北京市房山区4中2025届高一数学第一学期期末经典模拟试题含解析

北京市房山区4中2025届高一数学第一学期期末经典模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.2．已知向量，满足，，且与的夹角为，则（）A. B.C. D.3．设：，：，则是的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4．在中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5．若是三角形的一个内角，且，则的值是（）A. B.C.或 D.不存在6．函数的零点所在区间是（）A.（0，1） B.（1，2）C.（2，3） D.（3，+∞）7．若幂函数的图象经过点，则的值为（）A. B.C. D.8．已知，则三者的大小关系是A. B.C. D.9．下列说法正确的是（）A.向量与共线，与共线，则与也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C.向量与不共线，则与都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行10．如图，正方体中，①与平行；②与垂直；③与垂直以上三个命题中，正确命题的序号是（）A.①② B.②③C.③ D.①②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为______________.12．已知点，，在函数的图象上，如图，若，则______.13．已知圆,圆,则两圆公切线的方程为__________14．已知，则________.15．已知，，则_________.16．如图，扇环ABCD中，弧，弧，，则扇环ABCD的面积__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，平行四边形中，，分别是，的中点，为与的交点，若,，试以，为基底表示、、18．已知函数是偶函数.（1）求实数的值；（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围；（3）设函数，若函数与的图像只有一个公共点，求实数的取值范围.19．已知集合，集合（1）当时，求和（2）若，求实数m的取值范围20．在①函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，且图象关于原点对称；②向量，，，；③函数.在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中空格位置，并解答.已知______，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.（1）若，且，求的值；（2）求函数在上的单调递减区间.21．如图，在直三棱柱中，底面为等边三角形，.（Ⅰ）求三棱锥的体积；（Ⅱ）在线段上寻找一点，使得，请说明作法和理由.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】当时，令，可得出，可得出，利用函数的单调性求出函数在区间上的值域，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】当时，令，则，可得，设，其中，任取、，则.当时，，则，即，所以，函数在上为减函数；当时，，则，即，所以，函数在上为增函数.所以，，，，则，故函数在上的值域为，所以，，解得.故选：A.2、A【解析】根据向量的数量积运算以及运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】因为，，且与的夹角为，所以，因此.故选：A.3、B【解析】解出不等式，根据集合的包含关系，可得到答案.【详解】解：因为：，所以：或，因为：，所以是的充分不必要条件.故选：B【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，两个命题均是范围形式，解决问题常见的方法是判断出集合之间包含关系.4、C【解析】根据三角函数表，在三角形中，当时，即可求解【详解】在三角形中，，故在三角形中，“”是“”的充分必要条件故选：C【点睛】本题考查充要条件的判断，属于基础题5、B【解析】由诱导公式化为，平方求出，结合已知进一步判断角范围，判断符号，求出，然后开方，进而求出的值，与联立，求出，即可求解.【详解】，平方得，，是三角形的一个内角，，，，.故选:B【点睛】本题考查诱导公式化简，考查同角间的三角函数关系求值，要注意，三者关系，知一求三，属于中档题.6、B【解析】计算出,并判断符号,由零点存在性定理可得答案.【详解】因为,,所以根据零点存在性定理可知函数的零点所在区间是,故选:B【点睛】本题考查了利用零点存在性定理判断函数的零点所在区间,解题方法是计算区间端点的函数值并判断符号,如果异号,说明区间内由零点,属于基础题.7、C【解析】由已知可得，即可求得的值.【详解】由已知可得，解得.故选：C.8、A【解析】因为<，所以,选A.9、C【解析】根据共线向量（即平行向量）定义即可求解.【详解】解：对于A：可能是零向量，故选项A错误；对于B：两个向量可能在同一条直线上，故选项B错误；对于C：因为与任何向量都是共线向量，所以选项C正确；对于D：平行向量可能在同一条直线上，故选项D错误故选：C.10、C【解析】根据线面平行、线面垂直的判定与性质，即可得到正确答案【详解】解：对于①，在正方体中，由图可知与异面，故①不正确对于②，因为，不垂直，所以与不垂直，故②不正确对于③，在正方体中，平面，又∵平面，∴与垂直.故③正确故选：C【点睛】此题考查线线平行、线线垂直，考查学生的空间想象能力和对线面平行、线面垂直的判定与性质的理解与掌握，属基础题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、9【解析】根据扇形的弧长是6，圆心角为2，先求得半径，再代入公式求解.【详解】因为扇形的弧长是6，圆心角为2，所以，所以扇形的面积为，故答案为：9.12、【解析】设的中点为，连接，由条件判断是等边三角形，并且求出和的长度，即根据周期求.【详解】设的中点为，连接，，，且，是等边三角形，并且的高是,，即，，即，解得：.故答案为：【点睛】本题考查根据三角函数的周期求参数，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于基础题型，本题的关键是利用直角三角形的性质和三角函数的性质判断的等边三角形.13、【解析】圆，圆心为(0,0)，半径为1；圆，圆心为(4,0)，半径为5.圆心距为4=5-1，故两圆内切.切点为(-1,0)，圆心连线为x轴，所以两圆公切线的方程为，即.故答案.14、【解析】将未知角化为已知角，结合三角恒等变换公式化简即可.【详解】解：因为，所以.故答案为：.【点睛】三角公式求值中变角的解题思路（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.15、【解析】利用两角差的正切公式可计算出的值.【详解】由两角差的正切公式得.故答案为：.【点睛】本题考查利用两角差的正切公式求值，解题的关键就是弄清角与角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.16、3【解析】根据弧长公式求出，，再由根据扇形的面积公式求解即可.【详解】设,因为弧，弧，，所以，，所以，，又扇形的面积为，扇形的面积为，所以扇环ABCD的面积故答案为：3三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】分析：直接利用共线向量的性质、向量加法与减法的三角形法则求解即可.详解：由题意，如图，，连接，则是的重心，连接交于点，则是的中点，∴点在上，∴，故答案为；；∴点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）18、（1）（2）（3）【解析】（1）函数是偶函数,所以得出值检验即可；（2），因为时，存在零点，即关于的方程有解，求出的值域即可；（3）因为函数与的图像只有一个公共点，所以关于的方程有且只有一个解，所以，换元，研究二次函数图象及性质即可得出实数的取值范围.【小问1详解】解：因为是上偶函数，所以，即解得，此时，则是偶函数，满足题意，所以.【小问2详解】解：因为，所以因为时，存在零点，即关于的方程有解，令，则因为，所以，所以，所以，实数的取值范围是.【小问3详解】因为函数与的图像只有一个公共点，所以关于的方程有且只有一个解，所以令，得…（*），记，①当时，函数图像开口向上，又因为图像恒过点，方程（*）有一正一负两实根，所以符合题意；②当时，因为，所以只需，解得，方程（*）有两个相等的正实根，所以满足题意，综上，的取值范围是.19、（1）（或者）；（或者）（2）【解析】（1）代入，结合集合的并、补运算即得解；（2）分，两种情况讨论，列出不等关系，计算即得解【小问1详解】当时，所以（或者）；（或者）【小问2详解】当时，则，解得当时，则，解得，所以m不存在综上所述，20、（1）（2），【解析】（1）若选条件①，根据函数的周期性求出，再根据三角函数的平移变换规则及函数的对称性求出，即可得到函数解析式，再求出的值，最后代入计算可得；若选条件②，根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简函数解析式，再根据周期性求出，即可得到函数解析式，再求出的值，最后代入计算可得；若选条件③，利用两角和的正弦公式及二倍角公式、辅助角公式将函数化简，再根据周期性求出，即可得到函数解析式，再求出的值，最后代入计算可得；（2）根据正弦函数的性质求出函数的单调递减区间，再根据函数的定义域令和，即可求出函数在指定区间上的单调递减区间；【小问1详解】解：若选条件①：由题意可知，，，，，又函数图象关于原点对称，所以，，，，，，，，，，若选条件②：因，，，，所以又，，，，，；若选条件③：，又，，，，，；【小问2详解】解：由，，解得，，令，得，令，得，函数在上的单调递减区间为，21、(1)(2)见解析【解析】（1）取BC中点E连结AE，三棱锥C1﹣CB1A的体积，由此能求出结果．（2）在矩形BB1C1C中，连结EC1，推导出Rt△C1CE∽Rt△CBF，从而CF⊥EC1，再求出AE⊥CF，由此得到在BB1上取F，使得，连结CF，CF即为所求直线解析：（1）取中点连结.在等边三角形中，，又