天津市和平区2025届新高考数学适应性训练试题二含解析

PAGE20-天津市和平区2025届新高考数学适应性训练试题（二）（含解析）（时间：2小时满分：150分)第I卷（选择题，满分45分)一、单选题（每题5分，满分45分，每题有且仅有一个正确答案）1.已知全集U=R，集合A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为集合选B2.设均为单位向量，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先对模平方，将等价转化为0，再依据向量垂直时数量积为零得充要关系.详解：，因为均为单位向量，所以a⊥b，即“”是“”的充分必要条件.选C.点睛：充分、必要条件的三种推断方法．1．定义法：干脆推断“若则”、“若则”的真假．并留意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．3.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从其次个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：依据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够推断单音成等比数列.等比数列的推断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.4.已知函数是奇函数，将的图像上全部点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】只需依据函数性质逐步得出值即可．【详解】因为为奇函数，∴；又，，又∴，故选C．【点睛】本题考查函数性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数．5.已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】只需把用表示出来，即可依据双曲线离心率的定义求得离心率．【详解】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有∴，，，∴．故选D．【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度．6.甲、乙俩人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.则甲恰好比乙多击中目标2次的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】记甲恰好比乙多击中目标2次为事务，分析可得包括两个事务，①甲击中2次而乙击中0次，②甲击中3次而乙击中1次，由独立事务的概率乘法公式计算可得两个事务的概率，进而由互斥事务概率的加法公式，将其相加即可得答案．【详解】记甲恰好比乙多击中目标2次为事务，分析可得包括两个事务:①甲击中2次而乙击中0次，记为事务，②甲击中3次而乙击中1次，记为事务，则.故选：A.【点睛】本题考查互斥事务、相互独立重复事务的概率计算，运用到二项分布求概率，属于基础题.7.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有，，，

，，，

，A.0个 B.1个 C.2个 D.3【答案】B【解析】分析：由线面垂直的几何特征，及线面垂直的其次判定定理，可推断A的真假；依据面面平行的几何特征及线线位置关系的定义，可推断B的真假；依据线面垂直及线线垂直的几何特征，及线面平行的判定方法，可推断C的真假；依据面面平行的判定定理，可以推断D的真假．详解：由m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，若a，b相交，则可得α∥β，若a∥b，则α与β可能平行也可能相交，故（1）错误；若m∥n，n⊥α依据线面垂直的其次判定定理可得m⊥α，故（2）正确；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故（3）错误；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故（4）错误；故选B．点睛：本题以命题的真假判定为载体考查了空间线面关系的判定，娴熟驾驭空间线面位置关系的判定，性质及几何特征是解答的关键．对于这种题目的推断一般是利用课本中的定理和性质进行解除，推断；还可以画出样图进行推断，利用常见的立体图形，将点线面放入特别图形，进行直观推断.8.已知奇函数在R上是增函数，.若，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据奇函数在上是增函数可得为偶函数且在上为增函数，从而可推断的大小.【详解】的定义域为.，故为偶函数.因为为上的奇函数，故，当时，因为为上的增函数，故.设随意，则，故，故，故为上的增函数，所以，而，故，所以.故选C.【点睛】本题考查函数的奇函数、单调性以及指对数的大小比较，留意奇函数与奇函数的乘积、偶函数与偶函数的乘积都是偶函数，指数对数的大小比较应利用中间数和对应函数的单调性来考虑.9.已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】不等式为(*)，当时，(*)式即为，，又（时取等号），（时取等号），所以，当时，(*)式为，，又（当时取等号），（当时取等号），所以，综上．故选A．【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满意转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同状况进行探讨，针对每种状况依据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.第II卷（非选择题，满分105分)二、填空题（每题5分，共计30分）10.已知z=（a﹣i）（1+i）（a∈R，i为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a=．【答案】1【解析】z＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i，∵z在复平面内对应的点在实轴上，∴a－1＝0，从而a＝1.11.的绽开式中的系数为________用数字作答【答案】-8【解析】【分析】利用二项式定理绽开即可得出．【详解】解：，项的系数为：．故答案为：-8．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理实力与计算实力．12.数列满意，，.则数列的通项公式为_____【答案】【解析】【分析】通过对变形可知，进而可知数列是以为首项、为公差的等差数列，可知，利用累加法计算解即得结论.【详解】证明：因，所以，又因为，所以是以为首项、为公差的等差数列，得，因而有：，，，，累加后得：所以，所以数列的通项公式.【点睛】本题考查由递推关系证明等差数列，还考查等差数列的通项公式及利用累加法求数列的通项公式，属于中等题.13.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比__________．【答案】【解析】设F到直线AB的距离为d，则设AB：代入中易得，从而可得.14.已知，且，则的最小值为_____________.【答案】【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，留意等号成立的条件.【详解】由可知，且：，因为对于随意，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽视了某个条件，就会出现错误．15.在中，，，.若，，且，则的值为______________.【答案】【解析】,则.【考点】向量的数量积【名师点睛】依据平面对量的基本定理，利用表示平面对量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.三、解答题（解答过程须要有必要的文职说明和推理步骤，共计75分）16.设.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.【答案】（Ⅰ）单调递增区间是；单调递减区间是（Ⅱ）面积的最大值为【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用二倍角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求其单调区间；（Ⅱ）首先由结合（Ⅰ）的结果，确定角A的值，然后结合余弦定理求出三角形面积的最大值.试题解析：解：（Ⅰ）由题意知由可得由可得所以函数的单调递增区间是；单调递减区间是（Ⅱ）由得由题意知为锐角，所以由余弦定理：可得：即：当且仅当时等号成立.因此所以面积的最大值为考点：1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式.17.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，，．（1）求证：为的中点；（2）求二面角的大小；（3）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）设，的交点为，由线面平行性质定理得，再依据三角形中位线性质得为的中点．（2）先依据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，依据向量数量积求向量夹角，最终依据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角大小（3）先依据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，依据向量数量积求向量夹角，最终依据线面角与向量夹角互余关系求线面角大小【详解】（1）设，的交点为，连接．因为平面，平面平面，所以．因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点．（2）取的中点，连接，．因为，所以．又平面平面，且平面，所以平面．因为平面，所以．因为是正方形，所以．如图，建立空间直角坐标系，则，，，所以，．设平面的法向量为，则，即．令，则，，于是．平面的法向量为，所以．由题知二面角为锐角，所以它的大小为．（3）由题意知，，．设直线与平面所成角为，则．所以直线与平面所成角的正弦值为．18.已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，（1）求数列的通项公式；（2）数列满意，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.（3）设数列的前n项和为，求证：对随意正整数n，都有成立.【答案】（1）；（2）；（3）看解析.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知，求出，即可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，，利用错位相减法即可得出，代入不等式对一切恒成立，对分类探讨即可得出的取值范围；（3）当时，结论明显成立；当时，，化简证明即可.【详解】（1）已知等差数列中，，设公差为，由已知，则，所以，得的通项公式为：即：.（2）由（1）可得，，则两式相减得：解得：.所以不等式化为对一切恒成立，若为偶数，则，即；若为奇数，则，即；综上可得：.（3）证明：当时，结论明显成立；当时，由（2）知，.所以，对随意正整数n，都有成立.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和利用错位相减法求数列的前项和，同时考查数列和不等式的恒成立问题求参数的范围，还考查学生的转化思想和运算实力.19.已知椭圆的离心率为，直线与椭圆的两交点间距离为.（1）求椭圆的方程；（2）如图，设是椭圆上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，若直线的斜率均存在，并分别记为，求证：为定值.（3）在（2）的条件下，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）为定值；（3）为定值，定值为25．【解析】【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得，由椭圆过点，代入椭圆方程，即可求得和的值，求得椭圆方程；（2）利用点到直线距离公式，同理求得：，则，是方程的两个不相等的实根，依据韦达定理即可求得为定值；（3）将直线和的方程，代入椭圆方程，即可求得和点坐标，依据两点之间的距离公式，由，即可求得为定值．【详解】解：（1）由椭圆的离心率，则，由直线过点，代入，解得：，则，椭圆的标准方程：；（2）证明：由直线，直线，由直线为圆的切线，，，同理可得：，，是方程的两个不相等的实根，由，△，则，由，在椭圆上，即，，为定值；（3）经推断为定值，设，，，，联立，解得，，同理，得，由，得，，，，为定值，定值为25．【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程、直线与圆相切的性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类探讨方法、推理实力与计算实力，属于难题．20.设函数.（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；（2）探讨函数零点个数；（3）若对随意恒成立，求的取值范围.【答案】（1）2；（2）当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点；（3）.【解析】试题分析：（1）当m=e时，＞0，由此利用导数性质能求出f（x）的微小值；（2）由，得，令，x＞0，m∈R，则h（1）=，h′（x）=1-x2=（1+x）（1-x），由此利用导数性质能求出函数g（x）=f′（x）-零点的个数；（3）（理）当b＞a＞0时，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范围试题解析：（1）由题设，当时，易得函数的定义域为当时，，此时在上单调递减；当时，，此时在