_|■时，a2-2a/?=4-2x(-2)x^-|j=-6；

当a=5,b=l时，a2-2ab=25-2x5xl=l5;

综上，代数式的值为-6或15；

故答案为：-6或15.

15.23

【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法和三角形的三边关系，解方程求出方程的解得到x的值,

利用三角形的三边关系判断即可得到结果.

【详解】解:(x-3)(x-10)=0,

x-3=0或x-10=0,

解得：须=3户2=10,

当玉=3时，•/3+5=8,

..•不能构成三角形，

；.芯=3不合题意，舍去，

当％=1。时，•；5+8>10,

...能构成三角形，

此时该三角形的周长是5+8+10=23,

故答案为：23.

]“V5—1

lb.--------

2

【分析】根据/8=2,有BC=AB-AC=2-AC,再根据/C?=台0/台，可得/C?=(2-NC)x2,即

AC2+2AC-4=0,解方程即可求解ZC,问题随之得解.

【详解】解：；/2=2,

BC=AB-AC=2-AC,

'：AC2=BC-AB,

；.AC2=(2-^C)x2,AC2+2AC-4=Q,

解得：AC=V5-1(负值舍去)，

AD=CD,

・•・AD=CD=-AC=,

22

故答案为：避匚.

2

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意得到关于/C的一元二次方程是解答本题的关键.

17.1

【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，设＞=/+3为，则原方程转化为关

于y的一元二次方程/+2了-3=0,然后利用因式分解法解该方程求得y的值即可.

【详解】解：设＞=/+3彳，则y2+2y-3=0,

整理，得U+3)(y-l)=0.

所以y+3=0或＞-1=0.

解得尸-3或尸1.

当尸-3时，x2+3x=-3,此时该方程无解，故舍去.

综上所述，x2+3x=1.

故答案为：1.

18.3或二29

6

【分析】根据矩形的性质得出CD=4B=8,3C=4D=4,求出4P=8T,。£=3,由勾股定理求出/£=5,

PE2=EF2+PF2=42+(6-^,分为两种情况：①当4£=尸£时，②当时，求出即可.

【详解】解：根据题意得：BP=t,

:四边形/BCD是矩形，AB=9,AD=4,

：.CD=AB=9,BC=AD=4,

：.AP=9-t,DE=DC-CE=9-6=3,

由勾股定理得：AE=^32+42=5,

过E作所_L4B于尸，

则/EFA=/EFB=90°,

:NC=/B=90°,

四边形BCEF是矩形,

；.BF=CE=6,BC=EF=4,

PF=6—t,

由勾股定理得：PE2=EF2+PF2=42+（6-t）2,

①当=时，52=42+（6-?）2,

解得：t=3,t=9,

•.F=9不符合题意，舍去；

②当=时，（9-?）2=42+（6-Z）2,

29

解得：t=-ff

6

即当/的值为3或乡29时，△尸4E是以尸E为腰的等腰三角形，

6

故答案为：3或名2Q.

6

【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，能求出符合的所有情况

是解此题的关键.

19.⑴匹=主咨，/=士『

（2）X]=3,%2=1

【分析】本题主要考查解一元二次方程.

(1)利用公式法解一元二次方程即可.

(2)利用因式分解法解一元二次方程即可.

【详解】⑴解:X2=3X-1

整理得：x2-3x+l=0

A=Z>2-4ac=9-4xlxl=5,

—b±yjb2-4ac3±y/5

x=------------=------，

2a2

.3+\/53—5/5

.・X]二--,x2=---

2

(2)X-4X+3=0

(x-3)(x-l)=0,

x—3=0或x—l=O,

解得：毛=3,x2=1.

20.(1)%,=2,x2=-3；(2)x=l

【分析】本题主要考查解一元二次方程，分式方程，熟练掌握一元二次方程和分式方程的解法是解题的关

键，

(1)利用因式分解法解一元二次方程即可；

(2)先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得.

【详解】解：(1)4(3x+9)=2x(3x+9)

4(3x+9)-2x(3x+9)=0

(4-2x)(3x+9)=0

4-2x=0或3x+9=0,

解得：xt=2,x2--3.

去分母得，+2)—(x+2乂x—2)=6

解得x=l

检验：将x=1代入(x+2)(x—2)w0

...原方程的解为x=l.

21.:If,。=-2+百时，原式=71+216；°=-2-百时，原式=71-216

-4)507507

【分析】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程，先根据分式的混合运算法则，进行化简，再求出方

程的解，将方程的解代入求解即可

【详解】解：原式=

CL—2。CL—4

u+4。+4—au.

-2)(Q+2)Q?-4

q+3。+4

:/+4〃+i=o,

••a?=-4。—1,a=-2+y/3a=—2--\/3,

(一4。-1)+3〃+4—ci+3—a+3—ci+3

••原式—(—4q—l—4)2-16/+404+25-16(3-1)+404+25

—24。+9

当+百时，原式=二平+/：=小

-24卜2+6)+9507

_(-2一班)+371-216

当“=-2-8时’原式二24卜2一4"^^

22.(1)石=-\/-5+2,/=—V5+2

z9x_11+V1311-V13

66

9

(3)玉=3,x?~~

⑷=p%=-2

【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答.

(2)先化为一般式，再根据An〃-dac算出，以及代入x=”土网进行化简,即可作答.

2a

(3)先移项，再提取公因式，令每个因式为0,进行解出x的值，即可作答.

(4)先移项，再提取公因式，令每个因式为0,进行解出x的值，即可作答.

【详解】(1)解：X2-4X-1=0

移项，得一一4%=1

配方，得％2_4x+4=l+4,即(％-2『=5

•**x—2=±^5

解得玉=V5+2,x2=—y/5+2；

(2)解：3X2-UX=-9

3X2-11X+9=0

A=Z>2-4^=121-4x3x9=121-108=13

.11±V13

••x=-------

6

解得寸31

66

(3)解：5(x-3)2=X2-9

5(X-3)2-(X2-9)=0

5(X-3)2-(X-3)(X+3)=0

(x-3)[5(x-3)-(x+3)]=(x-3)(4x-18)=0

贝Ux-3=0,4