天津市某中学2024-2025学年高三年级上册开学测试数学试卷（解析版）

高三级部学科练习数学学科

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）

1.设全集"=W},集合A={0』，2},B={-1,2},则“@5）=（）

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,1,2}D.{0,-1,1,2}

【答案】A

【解析】

【分析】先求出许3,再根据交集的定义可求AC（e5）.

【详解】={-2,0,1},故A村3）={0,1}，

故选：A.

2.已知命题P：Vx>0,总有（x+l）e'>l,则为（）

A.3x0<0,使得（%+l）e而<1B.3x0>0,使得

C.Vx>0,总有（x+l）e*<lD.VxWO,总有

【答案】B

【解析】

【分析】直接写出命题的否定即可.

【详解】因为P：Vx>0,总有（x+l）e'>l,贝UM为三%〉0,使得（%+1,跖<1

故选:B

3.设。、Z?eR,则是“。同>b\b\"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】设/（x）=x|x|，分析函数/（九）在R上的单调性，结合函数的单调性以及充分条件、必要条件判

断可得出合适的选项.

_冗2X<0

【详解】设/'（x）=x[x[=<2'—，则函数/（九）在（一00，。]、[0,+8）上均为增函数，

xax>0

又因为函数/（可在R上连续，故函数“X）在R上单调递增,

若a>b,则/(。)>/(5)，即a|H>同小

若网,则/⑷>/(/?),可得口>).

因此，“a>b”是“。同>b\b\"的充要条件.

故选：C.

,则函数/(%)的图象可能为()

【答案】B

【解析】

【分析】依据函数的奇偶性和函数值特征进行鉴别即可解决.

1।x

【详解】函数/(x)=xln—的定义域为(―1,1)

1-X

„-1—X1+x|=xlnj^|=/(x)

j(-%)=-xln------=—xln

1+x1-x

则/(%)为偶函数，图像关于y轴轴对称，排除选项AC；

1I1|1+-o1I

又/(3)=彳1口一|=-ln3>0,则排除选项D.

22]_JL2

2

故选：B

5.下列函数是偶函数的是()

x22

e-x「cosx+xe'-xsinx+4x

B,=-D.y=---——

y=­|nx|

X+1x+le

【答案】B

【解析】

【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.

【详解】对A,设〃0==二，函数定义域为R,但/(一1)=土匕，/(1)=0,则/(-I)W/(1),

X+122

故A错误;

2

对B,设g(x)=cos：+-x,函数定义域为R,

X+1

cosx+x2

=g（x），则g（x）为偶函数，故B正确;

x2+l

对c,设函数定义域为{x|xw-1},不关于原点对称，则MX）不是偶函数，故C错误;

X+1

对D,设0（x）=sm：：4x,函数定义域为R,因为o（l）=sm；+4*1)=^1,

则0（1）W0（—1）,则0（尤）不是偶函数，故D错误.

故选：B.

6.已知角。终边经过点（-1,-3）,则,.，'/'力川二（）

3sin（—兀一+4cos（3兀+0）

11

A.-B.一一C.-1D.1

55

【答案】C

【解析】

【分析】利用诱导公式化简，再进行弦化切代入即可.

刀sin（-，）+2cos（7i-e）-sinS-2cosSsin8+2cosStan0+2

【详角牛】3sin（—兀一，）+4cos（3兀+夕）3sin8-4cos84cos0-3sin<94-3tan0

因为角，的终边经过点（T-3）,则tan6=3,则tan"+2=」+2=一匕

4-3tan04-3x3

故选：C.

a3b

7.已知2"=5,log83=Z?,则4~()

255

A.25B.5C.一D.-

93

【答案】C

【解析】

【分析】根据指数式与对数式的互化，幕的运算性质以及对数的运算性质即可解出.

14。(2")5?25

【详解】因为2“=5,人=1%3=3幅3,即2%=3,所以4"3=*=%^=品=6・

ib

34(2\Jy

故选：C.

8.已知。=log52,b=log050.2,C=0.5A2,则a,dc的大小关系为

A.a<c<bB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】

【分析】

利用0,工,1等中间值区分各个数值的大小.

2

【详解】a=log52<log575<1,

b=log050.2>log050.25=2,

0.51<O,502<0.5°-故！<c<l,

2

所以avcvZ?.

故选A.

【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较.

~2

/、-X+ax—1,X1,

9.设函数/(x)=〈c(八，是R上的减函数，则实数。的取值范围是()

2-(tz+l)x,x<l

A-[T|]C.(T,2]D.[|,2

【答案】A

【解析】

【分析】利用分段函数单调性及一次函数，二次函数的单调性计算即可.

-<1

23

【详解】由题意可得：《a+1>0—1<a«—，

/、2

2—(a+l)xl2—1+a—1

故实数。的取值范围是［-1,|.

故选：A.

10.已知函数/(%)满足〃一2-%)=〃-2+兀)，对任意石,马£(Y°，—2］,且玉。冗2，都有

/(%)—/(々)>。成立,且/⑼=0,则〃”>0的解集是()

再-x2

A.(—8,—2)D(2,+8)B.(―2,2)

C.(f-4)U(。，”)D.(-4,0)

【答案】D

【解析】

【分析】由已知条件得到了(%)的图象关于x=-2对称，从而可知〃龙)在(-8,-2］上为增函数，在

(-2,+“)上为减函数，且/(-4)=0,再画出折线图表示出函数/(%)的单调性，即可得到答案.

【详解】因数/(%)满足/(—2—x)=/(—2+x).

所以/(%)的图象关于%=-2对称.

因为函数/(九)对任意玉，We(-00，—2］,且工产々，都有二-------^>0成立，

下一%2

所以/(九)在(-8,-2］上为增函数.

又因为/(%)的图象关于x=—2对称，/(0)=0,

所以/(%)在(—2,+“)为减函数，且"-4)=0.

用折线图表示函数/(尤)的单调性，如图所示：

由图知：/(x)>0^>-4<x<0.

故选：D.

11.已知函数/(%)的定义域为R,且/(2x—1)为奇函数，+为偶函数，当1,1］时,

f(x)=ax+l,则“2025)=()

A.0B.1C.2D.2025

【答案】C

【解析】

【分析】由函数奇偶性，确定/(九)为周期函数，再结合/(—1)=0,求得。，即可求解.

【详解】因为/(2x—1)为奇函数，所以/(%)关于点(—1,0)中心对称，

又/(x+1)为偶函数，所以/(九)关于直线x=l对称，

所以/(九)为周期函数且周期T=4x|l—(-1)=8,

・・・/(2025)=/(8x253+1)=/(1)=〃+1,*/f(—1)=—a+1=0,/.tz=1,/.f(2025)=«+1=2.

故选:C.

,、flnx,x>0

I，设函数小)大+(。+2卜+2初.<0若方程/(x)=HR+1恰有2个实数解，则实数a的取值范

围是()

/cl「1/(11r,x

A.(-℃,0]o7，万B.[一*]1[L+00)

C.(-co,0]u|-^jo[l,+co)D.(-co,0]u|-^-jo3，+°°]

【答案】D

【解析】

lnx-1八

------,x>0

X

【分析】化简/(耳=。国+1,进行参变分离，求出

9,画出图像根据图像

X2+2X-1,八1

---------,x<0,1。一1

L-2%-2

得出结论.

]nx-ax-l,x>Q

【详解】化简〃6=4乂+1得"》)二，

犬2+(2a+2)x+2a—1,九«0

lnx-l八

------,x>0

%

a-\

炉+2x―I

---------,x<0,九。一1

〔-2%-2

当x>0时，设/z(x)=见匚,(x>0)

X

7“、2-lnx一2-lne2

h(x)二——2，h(e9):=0

xe4

当0<x<e2时，〃'(%)>0,/?(%)在(0"2)上单调递增;

当e2<x时，〃(尤)<0,例>)在卜2,+8)上单调递减;

11

n1白，且当e2<x时，h(x)=lnx-1八

丸(X)max=以/)----->0；

e2x

当xWO,xw—I时，设©)=『+2xT=_3+，(xW0,x，—l)

-lx-22x+1

易知函数，(x)在(―8,-1),(一1,0]分别单调递减，7(0)=!

2

画出函数图像

根据图像可得ae(-oo,0]

故选：D.

【点睛】本题采取的是数形结合的思想，在进行分离变量的时候要探讨参数的取值范围.

二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)

13.己知集合A={xGR||x+2|<3},集合8={尤GR|(x-M(x-2)<0},且4门8=(-1,〃)，则〃z+“=.

【答案】0

【解析】

【分析】

解绝对值不等式求出集合A,由AAB的结果得m的范围，解一元二次不等式求出集合B即可求得AHB

从而求得n.

【详解】A={xe7?||x+2|<3)={xe7?|-5<x<l},

由Ari8=(—1,〃)得

®JB={^m<x<2},画出数轴，可得片T,“=1.

-63??-<!)-------x

-5-1012

所以m+n=O.

故答案为：0

【点睛】本题考查集合的交集运算，涉及绝对值不等式、一元二次不等式，属于基础题.

2

3

14.log53-log9V5+^+[(—5疗—(2』广-------------

9

【答案】-

2

【解析】

【分析】根据对数的运算以及指数运算求解即可.

11

【详解】log975=^41[(-5)4]4=(54)4=5

log53-410g53

119

原式=_+_+5_1=_

442

9

故答案为：—

2

15.函数f(%)=loSi(-2尤?+3%+2)的单调递减区间为

【答案】

【解析】

【分析】求出函数的定义域，确定/(%)=l°gi(-2V+3x+2)由y=logM”=-2%2+3无+2复合而成,

55

判断这两个函数的单调性，根据复合函数的单调性，即可求得答案.

【详解】由题意知函数于(%)=log](-2%2+3%+2),

5

1

令e=—2x2+3x+2，则〃=—2x9+3x+2>0,—<x<2,

2

贝I]/(%)=log1(—2/+3x+2)即由y=log」/u=-2x2+3x+2复合而成,

55

由于y=log,w在(o,+8)上单调递减，

5

故要求函数于(x)=log1(―2/+3x+2)的单调递减区间，

5

91

即求M=-2x2+3x+2,(―5〈尤<2)的单调递增区间,

3

而〃=-2x2+3x+2的对称轴为x=一,

4

,1

则a=-2x2+3x+2,(--<x<2)的单调递增区间为

故答案为：［一万,1)

23

16.已知凡。为正实数，直线，=%—a与曲线y=ln(x+b)相切，则一+—的最小值为

ab

【答案】5+2指

【解析】

【分析】

函数求导，由切线方程丁=%-。可得a+b=l,再利用基本不等式求得最值.

【详解】y=ln(x+与的导数为y=',

x+b

由切线的方程a可得切线的斜率为1,可得切点的横坐标为1-b,切点为(1-九。),

代入y=x—得Q+Z?=l,

---d。为正实数，

EI23/,、/23.c_2b3a、匚。［2b3a匚、「

贝!J—I—=(a+Z?)(—I—)=2+3H-----1-----25+2J=5+276，

ababab\ab

当且仅当〃=逅〃，即〃=病—2/=3—而时，取得最小值5+2指.

3

故答案为：5+2A/6

【点睛】本题考查导数的运算、导数的几何意义及基本不等式求最值，属于基础题.

41

17.已知Q>Z?>0,当4〃+--------+--------取到最小值时，a=.

2a+b2a—b

3

【答案】-##0.75

4

【解析】

4141

【分析】先将4〃+——-+--------化为2。+人+——-+2a-b+——再结合基本不等式即可求出最

2a+b2a-b2a+b2a—b

小值及此时。的值.

41

【详解】知〃>b>0,当4。+-----+------取到最小值时，a=

2a+b2a-b

4141

由题意知：4aH-----------1---------=2a+Z?-l-----------1-2ci—bH----------

2a+b2a—b2a+b2a—b

H("三+2

=6,

4131

当且仅当2。~\~b=--------,2。—b=---------，即o=—,b——时取等，

2a+b2a-b42

413

故当4。+------+------取到最小值时,ci———.

2a+b2a—b4

,3

故答案为：一.

4

18.设函数〃尤)是定义在R上的奇函数，且当x20时，/(%)=x2.若对任意的x«a,a+2],不等式

f(x+a)>2/(x)恒成立，则实数a的取值范围是.

【答案】[也+8)

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性求得函数的解析式，然后根据函数的单调性列出不等式，转化为最值问题，即可

求得结果.

【详解】设九<0,则一x>0,因为当x20时，f(x)=x2,则/(_尤)=(_%)2=尤2,

且函数/(九)是定义在R上的奇函数，贝U/(x)=—/(—X)=-Y

所以/。，贝i]2/(x)=/(0x).

x,x<0

因此，原不等式等价于/(x+a)2/(、历x).

因为/(%)在R上是增函数，所以x+a2缶，即—1卜.

又xe[a,a+2],所以当x=a+2时，(、历一1卜取得最大值(、历一1)(。+2).

因此，a>(V2-l)(a+2),解得

故a的取值范围是[后,+8).

故答案为：[后,+勾

三、解答题(本大题共2小题，共28分)

19.已知函数〃x)=(x—l)e“—d.

(1)求函数的单调区间；

(2)求“X)的零点个数.

(3)g(x)=/(x)-加在区间-L：上有两个零点，求冽的范围？

【答案】(1)/(%)的单调减区间为：(01n2)；单调增区间为：(—吗0),(In2,内)

人「捉1(

(2)1个(3)L---2----4,-1J

【解析】

【分析】(1)对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可；

(2)结合(1)问单调性，求出函数7(%)的值域，结合零点存在定理即可求解.

(3)将零点问题转化为函数交点问题，求出/(幻在区间-l,g上的值域即可求解.

【小问1详解】

由题可得：f\x)=xex-2x=x(eA-2),

令/'(x)=0,解得：x=0或x=ln2,

令广(%)<0,解得：0vxvln2；

令/'(x)>0,解得：％<0或%>ln2；

所以/(x)的单调减区间为：(01n2)；单调增区间为：(—8,0),(In2,+8)

【小问2详解】

因为/(x)单调减区间为：(0,ln2)；单调增区间为：(-oo,0),(In2,+oo),

由于/(0)=-1<0,则f(x)在由oo,0)上无零点;

由于/(ln2)=2(ln2-l)-(ln2)2<0,则/(幻在(0,In2)上无零点;

由于/(2)=e2-4>0,则穴v)在(In2,2)上存在唯一零点；

综上，函数/(%)在R上存在唯一零点.

【小问3详解】

若g(x)=/(x)—加在区间t]上有两个零点，则函数y=/(x)与丁=7〃在区间-l,g上有两个交

点；

由(1)知，/(X)在(—1,0)上单调递增，(0,g)上单调递减；

/(-1)=-1-L/(0)=-1<0,=>/(-1),

所以函数y=/(x)与丁=加在区间-1,上有两个交点，则—《£一!三相<—1,

L2J24

即g(x)=/(x)在区间T，g上有两个零点，则冽的范围为―-£—

22

20.已知函数/(%)=—2〃In九——,g(x)=。%一(2a+l)ln犬——,其中aeR.

JCx

(1)若/'(2)=0,求实数a的值

(2)当a>0时，求函数g(x)的单调区间；

(3)若存在xe-,e2使得不等式/(x)Wg(x)成立，求实数a的取值范围.

e

【答案】(1)-

2

(2)答案见解析(3)[―e,+8)

【解析】

【分析】(D求导可得/'(%),由/'(2)=0代入计算，即可求解；

(2)求导可得g，(x)=If匕丝=1,然后分a=±a>±0<a<L讨论，即可求解；