中考数学专项复习：将军饮马模型

120个中考热点解题技巧思想以及常见几何模型添加技巧精髓

几何最值之将军饮马问题

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题型一：两定一动模型即E，三：西口71n模则,

最值之将军饮马问题

题型二：-定两动模型题型四：两定点-定长

三角形中的最值（将军饮马模型）问题在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题,

都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等

的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。在解决几何最值问

题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称

变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本

专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。

［模型引入】

什么是将军饮马？

“白日登•山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李硕《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系

列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”-

【模型描述】

如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能

使得路程最短？

8军营

将军A

河

【模型抽象】

如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？

B

A

P

这个问题的难点在于B4+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我

们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短''等，所以此处，需转化问

题，将折线段变为直线段.

【模型解析】

作点A关于直线的对称点A',连接B4',贝所以必+P2=RT+P8

当4、P、B三点共线的时候，PA,+PB=A,B,此时为最小值（两点之间线段最短）

B

/

A端点/

卜、/

J'/______________

I/尸折点

I/

K

A

【模型展示】

【模型】一'两定一动之点点

在。4、上分别取点M、N,使得△PMN周长最小.

此处M、N均为折点，分别作点尸关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的

对称点，化折线段PM+MN+NP为P'M+MN+NP”,当产、M、N、P”共线时，zkPMN周长

最小.

【精典例题】如图，点尸是乙4。8内任意一点，ZAOB=3Q°,0P=8,点M和点N分别是

射线OA和射线0B上的动点，则△PMN周长的最小值为.

【分析】APAW周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点尸关于0B、

。4对称点尸、P”,化PM+PN+MN为P'N+MN+P”M.

当尸、N、M、尸”共线时，得△2〃汽周长的最小值，即线段尸'尸"长，连接。尸、0P",可

得AOP，P”为等边三角形，所以P/"=OP，=OP=8.

【模型】二、两定两动之点点

在04、上分别取点M、N使得四边形PMN0的周长最小。

考虑尸。是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点尸、。关于

。4、08对称，化折线段PM+MN+NQ为P，M+MN+N0,当P、M、N、。，共线时，四边形

PMNQ的周长最小。

【模型】三、一定两动之点线

在OA、08上分别取M、N使得PM+MN最小。

此处M点为折点，作点P关于。4对称的点产，将折线段PM+MN转化为PA/+MM即过

点产作0B垂线分别交0A,0B于点M,N,得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线

段最短）

0题型精讲

题型一：两定一动模型

模型作法结论

A

；

,1/Z

ZB4+P8的最小值为

BB

当两定点A、B在直线1异侧时，在直线连接A2交直线/于点P，点P

/上找一点尸，使出+尸8最小.即为所求作的点.

B

.A

11'//////P

1/B4+PB的最小值为A3

B'

当两定点A、B在直线1同侧时，在直线

作点B关于直线/的对称点B',

/上找一点P,使得以十尸8最小.

连接A8交直线/于点P,点P

即为所求作的点.

【解析】解：解：（1）作A关于;v=3的对称点A，，连接AB交直线x=3与点C.

:点A与点A，关于产3对称,：.AC=A,C.AC+BC=A,C+BC.

当点B、C、A，在同一条直线上时，AC+BC有最小值，即AABC的周长有最小值.

:点A与点A，关于x=3对称，，点A，的坐标为（6,3）.

33

设直线BA，的解析式产质+6,将点B和点A，的坐标代入得：k=-，b=~~.

3

将x=3代入函数的解析式，的值为一

4

【例2】如图，正方形ABC。中，AB=1,M是。C上的一点，且。M=3,N是AC上的一

动点，求ION—MM

的最小值与最大值.

【解析】解：当ND=NM时，即N点DM的垂直平分线与AC的交点，|DN-MN|=O,

因为IDN-MN区DM,当点N运动到C点时取等号，此时|DN-MN|=DM=3,

所以|DN-MN|的最小值为0,最大值为3

【例3】如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点A（l，0）,8（5,0）,

C(0,4).

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足P4+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探

索)；

(3)在第四象限的抛物线上是否存在点E,使四边形OEBF是以0B为对角线且面积为12

的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由.(请在图2中探索)

4248

【答案】(1)y=-x2----x+4,函数的对称轴为：%=3；(2)点P(3,—)；(3)存在，

555

点E的坐标为(2,-弓)或(4,-y-).

【解析】

解：(1)根据点A(1,O),8(5,0)的坐标设二次函数表达式为：

y^~ci(^x--6x+5),

・・,抛物线经过点。(。，4),

,4

则5(2=4，解得：a=—,

5

4/、416424

抛物线的表达式为：y=~^2—6x+5^=—(x—3)9——=—x2——x+4,

函数的对称轴为：xW；

(2)连接5、。交对称轴于点尸，此时PA+PC的值为最小，

设BC的解析式为：y=kx+b,

0=5左+Z?

将点5、C的坐标代入一次函数表达式：y=Ax+b得：＜)

b=4

4

解得：\~~~5,

b=4

4

直线的表达式为：y=--x+4,

Q

当时，y=一，

-5

Q

故点P(3,?)；

5

(3)存在，理由：

四边形OE即是以06为对角线且面积为12的平行四边形,

则S四边形皿=。6义|谒=5*仅E|=12,

12

点E在第四象限，故：则%=一二，

将该坐标代入二次函数表达式得：

-6x+5j=-—,

解得：xW或4,

G12、/“12、

(2,—)(4,—)

故点E的坐标为5或5.

题型二：一定两动模型

模型作法结论

/:A

).

△PCZ)周长的最小值为

0B

OD\1BPP”

l

点P在NA08内部，在。8边上找点

分别作点P关于OA、0B的对

D,0A边上找点C,使得△PCD周

【分析】△周长即PM+PN+MN的最小值，止匕处M、N均为折点，分别作点尸关于0B、

。4对称点尸'、P”,化PM+PN+MN为P'N+MN+P”M.

当产、N、M.P”共线时，得APMN周长的最小值，即线段尸了"长，连接OP，、OP”,可

得40尸'尸"为等边三角形，所以尸‘尸"=0产=。尸=8.

［例5］如图，点P是/A0B内任意一点，且/4。8=40。，点〃和点N分别是射线OA和

射线

【解答】解：分别作点P关于0A、。8的对称点P、2，

连接P1P2,交。4于跖交。8于M则OPi=0P=OP2,Z0PM=ZMPO,NNP0=ZNP2O,

，

根据轴对称的性质，可得PN=P2N,则△PMN的周长的最小值=尸1尸2

/.ZPlOP2=2ZAOB=SO°,；.等腰△。尸1尸2中，/。尸"2+/。尸2尸1=100°,

ZMPN^ZOPM+ZOPN=ZOP1M+ZOP2N=100°,故选：B.

【例6】如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是边AD,BC的中点，连接DF,过点E

作EHJ_DF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.

(1)猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；

(2)过点H作MN〃CD,分别交AD,BC于点M,N,若正方形ABCD的边长为10,点

P是MN上一点，求APDC周长的最小值.

【答案】（1）结论：CF=2DG,理由见解析；（2）△PCD的周长的最小值为10+2而.

【详解】

(1)结论：CF=2DG.

理由：•・•四边形ABCD是正方形，

.,.AD=BC=CD=AB,ZADC=ZC=90°,

VDE=AE,

JAD=CD=2DE,

VEG±DF,

JZDHG=90°,

AZCDF+ZDGE=90°,ZDGE+ZDEG=90°,

:.NCDF=NDEG,

AADEG^ACDF,

.DGDE1

CF-DC-2?

・・・CF=2DG.

（2）作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,

此时△PDC的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.

「皿上55[-DEDG

由题意：CD=AD=10,ED=AE=5,DG=一，EG=—,DH=-------------=」5r，

22EG

・・・EH=2DH=2百，

DHEH

AHM==2,

DE

DM=CN=NK二yjDH--HM2=1，

在RtADCK中，DK=ylcDr+CK2=V102+227102+(2^)2=2726，

.'.△PCD的周长的最小值为10+2而.

［例7］如图，抛物线y=ax2-5ax+c与坐标轴分别交于点A,C,E三点，其中A(-3,0),

C(0,4),点B在x轴上，AC=BC,过点B作BDJ_x轴交抛物线于点D,点M,N分别

是线段CO,BC上的动点，且CM=BN,连接MN,AM,AN.

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；

(2)当ACMN是直角三角形时，求点M的坐标；

(3)试求出AM+AN的最小值.

【答案】(1)抛物线解析式为y=--x2+-x+4；D点坐标为(3,5)；(2)M点的坐标为(0,

66

—)或(0,);(3)AM+AN的最小值为.

【详解】

f1

r9a+15a+c=0a=——

(1)把A(-3,0),C(0,4)代入y=ax2-5ax+c得〈，解得〈6，

c=4

ic=4A

•••抛物线解析式为丫=-、2+9X+4；

66

VAC=BC,COXAB,

.*.OB=OA=3,

AB(3,0),

VBD±x轴交抛物线于点D,

；.D点的横坐标为3,

15

当lzx=3时，y=-—x9+—x3+4=5,

66

•*.D点坐标为(3,5)；

(2)在RtAOBC中，BC=yJoB2+OC2=A/32+42=5-

设M（0,m）,则BN=4-m,CN=5-（4-m）=m+l,

VZMCN=ZOCB,

、，CMCN心

.,.当----=——时，△CMNsaAcOB,则nlNCMN=NCOB=90。,

COCB

即^―竺=—+1,解得m=3,此时M点坐标为（0,—）；

4599

、CMCN-

当----=——时，ACMN^AACBO,贝nUl/CNM=NCOB=90。，

CBCO

4—Tnn?+11111

HP--------=——，解得m=—,止匕时M点坐标为（0,—）；

5499

综上所述，M点的坐标为（0,枭或（0,—

99

（3）连接DN,AD,如图，

VAC=BC,COXAB,

；.OC平分NACB,

ZACO=ZBCO,

：BD〃OC,

.,.ZBCO=ZDBC,

；DB=BC=AC=5,CM=BN,

.•.△ACM^ADBN,

；.AM=DN,

；.AM+AN=DN+AN,

而DN+ANNAD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），

DN+AN的最小值=762+52=扃，

AAM+AN的最小值为洞.

题型三：两定两动模型

模型二作法;结论

A

PC+CD+DQ的最小值为

»分P'Q',所以四边形PQOC周

0B

长的最小值为PQ+P'Q'

点尸、。在NAOB内部，在边上别作点P、Q关于04、0B的对

找点D,OA边上找点C,使得四边称点P'、Q',连接P'Q',分别交

形PQDC周长最小.。4、0B于点C、D,点C、D

即为所求.

【例8】如图，在矩形A3CD中，AB=4,BC=7,E为CD的中点，若P、Q为BC

边上的两个动点，且尸Q=2,若想使得四边形APQE的周长最小，则的长度应为

解：如图，在AD上截取线段AF=DE=2,作F点关于BC的对称点G,连接EG与BC交于

一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线

交DC的延长线于H点.

：E为CD的中点，；.CE=2

，GH=DF=5,EH=2+4=6,ZH=90°,

VBC//GH

❖QCE-❖GHE,

.CQEC

"GH~EH'

.四二

••一,

56

5

..CQ=-,

3

510

BP=CB-PQ-CQ=7-2--=-y.

故答案为—.

3

【例9】如图，已知直线11、〃之间的距离为8,点尸到直线的距离为6,点。到

直线h的距离为4,「。=4而’在直线’1上有一动点4直线2上有一动点B,满足AB±l2,

且PA+AB+BQ最小，止匕时PA+BQ=.

【答案】16.

【详解】

作PELh于E交L于F,在PF上截取PC=8,连接QC交12于B,作BA，h于A,此时

PA+AB+BQ最短.作QD_LPF于D.在RtAPQD中，VZD=900,PQ=4，PD=18,

，DQ='PQ：-PD),：AB=PC=8,AB〃PC，.•.四边形ABCP是平行四边形，

，PA=BC,CD=10,；.PA+BQ=CB+BQ=QC=+少=J]56+]00=16.故答案为16.

模型作法结论

AAM+MN+

B上NB的最小

值为A"B

如图，在直线/上找M、N两点

~\~d

（M在左），使得AM+MN+A®最

小，且MN=d.将A向右平移d个单位到4,作4

关于/的对称点A",连接与直线/交于

点、N,将点N向左平移1个单位即为M,

点Af,N即为所求.

AAAM+MN+

11

!flNB的最小

11/v\^k

值为A8+

BB

d.

如图,k//h，h、L间距离为d，将A向下平移d个单位到A,连接45交直

在小/2分别找M、N两点，使线/2于点N,过点N作MN±h，连接AM.

得MNLh,且AM+MN+NB最小.点M、N即为所求.

【例10】在平面直角坐标系中，矩形0ABe如图所示，点A在无轴正半轴上，点C在y轴

正半轴上，且。4=6,OC=4,。为0c中点，点E、尸在线段04上，点E在点尸左侧,

£广=2.当四边形8OE尸的周长最小时，求点E的坐标.

【解析】如图，将点。向右平移2个单位得到。(2,2),作。关于x轴的对称点£>"(2,-

2),连接8。"交了轴于点凡将点/向左平移2个单位到点E,此时点E和点F为所求作的

点，且四边形周长最小.

理由:

四边形BDEF的周长为BD+DE+EF+BF,BD与EF是定值.

...BF+DE最小时，四边形汨尸周长最小，

'：BF+ED=BF+FD'=BF+FD"=BD''

设直线BD"的解析式为y=fcc+6,把B(6,4),D"(2,—2)代入，

33

得64+6=4,2k+b=-2,解得左=2，。=—5,.,.直线8£)"的解析式为y=2尤一5.

令y=0,得x=¥，，点尸坐标为(芋，0)....点E坐标为(*0).

【例11】村庄A和村庄B位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直

的桥，桥址应如

何选择，才使A与2之间的距离最短？

•A

h

I2

B*

【解答】

设/i和/2为河岸，作BZXL/2，取等于河宽，连接AB咬/i于G，作CC2_L/2于C2,

则A-C1—C2-2为最短路线，即A与2之间的距离最短.

题型一将军饮马中两定一动模型与最值问题

【专题说明】

这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转

化为两点之间线段最短问题。

i、如图，在aisc中，且B=ac，,总域解因是Ais。的两条中线，尸是且。上一个动点,

则下列线段的长度等于8尸+E尸最小值的是（）

c..IDD.AC

【答案】B

【详解】

在A18C中，，1S=HC，AD是A£SC的中线，可得点B和点D关于直线AD对称，连

结CE,交AD于点P,此时BP+EP最小，为EC的长，故选B.

2、如图，在正方形A8CZ）中，E是A8上一点，BE=2,A8=8,尸是AC上一动点，则PB+PE

的最小值____.

【答案】10

【详解】

解：如图：

连接交AC于点P,此时尸

PB+PE=PD+PE=DE为其最小值，

•.,四边形ABC。为正方形，且2E=2,A3=8,

AZDAB=90°,AD=AB=8,AE=AB-BE=6,

在RtzVlDE中，根据勾股定理，得

DE=^AD2+AE-

A/82+62

=10.

的最小值为10.

故答案为10.

3、如图，在平面直角坐标系中，矩形。的边交x轴于点D,ADLx轴，反比例

k

函数y=V(x>0)的图象经过点4,点。的坐标为(3,0),AB=BD.

x

(1)求反比例函数的解析式；

(2)点P为V轴上一动点，当E4+PB的值最小时，求出点尸的坐标.

912

【答案】(1)y=—；(2)(0,—)

x5

【详解】

解：(1)•••Q4BC是矩形，

/•NB=ZOAB=90°，

•/AB=DB，

/•ABAD=ZADB=45°，

；•ZOAD=45°，

又,:A£)_L尤轴，

•••ZOAD=NDOA=45°，

OD—AD，

•：D(3,0)

QD=AD=3,即A(3,3)

把点A(3,3)代入的y=幺得，k=9

X

9

・♦・反比例函数的解析式为：y=—.

x

9

答：反比例函数的解析式为：y=—.

(2)过点3作班，AD垂足为E，

•••/8=90°，AB=BD,BELAD

13

，AE=ED=-AD=-,

22

39

，0D+BE=3+-=-,

22

93

22

93

则点3关于y轴的对称点4(d)，直线ABi与y轴的交点就是所求点P，此时PA+PB

最小，

93

设直线A修的关系式为>=履+6,将A(3,3),修(一=二)，代入得，

22

「3左+6=3

…,1,12

<9,3解得：k=一,b=—,

——k+=-55

[22

1I?

•••直线A耳的关系式为丁=1%+二，

当x=0时，y=一,

5

点P(0,。)

4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax?+2x+c与x轴交于A(-1,0)B(3,0)两

点，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

(2)请在y轴上找一点M,使ABDM的周长最小，求出点M的坐标；

(3)试探究：在抛物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点，AC为直角边的三角形

是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)抛物线解析式为y=-x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；(2)点M的坐

标为(0,3)；

(3)符合条件的点P的坐标为(人7，2，0)或(1上0，13

3939

【详解】

解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3),

即y=ax2-2ax-3a,

-2a=2,解得a=-1,

.•.抛物线解析式为y=-x2+2x+3；

当x=0时，y=-x2+2x+3=3,则C(0,3),

设直线AC的解析式为y=px+q,

-p+47=0fn=3

把A(-1,0),C(0,3)代入得《，解得《，

q=3国=3

直线AC的解析式为y=3x+3；

(2),/y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

顶点D的坐标为(1,4),

作B点关于y轴的对称点连接DB，交y轴于M,如图1,贝B'(-3,0),

MB+MD=MB,+MD=DB,,止匕时MB+MD的值最小,

而BD的值不变，

此时ABDM的周长最小，

易得直线DB，的解析式为y=x+3,

当x=0时,y=x+3=3,

...点M的坐标为(0,3)；

(3)存在.

过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,

•直线AC的解析式为y=3x+3,

/.直线PC的解析式可设为y=-mx+b,

把C(0,3)代入得b=3,

.­•直线PC的解析式为y=-1x+3,

y=-%2+2x+3

解方程组,1一720、

则此时P点坐标为(—,—）；

y=——x+39

I3

过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P,直线PC的解析式可设为y=-2x+b,

J

11

把A(-1,0)代入得一+b=0,解得b=--，

33

直线PC的解析式为y=-』x-1，

33

10

y——d+2%+3r_1

T1013

解方程组＜11,解得c或1

13,则此时P点坐标为(§，-§)•

y=——x——[y=。

~9

综上所述，符合条件的点p的坐标为(y,)或(，，-T).

5、如图1(注:与图2完全相同)，在直角坐标系中，抛物线经过点三点A(l,0),8(5,0),C(0,4).

(1)求抛物线的解析式和对称轴；

(2)尸是抛物线对称轴上的一点，求满足P4+PC的值为最小的点P坐标(请在图1中探

索)；

(3)在第四象限的抛物线上是否存在点E,使四边形OEBF是以03为对角线且面积为12

的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由.(请在图2中探索)

4248

【答案】(1)y=-x2——x+4,函数的对称轴为：后；(2)点P(3,—)；(3)存在，

555

1212

点E的坐标为(2,-y)或(4,-y).

【详解】

解：(1)根据点A(l，0),8(5,0)的坐标设二次函数表达式为：

y^ci(^x--6x+5),

・・,抛物线经过点C(0,4),

4

则5。=4,解得：〃=—,

4/、416424

抛物线的表达式为：丁=^(尤2—6x+5)=g(x—3)9——=—x2——x+4,

函数的对称轴为：xW；

(2)连接5、。交对称轴于点尸，止匕时A4+PC的值为最小,

设BC的解析式为：y=kx+b,

将点3、。的坐标代入一次函数表达式：丁=丘+。得：'/

。二4

\=A

解得：,5,

b=4

4

直线的表达式为：y=—《x+4,

O

当时，y=一，

-5

Q

故点。(3,与；

5

(3)存在，理由：

四边形OEB尸是以03为对角线且面积为12的平行四边形，

则金边形皿=。叼％|=5'凶=12,

点E在第四象限，故：则%=—-，

5

将该坐标代入二次函数表达式得：

y=4-(/^-2-64x+5a)=-1y2,

解得：x=2或4，

个12、,“12、

(2,一一)(4,—)

故点E的坐标为5或5.

题型二将军饮马中一定两动模型与最值问题

【专题说明】

一定两动型可转化为两点之间线段最短和点到直线的垂线段最短问题，进而求最值。关键是作定点（或

动点）关于动折点所在直线的对称点，通过等量代换转化问题。

【模型展示】

【模型】三、一定两动之点线

在。4、08上分别取M、N使得RW+MN最小。

此处M点为折点，作点尸关于0A对称的点产，将折线段PM+MN转化为即过

点户作02垂线分别交。4、于点M、N,得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线

段最短）

【精典例题】

1、如图，在边长为1的菱形A3CD中，ZABC=60°,将AABD沿射线3。的方向平移

得到AAZ'。'，分别连接AC,AD，5'C则A'C+3'C的最小值为一.

【答案】上

【详解】

如图，过C点作BD的平行线I,以I为对称轴作B点的对称点连接4月交直线/于点。

根据平移和对称可知A'C+B'C=AC,+BCX,当A,By,C,三点共线时AQ+BQ取最小值,

即AB-又AB=B4=1,

根据勾股定理得，AB、=拒,故答案为血

2、点P是定点，在OA、0B上分别取M、N,使得PM+MN最小。

【解法】作点P关于OA对称的点P,,将折线段PM+MN转化为P'M+MN,即过点P，作

OB垂线分别交OA、OB于点M、N,得PM+MN最小值(垂线段最短)

3、点P是定点，在OA、OB上分别取点M、N,使得APMN周长最小.

B

【解法】分别作点P关于0A(折点M所在直线)、0B(折点N所在直线)的对称点，化

折线段PM+MN+NP为PM+MN+NP"，当P\M、N、P”共线时,△PMN周长最小.

3、如图，抛物线y=ax2-5ax+c与坐标轴分别交于点A,C,E三点，其中A(-3,0),C

(0,4),点B在x轴上，AC=BC,过点B作BDLx轴交抛物线于点D,点M,N分别是

线段CO,BC上的动点，且CM=BN,连接MN,AM,AN.

(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；

(2)当ACMN是直角三角形时，求点M的坐标；

(3)试求出AM+AN的最小值.

【答案】(1)抛物线解析式为y=--x2+-x+4；D点坐标为(3,5)；(2)M点的坐标为(0,

66

-)或(0,);(3)AM+AN的最小值为.

【详解】

f1

r9〃+15〃+c=0a=——

(1)把A(-3,0),C(0,4)代入y=ax2-5ax+c得，，解得〈6，

c=4

ic=4A

.♦・抛物线解析式为y=--x2+-x+4

66;

VAC=BC,CO±AB,

AOB=OA=3,

AB(3,0),

VBD±x轴交抛物线于点D,

・・.D点的横坐标为3,

当x=3时，y=--x9+-x3+4=5,

66

・・・D点坐标为(3,5)；

⑵在RtzkOBC中，BC=1OB?+OC=J32+42=5,

设M(0,m),则BN=4-m,CN=5-(4-m)=m+l,

VZMCN=ZOCB,

、“CMCN-E

.,.当----=——时，ACMNs/A^cOB,贝！J/CMN=/COB=90。,

COCB

4—THm+11616

即-----=-—，解得!n=吧，此时M点坐标为(0,—)；

4599

、CMCN心

当----=——时，ACMNs/AiCBO,贝nilJ/CNM=NCOB=90。，

CBCO

4—TH+11111

即-----=——，解得m=一,此时M点坐标为（0,—）；

5499

综上所述，M点的坐标为（0,裳）或（0,—）；

99

（3）连接DN,AD,如图，

VAC=BC,CO±AB,

AOC平分NACB,

AZACO=ZBCO,

VBD/7OC,

.\ZBCO=ZDBC,

VDB=BC=AC=5,CM=BN,

.".△ACM^ADBN,

；.AM=DN,

；.AM+AN=DN+AN,

而DN+ANNAD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），

DN+AN的最小值=762+52=向，

.,.AM+AN的最小值为洞.

4、如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是边AD,BC的中点，连接DF,过点E作EH

±DF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.

(1)猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；

(2)过点H作MN〃CD,分别交AD,BC于点M,N,若正方形ABCD的边长为10,点

P是MN上一点，求APDC周长的最小值.

【答案】（1）结论：CF=2DG,理由见解析；（2）4PCD的周长的最小值为10+2J记.

【详解】

(1)结论：CF=2DG.

理由：・・,四边形ABCD是正方形，

.,.AD=BC=CD=AB,ZADC=ZC=90°,

VDE=AE,

.'.AD=CD=2DE,

VEGXDF,

・・・ZDHG=90°,

/.ZCDF+ZDGE=90°,ZDGE+ZDEG=90°,

・•・NCDF=NDEG,

AADEG^ACDF,

・DGDE1

**CF~DC-2?

・・・CF=2DG.

（2）作点C关于NM的对称点K,连接DK交MN于点P,连接PC,

此时^PDC的周长最短.周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.

〜皿上55/-DE•DG「

由题意：CD=AD=10,ED=AE=5,DG=一，EG=—,DH=------------=J5，

22EG

AEH=2DH=2A/5,

DHEH

AHM=