重庆市某校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版）

重庆市巴渝学校2023-2024学年度初中数学开学考试

数学试卷

一、单选题

1.-5的绝对值是（）

1~1

A.—B.5C.—5D.—

55

【答案】B

【解析】

【分析】本题题主要考查绝对值的性质，熟知绝对值的性质是解题的关键.

利用绝对值的定义求解即可.

【详解】解：-5的绝对值是5.

故选：B.

2.如图是由5个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（）

【解析】

【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可.

【详解】解：从正面看，看到的图形分为上下两层，共3歹!J,下面一层共有3个小正方形，上面一层中间

一列和右边一列各有1个小正方形，即看到的图形为।---------------，

故选A.

3.下列各坐标表示的点在反比例函数y=-9图像上的是（）

X

A.（3,2）B.（-3,-2）C.（-2,3）D,（-2,-3）

【答案】C

【解析】

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对各选项进行判断.

【详解】A选项：3x2=6,所以不在函数图象上；

B选项：一3x（—2）=6,所以不在函数图象上；

C选项：-2?3-6,所以在函数图象上；

D选项：—2x（—3）=6,所以不在函数图象上；

故选：C.

【点睛】考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=8（k为常数，&0）的图象是双曲线，

x

图象上的点（X,y）的横纵坐标的积是定值k,即xy=k

4.如图，在平面直角坐标系中，已知A（12,8）,D（6,4）,£（2,3）,VA3C与Q即位似，原点0是位

A.（4,5）B,（4,6）C.（5,6）D,（5,5）

【答案】B

【解析】

【分析】先求出Q4、0。的长，再根据位似图形的性质计算，得到答案.

【详解】解：设5点的坐标是（%,y）,

A（12,8）,。（6,4）,

.-.OA=A/122+82=4A/13-OD=<©+毕=2/，

ABC与DEF位似,原点。是位似中心，石（2,3）,

尤_4A/13_2y_4A/13_2

2—2713-1'3-2A/13—1

x-4,y—6

.•.E1点的坐标为(4,6),

故选：B.

【点睛】本题考查是位似图形的概念及性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.

5.如图，现将一块三角板的含有60。角的顶点放在直尺的一边上，若N1=2N2,那么N1的度数为()

C.70°D.80°

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意得到AB//CD,Zl+Z3=180°-60°=120°,根据平行线的性质得到N3=N2,据此

求出Z2=400即可求出Z1的度数.

【详解】解：由题意得，AB//CD,Zl+Z3=180°-60°=120°,

Z3=Z2,

：N1=2N2,

.,.N2+2N2=120。，

/.Z2=40°,

AZl=2Z2=80°，

故选D.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键.

6.估计3J?-2的值在（）

A.3到4之间B.4到5之间C.5到6之间D.6到7之间

【答案】B

【解析】

【分析】先估算3指的取值范围，再估算3际-2的取值范围即可求解.

【详解】解：:36<45<49,

6<3A/5<7，

.1•4<375-2<5，

/.3-2的值应在4和5之间.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是要弄清估算的方法.

7.如图，一次函数丁=履+5化*0）图象与反比例函数丁=竺（7"0）图象交于点4（—1,2）,

X-

5（2,—1）,则不等式依+人〈竺的解集是（）

X

A.或％之2B.一14%<0或0V尤W2c.xW-l或0VxW2D.一lW%<0或

【答案】D

【解析】

【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集.利用

数形结合是解题的关键.利用函数图象得到当一次函数丁=履+5优W0）图象不在反比例函数

y=-（,n中0）图象上方时x的取值即可.

X

【详解】解：由函数图象可知，当一次函数丁=履+6仕wO）图象不在反比例函数丁='（7"0）图象上

方时，工的取值范围是：—IWXVO或％22,

，不等式依+—的解集是：一lWx<0或光之2,

x

故选：D.

8.如图，已知是L。的直径，C£>是弦，若N5CE>=36°,则NDW等于（）

B.56°C.64°D.36°

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等.根据同弧或等弧所对的圆周角相等得到

ZDAB=ZBCD=36°,即可解答.

【详解】解：ZBCD=36°,

:.^DAB=ZBCD=36°,

故选：D.

9.如图，点E为正方形ABCD内一点，AD=ED,ZAED=70°,连结EC,那么/AEC的度数是

A.105°B.130°C.135°D.140°

【答案】C

【解析】

【分析】由正方形的性质得到AD=CD,根据等腰三角形的性质得到NDAE=NAED=70。，求得/人口£=180。-

70。-70。=40。，得到/EDC=50。，根据等腰三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：AD=DE,

..㈤AE=/AED=70°,

/ADE=180°-70°-70°=40°,

四边形ABCD是正方形，

..AD=CD,/ADC=90°,

.."DC=50°,

.-.DC=DE,

/DEC=/DCE=1(180°-50°)=65°,

NAEC=/AED+㈤EC=135°,

故选C.

【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键.

10.已知X>y>z>m>〃，从y、z、机、”中随机取两个字母作差，记为A；将剩下两个字母作差后取绝

对值，记为B；再对x-A+\B\进行化简运算，称此为“和差操作”，例如：

=x_z+”_7"+y=x+y_z—机+〃为一次“和差操作"，x+y-z-m+n“和

差操作”的一种运算结果下列说法：

①存在两种“和差操作”运算结果的和为2x；

②不存在两种“和差操作”运算结果的差为2加+2”；

③所有的“和差操作”共有5种不同运算结果.

其中正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】结合题干，举例即可判断①；直接列举出所有结果即可判断③；将列举的结果任选两组相加，即可

判断②；问题随之得解.

【详解】x-(z-八)+|m-y|=x-z+〃一根+y=x+y-z-m+"为一次"和差操作”,

x-(y-z)+\m-n\=x-y+z+m-n^]^X“和差操作”，

上述两种“和差操作”运算结果的和为2x,故①正确；

情况1：x-(^y-z)+\m-n\=x-y+z+m-n-

情况2：x—^z—y^+\m—n\=x+y—z+m—n；

情况3：x-(y-m)+\z-r^=x-y+z+m-n,与情况1重复；

情况4：x—[m—y)+\z—i^=x+y+z—m-n-

情况5：x-(y-n)+|z-m|=x-y+z-m+n；

情况6：x-[n-y)+\z-n^=x+y+z-m-n,与情况4重复；

情况7：x-(z-m)+\y-i^=x+y-z+m-n,与情况2重复；

情况8：x-{m-z)+\y-i^=x+y+z-m-n,与情况4重复；

情况9：x—^z—n)+\y-}^=x+y—z—m+n；

情况10：x-(n-z)+\y-n^=x+y+z-m-n,与情况4重复；

情况11：x-^m-n)+\y-z\=x+y-z-m+n,与情况9重复；

情况12：x-(n-m)+\y-^=x+y-z+m-n,与情况2重复；

绝对值中字母对调，不影响结果，

则共计5种结果，故③正确；

将上述五种结果，任意选取两组的结果相减，没有结果为2机+2〃，故②正确，

则正确的有3个，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了整式的加减，列举出所有可能结果，是解答本题的关键.

二、填空题

11.计算：2021°—卜4|=.

【答案】-3

【解析】

【分析】由2021°=1,卜4|=4,再根据有理数的加减法法则计算即可.

【详解】原式=1—4=—3.

【点睛】本题主要考查了零指数次塞，绝对值的性质，掌握运算法则是解题的关键.

12.若一个正多边形每一个外角都是30。，则这个正多边形的内角和等于一度.

【答案】1800

【解析】

【详解】多边形的外角和等于360。，则正多边形的边数是360。+30。=12,所以正多边形的内角和为

(12-2)x180°=1800°.

13.有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有“1”、“2”、“3”、“6”四个数字，将这

四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上数字的积为6的概率是.

【答案】士

3

【解析】

【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上数字的积为6

的有4种，再由概率公式求解即可.

【详解】解：画树状图如下：

|开始J

共有12种等可能的结果，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上数字的积为6的有4种，

41

••・从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上数字的积为6的概率为一=

123

故答案为：—.

3

【点睛】本题考查了列表法或画树状图法和概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键.

14.某种商品原来每件售价为200元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为128元，设平均每次降

价的百分率为x,根据题意，可列方程为.

【答案】200(1-久产=128

【解析】

【分析】设该种商品平均每次降价的百分率是X,根据“原价每件200元，经过两次降价，现售价每件128

元.”列出方程，即可求解.

【详解】设平均每次降价的百分率为了,根据题意可列方程得：

200(1-x)2=128.

故答案为：200(1-x)2=128.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的

售价.

15.如图，在.ABC中，NAC5=60°,ZBAC=75°,ADL5C于。，6石，47于£,AD与BE交

于“，则NCHD=.

【解析】

【分析】本题考查三角形内角和定理，直角三角形两个锐角互余，三角形的高的性质等知识，解题的关键是

延长CH交4B于点F,利用三角形的三条高交于一点解决问题解决问题.

【详解】解：延长交4B于点片

：.CF±AB,

VZBAC=15°,且CFLAB,

/.ZACF=15°,

ZACB=60。，

NBCF=45。,

在-CDH中，三内角之和为180。，

ZCHD=45°,

故答案为：45°.

16.如图，半圆。的直径AB=2,P为AB上一点，点C,。为半圆的三等分点，则阴影部分的面积为

【分析】本题主要考查圆的基础知识，不规则图形面积的计算方法，掌握扇形面积的计算是解题的关键.

根据题意，可求出NCOD的度数，且△COD与△CD尸等底等高，所以阴影部分的面积为扇形C。。的面

积，由此即可求解.

【详解】解：•••点C,。为半圆的三等分点,

ZCOD=-X180°=60°,

3

•半圆。的直径AB=2,

：.OC=OD=-AB=-x2=l,

22

V△COD与△CD尸等底等高，

/.阴影部分的面积为扇形COD的面积,

60°XX121

扇形COD的面积==—,

36006

••・阴影部分的面积为:"，

故答案为：—71.

6

[3y-l1

----->v+—

79X4/7+1

17.若关于y的不等式组:无解，且关于x的分式方程——+------=-1的解为负数，则所

1/、八元+1尤+1

有满足条件的整数。的值之和是.

【答案】3

【解析】

【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程的知识，解题的关键是先求出不等式组，根据不等式无解求

出aW2的值，再根据分式方程的解为负数，求出a〉工，根据。为整数，确定。的值，即可.

2

①

【详解】由不等式组，:，

——(y-a)〉0,②

、5

解不等式①：y>2,,

解不等式②：y<a,

:不等式无解，

/.tz<2；

x4a+1,

----+-----=-1,

x+1x+1

解得：x=-l-2a,

・・,分式方程的解为负数，

f-l-2tz<0

—l—2aw0

1

u>—

解得：j2；

aw0

...a的取值范围为：-g<a<2（a/0）,

•••。为整数，

的值为：1,2,

整数。的值之和为：3.

故答案为：3.

18.一个两位正整数，将其个位与十位上的数交换位置后，放在原数的后面组成一个四位数如那么我们

把这个四位数称为“顺利数”，并规定/（租）为交换位置后组成的两位数与原两位数的平方差；例如：将

27交换位置后为72,则2772是一个“顺利数”，MF（2772）=722-272=4455.若四位正整数〃，”

的千位数字为。，百位数字为6,十位数字为c,个位数字为％其中a,b,c,d为整数，

l<a,b,c,d<9,且c<d,以"的十位数字和个位数字组成两位数，交换位置后放在此两位数之后组

成的数为“顺利数”S,若尸（s）=iooia+no乩则的值为；满足条件的所有数〃的最大值

为.

【答案】①.9②.5438

【解析】

【分析】由题意知，F（5）=（10d+c）2-（10c+rf）2=1001«+110b,整理得，9d2-9c2=91a+lQb，

即a+1=9（d，c-+9b）,则筋―,2+9万为%的整数倍，且仁丝=1，进而可得。+匕=9,由

9191

屋—c?+9人=91得，/J91—（/_。2）是9的整数倍，由筋一02«80,可得

9

22

当b=2时，〃2_02=73，即d=9,c=2短,不符合要求；当6=3时，J-c=64,即d=9,

c=JF7，不符合要求；当b=4时，d2-c2=55>即d=9,c=A/26>不符合要求，d=8,c=3,

符合要求；根据。为千位数字，a+Z?=9,可知人越小，。越大，及越大，则当〃为5438时，是满足条

件的最大值，进而作答即可.

【详解】解：由题意知，F(5)=(10J+c)2-(10c+6?)2=1001«+110&)

整理得，9d2-9c2=91a+10b>

,9(<72-c2+9b)

•a+b=-------------

91

9a,b,c,d为整数，1<〃，b,c,d<9,且cvd,

d?_「2+9〃

.[2—,2+9)为91的整数倍，且£_S±Z£=1,

91

・a+Z?=9,

2

,,n,91-(相c

•屋_02+9)=91，则人=----,91—（力―0?）是9的整数倍,

9

/〈80,

・Z?w1,

.当b=2时，储—,2=73,即d=9,c=2&，不符合要求;

当b=3时，相—°2=64，即d=9,c=屈,不符合要求;

当人=时，d2-c2即不符合要求，符合要求;

4=55.d=9,C=A/26,d=8,c=3,

。为千位数字，a+Z?=9,

.•.b越小，。越大，儿越大,

・••当〃为5438时，是满足条件的最大值,

故答案为：9,5438.

【点睛】本题考查了平方差，新定义下的实数的运算.解题的关键在于理解题意.

三、解答题

19.计算:

m-3

(1)|m+2-------

Im-22m-4

(2)

【答案】(1)2m+6；

(2)~3xy+y?.

【解析】

【分析】本题考查分式的混合运算及整式的混合运算.掌握分式及整式混合运算的法则是解题的关键.

(1)通分计算括号里的分式加减法，再计算乘除法即可求解；

(2)根据整式的混合运算法则及完全平方公式即可求解.

【小问1详解】

.(c5)m-3

解："2+2--------k-------

1m—2J2m-4

2

—_m___—__4____5___)_：___m__—__3__

、m—2m—2)2m—4

m2-9m—3

m—22m-4

+2（m—2）

—x

m-2m-3

=2m+6；

【小问2详解】

解：

=x2-2xy+y2-x2-xy

=-3xy+y~.

20.小南在学习过程中遇到了一个问题：试说明顶角为120。的等腰三角形的面积，与以其腰为边长的等边

三角形的面积相等，己知：在VA3C中，AB=AC,=120。，她的思路是以AC为边构造等边

三角形加上，将问题转化为证明三角形全等，根据全等三角形的面积相等使问题得到解决，请根据小

南的思路完成下面的作图与填空：

A

证明：用直尺和圆规，在5c下方作/BCD=/ABC,在射线CD上截取一点E,使得CE=CA,连接

AE交5c于点尸(只保留作图痕迹).

在VABC中，①，且NBAC=120°,

:.ZABC+ZACB^6G0,

ZBCD=ZABC,

ZACE=ZBCD+ZACB=60°,

CE=CA,

AB=AC,CE=CA,

AB=EC,

在尸和△ECE中，

ZABF=ZECF

〈③

AB=EC

ABF^ECF(AAS).

@■

-一°AABF丁°AACF'

°AACE一°AECF丁°AACF'

-v=q

-UAABC-UAAC£•

【答案】见解析

【解析】

【分析】①根据“三角形内角和是180°”即可；

②根据“有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形”即可;

③根据“对顶角相等”即可；

④根据全等三角形的性质即可.

【详解】①ZABC+ZACB+ZSAC=180°；

②AACE为等边三角形；

③ZAFB=ZEFC；

④S/^ABF-V

一°AECF-

【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形全等的判定和性质、等边三

角形的判定及性质等，掌握判定方法及性质是解题的关键.

21.我校在七、八年级学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各随机抽取10名学生

的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用尤表示，共分成四组：A.130<x<135,

B.135<x<140,C.140<x<145,D.145<x<150）,下面给出了部分信息：

七年级抽取的10名学生的竞赛成绩:131,134,135,138,141,147,148,148,148,150.

八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是140,143,143,144.

七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表

七年八年

年级

级级

平均

142142

数

中位

144b

数

众数C143

八年找抽取的学生更春成绩阚形烧计图

（1）填空：a=,b—,c-；

（2）根据以上数据分析，你认为我校七、八年级中哪个年级学生竞赛成绩较好？请说明理由（一条理由

即可）;

（3）我校七、八年级分别有780名、620学生参加了此次竞赛，请估计成绩达到140分及以上的学生共有

多少名？

【答案】（1）30%,143,148

（2）七年级学生掌握“国家安全法”知识较好，理由见解析

（3）902名

【解析】

【分析】（1）根据中位数和众数即可得到结论；

（2）根据七年级的中位数和众数均高于八年级于是得到七年级学生掌握“国家安全法”知识较好；

（3）利用样本估计总体思想求解可得.

【小问1详解】

解：根据题意得：a=1-10%-20%-40%=30%；

八年级A组和B组的人数共有10x（10%+20%）=3人,

:八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据按从小到大排列为是140,143,143,144,

位于第5位和第6位均为143,

,143+143­.

/.b=-----------=143；

2

根据题意得：七年级抽取的10名学生的竞赛成绩中148出现3次，出现次数最多,

c=148；

故答案为：30%,143,148

【小问2详解】

解：七年级学生掌握“国家安全法”知识较好，理由：

虽然七、八年级的平均分均为142分，但七年级的中位数和众数均高于八年级.

【小问3详解】

解：根据题意得：780xA+620x(40%+30%)=902ig,

答：成绩达到140分及以上的学生共有902名.

【点睛】本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真

观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.

22.如图，RtZXABC中，AB=6,AC=8,动点M、N分别以每秒3个单位长度、4个单位长度速度

同时从A出发，点M沿折线AfBfC方向运动，点N沿折线A—C—6方向运动，点M达点8

后，点/、点N的运动速度均变为每秒1个单位长度运动，当两点相遇时停止运动，设运动时间为r秒，

点A/、N的距离为y.

（1）请直接写出y关于/的函数表达式并直接写出自变量/的取值范围；

（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图像，并写出函数的一条性质;

(3)当M,N两点相距6个单位长度时，直接写出f的值.

5t,0<t<2

【答案】(1)y=<

14—2t,2</W7

(2)图象见解析，当0</42时，函数值随自变量的增大而增大(答案不唯一)

(3)，的值为［或4

【解析】

【分析】(1)分及2</W7两种情况考虑，对前一情况，利用勾股定理即可，对后一情况，利用两

点运动路程和与MN的和为10即可解决；

(2)由(1)中求得的函数关系式画出函数图象，根据图象即可写出一条性质即可；

(3)根据所求得的函数关系式，求出当y=6时的自变量值即可.

【小问1详解】

解：由勾股定理得：BC^^AB2+AC2=10；

当M、N分别运动到点2、C时，运动时间为6+3=2(秒)；当M、N在3C上相遇时，2(/—2)=10,

解得『=7；

①当时，M,N分别在边AB,AC上，此时40=3/,AN=4t,

由勾股定理得y=MN=y/AM2+AN2=5t；

②当2<fW7时，M,N两点在边5c上，此时浏—2,CN=t—2,

由于8M+C/V+W=10,

则y=ACV=5C__C7V=10_(f_2)_(f_2)=14_2f；

5t,0<t<2

综上，所得函数关系式为y=

14—2t,2</V7

【小问2详解】

解：函数图象如下:

当0<f<2时，函数值随自变量的增大而增大(答案不唯一)；

【小问3详解】

6

解：当04/<2时，5,=6,得，=《；

当2v，47时，14—2『=6,得，=4；

故当M,N两点相距6个单位长度时，/的值为g或4.

【点睛】本题是动点问题，考查了勾股定理，求函数解析式，画一次函数图象，已知函数值求自变量值等

知识，注意分类讨论.

23.某水果店以相同的进价购进两批樱桃，第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每千克18

元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元.

(1)求樱桃的进价是每千克多少元？

(2)该水果店一相同的进价购进第三批樱桃若干，第一天将樱桃涨价到每千克20元出售，结果仅售出40

千克；为了尽快售完第三批樱桃，第二天店主决定在第一天售价的基础上降价促销，若在第一天售价基础

上每降价1元，第二天的销售量就在第一天的基础上增加10千克.到第二天晚上关店时樱桃售完，店主销

售第三批樱桃获得的利润为850元，求第二天樱桃的售价是每千克多少元？

【答案】(1)樱桃的进价是每千克10元

(2)第二天樱桃的售价是每千克15元或19元

【解析】

【分析】(1)设樱桃的进价是每千克了元，根据“第一批80千克，每千克16元出售；第二批60千克，每

千克18元出售，两批车厘子全部售完，店主共获利960元”，再列方程求解即可；

(2)设第二天的售价为每千克y元，则第二天的销量为［40+(20-y)xl0］千克，再根据总利润为850元

列方程解答即可.

【小问1详解】

解：设樱桃的进价是每千克x元，

依题意得：16x80+18x60—（80+60）%=960,

解得：x=10,

答：樱桃的进价是每千克10元；

【小问2详解】

设第二天的售价为每千克y元，则第二天的销量为[40+(20-y)xl0]千克，

依题意得：20x40+y[40+(20-j)x10]-10[80+(20-j)x10]=850,

整理得：y2-34y+285=0,

解得：M=15,%=19,

答：第二天樱桃的售价是每千克15元或19元.

【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，熟练的确定相等关系是解本题的关

键.

24.五一假期，不少人选择乘坐飞机出游.妈妈和小明从航站楼入口点5处前往登机口点A处登机.已知点

A位于点3东北方向且AB=100米.点3的正东方向有另一入口点C,商店。位于点C的正北方向，同

时位于点A的南偏东60。，AD=40米.

(1)求两个入口5c的距离；(结果保留根号)

(2)妈妈和小明到达航站楼时间为上午9：00,登机时间为9：30.妈妈见时间尚早，决定和小明一起先去

商店。处逛逛，他们沿5f>A路线行走，步行速度为60米/分，在商店。处逗留25分钟，请

计算说明妈妈和小明是否能准时登机？(参考数据：拒a1.41，、回。1.73)

【答案】(1)(50&+20后)米

(2)能

【解析】

【分析】(1)过点A作AE，3c于点E,过点。作D尸，AE于点尸，则四边形CDEE是矩形，

CE=DF,解RtAEB、R"\AFD求得BE、DF,即可求解；

(2)通过解Rt_AEB,RtAAFD求得AE、AF,进而求得CD，根据“时间=路程+速度”求得整个

行走的时间，即可得出结论.

【小问1详解】

解：如图，过点A作AEJ_3C于点E，过点。作于点尸，

二四边形CDEE是矩形，

CE=DF,

•在Rt中，AB=100,NABE=45°,

BE=cosZABE-AB=—x100=5072（米），

2

.♦在Rt^AED中，AD=40,ZE4D=60°,

DF=sinZFAD.A£）=x40=2073（米），

:.BC=BE+CE=50网+206（米），

答：两个入口5c的距离为（50拒+20』）米.

【小问2详解】

解：在RtAAED中，AD=40,ZFAD=60°,

：.AF^cosZFAD-AD^-x40=20（:米），

2

在Rt_A£B中，AB=100,NABE=45°,

A£=sinZABE-AB=—X100=50A/2®70.5（米），

2

-四边形CDEE是矩形，

:.CD=EF=AE-EF=10.5-20=50.5（米），

BC+CD+DA^50A/2+20A/3+50.5+40»195.6（米），

195.6+60+25=28.26<30,

妈妈和小明可以能准时登机.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方位角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线

是解题的关键.

25.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=办2+次+0（。00）与直线y=—；》+2交于x轴上的

3

点、B,y轴上的点C,且其对称轴为直线x=,.该抛物线与无轴的另一交点为点A,顶点为

（1）求抛物线的解析式及顶点〃的坐标;

（2）如图2,长度为遥的线段在线段2C上滑动（点D在点尸的左侧），过。，尸分别作y轴的平行

线，交抛物线于E,尸两点，连接PE.求四边形PEDE面积的最大值及此时点尸坐标；

（3）在（2）问条件下，当四边形PEDE面积有最大值时，记四边形PRDE为四边形片耳，旦.将四边形

[62g沿直线BC平移，点6，&关于直线BC的对称点分别是点鸟，E2.在平移过程中，当点旦，

后2中有一点落到抛物线上时，请直接写出点6，区的坐标.

13325

【答案】（1）抛物线y=—x~H—x+2,顶点A/（—,—）；

2228

（2）四边形尸即E最大面积为3,尸（3,2）；

（3）石2（2+"11』）,p2（4+疗，-3[近）或者与（2_/,_1；*），P]（4—J7，-3丁）

或者心（J7，上台）‘8（2+"，一\"）或者/（一疗，巨*），6（2—",三五）；

【解析】

3

【分析】（1）根据抛物线y=G^+bx+c（awO）的对称轴为直线x=i,设抛物线为

y=a[x-1]+k,求出入C两点的坐标，并带入抛物线顶点式，从而求出抛物线的解析式和顶点坐

标；

（2）过点尸作府，。石于点M,于是可得/DEM=NCBO,利用勾股定理求出5c=2岔，从而求

13

出MF=2，进一步设四边形「灯汨面积为S,P(。，--%2+-%+2),(2W/W4),贝！]

乙0乙0

1117

—

F{XQ9—%+2),Z)(x29—七+3),石(%0—2,—尤02H—%―3),求出S与1°的函数关系式，进而

202022

求出四边形面积的最大值及此时点尸坐标；

(3)作直线用心、叫，过点E?作E；E"BC,过点P?作明〃BC,分两种情况讨论求解点鸟，

心的坐标，一是当鸟在抛物线上时，二是当当在抛物线上时，利用平移知识即可求解.

【小问1详解】

解：如图1，

3

抛物线y=ax2+bx+c(aw0)的对称轴为直线x=-,

,设抛物线为y=a[x—晟)+k

抛物线y=G;2+bx+c(〃w0)与直线y=_；%+2交于元轴上的点B,y轴上的点C；

二.当x=0时，y=——x0+2=2,令y=0,则—工工+2=0,解得％=4,

22

..B(4,0),C(0,2),

3o21

a(4--)+k=0a=——

解得《2

3

a(0--)2+k=2

8

13325

•••抛物线y=——x2+—x+2,顶点M(一,一)；

2228

【小问2详解】

解：如图2,过点尸作府，DE于点

FM//OB,

ZDFM=NCBO,

由(2)得B(4,0),C(0,2),

BC=V(?B2+(9C2=V42+22=275，

DFf,ZDFM=ZCBO,无轴，y轴，FMDE,

MFOBMF4

cosNDFM—cos/CBO-=,即―/="——广,

DFBCV52V5

MF=2,

1231

设四边形尸尸DE1面积为5,P(x(),—xQH—x0+2),(2W%0W4),则方(%,—%+2),

1127

D(XQ-2,——XQ+3),E(XQ-2,——XQ+—X0—3),

s=+；x°—3,1—+3卜〔一92+|x。+21++2］卜2

化简得S=—(毛―3丫+3,

13

二•四边形PFDE最大面积为3,当天=3时，—万天?+］尤0+2=2,

...尸(3,2),

【小问3详解】

解：如图3,作直线为马、叫，过点与作用或〃BC，过点「2作耳号〃BC,

①当月2点落到抛物线上时,

11127_

尸1(3,2),F(x0,-—x0+2),D(x0-2,--x0+3),E(x0-2,--x03),

耳(3,5)，。1(1,万),耳(1，3),

直线BC：y=----■尤+2,

2

二设直线场0y=^x+m

.,.将E](l,3)代入y=2x+m,解得相=1,

.•.设直线旦当y=2%+1,

2

y=2x+'lJ=5

1c解得《

y=——x+29

2y=5

・，.设直线：y=----x+n,将耳（—，一）代入y=----X+TI,解得〃二一，

25522

.•.设直线用或：y=-1x+1,

11

y=——x+—x=2+yfl,x=2-yjl

22

解得《,-i-J7或者＜-1+V7;

130

y=—X2H—x+2"-2-/=2

-22

此时与(2+",-1丁)或者E；(2-",U")；

Pi(3,2),4(1,3),且耳(1,3)平移到旦(2+-1[')时,P也平移到尸2

：.P[(4+々，土也)或以(4-S，士立)；

22

②当点6点落到抛物线上时，同理可得P"'(2+&