2024-2025学年江苏省镇江某中学九年级（上）第一次月考数学试卷

2024-2025学年江苏省镇江外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷

一.选择题（共9小题）

1.（3分）已知中，NC=90°,/C=3,以。为圆心，r为半径的圆与边有两个交点（）

A.尸卫B.C.3<r<4D.—

5550

2.（3分）关于x的一元二次方程（a-1）x?+x+同-1=0的一个根是0,则实数a的值为（）

A.-1B.0C.1D.-1或1

3.（3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程-13x+15=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）

A.8B.11.5C.10D.8或11.5

4.(3分)已知a是方程，+x-1=0的一个根，则的值为()

212

a-1a-a

A.二］-B.二1土店.C.-1D.1

22

5.(3分)关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是处=-2,X2=1(a，m,b均为常数，aWO),则方程a

(x+m+2)2+b=0的确军是()

A.xi--2,X2=1B.xi=1,%2=3

C.xi=-4,X2=-1D.无法求解

21“通实数根，设此方程的一个实数根为

6.（3分）已知关于x的一元二次方程x?-4/-5m+4,

则（）

A.y>-2B.代-2C./-2D.y<-2

7.（3分）已知关于x的方程a/+6x+c=5的一个根是2,且二次函数y=a/+bx+c的对称轴是直线x=2,

则这条抛物线的顶点坐标为（）

A.（2,-3）B.（2,1）C.（2,5）D.（5,2）

8.（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+2（aWO）2-2x（aWO）的图象可能是（）

第1页（共20页）

9.（3分）若抛物线＞=，+姓+%与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛

物线的对称轴为直线x=l,再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）

A.（-3,-6）B.（-3,0）C.（-3,-5）D.（-3,-1）

二.填空题（共11小题）

10.（3分）已知关于x的方程（m+2）—+4始:+1=0是一元二次方程，则机的取值范围是.

11.（3分）方程，-2021x=0中较小的根是.

12.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点/、8的坐标分别为（0,1）和（J5,0）.

13.（3分）若一个三角形两条边长为和2和4,第三边长满足方程，-7x+10=0,则此三角形的周长

为.

14.（3分）关于x的一元二次方程依2+2关-1=。有两个不相等的实数根，则后的取值范围

是.

15.（3分）如图，在等腰直角△NBC中，斜边A3的长度为8,点尸为半圆上的动点，连接AP,则CM

16.（3分）若一元二次方程x2-x+a=0有实数根，则。的取值范围是.

17.（3分）已知a-b=8,"+16W0,贝Ua+26的值为.

18.（3分）如图，在△/。2中，/AOB=9G°,03=4,以。为圆心，分别交04、48于点C、D,则阴

影部分面积为（结果保留TT）.

第2页（共20页）

B

O--------------A

19.（3分）已知抛物线y=ax2+6x+c的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为（4,0）,其部分图

象如图所示；②4。+6=0；③a-6+cV（）2>4ac；⑤当》<2时，y随x的增大而增大.（填

20.（3分）当xWl时，二次函数夕=-（x-w）2+m2+l有最大值4,则实数m的值为.

三.解答题（共7小题）

21.如图，4D为△4BC外接圆的直径，ADLBC,的平分线交4D于点E,连接2。

（1）求证：BD=CD；

（2）请判断2,E,C三点是否在以。为圆心，以D2为半径的圆上？并说明理由.

22.已知一元二次方程ax2+6x+c=0的一个根为1,且a、b满足b=7a-2+Y2-a+3

23.已知关于x的一元二次方程x?-4x-m2=0.

（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；

（2）若该方程的两个实数根XI,X2满足XlX2+xi+X2=3,求7%的值.

24.矩形/BCD中，4B=17,5C=A/21）且满足4P=3尸C,求心之长.

第3页（共20页）

25.已知CD为△/2C的中线，//及NADC的度数分别是方程』-75工+1350=0的两根.

(1)求//及乙8。。的度数；

(2)求N3的度数.

26.王老师提出问题：求代数式，+4x+5的最小值.要求同学们运用所学知识进行解答.

同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；

解：X2+4X+5=X2+4X+22-22+5=(x+2)2+1,

1.,(x+2)220,(x+2)2+l2l.

当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1.

.'.X2+4X+5的最小值是1.

请你根据上述方法，解答下列各题：

(1)直接写出(x-1)2+3的最小值为.

(2)求代数式/+10X+32的最小值.

(3)你认为代数式」x2+2x+5有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值.

3

(4)若7x-f+y-11=0,求x+y的最小值.

27.如图一，48是OO的直径，/C是弦，ADLEF,垂足为D.

(1)求证：NCAD=NBAC；

(2)如图二，若把直线跖向上移动，使得所与O。相交于G(点C在点G的右侧)，连接/C,AG,

这时图中是否存在与相等的角？若存在，找出一个这样的角；若不存在，说明理由.

第4页(共20页)

5JB.

EDFEG

图一图二

第5页（共20页）

2024-2025学年江苏省镇江外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷

参考答案与试题解析

选择题（共9小题）

1.（3分）已知RtZXNBC中，ZC=90°,AC=3,以C为圆心，：•为半径的圆与边有两个交点（）

A.r=l^B.C.3<r<4D.丝

5550

【解答】解：如图，

*：BC>AC,

・••以。为圆心，R为半径所作的圆与斜边45有两个交点，小于或等于4。

由勾股定理知，^=VAC2+BC2-

SAABC=1AC・BC=-IAX3X4=A,

2522

；.CD=^-,

5

即R的取值范围是」Z<rW2.

5

故选：D.

2.（3分）关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0,则实数a的值为（）

A.-1B.0C.1D.-1或1

【解答】解：把x=0代入方程得：

⑷-1=2,

.*.6Z=±L

•・•〃-1W8,

••ci—1.

故选：A.

3.（3分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程2x2-i3x+15=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）

A.8B.11.5C.10D.8或11.5

【解答】解：解方程2，-13x+15=2得：x=5或1.6,

第6页（共20页）

①当等腰三角形的三边为5,5,3.5时，三角形的周长是5+5+1.5=11.5,

②当等腰三角形的三边为1.5,5.5,,1.6+L5V7,不能组成三角形，

...该等腰三角形的周长是115

故选：B.

4.（3分）已知.是方程/+x-1=0的一个根，则_2_-_工_的值为（）

212

a-1a-a

A.-15底B.-I±述C.-1D.1

22

【解答】解：；知a是方程f+x-1=7的一个根，

••Q2+Q-1=6,

a2+a=l,BPa（a+6）=1,

.・.2_1_2a-（a+1）=1_]

42

a-la-aa（a+8）（a-1）a（a+7）

故选：D.

5.（3分）关于％的方程q（x+冽）2+6=0的解是xi=-2,xi=\（q,m,b均为常数，qWO）,则方程a

（x+m+2）2+6=0的解是（）

A.xi=-2,%2=1B.xi=l,%2=3

C.xi=-4,X2=~1D.无法求解

【解答】解：可把方程。(x+m+2)2+6=4看作关于x+2的一元二次方程,

，关于x的方程a(x+m)2+6=8的解是xi=-2,切=1，

二・关于x+2的方程a(x+m+7)2+b=0的解是％2+2=-2,X2+2=1,

・・X6=14,X2=14.

故选：c.

6.(3分)已知关于x的一元二次方程x21m=Q＜实数根，设此方程的一个实数根为?-4z-5m+4,

7

则()

A.y>-2B.y2-2C.yW-2D.y<-2

【解答】解：•••方程x2.xdm=（0i^数根，

/.A=（-1）8-4XL20,

7

解得mW1,

二•方程A3-%+Xm=3的根为t,

4

第7页(共20页)

:・F-Z+Am=O,

8

4/5-4/+m=0,

即32-4/=-m,

.\y=4t2-4t-5m+4=-m-5加+3=-6m+4,

,加W8,

.,.y，-2.

故选：B.

7.(3分)已知关于x的方程办2+bx+c=5的一个根是2,且二次函数y=q/+bx+c的对称轴是直线、=2,

则这条抛物线的顶点坐标为()

A.(2,-3)B.(2,1)C.(2,5)D.(5,2)

【解答】解：•.,二次函数歹naf+bx+c的对称轴是直线x=2,方程办7+6%+C=5的一个根是2,

当x=8时，y=ax2+bx+c=5,

・・・抛物线的顶点坐标是(3,5).

故选：C.

8.(3分)如图，在同一平面直角坐标系中，函数>=QX+2(Q¥0)2-2X(aWO)的图象可能是()

*

\M-

FV

A,B./

XX/

C.1D.

【解答】解：-.y=ax+2,

:.b=2,

.♦•一次函数图象与y轴的正半轴相交，

①当4>6时，

则二次函数>=-"2_2%(QW8)的图象开口向下,经过原点且对称轴为直线x=-_z2_6<0,

-2aa

②当a<0时，

第8页(共20页)

则二次函数y=-ax7-2x（aWO）的图象开口向上，经过原点且对称轴为直线x=-一^1>7,

-2aa

故D正确；

故选：D.

9.（3分）若抛物线y=，+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛

物线的对称轴为直线x=l,再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）

A.（-3,-6）B.（-3,0）C.（-3,-5）D.（-3,-1）

【解答】解：..•某定弦抛物线的对称轴为直线x=l,

，该定弦抛物线过点（0,8）,0）,

该抛物线解析式为y=x（x-2）=x2-2x=（x-1）2-1.

将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移6个单位2-1-3=（x+1）2-2.

当x=-3时，y=（x+1）2-4=0,

•••得到的新抛物线过点（-6,0）.

故选：B.

二.填空题（共11小题）

10.（3分）已知关于x的方程（根+2）x2+4%x+l=0是一元二次方程，则一的取值范围是加力-2.

【解答】解：由题意得：〃?+2W0,

解得：-4,

故答案为：mW-2.

11.（3分）方程，-2021x=0中较小的根是Q.

【解答】解：；/-202卜=0,

Ax（X-2021）=2,

贝!]x=0或x-2021=0,

解得X2=O,X2=2O21,

方程3-202lx=0中较小的根是0,

故答案为：8.

12.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点/、3的坐标分别为（0,1）和（«,0）―（近,工）.

—2-2―

第9页（共20页）

【解答】解：是直角三角形，

.♦.△048外接圆的圆心是斜边48的中点，

:点/、3的坐标分别为（0如,2）,

...△CU8外接圆的圆心坐标是（1工），

22

故答案为：（1，1）.

62

13.（3分）若一个三角形两条边长为和2和4,第三边长满足方程，-7x+10=0,则此三角形的周长为

11.

【解答】解：：/-7》+10=6,

（%-2）（x-5）=2,

则x-2=0或x-5=0,

解得：x=2或x=8,

当x=2时，三边2+7=4；

当x=5时，此三角形的周长为4+4+5=11,

故答案为：11

14.（3分）关于x的一元二次方程fcc2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则〉的取值范围是左>7且

【解答】解：由已知得：_,

tA=b-6ac>0

即产、,

[3+4k>0

解得：k>-3且后WO.

故答案为：k>-1且左W8.

15.（3分）如图，在等腰直角△NBC中，斜边48的长度为8,点尸为半圆上的动点，连接3尸，则CM

的最小值为_、/记-V2—.

第10页（共20页）

【解答】解：如图，连接力，取N8、F,连接£尸、FM,连接。M,CM.

是直径，

AZAPC=90°,

；BE=EA,BM=MP,

J.EM//PA,

同理W〃PC,

:./BME=/BPA,NBMF=/BPC,

:./BME+/BMF=NBPA+/BPC=9Q°,

:.NEMF=90°,

...点M的轨迹是M（昉为直径的半圆，

•；BC=AC,ZACB^90°,

：.AC=BC=4版,

'：AE=EB,BF=CF=7、叵,

:.EF=Lc=2近,

4

:./EFB=/EFC=NACB=9Q°,OE=OF=OM=^,

oc=VOF2-H：F2=V（V7）2+（2V2）2=疝，

CM^OC-OM,

.,.CA/^VTO-

则CM的最小值为-V6.

第11页（共20页）

故答案为：V10-V2,

16.(3分)若一元二次方程x2-x+a=0有实数根，则。的取值范围是

【解答】解：一元二次方程x2-x+a=0有实数根，

，A=(-8)2-4a\7,解得a<1，

故答案为：a4鲁

17.(3分)已知a-6=8,ab+16^0,则a+26的值为-4.

【解答】解：•:a-b=8,

・\。=8+6,

,・5+16《5,

/.(8+6)6+16=庐+4)+16=(6+4)M2,

(6+4)2=2,

:・b=-4,a=4,

・・・a+4b=4+2X(-3)=-4,

故答案为：-4.

18.(3分)如图，在△ZOB中，ZAOB=90°,OB=4,以。为圆心，分别交04、AB于点、C、D,则阴

AZ5=60°,AB=2OB=8,

:-OA=VAB2-OB2=7S8-42=8加,

'：OB=OD,

...△03。是等边三角形，

:.NBOD=60°,

；./D0A=/AOB-/BOD=30°,

：.ZDOA=ZA,

：.DO=DA,过。作。C_LCM于C,

第12页(共20页)

，0C=/C=AcM=2愿，

2

在RtAODC中，

VZDOA^3Q°,

.•.CD=_1(9D=AXX4=2,

252

：.S^=SMOD-S扇形=_1X4a30：；」2=4a_42£

83603

19.（3分）已知抛物线y=ax2+6x+c的对称轴为直线x=2,与x轴的一个交点坐标为（4,0）,其部分图

象如图所示；②4。+6=0；③a-6+cV（）2>4ac；⑤当x<2时，.随x的增大而增大①②⑷.（填

【解答】解：①：抛物线y=ax2+6x+c（aWO）的对称轴为直线x=6,与x轴的一个交点坐标为（4,

，抛物线与x轴的另一交点坐标为（0,4）；

②：抛物线y=ax2+6x+c（a/0）的对称轴为直线x=3,且抛物线过原点，

_a=2,

2a

••b~~~2Q,C=0,

4a+b=6,结论②正确；

③：当x=-1时，y值为正，

.,.a-b+c>0,结论③错误；

④由图象得二次函数与x轴交点有两个知，b4-4ac>0,即a>4℃,结论④正确；

⑤观察函数图象可知：当x<2时，>随x增大而减小.

综上所述，正确的结论有：①②④.

第13页（共20页）

故答案为：①②④.

20.（3分）当xWl时，二次函数＞=-（x-加）2+/+1有最大值%则实数加的值为2或-日

【解答】解：二次函数对称轴为直线X=7〃，

①加W1时，x=%取得最大值，根2+4=4,

解得m=+-./3，

・；加=加都不满足-的范围，

m=-

②加＞1时，X=1取得最大值7+加2+1=3,

解得m—2.

综上所述，m=-、R,二次函数有最大值2.

故答案为：2或

三.解答题（共7小题）

21.如图，4D为△48C外接圆的直径，ADLBC,//8C的平分线交/。于点E,连接

（1）求证：BD=CD；

（2）请判断8,E,C三点是否在以。为圆心，以。8为半径的圆上？并说明理由.

【解答】（1）证明：为直径，ADLBC,

.•.由垂径定理得：BD=CD

根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD.

（2）解：B,E,。三点在以。为圆心.

第14页（共20页）

理由：由（1）知：BD=CD，

AZ1=Z2,

又・・・N8=N3,

・・・N1=N2,

：・/DBE=N3+/4,NDEB=N4+N5,

•「BE是N48C的平分线，

.\Z4=Z8,

/DBE=/DEB,

：.DB=DE.

由（1）知：BD=CD

：・DB=DE=DC.

:.B,E,。三点在以。为圆心.（7分）

22.已知一元二次方程办2+bx+c=o的一个根为1,且或b满足b=工+正工+3

【解答】解：・・Z-220,"6W0,

***6Z=2,

:・b=1,

.・,一元二次方程tzx2+Z）x+c=0的一个根是5,

/•Q+6+C=0,

2+2+c=0,

・・。=-5.

23.已知关于x的一元二次方程©-加2=o.

（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；

（2）若该方程的两个实数根XI，X2满足X1X2+X1+X2=3,求冽的值.

【解答】（1）证明：A=/）2-4ac=（-2）2-4X（-m4）=16+4m2.

A16+4m5>0,即A>0,

・,・该方程有两个不相等的实数根.

（2）解：..•方程f-4x-冽2=6的两个实数根分别为％1、必

.*.X5+X2=4,X4X2=~m2.

第15页（共20页）

又,.*X6X2+X1+%5=3,

-加2+7=3,BP冽2=7,

解得m=±l.

故加的值为±1.

24.矩形/BCD中，AB=17,5C=A/21)且满足4P=3尸C,求心之长.

:AP=3PC,

：.PC=I7-*,

3

在RtZXPBC中，PCS=PB2+BC2,

3+21=（2Zz^）2,

3

：.4x2-17x-50=0,

解得：X4=2,X2=-25（不符合题意舍去），

6

答：PB之长为2.

25.已知CD为△/8C的中线，//及NADC的度数分别是方程f-75x+1350=0的两根.

（1）求//及N3DC的度数；

(x-30)(x-45)=8,

x-30=0或x-45=0,

%6=30,、2=45,

丁ZBDC=ZA+ZACD,

第16页（共20页）

・•・/BDC>/A,

：.ZBDC=45°,ZA=30°

・・・N4的度数为30°,。的度数为45。；

(2)过点5作垂足为H,

AZAHB=ZCHB=90°,

VZA=30°,

ZABH=90°-ZA=60°,

・・・。8是斜边45上的中线，

:・DH=BD=LB,

8

・・・△瓦/D是等边三角形，

：.HD=HB,ZHDB=ZABH=60°,

■:/BDC=45°,

：.ZHDC=ZHDB-ZBDC=15°,

9：ZACD=ZBDC-ZA=15°,

：.ZACD=ZHDC=15°,

：.HD=HC,

:・HB=HC,

：.NHBC=/HCB=45°,

ZABC=ZABH+ZHBC=105°,

・・・N/5。的度数为105°.

26.王老师提出问题：求代数式，+4x+5的最小值.要求同学们运用所学知识进行解答.

同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；

解：X2+4X+5=X2+4X+22-22+5=(x+2)2+1,

(X+2)220,.・・(x+2)2+121.

当G+2)『0时，G+2)2+1的值最小，最小值是1.

第17页（共20页）

.*.X2+4X+5的最小值是1.

请你根据上述方法，解答下列各题:

(1)直接写出(x-1)2+3的最小值为