高考数学一轮复习：全称量词与存在量词、充要条件

专题1.2全称量词与存在量词、充要条件

【核心素养】

1.与函数、不等式、平面向量、立体几何、解析几何等知识结合，考查充分条件与必要条件的判断及应用，

凸显逻辑推理、数学运算等核心素养.

2.以函数、方程、不等式为载体，考查全称命题、特称命题的否定及真假判断的应用，凸显逻辑推理、数

学运算的核心素养.

知以概栗/

知识点一充分条件与必要条件

(1)若p=>q,则。是4的充分条件，4是〃的必要条件;

(2)若p=>q,且qAp,则p是4的充分不必要条件；

(3)若pAq且“奇2,则〃是q的必要不充分条件；

(4)若pOq,则p是4的充要条件；

(5)若pAq且qRp,则p是q的既不充分也不必要条件.

知识点二全称量词和存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词.

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词.

(3)常见量词：

量词名称常见量词符号表示

全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等V

存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等3

知识点三全称命题与特称命题

1.全称命题

(1)含有全称量词的命题，叫做全称命题.

(2)全称命题“对M中任意一个x,有p(无)成立"可用符号简记为Vxe”,夕(x),读作“对任意x属于

有p(x)成立”.

2.特称命题

(1)含有存在量词的命题，叫做特称命题.

(2)特称命题“存在M中的一个刈，使，xo)成立"可用符号简记为e舷,2(飞),读作“存在M中的元

素项，使p(无0)成立

知识点四全称命题与特称命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.

(2)“2或的否定为：“非P且非q"；“2且的否定为：“非p或非q”.

(3)含有一个量词的命题的否定

命题命题的否定

3x0e

3x0EM，P(X0)X/xeM,—ip(x)

常渗题型勃析

题型一：充要条件的判定

【典例分析】

例1-1.(2022・天津•统考高考真题)“x为整数”是“2x+l为整数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例1-2.(2022•浙江•统考高考真题)设xeR,贝『'sinx=l”是“cosx=0"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

例1-3.(2020•天津.统考高考真题)设aeR,则“a>1”是2>a”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【规律方法】

充要关系的几种判断方法

⑴定义法：若p=q,q*>p,则夕是乡的充分而不必要条件；若p»q,q=p,则夕是乡的必要

而不充分条件；若p=q,q=p,则P是9的充要条件；若p*>q,q/>p,则夕是9的既不充分也

不必要条件.

（2）等价法：即利用夕=>4与1“nr°；q=P与q；夕=4与0的等价关系，对于条

件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法.

（3）集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M,满足命题q的集合为N,则加是N的

真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M=N等价于p

和q互为充要条件，M,N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件

【变式训练】

变式1-1.（2020•山东・统考高考真题）已知aeR,若集合N={-l,0,l},则“。=0”是=N

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

变式1-2.（2023•四川绵阳•统考三模）已知直线/：y=区与圆C:（x-2）2+（y-l『=l,贝=是“直线/与

圆C相切”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

变式1-3.（2023•天津河北•统考一模）设xeR,贝『4=2”是“炉=4”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

题型二：充分条件与必要条件的应用

例27（2023春•河北衡水•高三河北衡水中学校考阶段练习）条件3],好一依+3>0,则。的一

个必要不充分条件是（）

A.a<5B.a>5C.a<4-D.a>4

例2-2.（2023秋・河南许昌•高三校考期末）已知集合4={划尤2+2；（：-840},B={x\m-A<x<^m+3].

⑴求A;

（2）若“xGA”是“xGB”的充分不必要条件，求m的取值范围.

【规律方法】

1.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不

等式（或不等式组）求解.

（2）要注意区间端点值的检验.

2.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面

（1）准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；

（2）注意问题的形式，看清“p是q的……”还是"p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形

式，再判断；

（3）灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“n”来进行，即转化为两个

命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断.

【易错警示】根据充要条件求解参数范围的方法及注意点

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不

等式（组）求解.

（2）注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够

取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误.

【变式训练】

变式2-1.（2023•辽宁沈阳•高三校联考学业考试）己知圆G:V+V=1和圆C2:（尤-4+V=16,其中a>0,

则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是（）

A.3<a<5B.3<a<6C.4<a<5D.2<a<5

变式22（2023•辽宁沈阳・东北育才学校校考模拟预测）已知集合人={幻/一》一12<0},

B=[x\x2-3mx+2m2+m-l<0},若“xeA”是“xw8”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（）

A.b3,2]B.[—1,3]C.—1,—D.2,—

题型三：全（特）称命题的否定

【典例分析】

例3-1.（2023•河南郑州・统考二模）命题：VxeR,尤+lnx>0的否定是（）

A.V无eR,x+lnx>0B.Vx^R,x+lnx<0

C.3xeR,x+lnx>0D.3XGR,x+lnx<0

例3-2.（2023•天津河东•一模）命题“有一个偶数是素数”的否定是（）

A.任意一个奇数是素数B.存在一个偶数不是素数

C.存在一个奇数不是素数D.任意一个偶数都不是素数

1.全（特）称命题进行否定的方法

（1）改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；

（2）否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可.

［提醒］对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否

定.

2.常见词语的否定形式有：

原语句是都是>至少有一个至多有一个对任意使p（x）真

否定形式不是不都是<一个也没有至少有两个存在xo£A使p(xo)假

【变式训练】

变式3-1.（2023・重庆・统考模拟预测）命题*wR,x+|,<0的否定是（）

A.3xeR,x+|%|>0B.VxeR,%+|.x|<0

C.VxeR,x+|x|>0D.VxeR,尤+国>0

变式3-2.（2023・四川达州・统考二模）命题p：VreR,2x+x2-x+l>0,则力为（）

A.VxeR,2r+%2-^+1<0B.VxeR,2V+x2-x+1<0

C.eR,2"+XQ—Xg+1<0D.3^0eR,2"+无;—尤0+1V0

题型四：全（特）称命题的真假判断

【典例分析】

例4-1.（2020•山东•统考高考真题）下列命题为真命题的是（）

A.1>0且3>4B.1>2或4>5

C.BxeR,cos尤>1D.VxeR,x2>0

【规律方法】

1.全称命题真假的判断方法

（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x,证明p（x）成立；

（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x=xo,使忒刈）不成立即可.

2.特称命题真假的判断方法

要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x=xo,使pQo）成立即可，否则这一特

称命题就是假命题.

3.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总

命题名称真假判断方法一判断方一法二

真所有对象使命题真否定为假

全称叩寂

假存在一个对象使命题假否定为真

真存在一个对象使命题真否定为假

特称命题

假所有对象使命题假否定为真

【变式训练】

变式4-1.下列命题中的假命题是（）

A.3xo1g无o=OB.mxoGR,tan尤o=O

C.Vx£R,3v>0D.VxGR,^>0

题型五：根据全（特）称命题的真假求参数

【典例分析】

例5-1.（2023•江西南昌•校联考模拟预测）已知命题P'XWRMVS/3+I,若。为真命题，则实数。的取值

范围是.

例52（2023•江西南昌•校联考模拟预测）若命题“七°eR,。=凶+1”为真命题，则实数〃的取值范围为

.（用区间表示）

【规律方法】

根据全（特）称命题的真假求参数的思路

与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题,其本质是恒成立问题或有解问题.解决此类问题时，

一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式（组），再通过解方程或不等式（组）

求出参数的值或范围.

【变式训练】

变式5-1.（2023春•天津和平•高三耀华中学校考阶段练习）已知命题P：*eR,炉+2尤+2-“<0,若p为

假命题，则实数。的取值范围为（）

A.B.C.D.（-00,1]

变式52（2023•上海徐汇•统考二模）命题“若尤>a,则匚>0"是真命题，实数。的取值范围是.

一、多选题

1.（2023广东深圳•高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知P：VxeR,尤2一6+i>（）恒成立；q：Vx>0,

x+@>2恒成立.则（）

X

A."a<2”是?的充分不必要条件B."a<2”是P的必要不充分条件

C.“a>2”是4的充分不必要条件D.“。>2”是4的必要不充分条件

二、单选题

2.（2023春・河北衡水•高三衡水市第二中学期末）命题“上e[-l,2],/<1，，的否定是（）

A.3xe[-l,2],尤2'IB.Hrg[-1,2],无

22

C.VXG[-1,2],x<1D.VXG[-1,2],%>1

3.（2023•黑龙江哈尔滨•哈九中校考二模）命题"Vxe[L2],一一°40，，是真命题的充要条件是（）

A.a>4B.a>4C.a<1D.a>l

4.（2023•青海西宁•统考二模）使"a<6”成立的一个充分不必要条件是（）

A.VXG（0,1],aWb+xB.V%e（0,l],a+x<b

C.Hre[0,1],a<b+xD.Hre[0,1],a+xWb

5.（2023•贵州・统考模拟预测）命题〃:“VxeR,尤2-mx+l>0”，命题4：“m<2”,则p是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

6.（2023•北京•高三专题练习）设机，〃是两条不同的直线，a,4是两个不同的平面，且相ua,a///3,

则“，〃”是的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.（2021•北京•统考高考真题）已知“X）是定义在上[0,1]的函数，那么“函数在[0,1]上单调递增”是“函

数/⑺在[。,1]上的最大值为了⑴”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.（2020・浙江・统考高考真题）已知空间中不过同一点的三条直线小小I,贝/在同一平面”是“形，

n,/两两相交”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.（2021.浙江•统考高考真题）已知非零向量以反黑贝!是"=石''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

10.（2021•全国•统考高考真题）等比数列｛%｝的公比为q,前w项和为S“，设甲：q>0,乙：设,｝是递增

数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

三、填空题

11.（2023・上海长宁・统考二模）若"x=l”是“无>。”的充分条件，则实数。的取值范围为.

四、解答题

12.（2023•重庆酉阳・重庆市酉阳第一中学校校考一模）命题P：任意xeR,一一2〃认一3机>0成立；命题心

存在xeR,%2+47欢+1<0成立.

（1）若命题q为假命题，求实数机的取值范围；

（2）若命题〃和4有且只有一个为真命题，求实数优的取值范围.

专题1.2全称量词与存在量词、充要条件

【核心素养】

1.与函数、不等式、平面向量、立体几何、解析几何等知识结合，考查充分条件与必要条件

的判断及应用，凸显逻辑推理、数学运算等核心素养.

2.以函数、方程、不等式为载体，考查全称命题、特称命题的否定及真假判断的应用，凸

显逻辑推理、数学运算的核心素养.

<---------；

知欢概要，

知识点一充分条件与必要条件

(1)若p0q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件;

(2)若p0q,且q+p,则p是9的充分不必要条件；

(3)若p=^q且则p是夕的必要不充分条件；

(4)若p0q,则p是9的充要条件；

(5)若p*q且q中p,则p是夕的既不充分也不必要条件.

知识点二］全称量词和存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词.

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词.

(3)常见量词：

量词名称常见量词符号表示

全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等V

存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等2

知识点二全称命题与特称命题

1.全称命题

(1)含有全称量词的命题，叫做全称命题.

(2)全称命题“对M中任意一个无，有p(x)成立"可用符号简记为Vxe”,2(x),读作“对

任意x属于有p(x)成立

2.特称命题

(1)含有存在量词的命题，叫做特称命题.

(2)特称命题“存在M中的一个初使p(尤o)成立"可用符号简记为e舷,M/)，读作

“存在M中的元素尤°,使p(xo)成立”.

知识点匹全称命题与特称命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.

(2)"2或q”的否定为：“非2且非q"；且。”的否定为：“非p或非q”.

(3)含有一个量词的命题的否定

命题命题的否定

3x0e

3x0EM，P(X0)

常考题更例析/

题型一：充要条件的判定

【典例分析】

例1-1.(2022・天津•统考高考真题)“x为整数”是“2x+l为整数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由当x为整数时，2x+l必为整数；当2x+l为整数时，x比一定为整数；即可选出

答案.

【详解】当x为整数时，2x+l必为整数；

当2x+l为整数时，x比一定为整数，

例如当2x+l=2时，x=g.

所以“X为整数”是“2X+1为整数”的充分不必要条件.

故选：A.

例1-2.(2022.浙江.统考高考真题)设xwR,贝厂sin尤=1”是“85犬=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要

条件

【答案】A

【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.

【详解】因为sin^x+cos^xul可得：

当sinx=l时，cos%=0,充分性成立；

当cosx=0时，sinx=±l,必要性不成立；

所以当xeR,sinx=l是cosx=0的充分不必要条件.

故选：A.

例1-3.(2020.天津.统考高考真题)设aeR,则“a>1”是“储>a”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即

可.

【详解】求解二次不等式/可得：或a<0,

据此可知：a>1是a?>a的充分不必要条件.

故选：A.

【规律方法】

充要关系的几种判断方法

(1)定义法：若p=q,qr>p,则p是9的充分而不必要条件；若pr〉q,qnp,则

,是9的必要而不充分条件;若则P是9的充要条件；若p#>q,q^>p,

则夕是q的既不充分也不必要条件.

(2)等价法：即利用，nq与rq=>r°；qnp与rphq；P=q与的等

价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法.

(3)集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M,满足命题q的集合为N,

则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要

不充分条件，M=N等价于p和q互为充要条件，M,N不存在相互包含关系等价于p既不

是q的充分条件也不是q的必要条件

【变式训练】

变式1-1.（2020.山东.统考高考真题）已知aeR,若集合M={l,a},N={-l,0,l},贝『2=0”

是“Af=N”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.

【详解】当a=0时，集合”={1,0},N={T0,l},可得M=满足充分性，

若M=N,则。=0或a=-l,不满足必要性，

所以““=0”是“MUN”的充分不必要条件，

故选：A.

变式1-2.（2023•四川绵阳•统考三模）已知直线/：＞=履与圆C:（x-2）0（'-1）'］，则

4

“左=§”是“直线/与圆C相切”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】求直线/与圆C相切时上的值，根据充分必要条件的定义判断.

【详解】圆C：（x-2y+（y-l）2=l,圆心C（2,l）,半径为1,

直线/与圆C相切，圆心到直线距离等于半径，即d=5*=l,解得％=:或左=0,

1k2+13

当左=：4时，直线/与圆C相切；当直线/与圆C相切时，上的值不一定是4

则“k='”是“直线/与圆C相切”的充分不必要条件.

故选：A

变式1-3.（2023•天津河北・统考一模）设xeR,则“x=2”是“无2=4”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】当x=2时尤2=4,故充分性成立，

由尤2=4可得工=2或x=—2,故必要性不成立，

所以“x=2”是“尤②=4”的充分不必要条件.

故选：A

题型二：充分条件与必要条件的应用

例2-1.（2023春•河北衡水•高三河北衡水中学校考阶段练习）条件P：*e[1,3],/一6+3>0,

则P的一个必要不充分条件是（）

A.a<5B.a>5C.a<4D.a>4

【答案】A

【分析】对于命题P,由参变量分离法可得，求出函数/（x）=x+』在[1,3]上

的最大值，可得出实数。的取值范围，再利用必要不充分条件的定义可得出合适的选项.

【详解】若上中,3],使得一一办+3>0,贝I]6<炉+3,可得"x+上，贝心<（无+』,

因为函数=x+：在[1,石]上单调递减，在[63]上单调递增，

且"1）=/⑶=4,

故当xe[l,3]时,〃尤）1mx=4,即p:a<4,

所以，P的一个必要不充分条件是。<5.

故选：A.

例2-2.（2023秋・河南许昌•高三校考期末）已知集合人={%|/+2工-840},

B=[x\m—4<x<3m+3].

⑴求A;

（2诺“xGA”是“xdB”的充分不必要条件，求m的取值范围.

【答案】⑴[T2]

⑵-和

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法解出丁+2工-840即可；

（2）由题意知若“xeA”是“xeB”的充分不必要条件则集合A是集合8的真子集，求出机

的取值范围，再讨论即可.

【详解】（1）由Y+2x-8V0,可得（x+4）（x-2）40,

所以所以集合A=[T,2].

（2）若“xeA”是的充分不必要条件，

则集合A是集合B的真子集，

由集合A不是空集，故集合B也不是空集，

7

m>——

m-4<3m+3

所以,加一4<一4=><m<0n——<m<0,

13

3m+3>2

m>——

I3

113

当机=-§时，B={x\-~满足题意,

当机=0时，5={x|-4Kx«3}满足题意，

故-卜"40,即用的取值范围为1,0.

【规律方法】

1.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列

出关于参数的不等式(或不等式组)求解.

(2)要注意区间端点值的检验.

2.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面

(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；

(2)注意问题的形式，看清“p是q的……”还是"p的……是q”，如果是第二种形式，要先

转化为第一种形式，再判断；

(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“今”来进行，

即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断.

【易错警示】根据充要条件求解参数范围的方法及注意点

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列

出关于参数的不等式(组)求解.

(2)注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，

不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误.

【变式训练】

变式2-1.(2023•辽宁沈阳•高三校联考学业考试)已知圆+

2

c2：(x-o)+r=16,其中。>o,则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是()

A.3<a<5B.3<a<6C.4<a<5D.2<a<5

【答案】c

【分析】根据圆与圆的位置关系求参数范围，结合充分、必要性定义确定答案即可.

【详解】由q(0,0)且半径4=1,C2(a,o)且半径4=4,结合。大于0,

所以々-4<“<2+4时，两圆相交，则3<。<5,

由选项可得A选项为3<a<5的充要条件；

B、D选项为3<a<5的必要不充分条件；

C选项为3<a<5的充分不必要条件；

故选：C

变式2-2.（2023•辽宁沈阳・东北育才学校校考模拟预测）已知集合4=卜|f-X-12V0},

B=[x\x2-3mx+2m2+m-l<0},若“xeA”是“xeB”的必要不充分条件，则实数加的取

值范围为（）

A.[-3,2]B.[—1,3]C.-D-2,—

【答案】C

【分析】解不等式，确定集合A,讨论他的范围，确定8,根据题意推出BA,由此列出

不等式组，即可求得答案.

【详解】由题意集合A={尤|/一尤―12WO}=[-3,4],

Bx2—3rwc+2m2+m—l<0}=[x\（x—m—l）（x—2m+l）<0},

若m>2,则2帆一1>机+1,止匕时3=（加+1,2机-1）,

因为“xeA”是“xe"’的必要不充分条件，故5A,

2m-1<4

故<m+1>-3,2<m<—；

m>2

若相<2,贝1」2加一1<机+1,止匕时6=（2加一1,m+1）,

因为，1eA”是“xe3”的必要不充分条件，故5A,

m+1<4

故<2m-1>-3,..-1<m<2；

m<2

若机=2,贝l]2m—1=机+1,此时5=0,满足3A,

综合以上可得me-1,|,

故选：C

题型三：全（特）称命题的否定

【典例分析】

例3-1.（2023•河南郑州•统考二模）命题：VxeR,x+lnx>0的否定是（）

A.Vx^R,无+ln%>0B.V无eR,x+lnx<0

C.HxwR,x+lnx>0D.GR,x+lnx<0

【答案】D

【分析】全称命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可得答案.

【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为AeR,x+lnx<0.

故选：D

例3-2.（2023・天津河东•一模）命题“有一个偶数是素数”的否定是（）

A.任意一个奇数是素数B.存在一个偶数不是素数

C.存在一个奇数不是素数D.任意一个偶数都不是素数

【答案】D

【分析】根据存在量词命题。:去eM,p（x）,否定为即可解得正确结果.

【详解】由于存在量词命题?与尤€加,0（幻，否定为“：、笈€用,「以工）.所以命题“有一个偶

数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.

故选：D

【规律方法】

1.全（特）称命题进行否定的方法

（1）改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；

（2）否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可.

［提醒］对于省略量词的命题，应先挖掘命题中的隐含的量词，改写成含量词的完整形式，

再写出命题的否定.

2.常见词语的否定形式有：

原语句是都是>至少有一个至多有一个对任意入£A使p（x）真

否定形式不是不都是<一个也没有至少有两个存在MEA使p（%o）假

【变式训练】

变式3-1.（2023•重庆•统考模拟预测）命题，eR,x+|x|<0的否定是（）

A.3xeR,x+|%|>0B.VxeR,x+|x|<0

C.VxeR,x+|x|>0D.VxeR,x+|^|>0

【答案】C

【分析】根据特称命题的否定：存在改任意并否定原结论，即可得答案.

【详解】由特称命题的否定为全称命题，故原命题的否定为VxeR,x+|x|>0.

故选：C

变式3-2.（2023・四川达州•统考二模）命题p：VxeR,2x+x2-x+l>0,贝汁力为（）

A.VXGR,2X+x2-x+l<0B.VXGR,2X+x2-x+l<0

C.GR,2"。+XQ—XQ+1<0D.3x0GR,2"+—x。+1K0

【答案】D

【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出

【详解】因为对全称量词的否定用特称量词，

所以命题0:V.xeR,2'+/-尤+1>。的否定为：3x0eR,2%+君一尤0+1V0.

故选：D

题型四：全（特）称命题的真假判断

【典例分析】

例4-1.（2020.山东•统考高考真题）下列命题为真命题的是（）

A.1>0且3>4B.1>2或4>5

C.3xeR,cosx>1D.X/xeR,x2>0

【答案】D

【分析】本题可通过4>3、1<2、4<5>cosx<K元?之。得出结果.

【详解】A项：因为4>3,所以1>0且3>4是假命题，A错误；

B项：根据1<2、4<5易知B错误；

C项：由余弦函数性质易知cosxWl,C错误；

D项：/恒大于等于0,D正确，

故选：D.

【规律方法】

1.全称命题真假的判断方法

（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素》,证明p（x）成

立；

（2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值尤=xo,使p（xo）不

成立即可.

2.特称命题真假的判断方法

要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x=xo,使p（xo）成立即

可，否则这一特称命题就是假命题.

3.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总

命题名称真假判断方法一判断方.法二

真所有对象使命题真否定为假

全称命题

假存在一个对象使命题假否定为真

真存在一个对象使命题真否定为假

特称命题

假所有对象使命题假否定为真

【变式训练】

变式4-1.下列命题中的假命题是（）

A.3xo^R,Igxo—0B.mx（）eR,tanxo—0

C.VxeR,3l>0D.VxeR,*>0

【答案】D

【解析】3X0=1>lgxo=O；3xo=O,tanxo=O；VxGR3>0；VxGR,所以D为假命

题.故选D.

题型五：根据全（特）称命题的真假求参数

【典例分析】

例5-1.（2023•江西南昌•校联考模拟预测）己知命题p:\/xeRM<3—"+l,若P为真命题，

则实数。的取值范围是.

【答案】（f,l）

【分析】根据题意知a<3X2024+I恒成立，求出xeR时，3-侬+1的最小值，即可求出实数

。的取值范围.

【详解】若VxeR,a<3x2024+1为真命题，等价于。<（3x2024+1%，

Vx2024>0,当且仅当x=0时，等号成立，

3/3+121,即（3y4+1%=1,

可得a<l,故实数。的取值范围是

故答案为：（-8,1）.

例5-2.（2023•江西南昌•校联考模拟预测）若命题a=|x|+l"为真命题，则实数。

的取值范围为.（用区间表示）

【答案】［1,+8）

【分析】求出函数丫=凶+1的值域，结合存在量词命题为是真命题作答.

【详解】因为W+121,即函数y=|X+l的值域为［1,+8）,

所以实数a的取值范围为

故答案为：［1,+8）

【规律方法】

根据全（特）称命题的真假求参数的思路

与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题,其本质是恒成立问题或有解问题.解

决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式

（组），再通过解方程或不等式（组）求出参数的值或范围.

【变式训练】

变式5-1.（2023春•天津和平•高三耀华中学校考阶段练习）已知命题P：HreR,

^+2x+2-a<0,若p为假命题，则实数a的取值范围为（）

A.(1,-Ko)B.[1,+co)C.(-oo,l)D.(-co,l]

【答案】D

【分析】首先由。为假命题，得出力为真命题，即,©14,尤2+2苫+2-420恒成立，由公40,

即可求出实数a的取值范围.

【详解】因为命题P：*eR,x1+2x+2-a<0,

所以M：VxeR,x2+2x+2-a>0,

又因为P为假命题，所以力为真命题，

即WxeR,尤2+2x+2-a20恒成立，

所以AW0,即22-4(2-a)V0,

解得aMl,

故选：D.

变式52(2023・上海徐汇・统考二模)命题“若x>a,则=1>0”是真命题，实数。的取值

X

范围是.

【答案】[1,+8)

【分析】由U>0解得x>l或x<0,贝l」x>“能推出x>l或x<0成立，即可得出实数a的

x

取值范围.

【详解】由?>。可得：解得：％>1或x<0，

Y—1

“若X>a,贝I]——>0”是真命题，则能推出x>l或x<0成立，

X

则.故实数a的取值范围是[1,+oo).

故答案为：[1,+8)

一、多选题

1.(2023・广东深圳•高三深圳外国语学校校考阶段练习)已知P：VxeR,尤?一依+i>()恒成

立；q：Vx>0,x+@>2恒成立.则()

X

A."a<2”是0的充分不必要条件B."a<2”是。的必要不充分条件

C.“a>2”是4的充分不必要条件D.“a>2”是9的必要不充分条件

【答案】BC

【分析】根据含参不等式不等式恒成立分别求得实数。的取值范围，结合充分必要条件即可

得答案.

【详解】己知P：V.reR,/一依+1>。恒成立，则方程三-依十1=。无实根，

所以A=a2-4<0恒成立，即-2<。<2,故".<2”是P的必要不充分条件，故A错误，B

正确；

又q：Vx>0,x+0>2恒成立，所以4>—炉+2尤在尤>0时恒成立，

X

又函数y=-x2+2x=-（x-Ip+1的最大值为y=1,

所以。>1,故“a>2”是q的充分不必要条件，故C正确，D错误.

故选：BC.

二、单选题

2.（2023春・河北衡水•高三衡水市第二中学期末）命题“上4-1,2],/<1"的否定是（）

A.Hr6[-1,2],尤221B.3xg[-l,2],x2<1

22

C.VXG[-1,2],X<1D.V^e[-1,2],X>1

【答案】D

【分析】由特称命题的否定形式可直接确定结果.

【详解】由特称命题的否定知：原命题的否定为Vxw[T,2],x2>l.

故选：D.

3.（2023•黑龙江哈尔滨•哈九中校考二模）命题"Vxe[l,2],Y一°40，，是真命题的充要条件

是（）

A.a>4B.a>4C.a<\D.a>l

【答案】B

【分析】直接利用恒成立问题的建立不等式，进一步求出实数。的取值范围.

【详解】命题“Vxe[l,2],f一.wo”为真命题，则说/在U,2]上恒成立，

*.*xG[1,2],%?£[1,4],则a24.

故选：B.

4.（2023•青海西宁・统考二模）使成立的一个充分不必要条件是（）

A.Vxe（0,1],a^b+xB.VxG（0,1],a+x<b

C.e[0,1],a<b+xD.3xe[0,1],a+x^b

【答案】B

【分析】根据不等式的关系结合充分不必要条件分别进行判断即可.

【详角车】对于A,若V%£（O,1],a^b+x,当a=Z?时，a=b<b+x成立,

所以aWb+x”*“a〈b”,A不满足条件；

对于B,Vxw（0,l],a+x<b,则ava+xvb,即

所以“V%£（o,l],a+x〈b''n'a<b'',

若a<b,则Vx£（O,l],不妨取。=1,b=1.2,x=0.5,贝lja+%>b,

所以“Vx£（O,l],a+x<b"Va<b",

所以“VX£（O』，a+x<L是的充分不必要条件，B满足条件；

对于C,若a<b,贝!J3X£[0,1],使得〃</?</?+%,即〃</?+],

即"玄£[0,1],a<6+%’‘，

所以“土«0』，°<b+x”是“a<b”的充分条件，C不满足条件；

对于D,若Hre[0,l],a+x^b,贝！JaWa+xWb,即当且仅当尤=0时，等号成立，

所以“'目0』,a+xWb"N“a<6"，D不满足条件.

故选：B.

5.（2023・贵州•统考模拟预测）命题P：“VxeR,x2-e+l>0”,命题4："m<2”,则p是q

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要

条件

【答案】A

【分析】先根据命题P求出m的范围，再根据充分性和必要性的定义得答案.

【详解】对于命题P：:VxeR,f-"7X+1>0,A=m2-4<0,得一2<根<2,

•：—2<:〃<2可以推出m<2,但是m<2不能推出—2<〃z<2,

二p是4的充分不必要条件.

故选：A.

6.（2023・北京•高三专题练习）设相，”是两条不同的直线，a邛是两个不同的平面，且根ua,

a//（3,贝『'加_L"”是"〃，6''的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要

条件

【答案】B

【分析】根据线面垂直的判定及性质，结合充分条件、必要条件判断即可.

【详解】当相"ua时，可推出〃//月，但是推不出〃，。，

当"_!_£时，由a〃6可知〃_La,又“ua,所以加J_〃，

综上可知，“加工〃”是“nV（3”的必要不充分条件.

故选：B

7.（2021.北京•统考高考真题）已知了⑺是定义在上[0,1]的函数，那么“函数了⑺在[0,1]上

单调递增”是“函数Ax）在[0,1]上的最大值为了⑴”的