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文档简介
湖南省长沙市开福区第一中学2025届高一数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1.菱形ABCD在平面α内,PC⊥α,则PA与BD的位置关系是()A.平行 B.相交但不垂直C.垂直相交 D.异面且垂直2.已知直线的方程是,的方程是,则下列各图形中,正确的是A. B.C. D.3.将的图象向右平移个单位,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象,则A. B.C. D.4.已知函数的图象关于直线对称,且,则的最小值为()A. B.C. D.5.若,则()A. B.C. D.26.设全集,集合,则()A. B.C. D.7.对于任意的实数,定义表示不超过的最大整数,例如,,,那么“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知函数f(x)=-log2x,则f(x)的零点所在的区间是()A.(0,1) B.(2,3)C.(3,4) D.(4,+∞)9.直线l:ax+y﹣3a=0与曲线y有两个公共点,则实数a的取值范围是A.[,] B.(0,)C.[0,) D.(,0)10.已知函数部分图象如图所示,则A. B.C. D.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11.已知△ABC的三个顶点分别为A(2,3),B(-1,-2),C(-3,4),则BC边上的中线AD所在的直线方程为_____12.=_______________.13.已知命题“,”是真命题,则实数的取值范围为__________14.过两直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点,且平行于直线4x-3y-7=0的直线方程为_______________.15.在中,,则_____________16.若,则______.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.已知.(1)求的最小正周期;(2)求的单调增区间;(3)当时,求的值域.18.某口罩生产厂家目前月生产口罩总数为100万,因新冠疫情的需求,拟按照每月增长率为扩大生产规模,试解答下面的问题:(1)写出第月该厂家生产的口罩数(万只)与月数(个)的函数关系式;(2)计算第10个月该厂家月生产的口罩数(精确到0.1万);(3)计算第几月该厂家月生产的口罩数超过120万只(精确到1月)【参考数据】:19.已知全集,集合,.(1)当时,求;(2)命题p:,命题q:,若q是p的必要条件,求实数a的取值范围.20.已知函数.(1)若函数的定义域和值域均为,求实数的值;(2)若在区间上是减函数,且对任意的,总有,求实数的取值范围.(可能用到的不等关系参考:若,且,则有)21.已知函数.(1)判断函数的奇偶性,并说明理由;(2)若实数满足,求的值.
参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】由菱形ABCD平面内,则对角线,又,可得平面,进而可得,又显然,PA与BD不在同一平面内,可判断其位置关系.【详解】假设PA与BD共面,根据条件点和菱形ABCD都在平面内,这与条件相矛盾.故假设不成立,即PA与BD异面.又在菱形ABCD中,对角线,,,则且,所以平面平面.则,所以PA与BD异面且垂直.故选:D【点睛】本题考查异面直线的判定和垂直关系的证明,属于基础题.2、D【解析】对于D:l1:y=ax+b,l2:y=bx-a.由l1可知a<0,b<0,对应l2也符合,3、A【解析】由三角函数图象的平移变换及伸缩变换可得:将的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍,再把所得图象向左平移个单位,即可得到的图象,得解【详解】解:将的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍得到,再把所得图象向左平移个单位,得到,故选A【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换及伸缩变换,属于简单题4、D【解析】由辅助角公式可得,由函数关于直线对称,可得,可取.从而可得,由此结合,可得一个最大值一个最小值,从而可得结果.【详解】,,函数关于直线对称,,即,,故可取故,,即可得:,故可令,,,,即,,其中,,,故选D【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用、三角函数的最值、三角函数的对称性,转化与划归思想的应用,属于难题.由函数可求得函数的周期为;由可得对称轴方程;由可得对称中心横坐标.5、B【解析】应用倍角正余弦公式及商数关系将目标式化为,结合已知即可求值.【详解】由题意知,,故选:B.6、A【解析】根据补集定义计算.【详解】因为集合,又因为全集,所以,.故选:A.【点睛】本题考查补集运算,属于简单题.7、B【解析】根据充分必要性分别判断即可.【详解】若,则可设,则,,其中,,,即“”能推出“”;反之,若,,满足,但,,即“”推不出“”,所以“”是“”必要不充分条件,故选:B.8、C【解析】先判断出函数的单调性,然后得出的函数符号,从而得出答案.【详解】由在上单调递减,在上单调递减所以函数在上单调递减又根据函数f(x)在上单调递减,由零点存在定理可得函数在(3,4)之间存在零点.故选:C9、C【解析】根据直线的点斜式方程可得直线过定点,曲线表示以为圆心,1为半径的半圆,作出图形,利用数形结合思想求出两个极限位置的斜率,即可得解.【详解】直线,即斜率为且过定点,曲线为以为圆心,1为半径的半圆,如图所示,当直线与半圆相切,为切点时(此时直线的倾斜角为钝角),圆心到直线的距离,,解得,当直线过原点时斜率,即,则直线与半圆有两个公共点时,实数的取值范围为:[0,),故选:C【点睛】本题主要考查圆的方程与性质,直线与圆的位置关系,考查了数形结合思想的应用,属于中档题.10、C【解析】由图可以得到周期,然后利用周期公式求,再将特殊点代入即可求得的表达式,结合的范围即可确定的值.【详解】由图可知,,则,所以,则.将点代入得,即,解得,因为,所以.答案为C.【点睛】已知图像求函数解析式的问题:(1):一般由图像求出周期,然后利用公式求解.(2):一般根据图像的最大值或者最小值即可求得.(3):一般将已知点代入即可求得.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】求出的坐标后可得的直线方程.【详解】的坐标为,故的斜率为,故直线的方程为即,故答案为:12、【解析】解:13、【解析】此题实质上是二次不等式的恒成立问题,因为,函数的图象抛物线开口向上,所以只要判别式不大于0即可【详解】解:因为命题“,”是真命题,所以不等式在上恒成立由函数的图象是一条开口向上的抛物线可知,判别式即解得所以实数的取值范围是故答案为:【点睛】本题主要考查全称命题或存在性命题的真假及应用,解题要注意的范围,如果,一定要注意数形结合;还应注意条件改为假命题,有时考虑它的否定是真命题,求出的范围.本题是一道基础题14、【解析】联立两直线方程求得交点坐标,求出平行于直线4x-3y-7=0的直线的斜率,由点斜式的直线方程,并化为一般式【详解】联立,解得∴两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点为(3,2),∵直线4x-3y-7=0的斜率为,∴过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点,且平行于直线4x-3y-7=0的直线的方程为y-2=(x-3)即为4x-3y-6=0故答案为4x-3y-6=0【点睛】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系,训练了二元一次方程组的解法,是基础题15、【解析】先由正弦定理得到,再由余弦定理求得的值【详解】由,结合正弦定理可得,故设,,(),由余弦定理可得,故.【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的运用,属于基础题16、【解析】根据指对互化,指数幂的运算性质,以及指数函数的单调性即可解出【详解】由得,即,解得故答案为:三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2),(3)【解析】(1)利用降幂公式等化简可得,结合周期公式可得结果;(2)由,,解不等式可得增区间;(3)由的范围,得出的范围,根据正弦函数的性质即可得结果.【小问1详解】∴函数的最小正周期.【小问2详解】由,得,∴所求函数的单调递增区间为,.【小问3详解】∵,∴∴,,∴的值域为.18、(1);(2)112.7万只;(3)16个月.【解析】(1)每月增长率为指数式,依据实际条件列出解析式即可;(2)第10个月为时,带入计算可得结果;(3)根据参考数据带入数值计算.【详解】解:(1)因为每月增长率为,所以第月该厂家生产的口罩数,.(2)第10个月该厂家月生产的口罩数万只.(3)是增函数,当时,,当时,,所以当时,即第16个月该厂家月生产的口罩数超过120万只.19、(1)(2)【解析】(1)先解分式不等式和二次不等式得集合,再求补集和交集即可;(2)先判断得,再根据必要条件得到集合的包含关系,列不等式求解即可.【小问1详解】∵时,,,全集,∴或.∴【小问2详解】∵命题:,命题:,是必要条件,∴∵,∴,∵,,∴,解得或,故实数的取值范围20、(1)2;(2).【解析】(1)确定函数的对称轴,从而可得函数的单调性,利用的定义域和值域均是,建立方程,即可求实数的值;(2)由函数的单调性得出在单调递减,在单调递增,从而求出在上的最大值和最小值,进而求出实数的取值范围.【小问1详解】易知的对称轴为直线,故在上为减函数,∴在上单调递减,即,,代入解得或(舍去).故实数的值为2.【小问2详解】∵在是减函数,∴.∴在上单调递减,在上单调递增,又函数的对称轴为直线,∴,,又,∴.∵
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