2023-2024学年北京市九年级上学期期末数学复习试卷（含详解）

2023-2024学年度第一学期北京市九年级数学期末复习试卷

一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）

1.将抛物线丁=/向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）

A.y=（x-2）2-1B.y=（x-2）­+1C.y=（x+2）2-1D.y=（x+2『+l

2.如图，已知AB〃CD〃石尸，AD;AF=3:5,BC=6,CE的长为（）

A.2B.4C.3D.5

3.在VA3C中，/A和NC都是锐角，且sinA="，tanC=G，则VA3C的形状是（）

2

A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.不能确定

4.如图，是。的直径，C、。是。上两点，NCDB=40。，则/ABC的度数是（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

5.如图，线段A3是。。的直径，如果NC45=30°,那么NAOC的度数是（）

6.对于反比例函数,=—,下列结论：①图象分布在第一、三象限；②当x<o时，y随x的增大而减少；③图象

X

经过点（—3,-4）；④若点A（x-％）,B（X2,%）都在图象上，且石<%，则%〉内，其中正确的是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

7.如图,将VA3C绕点A按逆时针方向旋转a,得到AB'C',若点p恰好在线段BC的延长线上，且AB,C=40。，

则旋转角a的度数为（）

C.80°D.100°

8.如图，在平面直角坐标系x0y中，A3两点同时从原点。出发，点A以每秒2个单位长的速度沿x轴的正方

向运动，点3以每秒1个单位长的速度沿丁轴的正方向运动，设运动时间为，秒，以AB为直径作圆，圆心为点

P.在运动的过程中有如下5个结论：

①NABO的大小始终不变；

P始终经过原点。；

③半径AP的长是时间r的一次函数；

④圆心尸的运动轨迹是一条抛物线；

⑤AB始终平行于直线V=—；*■

C.②③⑤D.①②③⑤

二、填空题（共8个小题，每小题2分，共16分）

9.围棋起源于中国，棋子分黑白两色.一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色

外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是则盒子中棋子的总个数是________.

4

10.如图，在VA3C中，AB>AC,点。在边上，点E在AC边上且只需添加一个条件即可证

明△ABC^Z\AED,这个条件可以是（写出一个即可）.

H.某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元.设平均每次涨价的百分率为X,则x是

12.在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60。方向的C处，他先沿正东方向走了

200m到达8地，再沿北偏东30。方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距

13.如图，正五边形ABCDE的边长为2,以A为圆心，以A3为半径作弧3E,则阴影部分的面积为（结

果保留万）.

A

oCD

k

14.如图，已知双曲线y=—（左＞0）经过直角三角形。16斜边08中点。，与直角边A3相交于点C，若

x

△03C的面积为6,贝|」左=—.

15.如图，在.ABC中，AB=8cm,BC=16cm.动点尸从点A开始沿4B边运动，速度为2cm/s；动点。从

点B开始沿边运动，速度为4cm/s；如果P、。两动点同时运动，那么经过秒时与

16.如图，抛物线y=-必+2,将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作G，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记

作C”。和C?构成的图形记作C3.关于图形G，给出如下四个结论：①图形C3关于y轴成轴对称；②图形C3

有最小值，且最小值为0；③当x>0时，图形C3的函数值都是随着X的增大而增大的；④当-2KxK2时，图

形C?恰好经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)，以上四个结论中，所有正确结论的序号是

三、解答题(本题有10个题，共68分)

17.计算：4cos45°+(-l)°-V8+|2-V2|

18.如图，己知反比例函数丁=与的图像与一次函数y=-x+b的图像交于点4(1,4),点3(4,〃).

k

(2)观察图像，不等式一〉-》+/;的解集为.

x

19.如图，在中，ZACB=9Q°,。是边AB的中点，BELCD,垂足为点E.已知

(1)求线段C£>的长;

(2)求cosNDfiE的值.

20.某学校在推进新课改过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B-.足球，C：排球，D：羽毛球，£：乒

乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的

两幅不完整的统计图.

人数

(1)则该班总人数为人，其中学生选。“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是_____度；

(2)补全条形统计图；

(3)该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育

社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率.

21.如图，48是。。的直径，点C在。。上，垂直于过点C的切线，垂足为。.

(1)若/A4D=80°,求NZMC的度数；

(2)如果AZ)=6,A8=8,求AC的长.

(2)若BD=6,CE=4,求AABC的边长.

23.一种竹制躺椅如图①所示，其侧面示意图如图②③所示，这种躺椅可以通过改变支撑杆。的位置来调节躺椅

舒适度，假设A8所在的直线为地面，已知AE=120cm,当把图②中的支撑杆CD调节至图③中的CD'的位置

时，NE4B由20。变为25°.

①②③

(1)你能求出调节后该躺椅的枕部E到地面的高度增加了多少吗？(参考数据：sin20°«0.34,

sin25°«0.42)

(2)已知点。为AE的一个三等分点，根据人体工程学，当点。到地面的距离为26cm时，人体感觉最舒适.请

你求出此时枕部E到地面的高度.

24.如图，AB是：O直径，是；。的弦，G。与AB交于点E，CE=ED,延长AB至点孔连接。尸，使

得NCD尸=2NC4E.

(2)已知BE=1,BF=2,求:。的半径长.

25.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+6x+c的图象与x轴交于A、8两点，8点的坐标为(3,0),与

(2)连接尸O,PC,并将APOC沿y轴对折，得到四边形POP'C.是否存在点P,使四边形尸'。为菱形?

若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)当点尸运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时尸点的坐标和四边形A8PC的最大面积.

26.如图1,RtAABC和RtAADE中,ZACB^ZADE^90°,ABC=NAED=a°.

图1图2备用图1备用图2

(1)当a=30。时，

①当点。，E分别落在边AC,AB上，猜想BE和CD的数量关系是；

②当△AOE绕点A旋转到如图2的位置时(45°<ZCAZ)<90o).分别连接C£),BE,则①的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立.请说明理由.

(2)当&=45°时，将△AOE绕点A旋转到/。4=90。，若AC=10,AD=25直接写出线段。的长.

2023-2024学年度第一学期北京市九年级数学期末复习试卷

一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）

1.将抛物线丁=/向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）

A.y=（x-2）2-1B.y=（x-2）­+1C.y=（x+2）2-1D.y=（x+2『+l

【答案】C

【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可.

【详解】解：原抛物线的顶点为（0,0）,向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为

（-2,-）

新抛物线为y=（x+2）2—1.

故选：C.

【点睛】本题考查的是函数图象的平移，用平移规律”左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的

函数解析式.

2.如图，已知〃石尸，AD;AF=3:5,BC=6,CE的长为（）

A.2B.4C.3D.5

【答案】B

【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可.

【详解】:AD：AF=3：5,

.••AD：DF=3:2,

•：AB//CD//EF,

••—,p»p—,

DFCE2CE

解得，CE=4,

故选：B.

3.在VA3C中，/A和NC都是锐角，且sinA="，tanC=百，则VA3C的形状是（）

2

A,直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.不能确定

【答案】C

【分析】本题考查了特殊角的三角函数，等边三角形判定，利用特殊角的三角函数值得出/A及NC的度数，继

而可判断VA3C的形状.

【详解】解：由题意得，sinA=无，tanC=g,

2

ZA=60°,ZC=60°,

即VA3C是等边三角形.

故选：C.

4.如图，是）。的直径，C、D是.。上两点，NCDB=40。，则/ABC的度数是（）

A.20°B.40°C.50°D.90°

【答案】C

【分析】首先根据力B是直径得出NAC5=90。，然后利用圆周角定理的推论得出NCAB=NC£啰=40。，最

后利用直角三角形两锐角互余即可得出答案.

【详解】解：TAB是。的直径，

:.ZACB=90°.

VZCAB和NCDB都是所对的圆周角,

:.ZCAB=ZCDB^4O0,

ZABC=90°-ZCAB=50°,

故选：C.

【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论及三角形内角和定理，掌握圆周角定理及其推论的内容是解题的关键.

5.如图，线段A3是。。的直径，如果NC45=30°,那么NAOC的度数是（）

B.50°C.55°D.60°

【答案】D

【分析】连接3C，根据直径所对的圆周角是直角得出NACB=90°,从而求出NA3C的度数，最后利用同弧所

对的圆周角相等即可解答.

【详解】解：如图：连接5C,

AB是。的直径，

:.ZACB=90°,

ZCAB=30°,

ZABC=90°-ZCAB=90°-30°=60°,

:.ZADC^ZABC=60°,

故选：D.

【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键.

6.对于反比例函数丁=与，下列结论：①图象分布在第一、三象限；②当x<o时，y随天的增大而减少；③图象

X

经过点（一3,-4）；④若点A（x-％）,B（X2,%）都在图象上，且石<々，则%〉内，其中正确的是（）

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④

【答案】A

【分析】根据反比例函数的图象性质逐项分析，可得答案.

【详解】解：对于反比例函数丁=9，

x

•：k=12>Q

图象分布在第一、三象限，故①正确，

②当尤<0时，y随x的增大而减少，故②正确，

12

③当％=-3时，y=—=-4,故③正确,

-3

④不确定王、%与0的大小关系，

；•不能确定点A、5所在的象限，故不能判断%、%的大小关系，④不正确.

故选：A.

【点睛】本题考查反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象性质.

7.如图，将VA3C绕点A按逆时针方向旋转a,得到.A5'C',若点p恰好在线段BC的延长线上，且ABC=40°，

则旋转角a的度数为（）

A.60°B.70°C.80°D,100°

【答案】D

【分析】根据旋转的性质可得Ag=AB，再由等腰三角形的性质可得N3=NA3'C=40。，最后根据三角形的

内角和即可求解.

详解】解：ABC绕点A按逆时针方向旋转a,得到一AB'C',

NBAB'=a，

AB=AB<ZABC=40°，

NB=ZABC=40°，

ZBAB=180°-40°—40°=100°，

/.a=100°,

故选：D.

【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

8.如图，在平面直角坐标系中，A3两点同时从原点。出发，点A以每秒2个单位长的速度沿x轴的正方

向运动，点8以每秒1个单位长的速度沿丁轴的正方向运动，设运动时间为/秒，以A3为直径作圆，圆心为点

P.在运动的过程中有如下5个结论：

①NABO的大小始终不变；

②始终经过原点O；

③半径//的长是时间r的一次函数；

④圆心P的运动轨迹是一条抛物线；

⑤AB始终平行于直线V=—；x■

其中正确的有（）

A.①②③④B.①②⑤C.②③⑤D.①②③⑤

【答案】D

0A1

【分析】根据tanB=—=2,即可判断①，根据斜边上的中线等于斜边的一半，得出。。=—A3,即可判断②,

OB2

根据题意求得好，即可判断③④，待定系数法求得的解析式，即可判断⑤，即可求解.

【详解】解：依题意==

tanB==2,

OB

NABO的大小始终不变，故①正确；

AB=VOB2+OA2=y/5t>OP=^AB=^-t

P始终经过原点。，故②正确

•/AP=-AB=—t

22

半径心的长是时间r的一次函数，故③正确；

•：OP=-AB=-t

22

圆心尸的运动轨迹是一条直线；故④不正确

A（2t,0）,

设直线AB的解析式为y=kx+b,

2tk+b=0

贝叫7，

b-t

k=--

解得：2,

b=t

・,・直线AB的解析式为y=-^x+t

•••A3始终平行于直线y=—gx,故⑤正确.

故选：D

【点睛】本题考查了求正切，，勾股定理，一次函数解析式，一次函数的平移，点的轨迹，综合运用以上知识是解

题的关键.

二、填空题（共8个小题，每小题2分，共16分）

9.围棋起源于中国，棋子分黑白两色.一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色

外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是则盒子中棋子的总个数是_________.

4

【答案】12

【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的数量除以对应概率，即可算出棋子的总数.

【详解】解：3--=12,

4

...盒子中棋子的总个数是12.

故答案为：12.

【点睛】本题考查了简单随机事件概率的相关计算，事件出现的概率等于出现的情况数与总情况数之比.

10.如图，在VA3C中，AB>AC,点。在A3边上，点E在AC边上且AD<只需添加一个条件即可证

明这个条件可以是（写出一个即可）.

【答案】Z1=ZC

【分析】由相似三角形的判定定理可求解.

【详解】解:添加N1=NC,

又：NA=NA，

，AABC^AAED,

故答案为：Z1=ZC（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键.

11.某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元.设平均每次涨价的百分率为X,则x是

【答案】10%

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程，解方程即可得到

答案.

【详解】解：设平均每次涨价的百分率为X,

由题意得：100（1+力2=121,

解得：X]=0.1=10%,%=一2.1（舍去，不符合题意），

故答案为：10%.

12.在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60。方向的C处，他先沿正东方向走了

200m到达2地，再沿北偏东30。方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距

【详解】解：由已知得：ZABC=90°+30°=120°,ZBAC=90°-60°=30°,

ZACB=180°-ZABC-ZBAC=180°-120°-30°=30°,

ZACB=ZBAC,

：.BC=AB=2Q0.

13.如图，正五边形ABCDE的边长为2,以A为圆心，以为半径作弧助，则阴影部分的面积为（结

果保留万）.

A

:

CD

6兀

【答案】—

【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出/A的度数，利用扇形面积公式计算即可.

【详解】解：正五边形的内角和=（5—2）x180。=540°,

540°

:.ZA=^-=108°,

5

_108^22_6兀

扇形ABE-360—T

故答案为：.

【点睛】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解答本

题的关键.

k

14.如图，已知双曲线y=—(左＞0)经过直角三角形Q46斜边03的中点。，与直角边A3相交于点C，若

x

△03C的面积为6,贝|」左=—.

【答案】4

【分析】过。点作x轴的垂线交工轴于E点，可得到四边形DS4E，和三角形的面积相等，通过面积转化,

可求出左的值.

【详解】解：过。点作了轴的垂线交x轴于E点，

,△0£)£的面积和4c的面积相等.

：._OBC的面积和四边形DEAB的面积相等且为6.

设。点的横坐标为左,纵坐标就为人，

X

D为OB中点.

-2k

:.EA=x,AB=—,

x

1k9k

..•四边形DE钻的面积可表示为：-(-+—)^=6

2xx

k=4.

故答案为：4.

【点睛】本题考查反比例函数的综合运用，解题的关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的

特点以及根据面积转化求出k的值.

15.如图，在一ABC中，AB=8cm,BC=16cm.动点尸从点A开始沿边运动，速度为2cm/s；动点。从

点2开始沿边运动，速度为4cm/s；如果P、。两动点同时运动，那么经过秒时与

VABC相似.

【答案】0.8s或2s

【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分

析题意列出方程求解.

设经过f秒时，与VA3C相似，贝i]AP=2fcm,3P=(8-2r)cm,BQ=4tcm,利用两组对应边的比相

等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：理=些时，_BPQS」BAC,即手=当；当

BABC816

”=些时，ABPQsABCA,即与马=t，然后解方程即可求出答案.

BCBA168

【详解】解：设经过r秒时，与VABC相似，

则AP=Item,BP=(S-2/)cm,BQ=4/cm,

ZPBQ=ZABC,

...当竺=些时，-BPQsBAC,

BABC

门口8—214-t

即----=—,

816

解得：t=2；

当竺■=也时，△BPQsABCA,

BCBA

8-2t4/

即nn----=—,

168

解得：%=0.8；

故答案为：0.8s或2s.

16.如图，抛物线y=-d+2,将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作G，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记

作C>G和C?构成的图形记作C3.关于图形C3,给出如下四个结论：①图形C3关于y轴成轴对称；②图形C3

有最小值，且最小值为。；③当x>0时，图形C3的函数值都是随着龙的增大而增大的；④当-2KxW2时，图

形C?恰好经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)，以上四个结论中，所有正确结论的序号是.

【分析】画出图象Cs，根据图象即可判断.

【详解】解：如图所示，

①图形C3关于y轴成轴对称，故正确；

②由图象可知，图形C3有最小值，且最小值为0；,故正确；

③当X>0时，图形C3与x轴交点的左侧的函数值都是随着x的增大而减小，图形与x轴交点的右侧的函数值都

是随着x的增大而增大，故错误；

④当-2WXW2时，图形C3恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故正确；

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键.

三、解答题（本题有10个题，共68分）

17.计算：4cos45+（-1）。-+12-

【答案】3-41

【分析】根据实数的运算法则和解三角函数即可得到结果.

【详解】解：原式=4x曰+1-2夜+2-夜，

=2垃+1-2^2+2-金,

=3-72.

【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练

掌握负整数指数塞、零指数幕、二次根式、绝对值等考点的运算.

18.如图，已知反比例函数丁=人图像与一次函数y=-x+6的图像交于点A。,4),点3(4,〃).

(1)求〃和的值；

k

(2)观察图像，不等式一〉-x+b的解集为.

x

【答案】(1)72=1；b=5

(2)0<尤<1或x>4

【分析】(1)直接将点的坐标代入解析式中求解即可；

k

(2)根据图像可知A点左边y轴右边或8点右边的图像均有一〉-x+8,即可求解.

x

【小问1详解】

把4(1,4)代入y=.导：左=4,

4

把3(4,〃)代入y=—,得：”=1

X

把4(1,4)代入得：b=5.

【小问2详解】

k

不等式—>—x+b的解集为0<x<l或x>4.

X

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，解题关键是会用待定系数法求出解析式中的字母，能根据图

像得到不等式的解集.

19.如图，在RtaABC中，ZACB=9Q°,。是边AB的中点，BELCD,垂足为点E.已知

AC=6,cosA=—

5

A

(1)求线段C£＞的长;

(2)求cosNDfiE的值.

【答案】(1)8=5；

24

(2)cosZDBE=—.

25

【分析】(1)根据三角函数求出A3的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可；

(2)先运用勾股定理求出3C,再由于。为上的中点可得。。=。5=5,推出NDC8=NABC,利用正弦

函数求出3E,据此即可解答.

【小问1详解】

3

解：AC=6,cosA=—,

,63

cosA=----=—,

AB5

AAB=10,

：VA3C为直角三角形，。是边A3的中点，

CD=5；

【小问2详解】

解：VAB=10,AC=6,

______3

BC=V102-62=8-sinZABC=cosZA=-)

•••VA3C为直角三角形，。是边A3的中点，

DC=DB=5，

：.ZDCB=ZABC,

3

sinZDCB=sinZABC=

5

:BELCD,

：.ZBEC=90°,

：.sinZDCB=——

CB

24

/.BE=—

5

BE24

cosZDBE=----

BD25

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决

问题.

20.某学校在推进新课改的过程中，开设的体育社团活动课有：A：篮球，B-.足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒

乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了如图所示的

两幅不完整的统计图.

(1)则该班的总人数为人，其中学生选。“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数是_____度；

(2)补全条形统计图；

(3)该班班委4人中，2人选修篮球，1人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中选2人了解他们对体育

社团活动课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率.

【答案】(1)50,72

(2)见解析(3)-

3

【分析】(1)利用“选4篮球”的学生人数除以其所占的百分比即可求得该班学生的总人数，再利用学生选。“羽

毛球”的人数除以总人数，再乘以360°,即可求得结果；

(2)利用选足球的学生的百分比乘以总人数求得选足球的人数，再利用总人数减去其他课程的人数求得选乒乓球

的学生人数，即可补全条形统计图；

(3)画出树状图可得共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种，

再利用概率公式进行计算即可.

小问1详解】

解：由题意可得：该班的总人数为：15+30%=50(人)，

学生选。“羽毛球”所在扇形的圆心角的度数为：—X360°=72°,

50

故答案为：50；72；

【小问2详解】

解：由题意可得：

选“B：足球”的学生人数为：12%x50=6(人)，

选“E：乒乓球”的学生人数为：50-15-9-6-10=10(人)

补全条形统计图如下；

人数

解：画树状图如下：

开始

AABC

小/N不小

ABCABCAACAAB

共有12种等可能的情况，其中选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况有4种；

41

选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为

123

【点睛】本题考查用样本估计总体、画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、用列表法或树状图求概率及概率公

式，熟练掌握用列表法或树状图求概率及概率公式是解题的关键.

21.如图，AB是。。的直径，点C在。。上，垂直于过点C的切线，垂足为。.

(1)若/A4D=80°,求的度数；

(2)如果AD=6,AB=8,求AC的长.

【分析】(1)连接。C,根据切线的性质判断出AO//OC,得到NZMC=NOCA,再根据。4=0C得到/Q4C=

AOCA,可得AC平分/BAD,则可得出答案.

(2)连接BC,得到△AOCS2XACB,根据相似三角形的性质即可求出AC的长.

【详解】解：(1)如图，连接OC,

a

A

o

•・・£>C切。。于C,

・•・OC±CF,

・•・ZADC=ZOCD=90°,

：.AD//OC,

：.ZDAC=ZOCAf

9

：OA=OCf

：.ZOAC=ZOCAf

：.ZDAC=ZOAC,

'：ZBAD=SO°f

11

・•・ZDAC=-NBAO=—x800=40。；

22

(2)连接5c

・•・ZACB=90°=ZADC9

9：ZDAC=ZBAC,

：.AADC^AACB,

ACAD

ABAC

9：AD=6,A8=8,

AC6

~AC

：.AC=4j3.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线.

22.如图，在等边AA8C中，。为8C边上一点，E为AC边上一点，且/AOE=60。.

（1）求证："BDSADCE；

（2）若BD=6,CE=4,求A4BC的边长.

【答案】（1）见解析；（2）AB=AC=BC^18.

【分析】（1）由NAOE=60。，可证得△ABQs/xocE；

（2）由（1）根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长.

【详解】（1）证明：：△ABC是等边三角形，

.•.NB=NC=60°,

：.ZBAD+ZADB^nO°

:ZADE=60°,

：.ZADB+ZEDC=120°,

：.ZDAB=ZEDC,

又；NB=/C=60。,

：.AABD^ADCE；

（2）解：:LABDsADCE,

.ABBD

"CD-CE)

：8O=6,CE=4,

•AB_6

''AB-6-4'

解得AB=18,

.•.AB=AC=BC=18.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的证明以及性质的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

23.一种竹制躺椅如图①所示，其侧面示意图如图②③所示，这种躺椅可以通过改变支撑杆。的位置来调节躺椅

舒适度，假设A3所在的直线为地面，已知AE=120cm,当把图②中的支撑杆CO调节至图③中的CD'的位置

时，NE4B由20。变为25°.

⑴你能求出调节后该躺椅的枕部E到地面的高度增加了多少吗？(参考数据：sin20°«0.34,

sin25°«0.42)

(2)已知点。为AE的一个三等分点，根据人体工程学，当点。到地面的距离为26cm时，人体感觉最舒适.请

你求出此时枕部E到地面的高度.

【答案】(1)调节后该躺椅的枕部E到地面的高度增加了约9.6cm；

(2)枕部E到地面的高度为78cm

【分析】(1)过点E作石户，A3,交A8的延长线于点足利用锐角三角函数，即可求解；

(2)通过解直角三角形可得结论.

【小问1详解】

如图，过点E作叮，A3,交A8的延长线于点冗

当NE4B=20°时,

EPEF

sin20°=——=——土0.34

AE120

止匕时EFx40.8(cm).

当NE4B=25°时，

EPEF

sin25°=—=——土0.42,

AE120

此时EFx50.4(cm).

所以调节后该躺椅的枕部E到地面的高度增加了约50.4-40.8x9.6cm.

【小问2详解】

因为点。为AE的一个三等分点，

所以AO=40cm.

如图，过点。作垂足为P.

设当人体感觉最舒适时，NEAB=a,

贝"工军EF

AO40~AE

26x120

所以砂==78(cm).

40

所以当人体感觉最舒适时，枕部E到地面的高度为78cm.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握解直角三角形的过程，正确构造直角三角形.

24.如图，48是（。的直径，CD是，O的弦，GD马AB交于点E,CE=ED,延长AB至点R连接。尸，使

得NCDF=2NCAE.

c

（2）已知BE=1，BF=2,求。的半径长.

【答案】（1）见解析（2）。的半径长为2

【分析】（1）由垂径定理可得A5LCD,由余角的性质可求NODE=90°,即可求解;

（2）由锐角三角函数可求NR的度数和。E的长度，由勾股定理可求解.

【小问1详解】

证明：如图，连接3D,OD,

/CAE=NCDB,NCDF=2/CAE,

ZBDF=/CDB=ZCAE,

CE=DE,AB是直径，

:.ABLCD,

:.ZOBD+ZCDB=90°.

OB=OD,

:.ZOBD=ZODB,

:.ZODB+ZBDF=90°,

:.ZODF=9Q°,

：.ODLDF,

又,0。是半径，

.•.D/是「。的切线.

【小问2详解】

解：如图，过点3作尸F交DF于点”,

BE=1，BF=2,

.-3,

NCDB=/BDF,BH±DF,BELCD,

:.BE=BH=1,

..sin八也

BF2

/.ZF=30°,

DE

tanF=

EF-V

/.DE=3x，

3

OU=OE2+DE2,

.•.OD2=(OD-1J+3,

OD=2,

.•・。的半径长为2.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理等知识，求出/F的度数是解题的关键.

25.如图，在平面直角坐标系中，二次函数丁=炉+6*+。的图象与x轴交于A、B两点，2点的坐标为(3,0),与

y轴交于点C(0,—3),点尸是直线BC下方抛物线上的一个动点.

(1)求二次函数解析式；

(2)连接尸O,PC,并将APOC沿y轴对折，得到四边形POP'C.是否存在点P,使四边形POP'C为菱形?

若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)当点尸运动到什么位置时，四边形A8PC的面积最大？求出此时尸点的坐标和四边形A2PC的最大面积.

【答案】(1)3；(2)存在这样的点，此时尸点的坐标为(2±普，(3)尸点的坐标为(T，

75

-一15)，四边形ABPC的面积的最大值为?.

48

【分析】(1)将3、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；

(2)由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形尸。PC为菱形，那么尸点必在OC的垂直平分线上，据此可求出

P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出尸点的坐标；

(3)由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，ABPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直

线2C于。，交x轴于凡易求得直线BC的解析式，可设出尸点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式

求出Q、P的纵坐标，即可得到的长，以PQ为底，8点横坐标的绝对值为高即可求得ABPC的面积，由此可

得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及

对应的尸点坐标.

【详解】(1)将2、C两点的坐标代入y=x2+6x+c,得

9+3b+c=0[b=-2

解得〈.

c=-3c=-3

•••二次函数的解析式为广必-2%-3.

(2)存在点P,使四边形尸。PC为菱形；.

设P点坐标为