2024-2025学年河北省曲阳某中学高三第六次模拟考试数学试题（含解析）

2024-2025学年河北省曲阳一中高三第六次模拟考试数学试题试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/（%）=A/3sin8-coscox（（o〉0）,y=/（%）的图象与直线v=2的两个相邻交点的距离等于兀,则/（%）

的一条对称轴是（）

71717171

A.x------B.x——C.x-----D.x——

121233

2.在关于x的不等式依2+2x+l>0中，“。>1”是“依2+2%+1>0恒成立”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知向量a=（〃2,1）,b=（3,m-2）,则加=3是a//。的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

（、[a,a..b

4.已知函数/（%）=213113%）（。>0）的图象与直线丫=2的相邻交点间的距离为万，若定义max{a,。}=,;

[b,a<b

兀3万

则函数h(x)=max{/(x),于(x)cosx}在区间3F内的图象是（）

B.

5.且一是+/<1”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.抛物线二二二二二的准线与双曲线一的两条渐近线所围成的三角形面积为一：，则二的值为（）

■。11*.MAM'1

••

A.jB.6C・/D.2

7.点。为AA5C的三条中线的交点，且Q4,O3,AB=2,则ACBC的值为（）

A.4B.8C.6D.12

8.现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的

概率为

1111

A.—B.—C.—E

23612

9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（）

A.3行B.2A/5C.2娓D.277

10.我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》,

有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.某中学

拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝

时期专著的概率为（）

4

5

JT\jr57r

11.如图是函数y=Asin(<ax+0)|XGR,A>0,（D〉。,°<°<万在区间-守不上的图象，为了得到这个函数的

图象，只需将y=sinx（_xeR）的图象上的所有的点（)

B.向左平移三个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变

c.向左平移弓个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的5,纵坐标不变

D.向左平移J个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变

O

12.数列｛4｝满足：/=g，4-%+i=244+1，则数列｛44+J前10项的和为

1020918

A.—B.—C.—D.—

21211919

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知sina=不夕贝!!tan[a+ij=。

14.已知a的终边过点(3根,一2),若tan(〃+a)=g,则

x+y>0

15.设实数X,y满足｛x—y+220,则z=2x—y的最大值是.

5x-y-6Vo

16.已知，，)是夹角为90°的两个单位向量，若。=»+/,b=j,则。与人的夹角为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1k

17.(12分)已知函数/(x)=(x——)lnx,g(x)=x——.

XX

(1)证明：函数/(尤)的极小值点为1;

17

(2)若函数y=/(x)—g(x)在［1,+8)有两个零点，证明：1W左＜木.

8

18.(12分)一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端.某种植户对一块地的〃(〃eN*)

个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为工，且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言，

如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.

(1)当〃取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？

(2)当〃=4时，用X表示要补播种的坑的个数，求X的分布列与数学期望.

19.(12分)已知椭圆C的焦点在x轴上，且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长g为且面积为2a的菱形.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设M(-3,0)，过椭圆C右焦点F的直线/交于A、3两点，若对满足条件的任意直线I,不等式R)

恒成立，求彳的最小值.

20.(12分)已知函数=+

(I)若加=1,求曲线y=/(x)在(LAD)处的切线方程；

(II)当相£1时，要使/(%)>%In%恒成立，求实数根的取值范围.

21.(12分)某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同

性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%,

统计情况如下表:

同意不同意合计

男生a5

女生40d

合计100

(1)求a,d的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由;

(2)将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4位学生进行长期跟踪调

查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为X,求X的分布列及数学期望.

附：烂=<ad-bcf

(a+b)(c+d)(〃+c)3+d)

P心及)0.150.1000.0500.0250.010

2.0722.7063.8415.0246.635

22.(10分)已知函数/'(x)=lnx-x2+ax(awR).

(1)若/(x)W0恒成立，求。的取值范围；

(2)设函数“X)的极值点为5,当。变化时，点(%,/(%))构成曲线以，证明：过原点的任意直线丫=履与曲线M

有且仅有一个公共点.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

由题，得/(x)=6sinox-coscox=2sin10x-胃］，由V=/(%)的图象与直线V=2的两个相邻交点的距离等于

JT7T77

万，可得最小正周期7=万，从而求得得到函数的解析式，又因为当％=—时，2%—-=—,由此即可得到本题

362

答案.

【详解】

由题，得/(x)=sincox-coscox=2sm^(Dx-^^,

因为V=fM的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于式,

27r

所以函数y=/(x)的最小正周期T=万，则。=干=2,

所以/(x)=2sin12x-蓝］,

,n,717t

当x=一时，2x——=—,

362

所以x=。是函数/(》)=25垣］2%一?］的一条对称轴，

故选：D

本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.

2.C

【解析】

讨论当。>1时，or?+2%+1>0是否恒成立；讨论当or?+2x+l>0恒成立时，。>1是否成立，即可选出正确答案.

【详解】

解：当时，A=4-4a<0,由y=ax?+2x+l开口向上，则依z+2%+1>。恒成立；

当依2+2%+1>0恒成立时，若。=0,则2x+l>0不恒成立，不符合题意，

a>0

若a/0时，要使得G?+2》+1>0恒成立，贝股八〃,八，即。>1.

A=4-4a<0

所以"a>r'是“依2+2x+1>0恒成立”的充要条件.

故选:C.

本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若。=4,则推出。

是q的充分条件；若qnp,则推出。是q的必要条件.

3.A

【解析】

向量a=（7%,l），b—（3,zn-2）»a//b，贝！!3=wz（m—2）,BPITT—2m—3=0>〃?=3或者-1,判断出即可.

【详解】

11

解：向量a=（加,1），6=（3,机—2），

al1b则3=加（帆—2）,即苏―2祖—3=0,

/=3或者-1,

所以加=3是相=3或者m—的充分不必要条件，

故选：A.

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量平行的坐标表示，属于基础题.

4.A

【解析】

71

由题知/（x）=2tan3x）3>0）,利用7=时求出①，再根据题给定义，化简求出妆”的解析式，结合正弦函数和

正切函数图象判断，即可得出答案.

【详解】

根据题意，/（%）=2tan（0r）（（y>0）的图象与直线y=2的相邻交点间的距离为兀,

所以/（%）=2tan（（yx）（o>0）的周期为"，则。='=生=1,

Tn

’71

2sin

所以//(%)=max{2tanx,2sinx]=<

2tanx,xG兀r

I2)

由正弦函数和正切函数图象可知A正确.

故选：A.

本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.

5.A

【解析】

画出“-14x+yV1,-1<尤―y<1,%2+/<1,所表示的平面区域，即可进行判断.

【详解】

如图，“―1«%+y<1且—1<%—丁<1”表示的区域是如图所示的正方形，

记为集合P,“x2+y2<r，表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q,

显然P是。的真子集，所以答案是充分非必要条件，

故选:A.

本题考查了不等式表示的平面区域问题，考查命题的充分条件和必要条件的判断，难度较易.

6.A

【解析】

求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值.

【详解】

抛物线G的准线为双曲线_：的两条渐近线为,，可得两交点为

jj=——Lte———=J」=+一口

-....r_，即有三角形的面积为，一r_,解得-=夕故选人

一：，—)zxTx--

本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题.

7.B

【解析】

2AC-BC=3AOAC=2AO+BO

可画出图形，根据条件可得《,从而可解出＜,然后根据Q4,03,A3=2进

2BC-AC=3BOBC=2BO+AO

行数量积的运算即可求出AC•3C=(2AO+BOy(2BO+A。)=8.

【详解】

如图：

A

点。为AABC的三条中线的交点

A(9=1(AB+AC)=1(2AC-BC),BO=^(BA+BC)=1(2BC-AC)

f2AC-BC=3A(9fAC=2A(9+B(9

由\可得：〈，

2BC-AC=3BO[BC=2BO+AO

又因Q4_LO3,AB=2,

.,.....2.2.2

ACBC=(2AO+BO}-(2BO+AO)=2AO+2BO~=2AB=8-

故选：B

本题考查三角形重心的定义及性质，向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运

算及向量的数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题.

8.B

【解析】

求得基本事件的总数为〃=卷=6,其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为根=C；C；也=2,

4

利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.

【详解】

由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,

C2c2

基本事件的总数为〃=X团=6,

4

其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为根==2,

ml

所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为p=—=；,故选B.

n3

本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基

本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查

了运算与求解能力，属于基础题.

9.C

【解析】

根据三视图，可得该几何体是一个三棱锥S—ABC,并且平面SAC_L平面ABC,AC±BC,过S作SDLAC,连接

BD,AD=2,AC=2,BC=2,SD=2,再求得其它的棱长比较下结论.

【详解】

如图所示：

由三视图得：该几何体是一个三棱锥S—ABC,且平面SACJ,平面ABC,AC±BC,

过S作连接则皿=2,AC=2,BC=2,SD=2,

所以劭=4DC2+BC2=V20，SB=JS7?2+加2=2瓜，弘=痴2+叔=?也，

SC=yjSD2+AC2=2A/5，

该几何体中的最长棱长为2瓜.

故选：C

本题主要考查三视图还原几何体，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.

10.D

【解析】

利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至

少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果.

【详解】

《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝

时期.记这5部专著分别为a,b,c,d,e,其中a,仇。产生于汉、魏、晋、南北朝时期.从这5部专著中选择2部作为“数

学文化”校本课程学习内容，基本事件有a）,ac,ad,ae,Z?c,a/,Z?e,cd,ce,de,共10种情况，所选2部专著中至少有一部

是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有4万,4。,a/,463。,/%?36,。汗,。6,,共9种情况，所以所选2部专著中至

H79

少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为「=一=一.故选D.

n10

本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的

关键，基本事件的探求方法有（1）枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；（2）树状图法：适合于较

为复杂的问题中的基本事件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先（4，片），（4，生）.…（A，纥），

再⑷目），（4,与）.….（4,凡）依次（A，4）（4,9）•…（4,凡）…这样才能避免多写、漏写现象的发生.

11.A

【解析】

由函数的最大值求出A,根据周期求出0,由五点画法中的点坐标求出9,进而求出丁=45皿（啰％+。）的解析式，与

y=sin宜%eR）对比结合坐标变换关系，即可求出结论.

【详解】

由图可知A=1,T=%,「.69=2,

冗冗

又co+（p=2k兀（kGZ）,:.（p-IkyiH——（左wz）,

63

又0</<、，:.（p=g：.j=sin^2x+y^,

..・为了得到这个函数的图象，

只需将y=sinx（xeR）的图象上的所有向左平移q个长度单位，

得至Uy=sin[x+g]的图象，

再将y=sin[x+g]的图象上各点的横坐标变为原来的;（纵坐标不变）即可.

故选:A

本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题.

12.A

【解析】

11c1

分析：通过对an-an+i=2anan+i变形可知--------=2,进而可知4=------,利用裂项相消法求和即可.

an+ian2n—1

详解：・,・^--=2.

an+lan

1

又—=5,

a3

.•.：=，+2（n—3）=2n—l,即

〃32〃一1

aa

nn+l=I（/-4+1）1o11_o'|，

22\2n-l2n+lJ

二数列｛4%+J前10项的和为+=¥

故选A.

点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子

的结构特点，常见的裂项技巧：⑴;=H占]⑵焉+6](后一旦⑶

]_U_j_______]_）.]=j_11

（2«-l）（2n+l）~2{2n-l~2n+l）；⑷小+1）（“+2）-2此外，需注意裂项

之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13.一

7

【解析】

由已知求tanc,再利用和角正切公式，求得tan](z+(j,

【详解】

3(JI43

因为aGI»J，所以cosa=-1,tana=,

/、1-1

.,(7i11+tana41

因止I匕ttan—+a=-------=——.

(4)1-tana1十。7

4

本题考查了同角三角函数基本关系式与和角的正切公式。

14.-2

【解析】

/由题意利用任意角的三角函数的定义，求得加的值.

【详解】

«的终边过点（3根,一2）,若tan（〃+a）=g,

/、-21-

tan（yr+（z）=tana=——=—m=-2..

V73m3

即答案为-2.

本题主要考查任意角的三角函数的定义和诱导公式，属基础题.

15.1

【解析】

根据目标函数的解析式形式，分析目标函数的几何意义，然后判断求出目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解.

【详解】

x+y..0

作出实数X,y满足V+2..0表示的平面区域，如图所示：

5x-y-6,,0

由z=2x-y可得y=2x-z,则一z表示直线z=2x-y在y轴上的截距，截距越小，z越大.

x+y=0

由L,c可得C(l,—1)，此时Z最大为1,

5x-y-6=0

本题主要考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想.

16.45°

【解析】

2

依题意可得，j=0,再根据.=+/J=J/+2./+J?求模,a必=1+/卜/・=，./+厂求数量积，最后根据夹

角公式计算可得;

【详解】

解：因为，"是夹角为90。的两个单位向量

所以i・j=0,

又Q=i+j,b=j

所以H=J(，+=Ji+23j+jnJ]2+2X0+]2W==a-b^(i+j\j^i.j+j'=l

/_r\a-b142

所以3«1)=雨=百=7,

因为0<(a,b)<180所以cos卜力)=45。；

故答案为：45°

本题考查平面向量的数量积的运算律，以及夹角的计算，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析(2)见解析

【解析】

⑴利用导函数的正负确定函数的增减.(2)函数y=/(x)—g(x)在［1,内)有两个零点，即方程(f一1)成—£=—左

在区间［1,+8)有两解，令〃(x)=(V-l)lnx-V通过二次求导确定函数单调性证明参数范围.

【详解】

解：(1)证明：因为/'(X)=[l+f]lnjr+[l-1,(%>0)

X

llix/o,1H..-\0,1----<0,

当工£(0,1)时/1W<0,

所以/(%)在区间(0,1)递减；

当x£(1,+co)时，lux>0,1H——>0,1——>0,

XX

所以/'(力>0,所以/(%)在区间(1,内)递增;

且/'(1)=0,所以函数/(%)的极小值点为1

（2）函数y=/（x）—g（x）在［1,+8）有两个零点,

即方程(X?-l)lnx-x2=一左在区间［1,+8)有两解，

令/?(%)=(无2-l)lnv-x2,则/f(x)=2xlnx-x--

X

令0(x)="(x)(x21),则。<%)=21nx+e+l>0,

JC

所以"（九）在［1,+s）单调递增，

又勿⑴=—2<0,/z,（2）=41n2-1>0

故存在唯一的相£（1,2）,使得/?'（加）=2?nlnm一加一工二0,即lnm=!d——［

m22m

所以/z（x）在（1,m）单调递减，在区间（加,+8）单调递增，

且/z(l)=/z(e)=_l,又因为

17

加«1，2），所以可力而/一0，

O

方程关于X的方程（无2—l）lnx—丁=—左在［1,+8）有两个零点，

17

由/（X）的图象可知,----</z（x）min<-^</z（l）=-l,

8min

17

即1〈左<—.

8

本题考查利用导数研究函数单调性，确定函数的极值,利用二次求导，零点存在性定理确定参数范围，属于难题.

18.（1）当〃=5或〃=6时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为3；（2）见解析.

16

【解析】

（1）将有3个坑需要补种表示成n的函数，考查函数随n的变化情况，即可得到n为何值时有3个坑要补播种的概率

最大.（2）"=1时，X的所有可能的取值为0,1,2,3,1.分别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望

即可.

【详解】

（1）对一个坑而言，要补播种的概率+c］£|=g

有3个坑要补播种的概率为.

当〃=5时,

当〃=6时,

所以当"=5或九=6时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为二.

16

(2)由已知，X的可能取值为0,1，2,3,

所以X的分布列为

X01231

1]_3£1

p

1648416

X的数学期望石X=4x^=2.

2

本题考查了古典概型的概率求法，离散型随机变量的概率分布，二项分布，主要考查简单的计算，属于中档题.

/31

19.(1)—+/=1(2)—

22

【解析】

(1)由已知条件列出关于4和8的方程，并计算出。和b的值，jike得到椭圆的方程.

(2)设出点4和点3坐标，运用点坐标计算出分类讨论直线/的斜率存在和不存在两种情况，求解出力的

最小值.

【详解】

--2a-2b=242「

(1)由己知得：＜2,解得b=l

a2+b2=3

所以，椭圆C的方程］+丁=1

(2)设=(玉+3,%>(%2+3,%)=(玉+3)(%2+3)+%%

,1

当直线/垂直于x轴时，石=%2=1，%=一％且先=5

31

此时MA=(4,yJ,Affi=(4,y2),:.MAMB=—

当直线/不垂直于x轴时，设直线/：丁=左(%—1)

\y=k(x-l)

由《00—4左2%+2左2—2=0.

x~+2y'=2

4k22A2_2

X,+X.=-----7，X,X=------

1'l+2k221+2公

2

...M4.MB=X,X2+3(X1+X2)+9+Z:(X1-1)(X2-1)=^1^=^31-^-I^<1.

..3131

要使MA-MSV2(4eR)恒成立，只需X2(M4-"B)=不，即；l最小值为一

111ax22

本题考查了求解椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，求解过程中需要分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况,

并运用根与系数的关系转化为只含一个变量的表达式进行求解，需要掌握解题方法，并且有一定的计算量.

【解析】

(I)求函数的导函数，即可求得切线的斜率，则切线方程得解；

(II)构造函数y=/(x)-%加，对参数分类讨论，求得函数的单调性，以及最值，即可容易求得参数范围.

【详解】

(I)当m=1时，/(x)=x2Hnx+-j,则/(x)=2x]lnx+g)+x.

所以/'⑴=2.

113

又/(1)=5,故所求切线方程为y—5=2(X—1),即y=2x—耳.

(II)依题意，得mx?[inx+g]〉xlnx,

即mx21lnx+g]-xlnx〉0恒成立.

令g(%)=mx1\lnx+—|-xlnx,

则g'(x)=(2mx-l)(lnx+l).

①当机40时，因为g(l)=gm<0,不合题意.

②当0<加<1时，令g'(x)=。，

后11口q11

倚为=,x=—,显然>—•.

2m?e2me

令,(x)>0,得0<xJ或x〉，令，(x)<0,n-<x<—.

e2me2m

所以函数g(x)的单调递增区间是I。2],，+°°

,单调递减区间是

e2m)

当时,rwc2一％<0，InxvO,

所以g(x)=加/1]nx+g)—xlnx=

nvc2+>0,

£lni+i>0,所以心左’

只需g

2m

所以实数机的取值范围为

本题考查利用导数的几何意义求切线方程，以及利用导数研究恒成立问题，属综合中档题.

21.(1)a=20,d=35,有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性另产有关；(2)详见解析.

【解析】

(1)根据表格及同意父母生“二孩”占60%可求出a,d，根据公式计算结果即可确定有97.5%的把握认为是否同意父母

生“二孩”与“性别”有关(2)由题意可知X服从二项分布，利用公式计算概率及期望即可.

【详解】

(1)因为100人中同意父母生“二孩”占60%,

所以a=60—40=20,d=40—5=35

文⑵由列联表可得K=嗤黑蔑J竽>5.024

而P(/>5.024)=2.5%

所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关

(2)①由题知持“同意”态度的学生的频率为史=!,

100S

即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为三由于总体容量很大,

S

故X服从二项分布，

即(4,?,汽>=k)=G)'T(Jk=0,123,4)从而x的分布列为

X01234

MN7Mnta

)3*3SBSB

x的数学期望为美

本题主要考查了相关性检验、二项分布，属于中档题.

22.(1)a<l；(2)证明见解析

【解析】

InVInx

(1)由/(x)wo恒成立，可得a<x——恒成立，进而构造函数g(x)=x-----,求导可判断出g(x)的单调性,

XX

进而可求出g(x)的最小值g(x)min，令。<gQMn即可；

(2)由f'(x)=—2厂+奴+1,可知存在唯一的X。e(0,+8),使得八%)=0,贝！|—2x；+”+l=0,a=2x0--,

XX0

进而可得/(%)=lnxo+xo2—l，即曲线”的方程为y=lnx+x2—1,进而只需证明对任意keR,方程

Inx+V—1=丘有唯一解，然后构造函数尸(x)=lnx+尤2——一1,分左<0、0〈左<2后和左>2&三种情况，

分别证明函数F(x)在(0,+co)上有唯一的零点，即可证明结论成立.

【详解】

Inx

(1)由题意，可知%>0,由/(x)<0恒成立，可得QV九-----恒成立.

./、Inxe,x~—1+Inx

令g(x)=x-----,贝ljg'x)=

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