人教版九年级数学上册专项复习：正多边形与圆（解析版）

专题24.3正多边形与圆

目录

正多边形求线段长度..........................................................1

正多边形求角度..............................................................4

正多边形求面积..............................................................6

正多边形与坐标轴...........................................................10

正多边形与规律.............................................................13

综合运用...................................................................16

正多边形求线段长度

/正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。

正多边形的有关计算

(1)首先要明确与正多边形计算的有关概念：即正多边形的中心O,正多边形的半径

R——就是其外接圆的半径，正多边形的边心距r,正多边形的中心角a,正多边形

的边长a„

(2)正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，等腰三角形的顶角

就是正n边形的中心角都等于；如果再作出正n边形各边的边心距，这些边心距

i又把这n个等腰三角形分成了2n个全等的直角三角形。

【例1】如图，正方形ABC。内接于O。，点£为我上一点，连接8E,若NCBE=15

BE=5,则正方形ABCD的边长为()

C.V10D.2V5

【解答】解：连接。4,OB,OE,

:正方形ABC。内接于O。，

360°

：

.OA=OB=OE,ZAOB=q=90°,AB=BC,ZABC=90°,

：.ZOAB=ZOBA=^(180°-ZAOB)=45°,

：.ZOBC=ZABC-ZOBA=45°,

VZCBE=15°,

ZOBE=ZOBC+ZCBE=60°,

:•△OBE是等边三角形，

：・OB=BE=5,

：.OA=5,

：.AB=y/OA2+OB2=5V2,

・•・正方形ABCD的边长为5V2.

故选：B.

【变式训练1】如图，面积为18的正方形ABC。内接于。0,则。。的半径为（）

•・♦四边形A3CO是正方形，

AZAOB=90°,

・・・AOAB是等腰直角三角形,

•・•正方形A3CO的面积是18,

：.AB=V18=3V2,

：.0A=0B=^AB=3,

故选：C.

【变式训练2】如图,正六边形ABCDEP内接于O。，QO的半径为1,则边心距的长

1=

C.-D.2遮

2

【解答】解：连接。8,

:六边形ABCDEF是OO内接正六边形,

360°

・"加厘=3°0

OM=OB-cosZBOM=1X曰=号

［变式训练3】如图，在正六边形ABCDEF中,点G是AE的中点，若AB=4,则CG的长

C.7D.8

【解答】解：如图，连接AC,EC.

是正六边形，

...△ACE是等边三角形，

"：AB=4,

：.AC=CE=AE=4V3,

,:AG=GE=2很,

：.CGLAE,

：.CG=yjAC2-AG2=J(4百/一(2次尸=6,

故选：B.

正多边形求角度

【例2】如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则N1的度数

为（）

B.25°C.30°D.45°

【解答】解：・・,正方形的每个内角的度数是90°,正六边形的每个内角的度数是

二120。，

6

：.Z1=12O°-90°=30°,

故选C.

【变式训练1】如图，正五边形ABCOE和正三角形AMN都是。。的内接多边形，则N8OM

的度数是（）

A

C.48°D.60°

:△AMN是等边三角形，

AZANM=60°,

AZAOM=2ZANM=120°,

••NBCOE是正五边形，

360°

AZAOB==72°,

：.ZBOM=120°-72°=48°.

故选：C.

【变式训练2】如图，正六边形ABC。跖内接于OO,点M在曲上，则NCME的度数为（)

【解答】解：连接OC,OD,OE,

•・•多边形ABCDEF是正六边形，

：.ZCOD=ZDOE=60°,

ZCOE=2ZCOD=120°,

1

AZCME^^ZC0E=6Q°,

【变式训练3】如图，在正六边形ABC。所中，M,N分别为边CDBC的中点，AN与BM

相交于点尸，则/APM的度数是()

【解答】解：.••六边形A8C。M是正六边形，

；.NABC=NBCD=622义180二⑵。,AB=BC=CD,

o

VM,N分别为边CD,3c的中点，

；・BN=CM,

:•△ABNWABCM(SAS),

:./BNP=/CMB,

*.*ZCBM=/PBN,

，/BPN=/BCD=120°,

ZAPM=120°,

故选：B.

正多边形求面积

S空白

【例3】如图，正六边形ABC。口中，点跖N分别为边3CE尸上的动点，则^―=()

S阴影

FNE

M

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：连接AD作尸尸，AD于点尸，于点。，

•・•正六边形各内角为120。，

：.ZEAP=60°,

设各边长为〃，则

1

.\AP=QD=严，

：.AD=2a,FP=y/AF2-AP2=Ja2-(1a)2=^-a,

S四边形AMfwuAD.FPuZax-^-a—V5a

c_3732

o正六边形=~2~a，

•'•S阴影=S正六边形-S四边形AMDN=V3<22=孚a2,

.S空白V3a2

•♦====2,

,阴影-ya

故选：A.

【变式训练1】如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为4,

则图中阴影部分的面积为()

C.16D.16V3

【解答】解：如图，连接。2交AC与点

由题意△ABC是等边三角形，。8=4,0H=BH=2,

'JOBLAC,

...阴影部分的面积=6x苧x（手）2=8A/3.

故选：A.

【变式训练2】如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起，己知正方形面积

是2,那么非阴影部分面积是（）

A.6B.6+V2C.2+4&D.8

【解答】解：•••正方形面积是2,

二其边长为：V2,

如图，将正八边形的每一条边延长可得正方形ABCQ,

•••正八边形的每个内角为180°—嗒=135°,

O

AZAEF=45°,

・・・AAEF为等腰直角三角形,

D

在RtZXAEB中，AE=EF«sin45°=近乂芍=3

.•.AB=V2+1X2=72+2

.••正边形的面积为：S正方形ABC。-4szxAEF

=(V2+2)2-4x|xlxl

=4+4-\/2,

非阴影部分面积是S正八边形-S正方形=4+4V2-2=2+4夜.

故选：C.

【变式训练3】如图所示的正八边形的边长为2,则对角线AB的长为(

【解答】解：•••多边形是正八边形,

ZACD=ZBDC=(8-2俨801=135»,

过C作CE1AB于E,过。作DF±AB于F,

则四边形CEDF是矩形，

：.CD=EFAC=BD=2,ZDCE=ZCEA=ZCEF=900,

AZACE=45°,

:.AE=BF=孝x2=V2,

：.AB=V2+2+V2=2V2+2,

故选：A.

正多边形与坐标轴

【例4】如图，正六边形ABCDEF的半径OA=2,则点8的坐标为（）

-1,V3)C.(-2,-V3)D.(-V3,2)

:正六边形ABCDEF的半径。4=。。=2,

AOB=OA=AB=2,ZABO=Z60°,

：.Z0BH=6Q°,

:.BH=^OB=1,OH=OBcosZOBH=亨x2=V3,

：.B(-V3,1),

故选：A.

【变式训练1】如图，正五边形ABCDE的顶点A在y轴正半轴上，边CD〃x轴，若点E坐

标为（3,2）,则点8的坐标为（）

A.(3,-2)B.(-3,2)C.(-3,-2)D.(2,-3)

【解答】解：观察图形发现：该正五边形关于y轴对称，

所以点E和点B关于y轴对称，

:点E的坐标为(3,2),

.♦.点B的坐标为(-3,2),

故选：B.

【变式训练2】如图，A8CD跖是中心为原点。顶点A,。在x轴上，半径为4的正六边

形，则顶点尸的坐标为()

A.(2,2V3)B.(-2,2)C.(-2,2V3)D.(-1,V3)

【解答】解：连接OF.

360°

ZAOF==60°,OA^OF,

o

AA(?F是等边三角形，

尸=4

设EF交y轴于G,则/GOF=30°.

在RtZ\GOF中，

VZGOF=30°,。歹=4,

:.GF=2,0G=2W.

：.F(-2,2V3).

【变式训练3】如图，边长为4的正六边形A8C0EF的中心与坐标原点。重合，A/〃x轴,

将正六边形48CDE尸绕原点。顺时针旋转〃次，每次旋转60°,当“=100时，顶点A的

坐标为()

(-2,-2V3)C.(2,-2A/3)D.(2,2V3)

NAOH=30°,AH=2,

OH=>JOA2-AH2=2V3,

六边形ABCDEF是正六边形,

...正六边形ABCDE尸绕原点0顺时针旋转6次回到原位置,

1004-6=16—4,

.,.当”=100时，顶点A的坐标为(-2,-2V3),

正多边形与规律

【例5】如图是一长条型链子，其外型由边长为1c机的正六边形排列而成.其中每个黑色六

边形与6个白色六边形相邻.若链子上有59个黑色六边形，则此链子上的白色六边形个数

D.355

【解答】解：根据题意分析可得：其中左边第一个黑色六边形与6个白色六边形相邻.

即每增加一个黑色六边形，则需增加4个白色六边形.

若链子上有59个黑色六边形，则链子共有白色六边形6+58X4=238（个）.

故选:B.

【变式训练1】如图，一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为a,按此

规律，则第n个正多边形的面积为（

第1个第2个第3个

n(n-l)

<

2

【解答】解：九=1时，S=a；

〃=2时，过A作于E,贝l|N48£=30°,

设正六边形的边长为2r,则AE=x,BE=V3x,BD=2^x,

BP«=2x-2V3x=4V3?,

又正六边形面积为6x3X2X->/3X=6V3X2=

"=3时，作于D,尸GLBE于G,则NA2£>=45°,

设正八边形的边长为2x,则8O=AO=缶，△483的面积为了,四边形ABE尸面积为

(2+2V2)/,

贝Ua=2x.(2+2V2)x=(4+4V2)x2,

正八边形面积为2a.

BE

C

71+1

通过计算可以看出，第"个正多边形的面积为三%

故选:B.

【变式训练2】如图,将几个全等的正八边形进行拼接,相邻的两个正八边形有一条公共边，

围成一图后中间形成一个正方形.设正方形的边长为1,则该图形外轮的周长为20；

若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边,

设正三角形的边长为1,则该图形外轮廓的周长是27.

【解答】解：由拼图可知，每个正八边形有5条边在“外围”，因此周长为5X4=20,

若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共

边，可知这个正多边形为正十二边形，

如图，贝I“外围”的周长为(12-3)X3=27,

故答案为：20,

【变式训练3】如图，边长为1的正六边形ABCOEE放置于平面直角坐标系中，边48在x

轴正半轴上，顶点尸在y轴正半轴上，将正六边形4BCOEF绕坐标原点。顺时针旋转，每

次旋转60°,那么经过第2025次旋转后，顶点。的坐标为（一|,一病.

在正六边形ABCDEF中，

'：AB=1,AD=2,ZABD=90°,

：.BD=y/AD2-AB2=V22-l2=V3,

在RtZXAO/中，AF=1,ZOAF=6Q°,

；./0加=30°,

OA—^AF—

13

・•・OB=OA+AB=^+1=|,

3

・••点。的坐标为(-,V3),

2

3

故答案为：(;，V3)；

2

•・,将正六边形ABCDEb绕坐标原点。顺时针旋转，每次旋转60°,

•,•6次一个循环，

•••2025+6=337……3,

经过第2025次旋转后，顶点D的坐标与第三次旋转得到的03的坐标相同,

与。3关于原点对称，

•*.Z）3（~2y—V3

经过第2025次旋转后，顶点Z）的坐标（-|,-V3）.

综合运用

【例6】阅读与思考

请阅读下列材料，并完成相应的任务：

克罗狄斯•托勒密（约90年-168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家.在

数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：

圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和.即：如图1,若四边形A8CD

内接于0。，则有.

任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为.

（2）如图2,正五边形A8CDE内接于OO,AB=2,求对角线8。的长.

【解答】解：（1）根据托勒密定理可得：AB-CD+AD-BC^AC-BD,

故答案为：AB-CD+AD-BC=AC'BD-,

（2）如2图，连接A£）、AC.

•/五边形ABCDE是正五边形，

AABC^LDCB咨AAED(S4S),

设BD=AC=AD=x.

在圆内接四边形ABC。中，由托勒密定理可得：AB-CD+AD'BC=AC-BD,

即2X2+x・2=?,

解得：xi=l+V5,X2=l-V5（舍去）.

对角线8。的长为1+V5.

图2

【变式训练1】（1）如图1,AABC为等边三角形，点M是8C上一点，点N是CA上一点，

BM=CN,BN、AM相交于点。，求N3QM的度数；

（2）当（1）中的“等边△ABC”的边数逐渐增加，分别变为正方形ABCZ）（如图2）、

正五边形A2CDE（如图3）、正六边形A2CDEF（如图4）…，"点N是CA上一点”变

为点N是CD上一点，其余条件不变，分别确定的度数，并直接将结论填入下表：

正多边形正方形正五边形正六边形・・•正〃边形

ZBQM的度90L108°120°…(n-2)-180°

n

数

【解答】解：（1）在与△2CN中,

AB=BC

乙4BC=ZC=60°,

.BM=CN

:.AABM乌4BCN(SAS'),

:"BAM=NNBC,

ZAQN=ZBAM+ZABQ,

ZNBC+ZABQ

ZABM=6Q°,

：.ZAQN=60°.

（2）由（1）可知，/40"=各个多边形的一个角的大小,

所以正方形中/AQN=90°,

正五边形中NAQN=108°,

正六边形中/AQN=120°,

0—2)180。

正〃边形中/AQV=

n

一,(n-2)-180°

故答案为：90°,108°,120°,-——-----

71

缪扇迪

・选择题（共8小题）

1.如图，在拧开一个边长为。的正六角形螺帽时，扳手张开的开口人=10石机机，则这个正

六边形的面积为（）

A.20*mm1B.300\/3mm2

C.150V3mm2D.75y/3mm2

3

【解答】解：如图：作50_LAC于。，

由正六边形，得

ZABC=120°,AB=BC=a,

ZBCD=ZBAC=30°.

由AC=106mm，得CD=5^/3mm.

"CD旦工即述

BC2a2

解得a=10,

1厂r-

这个正六边形的面积6x-xl0x5V3=150A/3(mm2),

2.有一个正〃边形的中心角是36。，则〃为（）

A.7B.8C.9D.10

【解答】解：77="=10,

36°

故选：D.

3.如图，。与正六边形Q4BCDE的边CM,OE分别交于点P,G,点/为劣弧尸G的

中点.若FM=4叵.则点O到的距离是（）

A.4B.342C.2«D.4垃

【解答】解：连接OM,过。作O/7JLR以于〃，

.■正六边形OABCDE,

:.ZFOG=nO°,

「点M为劣弧FG的中点，

:.ZFOM=60°,

OH±FM,OF=OM,

.•.NO切=60。，NOHF=90°,FH=>FM=2也,

2

:.OH=6FH=2前,

故选：c.

4.如图，点P、M、N分别是边长为2的正六边形中不相邻三条边的中点，则APMN的

周长为（）

A.6B.6^2C.6A/3D.9

【解答】解：分别过正六边形的顶点A,3作于E,BF1MN于F,

贝UNE4M=ZA«F=3O。，EF=AB=2,

AM=BN=—X2=',

2

-,EM=FN=-xl=-,

22

MN=—i----F2=3,

22

的周长3x3=9,

故选：D.

5.一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72。，则该正多边形的边数是（）

A.4B.5C.6D.7

【解答】解：设正多边形的边数为八.

360°

由题意可得：—=72%

n

..AZ—59

故选：B.

6.已知一个正多边形的中心角为45。，则以该正多边形的顶点为顶点的等腰三角形的种类

数（全等的三角形为同一类）是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：由于一个正多边形的中心角为45。，

所以这个正多边形的边数为丝=8，

45°

如图，以正八边形的顶点为顶点的等腰三角形（全等的三角形为同一类）有AABC,AACF,

AACG共3个，

故选：c.

H

O

D

7.如图，正六边形43CDEF内接于oO,M为EF的中点,连接DM,若，。的半径为2,

则MD的长度为（）

0

A.77B.君C.2D.1

【解答】解：连接OM、OD、OF,如图所示：

,正六边形ABCDEF内接于:O,M为EF的中点，

:.OM±OD,OM±EF,ZMFO=60。，

...ZMOD=ZOMF=90°,

:.OM=OFsinZMFO=2x

:.MD=yjOM2+OD1

故选：A.

8.如图，正五边形内接于O,则正五边形中心角NCOD的度数是（)

B.72°C.60°D.36°

【解答】解：•五边形钻8£是的内接正五边形，

360°

五边形ABCDE的中心角NCOD的度数为——二72°，

5

故选：B.

二.填空题（共4小题）

9.如图，如果AB、AC分别是圆O的内接正三角形和内接正方形的一条边，5c一定是圆

O的内接正〃边形的一条边，那么〃=12.

【解答】解：连接Q4、OB、OC,如图，

AB,AC分别为：O的内接正四边形与内接正三角形的一边,

3600360°

\ZAOB=——=90。，ZAOC=——=120°,

43

二ZBOC=ZAOC-ZAOB=30°,

即3c恰好是同圆内接一个正十二边形的一边.

故答案为：12.

10.已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为-7T

-3

【解答】解：连接03、OC,过O作8_L3C于D,

AABC是边长为4的等边三角形，BC=2,

:.ZBOC=120°,

ZBOD=-ZBOC=60°,BD=1,

2

273

亍

能够完全覆盖这个正三角形的最小圆的面积为:万x（争夺,

故答案为：—71.

3

A

11.如图，万名塔，位于凤凰古城沙湾的沱江之滨，于1988年建成，该塔是一个六角塔,

如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是12米.

【解答】解：如图所示:

V正六边形的半径为2米,

.•.04=08=2米，

/.正六边形的中心角ZAOB=怨360-°=60。，

6

AAOB是等边三角形，

AB=OA—OB，

.•.AB=2米，

，正六边形的周长为6x2=12（米）；

故答案为：12.

12.如图，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF//y轴，将正六边

形ABCDEF绕原点。逆时针旋转九次，每次旋转60。，当“=2024时，顶点A的坐标为

（-右」）

【解答】解：根据题意，连接

在正六边形ABCDEF中，N4OB=60。,

.•.AAO3是等腰三角形，OA=OB=AB=2,

.•.ZAO"=30°,AH=-AF=-x2=l,

22