2025年高考数学一轮复习 阶段滚动检测（五）

阶段滚动检测（五）

120分钟150分

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（2024・武汉模拟）过点（1,0）且与直线x+2/2=0垂直的直线方程为（）

A.x-2y-l=0B.x-2y+l=0

C.2x-y-2^0D.2x+y-l=0

【解析】选C.由直线x+2产2=0可得其斜率为［则与其垂直的直线斜率为2,

故过点（1,0）且与直线x+2y-2=0垂直的直线方程为7=201）,即:2%-3-2=0.

2.（2024•湛江模拟）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载:“取大镜高悬，置水盆于

下，则见四邻矣.”这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统

文化中的数学智慧.在平面直角坐标系无。伊中,一条光线从点（-2,0）射出，经y轴反

射后的光线所在的直线与圆炉+产2%-2尸0相切,则反射光线所在直线的斜率

为（）

A,-1B.-1或1

C.lD.2

【解析】选C.易知(-2,0)关于V轴的对称点为(2,0),

由平面镜反射原理，反射光线所在的直线过(2,0)且与该圆相切，

将圆x2+y2-2x-2y=0化简后可得(+1)2+01)2=2,所以圆心为(1,1),

易知(2,0)在该圆上，所以(2,0)即为切点

n1

因此圆心与切点连线与反射光线垂直，设反射光线所在直线的斜率为左，即1彳

L.—V

X仁-1,解得仁1.

2222

3.(2024•盐城模拟)已知圆(9i：x+y-2x-3=0和圆O2:x+y-2y-l=0相交于4夕两点,

则弦松的长为()

A.2"B.2^5C.4D.2

【解析】选A.由题意知圆。1:x2+y2-2x-3=0,

即圆Q:①1)2+产4,圆心为Oi园0)泮径。=2,

22

圆。2：%2+产2产1=0,即圆O2:X+0-1)=2,

圆心为。2(。」),半径厂2=、/2

则为-厂2＜。1。2|=71^7=々＜片+厂2,即两圆相交，

将圆0:炉+产一2%-3=0和圆。2：炉+俨-2产1=0的方程相减，

可得直线48的方程为x-y+l^Q,

则Q(l,0)到直线％-尹1=0的距离为多、倒，

故弦"的长为画=2".

22

4.过双曲线。鼻—=1（心0力＞0）的右顶点力作一条渐近线的平行线，交另一条渐近

ab

线于点PAOAP的面积为=（O为坐标原点），离心率为2,则点A到渐近线的距离

为（）

*BgC.|D.1

【解析】选A.双曲线的右顶点为4（4,0）,双曲线的渐近线方程为严小，由对称性,

不妨令过A的直线与y^x平行，则该直线方程为y^x-a）,

b

y=a（x-a）

出,b，

,y二中

a

解得x=）

1y=-5

即尸总，

贝USxcu尸

又6=|=2,。2+/=。2,解彳导a=l,b=F，

所以点41,0倒渐近线产土班的距离为・

222

.，X/1+（73）

圆02)2+8-3)2=1交于A,B两点，则即1=()

A.|B.fD.等

22,2,2,

【解析】选D.由由导守扛1/5,解得%2,

aaaa

所以双曲线的一条渐近线不妨取尸2%,

则圆心(2,3)到渐近线的距离小公驾，所以弦长四|=2O=^.

A/2+1y

6.已知直线Zi：4x-3y+6=0和直线12：x=2抛物线y=4%上一动点P到直线h和12

距离之和的最小值是()

A.*lB.2C.yD.3

【解析】选D.由题可知x=-l是抛物线产=4%的准线，设抛物线的焦点为E则

尸(1,0),

所以动点P到h的距离等于P到尸-1的距离加1,即动点P到h的距离等于

|尸巧+1.

所以动点P到直线h和直线12的距离之和的最小值为焦点F到直线h-Ax-

3尹6=0的距离加1,

即其最小值是也岁+1=3.

7.（2024•重庆模拟）椭圆。:1+勺1（4>6>0）的左右焦点为点P为椭圆上不在

ab

坐标轴上的一点，点MN满足MP,2ON=OP+若四边形MONP的周长

等于4b,则椭圆C的离心率e=（）

A.|B.fC.f

【解析】选C,因为逆所以点M为线段用的中点

因为2ON=OP+赤2,所以ON-OP=OF2-ON,

即PN=亚2,所以点N为线段PF2的中点，

又因为点o为线段FR的中点，

_11

所以（W〃0B且。M弓PBIQN〃勿1且|冲弓。碎，

所以四边形MONP的周长为FPI+FBI，

又因为点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，所以|Pp|+|PB|=2a,

h1

所以2a=46,即在，

故椭圆c的离心率位

8.(2024•贵阳模拟)我们通常称离心率为亍的椭圆为“黄金椭圆”，称离心率为

手的双曲线为“黄金双曲线”，则下列说法正确的是()

A.正A43C中刀不分别是ABAC的中点，则以B,C为焦点，且过D,E的椭圆是“黄

金椭圆”

B.已知ABCDEF为正六边形，则以4。为焦点，且过B,C,E,F的双曲线是“黄金双

曲线”

C.“黄金椭圆”上存在一点，该点与两焦点的连线互相垂直

D.“黄金双曲线”的实半轴长，一个焦点到一条渐近线的距离,半焦距能构成等比数

列

【解析】选D.对于A,以BC的中点为原点，建立直角坐标系如图所示，设A45C

22

的边长为2,以B,C为焦点，且过D,E的椭圆方程设为J+『l(Ab>0),所以8尸

ab

小,椭圆的离心率为萨匹胃阿一木：「4-1，故A错误；

对于B,以AD的中点为原点，建立直角坐标系如图所示，设正六边形ABCDEF的

22

边长为2,|40|=4,|切=2也以/Q为焦点，且过民。石尸的双曲线方程设为==

ab

=1(心。6。),离心率为|蒲如上3+1,故B错误；

22

对于C,设黄金椭圆”的方程为十:1(46>0)椭圆上的点RxoM，焦点*(-c,0),

ab

B(c,O),由可得第=按(1-一),PJ=(-c-%o,-yo),PF2=(C-x0,-y0),

aba

又因为“黄金椭圆”的离心率

2

所以针=(与与母"《2'‘心无「诟2=Gc-Xo)(c-Xo)+yj=%：+yjc2=b2(l_j)+%%

22r-

C%3-A/5L

c2=~y0+q2-2c2^^—%7：+(在-2)q2>0,

a/u

所以“黄金椭圆”上不存在一点，与两焦点的连线互相垂直.故C错误.

22

对于D设，黄金双曲线”的方程为\-勺1（心0力＞0）,实半轴长为凡一个焦点到一条

ab

渐近线的距离为A半焦距为C,因为离心率，暂步2一四=°2_42_丝=（与1）24,2_

与&2:0,

所以b2^ac,a,b,c成等比数列.故D正确.

【加练备选】

（2024•武汉模拟）已知a,b£R,ab＜0,函数加（:尸奴+3eR）.若｛s-/）＜s）5y（s+。依次

成等比数列,则平面。砂上的点（sJ）的轨迹是（）

A.直线和焦点在x轴的椭圆

B.直线和焦点在y轴的椭圆

C.直线和焦点在X轴的双曲线

D.直线和焦点在歹轴的双曲线

【解析】选D.由题意可知加1加s+/尸小)]2,

即[a(s-/)2+b][q(s+/)2+b]=(qs2+6)2,

又寸其整理变形：(。$2+。/2+6-2as/)(as2+a/2+b+2qs0=(as2+b)2,

(as2+at2+b)2-(2ast)2-(as2+b)2=Q,

(2a52+a/2+2Z?)aZ2-4a252/2=0,

区2(-24卢+4产+2与=0,

因为ab<0,所以片0或-2as2+q产+26=0,

22

即D或

a-a

所以点(SJ)的轨迹为直线和焦点在〉轴的双曲线

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知直线Z]：4x+3y-2=0,Z2:(m+2)x+(m-l)y-5m-l=0(m£即则()

A.直线4过定点(2,3)

B.当加=10时〃Z2

C当m=-l时

D.当/1〃/2时,两直线//2之间的距离为3

【解析】选ABD.，2：(加+2)x+(加-1»-5加-1=0(加GR)变形为m(x+y-5)+2.x-y-1=0,

由SU2二2则乜；担此直线h过定点(2,3),故A正确；

当加=10时,/i：4x+3y-2=012：12x+9y-51=0,

所以_L乙故v两-DJ.直线平行，故B正确；

当m=-\时Ji：4x+3y-2=0,/2：%-2y+4=0,

因为4xl+3x(-2)M,故两直线不垂直，故C错误；

当。〃^时厕满足勺上彳^上了廨得加二电此时h：4x+3y-2=0,/2:12x+9y-

51=0,即4x+3吐17=0,则两直线间的距离为上乎3,故D正确.

10.(2024•西安模拟)已知圆。:好+俨=4直线/:加%+町+3=0,则下列说法正确的

是()

A.当n=#m用时直线I的倾斜角为需

B.当加="=1时直线I与圆O相交

C.圆。与圆E:(x-2)2+O-3)2=l相离

D.当m^Q,n=-l时,过直线I上任意一点P作圆O的切线，则切线长的最小值为3

【解析】选AC.对于A:当n=y/3m^Q时直线I为mx+平my+3=0,

所以直线的斜率为-十-胃，

设倾斜角为%则tana=$

STT

因为ae(0,兀］，所以打=不故A正确；

对于B:当m=n=T时直线I为x+y+3=0,

由炉+产=4,可得:圆心0(0,0),半径尸2,

所以圆心到直线I的距离

所以圆与直线相离，故B错误；

对于C:因为圆E:(x-2)2+(y-3)2=l,

所以圆心夙2,3),半径灭=1,

因为。月="!?=/乔什穴=3,

所以两圆相离，故C正确；

对于D:当加=0,片-1时，直线I为产3,过直线I上任意一点P作圆O的切线，设切

点为Q,

则切线长|尸。|=J|PO/一厂2=加0._4

所以当|夕。|取得最小值时,|尸。|最小,

因为点P在直线Z:y=3上，

所以当时，。目最小，此时|ORmin=3,

所以|PQ|min=j3%=祁，故D错误.

11.（2024•海南模拟）已知椭圆C:*=l（a>b>0）的左、右焦点分别为孔尸2,上顶

ab

点为离心率为4,M,N为C上关于原点对称的两点（与C的顶点不重合）,

则（）

22

AC的方程为？+，1

c145

B.-----+---->彳

叫|叫「2

C.AMNF2的面积随周长变大而变大

1

D.直线5M和BN的斜率乘积为定值万

【解析】选AD.由题易知人也，沁,2+。2=胆解得折2,故椭圆方程为尹今

=1,故A正确；

连接〃FI,SNFI,NF2,由椭圆对称性知MFiNF2为平行四边

形l+INFi|=|MFi|+|许|=24=4,

MF4

14141141\2\IMFII

-----H-----=-----H------r-----+----}(\MF|+|A/F|)=-(1+4+-----H-------)

4V|MF||MF|AI]11122177

\MF^\NF1\\MF1\\MF2\124、\MF±\\MF2\

51/|MF2|4|MFJ9

>—+—x2--------

一44J|M七||M&|乎

当且仅当m8lW，|4"2|=|时等号成立，故B错误；

对选项c：由选项B可知:|诏|+|淅2|=M^+R^=4,

设Mx3),则。加旧+.4(1-y)+y：=j4-y1,AMNF2的面积为2sA0MF

=2*2*必用=4皿，

由对称性,不妨设M在第一象限，故随乃的增大而减小,△"△叫的面积随为

的增大而增大，

即△跖阳的面积随周长变大而变小,c错误；

对选项D:设则N(-X1,-%),

又5(0,")，所以kBM-kBN^----------

X1-X1%]

22

因为点在椭圆上，结合选项C,%；=4-2yj,所以kBM左3后一丁=-2,故D正确

,xi

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.(2024・长沙模拟)已知圆4N+63)2=1,过动点P作圆A的切线PB(B为切点),

使得『引=、回,则动点P的轨迹方程为.

答案：炉+&-3)2=4

【解析】设尸(可),由|尸引=收得田砰=3,则N+峰一3)2一1=3,即N+(y-3)2=4.

13.(2024・茂名模拟)已知抛物线。:俨=8%的焦点为凡直线/i12均过点少分别交抛

物线C于A,BQ,E四点,若直线16斜率乘积的绝对值为8,则当直线/2的斜率为

时/4+1。弱的值最小，最小值为.

答案:±2退18

【解析】由题意，抛物线Cy=8x的焦点坐标为网2,0）,

设直线11的方程为严左G-2）,

联立方程1=2"]一2），

y=8%,

整理得磔2_（%+8.+4%=0,

设4（%必）乃（%2/2）,。（%3必）及%4沙4）,

2

+88

所以|/引=%1+、2¥=—―+4^+8,

2

.____4k?+8Q

设直线，2的斜率为左2,同理可得区因=修+%4+〃=——+4=-+8,

k2k2

oooo

可得|48|+|DJE,|=^+8+—+8=^+—+16,

k[k；k[

又由依•初=8得依引+|QE|=16+4+NN16+8X2X®*16+8X2X918,

KK

匕k2\I2\0

当且仅当的|=|月=2"时，等号成立,

所以叫+|。月的最小值为18,此时隹1=2也后=±2也

14.（2024福州模拟）光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另

一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从

另一个焦点射出，如图1,一个光学装置由有公共焦点为、B的椭圆「与双曲线

。构成/与。的离心率之比为3:4,现一光线从左焦点3发出,依次经Q与「

反射，又回到了点为，历时6秒;若将装置中的。去掉，如图2,此光线从点孔发出,

经r两次反射后又回到了点儿历时/2秒厕户_______.

rl

答案：8

【解析】由椭圆定义得5尸1|+区尸2|=24①,”2中碎=2。2②,①-②

得招尸1|+|4"|+|麻讣⑷^尸/尸1|+|/尸1|+|氏4|=2竹2a2,

即的周长为2a「2a2,

由椭圆定义知△CDp的周长为4句,

因为光线的速度相同，且双曲线与椭圆共焦点,

4al222

所^T=2a2a—

乙cX]一乙c^221]

1-1-4

aie2

【方法规律】本题解答的关键是注意到光线的速度相同，且双曲线与椭圆共焦

点,利用椭圆和双曲线的定义求解两个三角形的周长由此即可顺利得解.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.（13分）（2024・资阳模拟）已知OO的圆心为坐标原点,OO上的点到直线l:x+y-

2&=0的距曷的最小值为1.

⑴求。。的方程；

【解析】（1）由题意,Oo的圆心0（0,0）到直线/:%+产2g=0的距离^=7===2,

设。。的半径为广，

则。O上的点到直线I距离的最小值为dE-r,

由2-尸1,解得尸1,

所以。O的方程为炉+产=1.

⑵过点。（4,2）作OO的两条切线，切点分别为4A求四边形OAPB的面积.

【解析】（2）由题可知民连接OR

1

则四边形OAPB的面积5=21尸0户2*于1义|4|=『4

叉O尸产=42+22=20,

则\PA|=J|OPf一0/420一1=眄

所以四边形OAPB的面积5=719.

16.（15分）（2024•武汉模拟）已知点M22）在抛物线。:俨=22助＞0）的准线上，过点

M作直线I与抛物线C交于A,B两点,斜率为2的直线与抛物线交于AQ两点.

（1）求抛物线。的标准方程；

P

【解析】⑴抛物线。：声22加>0）的准线方程为2-

依题意专-2,解得p=4,

所以抛物线C的标准方程为俨=8工

（2）①求证:直线BD过定点N;

②若ZU5N的面积为S,且满足SS20G，求直线I斜率的取值范围.

【解析】⑵①设4alM）,夕（%2,歹2）,。（%3,为）,显然AB不垂直于y轴，设直线AB方程

为x+2=m(y-2),

x+2=m(y-2),

由

,y2=8%,

消去x得:产-8加y+16（加+1）=0,

由zf=64m2-64(m+1)>0,

/日]-羽「1+

知m<2或m>JITP2=8加,歹必=16(加+1),

2

1Vo-y.Vo-ViQ

即乃在42-8,直线AD的斜率卜析一]]2.v+v=2,即为tX3=4,

oo

同理直线BD的斜率强）=直线BD的方程为J-J2=v+v（/%2）,

十+十

整理得&2+为）产8（%-%2）+7282+为）,

即伪抄3）产舐用血+,+及外

又y；=8%2,于是02+为）V=8x+y*3,

由巾+为=4及271+2为=丁42-16,

得丁93=2&2+g)-24,

则任2力3)尸8X+2°2+歹3)-24,

因此直线AD:&2+为)8-2尸8(%-3)过定点M3,2),

所以直线BD过定点N(3,2).

②显然MN//x®,S/^ABN^S/^BNM-S[yI-J21I-JV21-64(m+1)

=201m2.m一1S20祁，则0<m2-m-l<5,

解得-23加<三口或字<相掇,而直线I斜率的心

A/5+1,1-1,51

贝MIUL'-2―<任工或§二上(一一，

所以直线I斜率的取值范围是(-年U点号).

17.(15分X2024•新余模拟)如图，椭圆。。+。1伍9>0)和圆。:%2+产=炉,已知椭圆

ab

C的离心率为竽直线匹-2=0与圆O相切.

（1）求椭圆。的标准方程;

【解析】⑴直线"^-27-m=0与圆O相切，

172x0-2x0-y61

NJ解一上

由椭圆的离心率*

2

解得心9椭圆的标准方程为营+俨=1;

（2）椭圆C的上顶点为民即是圆O的一条直径，所不与坐标轴重合，直线5反

区与椭圆C的另一个交点分别为PQ求ABPQ的面积的最大值.

【解析】（2）由题意知直线5旦8。的斜率存在且不为Q,BP±BQ,

不妨设直线BP的斜率为左（左＞0）,则直线BP的方程为y^kx+l.

-18k

(y=kx+1

9k2+1（%=0

由卜221得后或｛）V

卜+y=11-97=

-18kl-9k2

所以口999

9k+19fc+1

2

18kk-9

用代替匕得Q（

k2+9?k2+9),

?

29/c-118k

则尸21+k2,

9k+19k+1

18fc

畋『(。-冷)2+(1+启2-^-41+I?,S^\PB\'\BQ\^-

ABPQ9fc2+l

1

------718162k(l+/)162(fc+fc3)162(^+fc)

.41+后=72479'

l+j(9+/c2)(l+9kz)9/c4+82fcz+99kQ2+82+J

k

、1

设k+~fi,

162〃_162162_27

贝！J^/\BPQ.c/,,264—I648

8O2Q+9(〃-2Q)9/z+y2y

当且仅当9〃=?,即左+卜/号,即产2时取等号,

〃rt33

27

所以(SA0P0)max-

【加练备选】

22发]

（2024•合肥模拟）已知椭圆氏1（Ab>0）,离心率为目，点（平耳在椭圆上.

ab乙乙

⑴求E的方程；

【解析】（1）由题意再,与+=1,解得。=2乃=1,

a2a4b

2

则E的方程为*2=1.

⑵过K（-1,0）作互相垂直的两条直线11与，2,设A交E于A,B两点12交E于CQ

两点HB,CD的中点分别为MN.探究:△。肱V与的面积之比是否为定值?

若是,请求出定值;若不是，请说明理由.

【解析】（2）/\。肱V与△处的面积之比为定值,定值为4,理由如下:

设直线AB的方程：%=叼-1么(%1J1),5(%2"),

讨论:①当加邦,且加丹1时,

，%=my-1

联立%22,

匕+y=i

2

可得（加2+4）92-2加y-3=0,/=l6加2+48>0,贝Uy1+y2=-^——:

771+4

所以州产现尸加加1=加1=~^-,所以

m+4m+4m+4m+4m+4

1

设直线8的方程:XR-1,

A2

.一1Te--4m-m

同理可得N（2一厂2）

4m+14m+1

-mm

4m2+1m2+45m

所以底沪■............-x(加加,且加W±l),

2A42.

-4m4m-1

2一+-2

4m+1m+4

所以直线肱丝；言丁(x七叫之),即产京(|x+l),

4

所以直线肱V恒过定点T(-1,0)；

____4

②当加=±1时，不妨设直线左尸+以2：尸工］可发现MV口轴，且MV过r(--,o),

4

③当加=0时，直线MN依然过7(-亨0),但无法形成三角形.

4

综上，直线ACV恒过点T(--,0),

1

设点O,K到直线〃N的距离分别是九力沁平竺写唱T:r4-

^△KMN-\MN\xd22\K1\D

18.(17分)(2023・新高考〃卷)在双曲线C中0为坐标原点左焦点为(-2依,0),离

心率为小.

⑴求。的方程；

__22

【解析】⑴由题意C=2而,则4=2尸=16,双曲线C的方程为?±=1.

(2)记C的左、右顶点分别为4H2,过点5(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两

点9Af在第一象限，直线MA1与NA?父于尸，证明:尸在定直线上.

【解析】(2)方法一:设过点B的直线为尸/4Mxi㈤,联立双曲线得("-

32148

1)歹2-320+48=0厕歹巾2:一姑乃「一，

4t-14t-1

y-yx-xy-Vox-xx-xx-x

设直线设1直1线股2：仔」o，联立消去y得(f+Al加=(Jo

+1)乃,代入根与系数的关系得产-1,即。在直线尸-1上.

方法二:①当l±y轴时,不符合题意.

'x=ty-4,

②设直线/：X=少4，MXl,%),N(X2,y2),尸aoM，联立方程组x2y2则(421)俨一

口R二1，

32夕+48=0,

’4产-1^0,

因为直线与双曲线的左支有两个交点，即，4>0,

,y02<°，

rm32t48

则为+为小,物小

又因为MA.与M42相交于点P,

九为

+2乙+2,%()-2y^x-2)y(ty-6)ty^-6ytyy-6(y+y)+6y

则2t22112t22

y:-3.即x0=-

%2x0+2y2(X1+2)y2(ty1-2)ty^y2-2y2ty^y2-2y2

5

%。-2x2-2

1,

所以点P在定直线X--1上.

方法三:设过点B的直线为产恤•+4),M%1M),N(X2M，联立双曲线得(4次2)%2_8左2%_

77

cm.i-16(1+fc)5

16-16左~=0,贝Uxi+x2=/i》2=-----;一，所以对毛+不⑴+壮尸-4,

4-fc4-fc/

559

即(%1与)(%2.广(*),

设直线防(W■，设直线.:六二，联立消去y