高考数学一轮复习：复数讲义

知识点一复数的概念

【基础指数框架】

1.形如z=a+沅（a、beR）的数叫复数，其中，为虚数单位，a、〃分别为复数z的实部和虚部；

2.对于复数z=a+4（a、beR）,当且仅当b=0时为实数，当且仅当。=/?=0时为实数0,当6/0时为虚数，

当。=0且5/0时为纯虚数；

3.平面直角坐标系可用来表示复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴.实轴上的点都表示实数，除原点外虚轴上的

点都表示虚数；

4.复数z=a+初（a、beR）与复平面上的点（a,6）一—对应；

5.复数z=a+沅（a、beR）与平面向量方-对应.OZ的模称为复数z=a+初（a、beH）的模或绝对值，记

作忖或,+沅|,Bp|z|=|a+Z?z|=-Ja+bi；

6.对于复数z=a+加（a、beR）,a—次称为复数z的共朝复数，记作已

【例题分析】

例1.（2024春•铁东区校级月考）复数z=2（cos匹+isin匹）虚部是（）

33

A.石B.1C.sin—D.cos—

33

例2.（2024春•和平区校级月考）已知复数2=（4+2»）（1-。为纯虚数，则实数a=（）

17

A.--B.--C.2D.-2

23

例3.（2024•香坊区校级四模）已知，是虚数单位，若（a+2i）（l-i）为纯虚数，则实数a的值为（）

A.0B.1C.2D.-2

例4.（2024春•台州期中•多选）在复平面内，下列说法正确的是（）

A.-i2=-1

B.（-02=-1

C.若a>b,贝!Ja+i>6+i

D.若复数z满足z2<0,贝Uz是虚数

例5.（2024•开封模拟•多选）已知复数z=a+i,z?=1+初（其中i是虚数单位，a,beR）,若yz?为纯虚数,

则（）

A.a—b=OB.a+b=OC.ab^—1D.ab^l

【变式训练】

1.（2024春•浦东新区校级月考）已知i为虚数单位，则复数z=（1-2）的实部为—.

2.（2024春•忻城县校级期中）复数z=3-2阻为虚数单位）的虚部为（）

A.2B.-2C.2;D.-2z

3.（2024•新乡三模）已知2=（1-3，）（。+好（4€火）为纯虚数，贝！U=（）

A.3B.-3C.-D.--

33

4.（2024春•重庆期中•多选）下列命题中，真命题为（）

A.复数z=a+次为纯虚数的充要条件是a=O

B.复数z=l-3，的共辗复数为彳=1+3，

C.复数z=1-31的虚部为-3

D.复数&z=l+i,贝!|z2=i

5.（2024春•兴化市期中•多选）对于复数2=〃+砥a,6eR）,则下列结论中错误的是（）

A.若a=O,则a+次为纯虚数B.若z=3-2,，贝!Ja=3,6=2

C.若6=0,则a+次为实数D.若。=人=0,贝Uz不是复数

知识点二复数的四则运算

【基础指数框架】

1.对于复数为二%+［，（％、仄eR）,Z2=%+仇，（%、仇仁火）

(1)4+Z2=(%+%)+(4+4)，；21-Z2=(%-%)+([；

(2)Z]•22=(％+[，)(%+/?2，)=勾〃2+〃也，+12妙+4”2/=(%。2一瓦1琦+(01b2+%[)，；

Z1_ax+b{i_(%+3)(。2—d，)_。1。2-磔2»+她'一姑2『_(%%+结2)+(。24一%卜)，

z2a2+b2i(a2+包，)(。2一4，)a；-b；i2。2+02

【例题分析】

1.(2024•新高考I)若二=l+i,贝Uz=()

z—1

A.-1-zB.-1+zC.1-zD.1+z

2.（2024•北京）若复数z满足三=-1-i,则z=（）

i

A.-1-zB.-1+zC.1-zD.1+z

3.(2024•甲卷)设z=y/2i,贝!|z・Z=()

A.—iB.1C.-1D.2

4.(2024•甲卷)设z=5+3则i(2+z)=()

A.10zB.2iC.10D.-2

5.(2023•新高考U)在复平面内，（l+3i）（3-z）对应的点位于（)

A.第一象限B.第二象限c.第三象限D.第四象限

已矢Dz=」-L,则z-N

6.(2023•新高考I)=()

2+2，

A.—iB.iC.0D.1

7

7.（2024•上海）已知虚数z,其实部为1,且z+4二双加£尺），则实数加为

z

8.（2023•天津）已知，•是虚数单位，化简士区的结果为

2+3,

【变式训练】

1.（2023•北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（-1,若），贝。z的共软复数2=()

A.1+拒iB.1—y/3iC.-1+A/3ZD.-1-73/

2.(2023•甲卷)若复数(a+i)(l-))=2,awR,贝Ua=()

A.-1B.0C.1D.2

3.(2023•乙卷)|2+/+2『|=()

A.1B.2C.A/5D.5

4.(2022•浙江)已知a,beR,a+3i=(6+)(i为虚数单位)，则()

A.a=l9b=—3B.a=—1,b=3C.a=—1,b=—3D.a=1,b=3

5.(2022•北京)若复数z满足3z=3—今，则|z|=()

A.1B.5C.7D.25

6.(2022•甲卷)若z=—l+7^,则~^—=()

zz—1

n1G

A.-1+后B.-1-A/3ZC.—Z

3333

7.(2022•新高考I)若i(l-z)=l,贝!]z+5=()

A.-2B.-1C.1D.2

8.(2022•乙卷)已知z=l—2i,且z+aN+/=O,其中“，6为实数,则()

A.a=l9b=—2B.a=—lfb=2C.a=l9b=2D.a=—1,b=—2

知识点三复数的几何应用、代数应用与周期性

【基础指数框架】

1.在复数范围内解二次方程

对于二次方程ox2+Zzx+c=O（awO）,A=Z?2-4-ac,x=~—色^

若△＜（）,则石==招.，,如F=@.

2.周期性：若neN,则产=1；产』；z4,,+2=-l；z4,!+3=-z.

3.几何意义：设zwC,则满足|z-z/=7%的点Z的集合表示的图形为以马为圆心，半径为阳的圆.

【例题分析】

例1.(2023•乙卷)设2=2：，贝|]2=()

l+z2+z5

A.l-2zB.l+2iC.2-iD.2+z

例2.（2024•安康模拟）若z满足z（l+i）=2尸-产2、z对应的点Z关于原点对称的点为ZL则Z，对应的/为（）

.31.R31.„31.n31.

22222222

例3.（2024•襄城区校级模拟）已知复数2=3。+411电是虚数单位，O&R）,贝1」|2-1-，|的最小值是（）

A.72B.72-1C.72+1D.1

例4.（2024•吉林四模）已知复数z满足|z+2|+|z-2|=6,则复数z在复平面内所对应的点的轨迹为（）

A.线段B.圆C.椭圆D.双曲线

例5.（2024•阳泉三模）已知2+i是实系数方程无2+/-4=0的一个复数根，贝U/2+q=（）

A.-9B.-1C.1D.9

例6.（2024•江苏模拟）已知i（z'是虚数单位）是方程尤②+ax+Z?=O（a,beK）的根，则（)

A.a-\-b=\B.a—b=lC.a+b=OD.a—b=O

【变式训练】

5(1+/)

1.(2023•甲卷)

(2+0(2-0-)

A.-1B.1C.1-/D.1+z

2.（2024•邵阳模拟）已知复数z满足:z（l+0=z2024-f,其中i是虚数单位,则|z|的值为（）

A.近B.1C.2D.4

3.（2024•全国二模）已知复数z满足|z-4+5i|=l,贝!]z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.（2024•泰州模拟）若复数Z满足|z-l|=|z+",则|z-l|的最小值为（）

B,也

A.-C.1D.y/2

22

已知4，Z2为方程f-4元+13=0的两个虚根，则二十二二（

5.（2024•广东模拟）)

14|\z21

A•若万B.而C.梦D.--713

13

6.（2024•枣庄模拟）已知复数3+2i是方程/+依+13=0的一个根，贝！）实数。=（)

A.-5B.5C.-6D.6

知识点四复数的三角表示

【基础指数框架】

1.复数的三角表示

一般地，任何一个复数z=a+初都可以表示成「(cosO+isin，)的形式.其中，r是复数z的模；。是以x轴

的非负半轴为始边，向量&所在射线(射线0Z)为终边的角，叫做复数之z=a+沅的辐角.r(cos6»+zsin6>)

叫做复数2=。+次的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，a+初叫做复数的代数表示式，简

称代数形式.(任何一个不为零的复数辐角有无数多个，且相差2》的整数倍，我们规定在范围内的辐

角。的值为辐角的主值，记为argz).

2.复数乘、除的三角表示及其几何意义：对于复数Zi=/](cosa+isinq),Z2=^(cos%+，sing)

(1)Zj-z2=i\r2[cos(^+g)+isin(a+2)]；

(2)—=—[cos(^-)+zsin(^-)].

Z

2丫2

【例题分析】

例1.(2023•全国•高一专题练习)以下不满足复数工-小的三角形式的是()

2

A.B.cos+isinTJ

1171

C.D.cos+isin

例2.（2023•江苏•高一专题练习）复数z=Ti化成三角形式，正确的是（

/3兀..3兀1（3兀..3兀1

A.41cos—+isin—IB.-41cos—+isin—I

/3K..3兀）（3兀..3兀）

C.41cos--isin—ID.-41cos--isin—I

例3.(2022秋•内蒙古赤峰•高二校考期末)欧拉公式e，=cosx+isinx(其中i为虚数单位，xeR)将指数函

数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学

中的天桥.依据欧拉公式，则(

A.e疝=0B.e日为实数

eri1

D.复数9对应的点位于第三象限

g+i

例4.（2023春•全国•高一专题练习）计算：8（cos240°+isin240°）-2（cos1500-isin150°）.

【变式训练】

1.（2023•高二课时练习）复数一i的三角形式是（）

71..71c..厂37r..3%c71（7l\

AA.cos----ism—B.sm^+icosTrC.cos—+isin-D.cos—+isin-----

2222212）

2.（2022春•江西南昌•高一校考期中）复数仅inlO°+，coslO］（sinlO°+，coslO。）的三角形式是（）

A.sin30°+，cos30°B.cos1600+zsin160°

C.cos30°+，sin30°D.sin1600+zcos160°

3.（2023春•全国•高三校联考阶段练习）任何一个复数z=a+历（。*eR）都可以表示成

z=r（cos6+isine）（r20,6eR）的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：

nn

［rCcos^+isin0）］=r（cosnd+isinnd\neZ）,我们称这个结论为棣莫弗定理.则］（1-后严2=（）

A.1C._22022D.i

4.（2023春•全国•高一专题练习）计算:

C兀•・兀/、1173.兀..兀)

(1)3(cos^-+isin^x2cos——ism—1xcos----ism—I

66⑵一5+万166

7

知识点五以复数为背景的综合计算

【例题分析】

例1.（2024•山东模拟•多选）已知zrZ?为方程x?+2x+3=0的两根，贝U（）

A.|Zj-^|=2A/2B.-+—=

Z]z23

C.IZjI+1z21=2括D.z、一z?=z、一z?

例2.（2024春•深圳月考•多选）已知复数4，z2,下列结论正确的有（）

A.若Z]-Z2>0,则Z]>z2

B.若z；=z；,贝！J|z"=|Z]|

C.若复数Z2满足IZ2-2i|=3,则Z2在复平面内对应的点的轨迹为圆

D.若％=T+3i是关于x的方程+px+q=O（p,q£R）的一个根，贝ljp=8

例3.（2024春•耒阳市期中•多选）若复数z=2+，，则下列命题是真命题的是（）

A.z-z=5

C.行i|二|z|

D.若z是关于x的方程d+mx+n=0（m,nGR）的根，则加=一20

例4.