2024年高中数学新高二暑期衔接-直线和圆锥曲线的位置关系（九大题型）

复习材料

第16讲直线和圆锥曲线的位置关系

【题型归纳目录】

题型一：直线与椭圆的位置关系

题型二：椭圆的弦

题型三：椭圆的综合问题

题型四：直线与双曲线的位置关系

题型五：双曲线的弦

题型六：双曲线的综合问题

题型七：直线与抛物线的位置关系

题型八：抛物线的弦

题型九：抛物线的综合问题

【知识点梳理】

知识点一：直线与椭圆的位置关系

平面内点与椭圆的位置关系

椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任

给一点M(x,y),

22

若点M(x,y)在椭圆上，则有0+2=1(a>6>0)；

ab~

22

若点M(x,y)在椭圆内，贝用A+4<1(a>6>0)；

ab

Y22

若点M(x,仍在椭圆外，贝第节+—V〉l(a〉b>0).

ab

直线与椭圆的位置关系

22

将直线的方程y=履+6与椭圆的方程t+]=l(a>b>0)联立成方程组，消元转化为关于x或y

a"D

的一元二次方程，其判别式为4

①/>0O直线和椭圆相交=直线和椭圆有两个交点(或两个公共点)；

②/=00直线和椭圆相切<=>直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；

③/<00直线和椭圆相离=直线和椭圆无公共点.

直线与椭圆的相交弦

22

设直线歹=履+6交椭圆鼻+A=1(a>b>0)于点片(西,必)，鸟(工2，%),两点，则

ab

IPR1=5(再-％2)2+(弘一%了

复习材料

22

=]（再一]2）2[1+（^~~—）]=A/1+A：\xr-x2\

V-x2

同理可得146-媪（心0）

这里区-X?|,|弘-外I，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

2

|%]-x21="（X]-x2）-4xtx2

|J1-J21=一4乂%

知识点三、直线与双曲线的位置关系

直线与双曲线的位置关系

22

将直线的方程了=丘+加与双曲线的方程1-4=1（。>0/>0）联立成方程组，消元转化为关于X

a"b~

或y的一元二次方程，其判别式为/.

6-a2k2）x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0

若62一力后2=0,即人=±2,直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；

a

若人2-/人2。0,即左W+—,

a

①/>0一直线和双曲线相交=直线和双曲线相交，有两个交点；

②/=0=直线和双曲线相切=直线和双曲线相切，有一个公共点；

③/vo0直线和双曲线相离=直线和双曲线相离，无公共点.

直线与双曲线的相交弦

22

设直线y=Ax+冽交双曲线、■一A=1（a>0,6>0）于点片（国,必）两点，贝U

ab

IPF?h7（%+%）2+（%-%>

222

=/（x,+X2）[1+（——-）]=yjl+k\x{-x2|

\xx-x2

同理可得|=Jg|必一短（上wo）

这里|X「X2I，I%-%I，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

2

\xi-x2\=yj（X]+X2）-4X]》2

I71-y2tJ（必+%>-4M为

双曲线的中点弦问题

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.

复习材料

在双曲线j—4r=1（。〉0,6>0）中，以尸（%,比）为中点的弦所在直线的斜率左=——3；

a"ba"y0

涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转

化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.

解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.

知识点四、直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线的位置关系

将直线的方程了=点+机与抛物线的方程俨=2力m>0）联立成方程组，消元转化为关于尤或y的一元二

次方程，其判别式为/.

ky2-2py+2pm=0

若左=0,直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；

若上片0

①/>0O直线和抛物线相交，有两个交点；

②/=0=直线和抛物线相切，有一个公共点；

③/<00直线和抛物线相离，无公共点.

直线与抛物线的相交弦

..Y2

设直线了=区+加交抛物线一—=1（a>0/〉0）于点耳（玉,乂），8（工2，%）,两点，贝！1

ab~

\PA|=J（西一々）2+（为一%）2

同理可得修心|=/七|必一8|（左H0）

这里|再-赴I，1%-%I，的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：

IX,-x2|=J（X]+工2）2_4X1X2

I71-J1=J2-4%%

2（弘+y2）

抛物线的焦点弦问题

已知过抛物线/=2px（2〉0）的焦点厂的直线交抛物线于/、3两点。

设）（xi，乃）,5（X2,"），则:

|AB|=X]+X,+?或|48|=二^（。为Z5的倾斜角）

①焦点弦长sina

②

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P~2

丁，y^2=-P

③②4

③&+L=2'其中MF网做焦半径,川=西+£

\FA\\FB\p2

④焦点弦长最小值为功。根据|48|=二^-可见，当a为工时，即N2垂直于x轴时，弦N2的长

sina2

最短，最短值为“。

【典例例题】

题型一：直线与椭圆的位置关系

例1.（2023・全国•高三对口高考）若直线y=x-l与椭圆/+3/=。有且只有一公共点，那么a的值为（）

A.；B.—C.-D.1

234

【答案】C

【解析】因为方程/+3/=。表示的曲线为椭圆，则。＞0,

jy=x-l

将直线%1-1的方程与椭圆的方程联立，2。2，可得4、2_6x+3-〃=0,

[x+3y=a

贝1]八=36_4*4*（3_°）=164_12=0,解得。=彳.

故选：C.

例2.（2023・全国•高三对口高考）若直线/被圆Cd+j?=2所截的弦长不小于2,贝卜与下列曲线一定有公

共点的是（）

,丫2

A.（x-1）+y2=iB.—+/

C.y=x2D.x2-y2=1

【答案】B

【解析】由题意，圆C：X2+J?=2的圆心为（0,0）,半径为四.

设直线方程为ax+by+c=0,直线/到圆心（0,0）的距离为“,

由弦长公式得J炉一屋所以

|q.0+b.0+d

由点到直线的距离公式得,J1<1^c2<a2+b2.

yla2+b2

|a-l+Z)-0+c|\a+c\

对于选项A,直线/到该圆圆心的距离为

yja2+b2

取b=0,q=c=l,满足条件,而=2〉1,直线与圆没有公共点，故A排除;

^a2+b2

复习材料

对于选项B,当b=0时，对于直线/有x=--c1<a1,

af

?r211

联立椭圆方程得—=所以必有公共点；

a22

当6W0时,联立直线/与椭圆方程得当+la1）x2+4acx+2c2-2b2=0,

A=_4（/+2/）Q。2一2〃）=Sb2c2+8/+16a2b2>0,

所以必有公共点；故B正确；

对于选项C,联立直线/与抛物线方程得法2+女+0=0,

若6=0时，贝IJQWO,有解％=—£；

a

若bwO时，A=〃-4bc,取Q=b=c=l,贝!jA<0,方程无解，此时无公共点，故C错误；

对于选项D,当6=0时，对于直线/有x=~—,c2<a2,

a

联立双曲线方程得/==

a

取c=£,则直线/：x=-1,与双曲线不存在公共点，故D排除.

故选：B.

22

例3.（2023・高二课时练习）已知直线尸6-1与焦点在x轴上的椭圆C:上+七=1仅>0）总有公共点，则椭

圆C的离心率取值范围是（）

【答案】D

【解析】

因为椭圆焦点在x轴上，所以又因为6>0,所以0<6<2；

易知直线了=依-1过定点（。,-1）且与椭圆总有公共点，所以该定点位于椭圆内或椭圆上,

即解之得6?21，所以应1,综上1劭<2,

复习材料

故选：D.

例4.（2023•上海浦东新•高二统考期中）已知椭圆C:|^+《=l,直线

/:（加+2）x-（机+4万+2-机=0（机eR）,则直线/与椭圆C的位置关系为（）

A.相交B.相切C.相离D.不确定

【答案】A

【解析】对于直线/：（"?+2）x-（〃？+4）y+2—机=0,整理得比（%—了-1）+2（%—2>+1）=0,

fx-y-1=0fx=3

令；4n，解得

[x-2y+l=01）=2

故直线/过定点N（3,2）.

+=则点/（3,2）在椭圆C的内部，

所以直线/与椭圆C相交.

故选：A.

22

例5.（2023•黑龙江绥化•高二海伦市第一中学校考期中）直线/：办+了-a+1=0与椭圆/+；=1的位置关

系是（）

A.相交B.相切C.相离D.相切或相交

【答案】A

【解析】方法1：

ax+y—a+l=0,即：a{x—V)+y+\-0,

.•.直线/恒过定点"(1,T),

22

又：椭圆二+匕=1

32

・m

32

定点M在椭圆内，

二直线/与椭圆相交.

方法2：

，32一(3tz2+2)x2-6a(a-l)x+3(a2-2a-1)=0

ax+y-a+l=0

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，A=36/（a-1）2-12（3/+2）（/-2a-1）=48/+48a+24=48（a+；>+12>0恒成立，

二直线/与椭圆相交.

故选：A.

题型二：椭圆的弦

22

例6.（2023•新疆乌鲁木齐・高二乌市八中校考开学考试）过椭圆C：土+匕=1的右焦点且倾斜角为£的直

623

线被椭圆C截得的弦长为

【答案】必金屈

55

22

【解析】由椭圆C：土+匕=1,可得右焦点尸（2,0）.

62

设此直线与椭圆相交于点/（XQ1）,8（%2，%）-

直线方程为：y=V3（x-2）.

y=V3（x-2）

联立

x2+3y2=6

可得5，_18X+15=0,

二…卷…3

:.\AB

5

故答案为:孚

r2

例7.（2023•内蒙古包头•高二包头市第六中学校考期末）已知椭圆G、+/=l的左焦点为尸，过点尸且倾

斜角为3的直线/与椭圆C相交于4B两点、,贝.

【答案】晅

3

22

【解析】已知椭圆G土+/=1,a=2,b=l,贝！J/=Q?一〃=2—1=1,

2

所以椭圆的左焦点为厂（-1,0）,

7T7T

因为直线/倾斜角为7,所以直线/的斜率尢=tan%=L则直线/的方程为yL

y=x+l

2

联立x2」消去歹，整理得3工2+4%=0,

12）

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44啦

解得玉=0,X2|力同=J1+左2|X—%2|=V1+I-x0-

33

故答案为：谨.

3

例8.（2023・上海徐汇•高二上海市南洋模范中学校考阶段练习）/3是过椭圆1+^=1右焦点名的弦，则弦

2516

长|/目的最小值为

32

【答案】y/6.4

【解析】由题可知，区的坐标为（3,0）,

若直线48的斜率为零，易知|/3|=2X5=10；

若直线48的斜率不为零，设其为x=叼+3,联立椭圆方程1+^=1,

2516

可得：（16/+25）/+96加y-256=0,显然A>0,

设45两点的坐标分别为（花,%）,仁,%）,

96m256

贝5+%=-，"％=一

16加2+2516m2+25

96mV256x4

xJ(必+%『―=V1+W2

则|/邳=J1+/16m2+25J16m2+25

2J1+加2m2+11

=160x7?+mx=160x=160x

16m2+2516m2+2516+二一

m+1

因为晨。，则疗+mKe(O,9],16+Ke(16,25],反心

m+1

160x-----]——e

r,10L即当直线/B的斜率不为零时,

16+^—|第ey,10

m+1

综上所述，Mey,10,故弦长的最小值为学.

32

故答案为：y.

22

例9.（2023・上海金山•高二上海市金山中学校考期末）已知椭圆］+己~=1,斜率为1的直线/过点其左焦

点耳，且与椭圆交于A、8两点，则弦长|/3=.

24

【答案】y

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【解析】椭圆方程为『上所以"必员=1,

所以片(-1,0),所以直线/的方程为y=x+l,

y=x+\

消去V并化简得7/+8X-8=0,A=64+4X7X8=288>0,

=1

88

设/(国，乂)，8(%2，%),所以西+迎=一］,7-

所以阿=行*1一］+4*；后竿

24

故答案为：y

例10.(2023・高二课时练习)椭圆(+(=1的焦点为耳、F2,过。作直线交椭圆于43两点，若

△ABF2的面积为20,则直线AB的方程为.

【答案】4x+3y=0或4x-3y=0

【解析】由直线关于原点对称以及椭圆关于原点对称可知，48月。之△/耳。，

过点/作/“垂直于x轴，垂足为77,

则以因6=；・〔取讣|/"|=；xl0xM"|n|/*=4,即点/的纵坐标为±4,

代入椭圆方程解得N的横坐标为±3,

即点/的坐标为(3,4)或(-3,4)或(3,-4)或(-3,-4).

因此直线AB的方程为4x+3y=0或4x-3y=0.

故答案为：4%+3歹=0或41-3丁=0

例11.(2023•广西钦州•高二校考阶段练习)已知椭圆C：，+，=l(a>6>0)中，.=拒，离心率e=弓.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线y=x+g与椭圆C交于A、8两点，求|/却.

复习材料

【解析】（1）由题知a=/，e=--—,即a=^c，

a2

又a1=廿,解得6=c=l,

丫2

所以椭圆方程为土+/=1.

2

（2）设/（x2i）,5（%2，%），

，2_.

了+y=1

联立直线与椭圆方程得「],

y=x+—

[2

3

整理得3/+21-5=0,

（3、21

贝iJA=4_4x3x[_5j〉0,x1+x2=,xrx2=--.

所民认|力同二J（再一/4+（%一%>=V2X小（X]-%2）2

工也义J（X]+工2）2—4不入2=,

例12.（2023・全国•高二专题练习）椭圆。的中心在坐标原点O,焦点在工轴上，椭圆C经过点（0,1）且长轴

长为2后.

⑴求椭圆。的标准方程；

⑵过点”（1,0）且斜率为1的直线/与椭圆。交于4,B两点,求弦长14sl.

22

【解析】⑴由题意设椭圆C的方程为]+==1（。>6>0）,

因为椭圆经过点（0,1）且长轴长为2啦，

所以a=y[?.,b=1,

丫2

所以椭圆C的标准方程为y+/=l.

（2）由己知设直线/的方程为>=x-l,设月（西,乃）,3（无2，%）.

*

将直线y=x-i代入土+丁=1,

2

得3x2-4x=0,

4

所以石+%2=§，西工2=0，

\AB\=J1+左2J（X]+%）2-4%押2=Vl+12jf—-4x0=.

题型三：椭圆的综合问题

复习材料

例13.(2023•河南洛阳•高二统考期末)已知圆S：/+/+公-20=0,点尸是圆S上的动点，7是抛物线

V=8x的焦点，。为尸7的中点，过0作QGLPT交内于G,设点G的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

(2)过义-2,0)的直线/交曲线。于点M,N,若在曲线C上存在点，，使得四边形即N为平行四边形(。

为坐标原点)，求直线/的方程.

【解析】⑴圆S：x2+/+4x-20=0,即(x+2)~+/=24,

由题意得，5(-2,0),7(2,0),0G是尸T的中垂线,所以|PG|=|GT|,

所以\GS\+|G7|=|GS|+|G尸卜\PS\=2y[6>\ST\=4,

22

所以点G的轨迹是以S,T为焦点的椭圆，设其方程为?+方=l(a>b>0),焦距为2c(c>0),

2a=276a2=6

22

则v2c=4,得〃二2,所以曲线。的方程为土+匕=1.

62

b2=a2-c2c2=44

(2)由题意知，直线/的斜率不为0,设/：%=卯-2,"(XQJ,"(和为),设CM与交于点8(/0，%).

x=ty—2

联立尤2/得(/+3)/_郁-2=0,

I62

当A>0时，%，则％"J，="a

LID乙LI，

所以—二备一2二’

(-I?4/\

因为8是。1中点，所以/一，亍，

V+3r+3)

因为A在曲线C—+^=1±,

62

所以【黑［」去］］,

62

复习材料

化筒得，广―2»—15=0,

得〃=5或/=-3（舍），所以/=±^5，

所以直线I的方程为工=±6）；-2,

即x+45y+2=0或x-45y+2=0.

22

例14.（2023•广西北海•高二统考期末）已知椭圆C：1+q=1（3＞力＞0）上任意一点夕到两个焦点的距

ab

离之和为8,且离心率为

2

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点”（2,1）作直线/交椭圆于A,8两点，点"为线段的中点，求直线/的方程.

【解析】（1）由椭圆的定义知，2。=8,.,.a=4,

又：椭圆的离心率e=£=且，；.C=26，

a2

***b2=a1—c1=16-12=4,

椭圆c的标准方程为《+片=1.

164

（2）：/（2,1）为椭圆二+廿=1内一点，.•.直线/与椭圆必交于A,8两点，

164

设/（国,必），当再=工2时，不合题意，故再。入2，

国+工2二2

•••^（2,1）为线段的中点，2，.士+/=：,

必+%7〔必+%=2

22

国%1

+-

-一1

4

16考

又,：A,B均在椭圆上，；.＜2

-%1

+-

16一1

4

两式相减，得丘旦+上E=o,即（%+X?乂4-X?）=_（乂+/）（二一力）,

164164

复习材料

・4（?-%）二2（必一二2）.必一歹211

一5，即左”=一彳，

16-4'-王一工2乙，

；・直线/的方程为＞_1=_3@_2）,即x+2y_4=0.

22

例15.（2023•四川雅安•高二雅安中学校考期中）已知圆。：/+丁=4经过椭圆C：2r+==1（。>6>。）

的两个焦点和两个顶点，点/（。,4）,直线/：>=x+7”与椭圆C交于M,N两点，且直线的斜率与直线

/N的斜率互为相反数.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求加的值.

【解析】（1）由题意知：椭圆C的焦点在x轴上，

圆。：工2+/=4与工轴交点为（±2,0）,即为椭圆的焦点，

圆。：/+/=4与7轴交点为（0,±2）,即为椭圆的上下顶点，

c=2,6=2,

a1=b2+c2=8,

二椭圆C的标准方程为：（+4=1.

84

y=x+m

⑵设N（x2,y2）,由｛二广

=i

得3x2+4mx+2m2-8=0,

4m2m2-8

则mrl再+/=—，演工2=--—

=xx+m

=x2+m

,y.-4,m-4

：.直线AM的斜率瓦=--=1+-------,

$x1

—4m—4

直线NN的斜率&T==一=1+——

x2

16（加T）二0

k[+k?=2+~-——=2+~~

22

x^x22m-82m-8

解得m=l,

故所求加的值为1.

例16.（2023・四川广安・高二广安二中校考期中）若椭圆£:二+A=l,（a>6>0）过抛物线/=4y的焦点,

ab

且与双曲线X2-J?=l有相同的焦点.

复习材料

(1)求椭圆E的方程；

⑵不过原点。的直线/：V=x+加与椭圆E交于/、8两点，求V/8。面积的最大值以及此时直线/的方程.

【解析】⑴抛物线/=4了的焦点为(0,1),所以6=1,

因为双曲线尤2-J?=i的焦点坐标为卜后,o),(后,0),

所以/一〃=2则片=3,

丫2

所以椭圆E的方程为土+「=1.

3

(2)设/(士,%),3(%,%)，

(x2,

、、---1-y2=1__

联立,3可得4x2+6mx+3m2-3=0»

y=x+m

因为直线/：y=x+加与椭圆上交于4、B两点,

所以A=36m2—16(3/-3)>0解得m2<4,

由韦达定理可得再+义=-羊,天底=.：一3,

由弦长公式可得N8=/竽—J",=,712-3m2,

点。到直线/的距离为"=9,

2

所以|=1x^x|m|x^XA/12-3m

=lx7-3(m2-2)2+12<^,

当且仅当》?=2即机=±也时取得等号，

所以"面积的最大值为今此时直线/的方程为"士内

22

例17.(2023•广东广州•高二广东番禺中学校考期末)已知椭圆C:三+方=1(。>6>0)的右焦点尸(后,0),

长半轴长与短半轴长的比值为2.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设B为椭圆C的上顶点，直线/：V=x+〃7(〃zWl)与椭圆C相交于不同的两点M,N,若BMLBN,求

直线/的方程.

222

【解析】(1)由题意得，c=V3,：=2,a=b+c,

b

a=2,b=1,

复习材料

丫2

椭圆C的标准方程为—+/=1.

4

(2)依题意，知8(0,1),设N(%2，%).

,fy=x+m

联乂{2A2/消去儿可得5%2+8加X+4加2-4=0.

[x+4/=4

，A=16(5—加之)〉o,gp_^/5<m<V5,加W1,

-8m4m2-4

玉+%2=，/工2=---------・

2

BM-BN=,Xj+m-1)-(x2,x2+m-l)=2xxx2+x2)+(m-1)=0,

...2*±^+(加一1)产+(加7)2=0,

整理，得5m2-2m-3=0,

3

解得加=一1或加=1(舍去).

3

・•.直线/的方程为尸x-：

22

例18.(2023•江苏南京•高二校考阶段练习)在平面直角坐标系xQy中，椭圆E：5+冬=1(。>6>0)的左

ab

顶点到右焦点的距离是3,离心率为g.

(1)求椭圆£的标准方程；

(2)斜率为0的直线/经过椭圆£的右焦点，且与椭圆E相交于A,5两点.已知点尸(-3,0),求百.而的

值.

【解析】⑴因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3,所以a+c=3.

又椭圆的离心率是：，所以£=:,解得。=2,c=l,从而62=/一,2=3.

2a2

所以椭圆C的标准方程二+二=1.

43

(2)因为直线/的斜率为血,且过右焦点(1,0),所以直线/的方程为了=板«-1).

y=V2(x-l)

联立直线/的方程与椭圆方程尤22,

—+—=1

I43

消去丁，得152_16、_4=0,其中△=162+16xll>0.

设4(石,弘)，2(工2,%)，则玉+%=TT，石%2=~TT.

复习材料

因为尸（一3,0）,所以尸/•必=（石+3,%）•（x2+3,%）=（再+3）（X2+3）+%%

=（再+3）+3）+2（再—1）（工2-

=3再12+（再+12）+11

_125

-7F,

因此莎.丽的值是胃125.

题型四：直线与双曲线的位置关系

例19.（2023•黑龙江哈尔滨•高二哈九中校考期末）已知直线>二区-1与双曲线——/=1没有公共点，则左

的取值范围是（）

00

A.（―°°,—1）^（1,+）B.（—1,1）C.卜8,-V^）U（V^,+°°）D.^-A/2,V2j

【答案】C

【解析】联立消去7得（1-/）/+2b-2=0,

当1-r=0时，方程有解，即直线y=依-1与双曲线/-/=1有公共点；

当1-公片0时，A=4A:2+8（1-^2）<0,解得发〈一行或左>0.

故选：C.

22

例20.（2023•山东聊城•高二校考期末）直线>=2x+3与双曲线C:"g=l（a>0,b>0）相交，有且只有1个

交点，则双曲线C的离心率为（）

A.A/5B.2C.且D.4

2

【答案】A

22

【解析】因为直线y=2x+3与双曲线c：企一方=1（。>0,6>0）相交，且有且仅有1个交点，

22L.

所以直线y=2x+3与双曲线c：一方=15>0/>0）的渐近线了=£工平行，

故，=2,则双曲线C的离心率6=j+=JL

故选：A

例21.（2023・湖北•高二统考期末）曲线3+?=1与直线：+]=1的公共点的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

复习材料

【解析】当了20时，曲线片+初=1的方程为江+仁=1,表示椭圆的上半部分（含与x轴的交点），此

169169

时曲线与:+1=1的交点为（0,3）,（4,0）,

当><0时，曲线片+5=1的方程为表示双曲线在x轴下方的部分,

169169

22

其一条渐近线方程为：：+1=0,故直线：+1=1与2-q=1（><0）无交点，

曲线山=1与直线9+5=1的公共点的个数为2.

16943

故选：B

22

例22.（2023・河南信阳•高二统考期末）过点尸（U）作直线/与双曲线5-5=1交于点/,B,若尸恰为

的中点，则直线/的条数为（）

A.0B.1C.2D.不能确定

【答案】A

V£1

【解析】设直线/：y-l=k（x-l）,由24,

y-l=k（^x-l^

得（2—左—2A:（1—k）x—（1—k）2—4=0,（X）

设工（西,必），B（x2,y2）,则&+乙=2,；3由三三=i,即"不2=1,得k=2,此时，住）式为

2-K22-K

2X2-4X+5=0,由于A=（-4）2-4X2X5<0,所以直线/与双曲线无公共点，这样的直线不存在.

故选：A

例23.（2023・安徽合肥•高二校考期末）直线/：了=左（》-2）与双曲线C：无2一/=2的左、右两支各有一个交

点，则上的取值范围为（）

A.k<-l^k>lB.-l<k<l

C.—72<k<-\/2D.—1<Ar<1

【答案】D

fy=k（x~2）

【解析】联立j：2_；=2，消V得，（l-F）/+4Fx-正一2=0.

因为直线/与双曲线C的左、右两支各有一个交点，

所以方程（1-公濡+4公》-4〃-2=0有一正一负根，

I-r片0

所以一4/一2，整理得解得一1〈人<1.

--------7~<0

复习材料

所以左的取值范围为T（左<1.

故选：D.

例24.（2023・四川宜宾•高二校考阶段练习）若直线，：x+叼-加-2=0与曲线三一/=1有且只有一个交点,

4'

则满足条件的直线/有（）

A.4条B.3条C.2条D.1条

【答案】C

［解析】直线/：x+叼一加一2=0,即m（y_l）+x_2=0恒过点（2,1）,

又双曲线的渐近线方程为y=±；x,

则点（2,1）在其中一条渐近线y=gx上，

又直线与双曲线只有一个交点，

则直线/过点（2,1）且平行于y=或过点（2,1）且与双曲线的右支相切，

即满足条件的直线/有2条.

故选：C

题型五：双曲线的弦

22

例25.（2023・四川乐山・高二统考期末）已知双曲线=-匕=1（°>0）的左焦点为片（TO）,过点耳作倾斜角

a6

为150。的直线交双曲线于48两点.

⑴求。的值；

⑵求|明.

【解析】⑴・•・耳（-3,0）,,/+6=9,解得"土百，

■.-a>0,;.a=^3-

（2）设直线方程为尸一当卜+3）,

（22

工上=1

联立方程<36,整理得5X2-6X-27=0.

J=--^（x+3）

例26.（2023・四川遂宁•高二射洪中学校考期中）已知双曲线的焦点为片（TO）,与（3,0）,且该双曲线过点

P（2,-2俑.

复习材料

(1)求双曲线的标准方程；

(2)过左焦点耳作斜率为2n的弦AB，求的长;

⑶求Vg/3的周长.

2