河南省信阳市息县息县一中2025届数学高二上期末统考模拟试题含解析

河南省信阳市息县息县一中2025届数学高二上期末统考模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线，过点作直线l与双曲线交于A，B两点，则能使点P为线段AB中点的直线l的条数为()A.0 B.1C.2 D.32．已知不等式解集为，下列结论正确的是（）A. B.C D.3．已知数列满足，若.则的值是（）A. B.C. D.4．已知两圆相交于两点和，两圆的圆心都在直线上，则的值为A. B.2C.3 D.05．在正项等比数列中，和为方程的两根，则等于（）A.8 B.10C.16 D.326．“，”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．在中，已知角A，B，C所对边为a，b，c，，，，则（）A. B.C. D.18．已知F是抛物线x2＝y的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到x轴的距离为（）A. B.C.1 D.9．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线平行，则l的方程为（）A.4x－y－4＝0 B.x＋4y－5＝0C.x－4y＋3＝0 D.4x＋y＋4＝010．椭圆离心率是（）A. B.C. D.11．若，，则下列各式中正确的是（）A. B.C. D.12．已知三棱柱中，，，D点是线段上靠近A的一个三等分点，则（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知平面，过空间一定点P作一直线l，使得直线l与平面，所成的角都是30°，则这样的直线l有______条14．设，，，则动点P的轨迹方程为______，P到坐标原点的距离的最小值为______15．给出下列命题：①若两条不同的直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；②若两个不同的平面同时垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行；③若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行；④若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相垂直.其中所有正确命题的序号为________.16．万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式.在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40cm，短轴长为20cm，小椭圆的短轴长为10cm，则小椭圆的长轴长为________cm.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值18．（12分）某厂A车间为了确定合理的工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了五次试验，得到数据如下：加工零件的个数x12345加工的时间y（小时）1.52.43.23.94.5（1）在给定的坐标系中画出散点图；（2）求出y关于x的回归方程；（3）试预测加工9个零件需要多少时间？参考公式：，19．（12分）如图所示，、分别为椭圆的左、右焦点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点到、两点的距离之和为4.（1）求a的值和椭圆C的方程；（2）过椭圆C的焦点作AB的平行线交椭圆于P，Q，求的面积20．（12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限（单位：年）与失效费（单位：万元）的统计数据如下表所示：使用年限（单位：年）1234567失效费（单位：万元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系．请用相关系数加以说明；（精确到0.01）（2）求出关于的线性回归方程，并估算该种机械设备使用8年的失效费参考公式：相关系数线性回归方程中斜率和截距最小二乘估计计算公式：，参考数据：，，21．（12分）已知抛物线的焦点为F，直线l过点（1）若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；（2）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值22．（10分）如图，抛物线的顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点.（1）求抛物线的方程；（2）一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于、、、四点，求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先假设存在这样的直线，分斜率存在和斜率不存在设出直线的方程，当斜率k存在时，与双曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则，，又根据是线段的中点，则，由此求出与矛盾，故不存在这样的直线满足题意；当斜率不存在时，过点的直线不满足条件，故符合条件的直线不存在.详解】设过点的直线方程为或，①当斜率存在时有，得(*)当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有：，即又方程(*)的两个不同的根是两交点、的横坐标，又为线段的中点，，即，，使但使，因此当时，方程①无实数解故过点与双曲线交于两点、且为线段中点的直线不存在②当时，经过点的直线不满足条件.综上，符合条件的直线不存在故选：A2、C【解析】根据不等式解集为，得方程解为或，且，利用韦达定理即可将用表示，即可判断各选项的正误.【详解】解：因为不等式解集为，所以方程的解为或，且，所以，所以，所以，故ABD错误；，故C正确.故选：C.3、D【解析】由，转化为，再由求解.【详解】因为数列满足，所以，即，因为，所以，所以，故选：D4、C【解析】根据条件知：两圆的圆心的所在的直线与两圆的交点所在的直线垂直，以及两圆的交点的中点在两圆的圆心的所在的直线上，由此得到方程，得解.【详解】由已知两圆的交点与两圆的圆心的所在的直线垂直，，所以，又因为两圆的交点的中点在两圆的圆心所在的直线上，所以，解得：，所以，故选.【点睛】此题主要考查圆与圆的位置关系，解答此题的关键是需知两圆的圆心所在的直线与两圆的交点所在的直线垂直，并且两圆的交点的中点在两圆的圆心所在的直线上，此题属于基础题.5、C【解析】根据和为方程两根，得到，然后再利用等比数列的性质求解.【详解】因为和为方程的两根，所以，又因为数列是等比数列，所以，故选：C6、A【解析】由正切函数性质，应用定义法判断条件间充分、必要关系.【详解】当，，则，当时，，.∴“，”是“”的充分不必要条件.故选：A7、B【解析】利用正弦定理求解.【详解】在中，由正弦定理得，解得，故选：B.8、B【解析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出，的中点纵坐标，求出线段的中点到轴的距离【详解】解：抛物线的焦点准线方程，设，，，解得，线段的中点纵坐标为，线段的中点到轴的距离为，故选：B【点睛】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，属于基础题9、D【解析】设切点为，则切线的斜率为，然后根据条件可得的值，然后可得答案.【详解】设切点为，因为，所以切线的斜率为因为曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线平行，所以，即所以l的方程为，即故选：D10、C【解析】将方程转化为椭圆的标准方程，求得a，c，再由离心率公式求得答案.【详解】解：由得，所以，则，所以椭圆的离心率，故选：C.11、D【解析】根据题意，结合，，利用不等式的性质可判断，从而判断，再利用不等式性质得出正确答案.【详解】，，，又，，两边同乘以负数，可知故选：D12、A【解析】在三棱柱中，，转化为结合已知条件计算即可.【详解】在三棱柱中，满足，且，则，，D点是线段上靠近A的一个三等分点，则，由向量的减法运算得，.故选：A【点睛】关键点点睛：在三棱柱中，，由向量的减法运算得，再展开利用数量积运算.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】设平面，在平面内作于点O，在平面内过点O作，设OM是的角平分线，过棱m上一点P作，则过点O在平面OMQP上存在2条直线l，使得直线l与OB、OA成，直线l与平面且与平面，所成的角都是30°，在的补角一侧也存在2条满足条件的直线l，由此可得答案.【详解】解：设平面，在平面内作于点O，在平面内过点O作，因为平面，所以，设OM是的角平分线，则，过棱m上一点P作，则过点O在平面OMQP上存在2条直线l，使得直线l与OB、OA成，此时直线l与平面且与平面，所成的角都是30°，同理，在的补角一侧也存在2条满足条件的直线l，所以这样的直线l有4条，故答案为：4.14、①.②.l【解析】根据双曲线的定义得到动点的轨迹方程，从而求出到坐标原点的距离的最小值；【详解】解：因为，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．因为，，所以，，，所以动点P的轨迹方程为故P到坐标原点的距离的最小值为故答案为：；；15、②③【解析】由垂直于同一直线的两直线的位置关系判断①；由直线与平面垂直的性质判断②③；由空间中平面与平面的位置关系判断④【详解】①若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线有三种位置关系：平行、相交或异面，故错误；②根据线面垂直的性质知，若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行，故正确；③由线面垂直的性质知：若两条不同的直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行，故正确④若两个不同的平面同时垂直于第三个平面，这两个平面相交或平行，故错误.其中所有正确命题的序号为②③故答案为：②③16、20【解析】求出大椭圆的离心率等于小椭圆的离心率，然后求解小椭圆的长轴长【详解】在大椭圆中，，，则，.因为两椭圆扁平程度相同，所以离心率相等，所以在小椭圆中，，结合，得，所以小椭圆的长轴长为20.故填：20.【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，对椭圆相似则离心率相等这一基础知识的考查三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）连以为轴建立空间直角坐标系，则从而直线与所成角的余弦值为（2）设平面一个法向量为令设平面一个法向量为令因此【点睛】本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.18、（1）图见解析；（2）；（3）小时.【解析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点即可.（2）由表格中的数据代入公式算出，再求，即可得到方程；（3）中将自变量为9代入回归方程可得需用时间.【小问1详解】【小问2详解】由表中数据得：，，，，由x与y之间具有线性相关关系，根据公式知：，，∴回归直线方程为：【小问3详解】将代入回归直线方程得，，∴预测加工9个零件需要小时19、（1）a＝2，（2）【解析】（1）由题意可得a＝2，，求出，从而可求得椭圆方程，（2）由题意可求出的坐标，则可求出直线PQ的方程，然后将直线方程与椭圆方程联立，消去，利用根与系数的关系，求出的值，从而可求出的值【小问1详解】由椭圆定义可得2a＝4，所以a＝2，又因点在椭圆C上，所以，解得：，所以a的值为2，椭圆C的方程为【小问2详解】由椭圆的方程可得，，，所以，所以直线PQ的方程为，设，，由可得，所以，，所以，所以20、（1）答案见解析；（2）；失效费为6.3万元【解析】（1）根据相关系数公式计算出相关系数可得结果；（2）根据公式求出和可得关于的线性回归方程，再代入可求出结果.【详解】（1）由题意，知，，∴结合参考数据知：因为与的相关系数近似为0.99，所以与的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合与的关系（2）∵，∴∴关于的线性回归方程为，将代入线性回归方程得万元，∴估算该种机械设备使用8年的失效费为6.3万元21、（1）（2）证明见详解.【解析】（1）设出直线方程，根据点到直线的距离公式，即可求得直线；（2）设出直线方程，联立抛物线方程，根据韦达定理，利用直线垂直，从而得到的斜率关系，即可证明.【详解】（1）由条件知直线l的斜率存在，设为，则直线l的方程为：，即从而焦点到直线l的距离为，平方化简得：，故直线斜率为：.（2）证明：设直线AB的方程为，联立抛物线方程，消元得：设，，线段AB的中点为，故因为，将M点坐标代入后整理得：即可得：故为定值．即证.【点睛】本题考查抛物线中的定值问题，涉及直线方程的求解，韦达定理，属综合基础题.22、（1）圆的圆心坐标为，即抛物线的焦点为,……3分∴∴抛物线