北京市某中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

北京市第一六六中学2024-2025学年度第一学期开学诊断

初三年级数学学科

（考试时长：120分钟）

考查目标

知识：第二十一章《一元二次方程》、第二十二章《二次函数》

能力：识图、运算、数据分析、几何直观、逻辑推理、数形结合、分类讨论

第一部分选择题

一、选择题（共16分，每小题2分）

第1〜8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.一元二次方程式+5%-1=0的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（）

A.1,5,1B.0,5,-1C.1,5,-1D.0,5,1

2.抛物线y=3（x—2尸+1的顶点坐标为（）

A.（2,1）B.（2,-1）C.（-2,1）D.（-2,-1）

3.用配方法解方程式-4x+2=0,变形后的结果正确的是（）

A.（x-2）2=6B.（x+2）2=6C.（x-2）2=2D.（x+2）2=2

4.对于二次函数y=-5（x+iy,下列说法错误的是（）

A.它的图象的开口向下B.它的图象的对称轴是直线1=1

C.当％=-1时，y取最大值D.当%>1时，y随x的增大而减小

5.若关于x的一元二次方程必一4%+。=0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）

A.-16B.-4C.4D.16

2

6.若A（-2,yi）,B（l,y2）,C（2,y3）是抛物线y=2（x-l）+a上的三点，则乂，%,%为的大小关系为（）

A.%>%>%B.%>%>为C.%>%>%D.%>%>%

7.有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”

一定数量的其他人,邀请他们也参与活动.小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”

其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共

有91人被邀请参与该活动.设参与该活动后规定“@”无人，则可列出的方程为（）

A.X2=91B.1+炉=91C.l+x+x（l+x）=91D.1+x+x2=91

8.已知二次函数y=以2+法+。（。*0）的图象如图所示，有下列结论：

@abc>0;®9a+3b+c<0；©b2-4-ac>0；④8a+c>0.

其中正确结论的个数是（)

A.0B.1C.2D.3

第二部分非选择题

二、填空题（共16分，每小题2分）

9.抛物线y=2f—3x+6的对称轴是.

10.方程2必-32=0的根是

11.若关于x的一元二次方程3必—5x+机=0的一个根是1,则该方程的两个根的积是.

12.将抛物线y=-2（%+3）2-1向上平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式

是.

13.二次函数y=。必+bx+c的彳与y的部分对应值如下表:

X-101234

ym212510

则m的值为.

14.已知二次函数y+2的图象的对称轴在y轴的左侧，且与无轴没有交点，请写出一个满足条件的

6的值：.

15.二次函数丁=。/+"+。的图象如图所示，则关于X的不等式or?+bx+c<0的解集是.

16.在平面直角坐标系中，点尸的坐标为（加,〃），称关于x的方程£+/m:+〃=0为点尸的对应方程.如

图，点4(—1,0)，点6(1,1),点0(—2,2).

给出下面三个结论：

①点A的对应方程有两个相等的实数根；

②在图示网格中，若点(m,〃均为整数)的对应方程有两个相等的实数根，则满足条件的点P有3

个；

③线段BC上任意点的对应方程都没有实数根.

上述结论中，所有正确结论的序号是.

三、解答题(共68分，第17-21题，每题5分，第22-23题，每题6分，第24题5分，第25-26

题，每题6分，第27~28题，每题7分)

解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程.

17.解方程：x2—8x—9—0.

18.已知a是方程2f一5x—3=0的一个根，求代数式a(2a—5)+3的值.

19.在平面直角坐标系中，抛物线丁=/+云+0经过点4(0,3),3(1,0)两点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)画出该函数的图象；

(3)当—1<XW3时，直接写出y的取值范围.

20.已知关于尤的一元二次方程f—(〃2+5)X+6+27"=0

(1)求证：此方程总有两个实数根；

(2)若此方程恰有一个根小于1,求机的取值范围.

21.某科技园作为国家级高新技术产业开发区，是重要的产业功能区和高技术创新基地、其总收入由技术收入、

产品销售收入、商品销售收入和其他收入四部分构成.2024年6月份该科技园的总收入为600亿元，8月份达

到了864亿元，求该科技园总收人的月平均增长率.

22.在平面直角坐标系中，已知抛物线C经过原点和点(-2,0).

(1)若抛物线C还经过点(1,2),求此时抛物线C的解析式，并直接写出该抛物线的顶点坐标;

(2)已知点P(—1,1),Q(2,l),若抛物线C与线段PQ恰有一个公共点，请直接写出a的取值范围.

23.如图，为了改善小区环境,某小区决定在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形小花园ABCD,

小花园一边靠墙，另三边用总长40nl的栅栏围住，如图所示.若设矩形小花园A3边的长为xm,面积为Sn?

(1)S与x之间是_____函数关系(填“一次”或“二次”)；

(2)直接写出S与x之间的函数关系式；

(3)当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？

24.在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点(3,0),且当x=l时，函数的最小值为T.

(1)求该二次函数的解析式;

(2)直线x=m与该二次函数的图象和直线y=2x-3的交点分别为C,D.若点C位于点。的上方，结合

函数的图象，直接写出力的取值范围.

25.某公园内人工湖上有一座拱桥(横截面如图所示)，跨度A3为4米.在距点A水平距离为d米的地点,

拱桥距离水面的高度为〃米.小红根据学习函数的经验，对d和场之间的关系进行了探究.

下面是小红的探究过程，请补充完整：

(1)经过测量，得出了1和/i的几组对应值，如下表:

力米00.611.82.433.64

加米0.881.902.382.862.802.381.600.88

在d利/i这两个变量中，是自变量，是这个变量的函数;

(2)在下面的平面直角坐标系中，画出(1)中所确定的函数的图象;

(3)结合表格数据和函数图象，解决问题：

①桥墩露出水面的高度AE为米；

②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船.为安全起见，公园要在

水面上的C,。两处设置警戒线，并且CE=DF,要求游船能从C,。两点之间安全通过，则C处距桥墩的

距离CE至少为米.(精确到0.1米)

26.在平面直角坐标系龙0伊中，M(2，M，N(4,°^^l^^y=<2x2+Zzx(a>0)上.

(1)m=n,求该抛物线的对称轴;

(2)已知点P(—l,p)在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为％=/.若加<0,且加<?<〃，求f的取值

范围.

27.如图，在正方形A3C。中，E是边BC上一动点(不与点2,C重合)，连接。E,点C关于直线的

对称点为C',连接AC并延长交直线OE于点P，产是AC中点，连接DE.

(1)NFDP=；

(2)连接BP,用等式表示尸三条线段之间的数量关系，并证明；

(3)若正方形的边长为夜，请直接写出△ACC面积的最大值.

28.在平面直角坐标系xQy中，已知点A(a,5).对于点尸(x,y)给出如下定义：当xWa时，若实数%满足

|y-加=左|x-a|,则称左为点P关于点A的距离系数.若图形M上所有点关于点A的距离系数存在最小值，

则称此最小值为图形M关于点A的距离系数.

备用图1