浙江省浙南联盟2024-2025学年高二年级上册返校联考数学试卷

浙江省浙南名校联盟2024-2025学年高二上学期返校联考数学

试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/={x[0<x<l},2=；]，则/UB=()

A.Q-l]B.&,+«>]C.(0,+动D.(ojj

2.是“x>l”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

3.若直线a不平行于平面e,且则下列结论成立的是().

A.。内的所有直线与。是异面直线B.。内不存在与。平行的直线

C.a内存在唯一一条直线与°平行D.&内的所有直线与a都相交

4.已知关于x的函数y=ln(x-a)在[1,2]上单调递增，则实数。的取值范围是()

A.a<\B.a<2C.a>1D.

5.已知点尸(3,1)是角。终边上的一点，则cos2a的值为()

3434

A.—B.—C.一一D.

5555

6.已知卜|"卜1,|2〃+可=后，贝Ui在否上的投影向量为()

A^37*口-x/31C3]

A.—bB.-------bC.—bD.

224

7.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可

以判断出一定没有出现点数6的是()

A.平均数为3,中位数为2B.平均数为2,方差为2.4

C.中位数为3,众数为2D.中位数为3,方差为2.8

8.设函数〃x)=^sin(ox+°)-l(o>0),若对于任意实数0J(x)在区间上至少2

个零点，至多有3个零点，则。的取值范围是()

A.gjB.[4,5)C.820

D.35T

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.下列选项中说法正确的是（）

A.必然事件和不可能事件相互独立

B.若数据看,马,％的方差$2=0,则所有的多«=1,2,…㈤都相同

C.若P（/）>0,尸（8）>0,则事件48相互独立与43互斥不能同时成立

D.数据再,马，…,血的方差是V，数据%,为，…。"的方差是学，若%=2当+1,贝

s；=2s：+l

10.已知a/,ceR,且/+/+/=3,以下说法正确的是（）

A.。也c中至少有一个不大于1B.ab+bc+ca<3

C.（ac+bc）1m*=2D.若a+6+c=0,贝Uc«加

II.已知平行六面体48。-44GA的棱长均为1,NDAB=NA[AB=ZA[AD=60。,E『分

别是棱3c和GA的中点，尸是上的动点，则下列说法正确的是（）

A.A、C=6

B.若4P=1■尸G，则4尸〃面EFC

C.若4?=3尸。，则4CL面瓜,

D.若M是线段4。的中点，N是线段跖上的动点，则MP+PN的最小值是述

三、填空题

12.已知2=（1+评-1,则复数z在复平面内对应的点位于第象限.

13.甲乙丙三位同学之间相互踢建子.假设他们相互间传递建子是等可能的，并且由甲开始

传，则经过3次传递后，建子仍回到甲处的概率为.

14.已知函数/（x）=x-&-3x+3,若对于V%e{y|y=/（x）,x22}（i=l,2,…，江不等式

£%>2024%恒成立，则正整数〃的最小值为.

Z=1

试卷第2页，共4页

四、解答题

15.在V48c中，角4民C所对的边分别为。,6,c,且=c-6cos/

⑴求角3的大小；

(2)若c=6,6=1,求V48c的面积.

16.已知函数/(x)=/(/+ax+6)的图象关于直线x=l对称.

(1)求的值；

(2)求函数/(x)的最小值.

17.今年6月我校进行了一次数学竞赛选拔考试.从参加考试的同学中，选取50名同学将

其成绩分成六组:第1组［40,50),第2组［50,60),第3组［60,70),第4组［70,80),第5组

［80,90),第6组［90,100］,得到频率分布直方图(如下图)，观察图形中的信息，回答下列

问题：

.频率

T组距

0.030-----------

0.026\—1~~I

0.020--

O10

OO8

OO6

o405060708090100成绩（分）

(1)从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；

(2)己知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等

级.若从成绩在［80,100］的学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有1人成绩优秀

的概率.

18.如图，三棱锥尸-4BC,NC=90。,/C=2C,E,F分别是4B,JBC的中点，且

Vp-ABC=4，S&PEF=3.

试卷第3页，共4页

⑴求点B到平面PEF的距离；

(2)若面PEF1面ABC,求平面PAC与平面PEF夹角的余弦值.

19.已知正实数集/={q,。2,…,％}，定义：4={。巧|%，0/€4}称为A的平方集.记"(/)为

集合A中的元素个数.

⑴若/={1,2,3,4},求集合4和〃(/)；

⑵若"(1)=2016,求"(⑷1m”；

⑶求证：”(42”2〃(4)-1,并指出取等条件.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CBBABDBBABCABD

题号11

答案ACD

1.C

【分析】由并集的概念即可直接得答案.

【详解】因为/={x[0<x<l},3="|力』，

所以2口5=(0,+8).

故选：C.

2.B

【分析】根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得出答案.

【详解】由2、>1可得x>0,{x|x)l}<={x|x)O),

则2*>1是x>1的必要不充分条件，

故选：B.

3.B

【分析】根据直线和平面的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】设aClc=A,

A选项，&内过A点的直线与。共面，所以A选项错误.

D选项，&内，不过A点的直线与。异面，所以D选项错误.

BC,若存在6ua,6〃a,则由于

所以。〃a,这与已知矛盾，所以B选项正确，C选项错误.

故选：B

4.A

【分析】由对数函数的单调性与定义域列不等式即可求得答案.

【详解】由于了=ln(x-a)在工2]上单调递增，

答案第1页，共14页

所以X—〃〉0在[1,2]上恒成立，即。<1,

故选：A.

5.B

【分析】由三角函数的定义结合二倍角的余弦公式即可求解答案.

【详解】因为尸(3,1)是e终边上一点，所以cosa=^^=%，

V32+l210

294

cos2a=2cosa-l=2x-----1,

105

故选：B.

6.D

【分析】根据题意，利用向量数量积的运算法则，以及投影向量的计算方法，即可求解.

【详解】由同=斗1,忸+%亚,

可得|2。+川=4a+b+4〃0=4+1+4。力=2,解得4包=一^

a-bb37

则£在各上的投影向量为利一利=-^/

故选：D.

7.B

【分析】根据题意举出特例，结合中位数，众数，平均数以及方差公式，即可得出答案.

【详解】对于A,当投掷骰子出现结果为1,1,2,5,6时，满足平均数为3,中位数为2,

可以出现点数6,故A错误；

对于B,若平均数为2,且出现6点，则方差$2>：(6-2)2=3.2>2.4,

则平均数为2,方差为2.4时，一定没有出现点数6,故B正确；

对于C,当投掷骰子出现结果为2,2,3,4,6时，满足中位数为3,众数为2,可以出现

点数6,故C错误；

对于D,当投掷骰子出现结果为1,2,3,3,6时，满足中位数为3,

平均数为了=：(1+2+3+3+6)=3,

方差为S?=1[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(6-3>]=2.8,

可以出现点数6,故D错误；

故选：B.

答案第2页，共14页

8.B

jr3兀

【分析】原问题转化为》=sin£在区间-(o+cp—co+cp上至少2个，至多有3个，，使

_44_

>=sin/=",求。取值范围，数形结合判断满足条件区间长度，由此建立关于。的不等式,

2

解出即可.

【详解】令/(x)=0,则sin(0x+°)=,令t=cox+(p,则sin/=^^,

jr3冗

则原问题转化为歹=5足£在区间-CO+(p,—-(D+(p上至少2个，至多有3个，，使得

_44_

y=sin/=,求Q得取值范围，

2

作出y=sinf与>=也的图象，如图所示,

2

由图知，满足条件的最短区间长度为当-；=2兀，最长区间长度为乎-2==,

44442

_(3兀、(兀)5兀ee

：.2TI<\-G)+(p\-\—co+(p\<—,解得4W0<5.

故选：B.

9.ABC

【分析】由必然事件与不可能事件的概念即可判断A；由方差公式即可判断B；根据互斥事

件概率加法公式和独立事件的概率乘法公式，结合尸+尸(可-尸(ZcB)推导

可判断C；由方差的性质即可判断D.

【详解】必然事件是一定会发生的事件且概率为1,不可能事件是一定不会发生的事件且概

率为0,又它们的交事件的概率为0,故相互独立，所以A正确；

若一=&一可2+(x「可2+…+(%—,2句,则王=马一..=匕="故B正确；

n

若事件A,B互斥成立，则尸尸(4)+尸(团，又尸(Nu3)=尸(4)+尸(3)-尸(NcB),

所以有P(/c3)=0,

若事件A,8相互独立，则有尸(/C8)=尸(⑷尸(0>0,矛盾，

答案第3页，共14页

故事件A,3相互独立与事件A,8互斥不能同时成立，C正确;

若数据西,无2,…，%的方差是T，%=25+1,则数据外,%，…，儿的方差是sj=4s；,故D错

误；

故选：ABC.

10.ABD

【分析】利用假设法可以判断A,利用基本不等式的性质可判断B,由

a2+b2+c2=(a2+^c2)+(b2+|c2)>2}-孑+2j#=四(℃+6<?)可以判断

C,c?=(一6一。)2=r+/+2仍42,2+/)可以判断口.

【详解】对于A,若〃，于c均大于1,那么口+如+/>3,矛盾,

所以0,瓦c中至少有一•个不大于I,A正确.

g工0,,a2+b2b2+c2c2+a2,

对十B,ab+bc+ca<--------+----------+---------=3,

222

当且仅当“。=6=。=1”时,等号成立口正确.

对于C,

a2+b2+c2=(a2+-1c2)+(b2+|c2)>2^2■^c2+2'.#=41{ac+bc\

所以:ac+beW迪，当且仅当/=/=j即°=方=且,c="时，等号成立,C错误.

2-2422

对于D,c2=(一6—a?=+/+2ab<2^b2+a2],

c2<2(3-c2),.'.3c246

，即-V2<c<V2,B!Jc<V2,D正确.

故选：ABD.

11.ACD

【分析】A选项，在VN2C,△4OC中依次使用余弦定理即可解得&C；

B选项，假设4尸//平面EFC成立，由线面平行的性质可知4尸//CG,由平行线分线段成

11

比例可知GH=]PG我出全等三角形V4力=vCHC,，可得AP=CXH=-PG；

c选项，分别证明MCLEPHC，瓦"由线面垂直的判定可得4C,平面E/V；

D选项，找出全等三角形VM〃=VOPN,可知当血尸+PN最小时，故OP+PN最小，故此时

OPN三点共线，利用余弦定理求ON的长度即〃P+PN的最小值.

答案第4页，共14页

【详解】由题设可知，平行六面体N2CD-44G〃的六个面均为一个角是60。的菱形，连接

在菱形/244，/。马4中易得45=4。=1,又。为2。中点，则，

在直角三角形4。2中有AQ=用=泊=F,

在V/3C中，由余弦定理可得/C2=AB2+BC2-2/B/C-cosN/BC,解得ZC=>A，则

/。21

在△404中，由余弦定理得cos/4O/=II=彳,则

2/04。3

cosZAQC=-cosZAlOA=—,

在△，℃中，余弦定理可得4c2=4。2+。。2一24。・。。85/4。。，解得4。=0，A正

确；

连接好交4G于G,连接CG交于〃，由于E,尸分别是棱和G2的中点，

可得EF11B\D\,EF=|BR,

答案第5页，共14页

则有GG=；4G，故4G=3C]G,

若4P//平面EFC,4PU平面平面MCc平面4片GA=CG,则4P//CG,故

GH=：PG,

易得VA,PA=VCHCt，故AP=CXH=^PCX，与题设不符，B错误；

设/q与4c交于点。2,连接Q耳，因为分别是aG，qq的中点，则OQ"/EP,

在菱形4GC8中易得4c=1,则gc=481,

又。2是4c中点，则4C_L&耳，则4CLEP,

过点。作C7//AD,使C/=AD,连接"，易得BD//EF,

解得4/=G,又A、C=6,ci—1,则4广=+er?,

则4C_LC7,XCI//BD//EF,则4C_LEF,

因为EPIE尸=E,E产u平面EFP,EPu平面EFP,

二4。，面EFP,C正确；

由平行六面体的对称性可得VMP/=VOPA，则MP=OP,

当MP+PN最小时，可知OP+PN最小，故此时O,尸,N三点共线,

此时易得N为所的中点，

答案第6页，共14页

由B选项可知&N=3C、N，又AG=6,贝1J4N=詈,

在△/0N中，由余弦定理可得ON?=4N2+4O2-24N-4OCOS/M40,

解得ON=28故MP+尸N的最小值是£1,D正确.

44

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：空间中的最值问题，一般情况下会利用转化到同一个平面内，将其化简

为代数类问题解决往往比较容易.

12.二

【分析】先由复数的乘法运算化简，再结合复数在复平面内的点的坐标表示可直接得答案.

【详解】由题意得z=(l+if-l=T+2i,故复数z对应的点为(-1,2),

故对应点位于第二象限.

故答案为：二

13.-/0.25

4

【分析】列举法求古典概型的概率即可.

【详解】人

设甲乙丙分别为1,2,3,列树状图得

3次传递基本事件是8种，满足条件的基本事件是2种,

答案第7页，共14页

21

所以1

故答案为：;

4

14.3037

【分析】先利用定义判定函数/（X）在［2,+8）上的单调递增，得到当XN2时，/（x）＞o；

并利用分子实数化变形和不等式放缩得到xz2时，进而得到乂的取值范围是

然后利用不等式恒成立的意义得到（〃-l）xl22024xg,从而求得〃的取值范围，得

到〃的最小值.

【详解］设24再ex2，则/（%2）-/（再）=X2--3/+3-再+-3再+3

-=x

XV7^2-3x2+3=^X2--|j+-||-j2»

同理yjx；-3再+3＞Xj——,

••Jx；-3X2+3+"x；-3再+3一（工2+再一3）〉0,

...d_W）匹弓三荷-3狂一（%+%一3）＞0,即-/（不）＞0,

J%2-3%+3+Jx；-3再+3

.♦"（x）在［1,+⑹上单调递增，

又..当时，

•••/•（2）=0,♦X22/（x）＞o;

又W2时，/（x）=x-7X2-3X+3=x-（：-缄+鼻=——3x-3

x+A/X2—3x+3x+Vx2—3x+3

3

.•.x22时，/（%）＜—,

答案第8页，共14页

且当X趋近于y时，/（X）无限趋近于|,

：乂€制了=/卜）,工训（，=1,2广.,〃），，乂的取值范围是0,；［,

3

为使不等式%+%+L+%_招2024%恒成立，必须且只需（"-1）X122024XQ=3036,

.,.”23037,.,.正整数”的最小值为3037,

故答案为：3037.

【点睛】难点点睛：本题难点在于利用分子有理化方法进行恒等变形，并利用放缩法得到有

关不等关系，进而证明函数的单调性和求得函数的值域.

兀

15.（D-

（2）立或也

24

【分析】（1）方法一：利用正弦定理结合和差公式化简即可求得2值；方法二：利用余弦

定理结合三角函数的基本关系式能得B值；

（2）方法一：由余弦定理化简可得结果；方法二：由正弦定理化简结合三角形的面积公式

可得答案.

【详解】（1）方法一,.,Gasin5=c—bcos4

/.GsiMsinS=sinC-sioScosZ

/.VSsin^sin5=sin（4+5）-sinBcosZ

BPGsinZsinS=sinScosZ+cos5siiL4-sin5cosZ

得：tanS=

3

:.B=-

6

722_2

方法二：MasinB=c-b-----———

2bc

得•/2y/3acsinB=c2+a2-b2

BP,/\Z3siri5=cosB

得：tan5=

3

答案第9页，共14页

(2)由余弦定理得："a2+3-2a.C・昱.

2

得：a2-3a+2=0

，。=1或。=2

方法二：由正弦定理：，—二二匕

sin30。sinC

.「百

，sinC=——

2

；,C=-^C=—

33

.O11/?6心o111.2兀G

/.S——xlx73——S——x1x1xsin———•

22234

(2)0

【分析】(1)方法一：由函数的对称性可得/@)=/(2-尤)，展开可得参数a,b的值;

方法二：将原问题转化为/'(x+1)为偶函数，再化简可得参数值;

(2)将原式化为/(x)=[x(尤-2,，再结合换元法与二次函数的性质即可得最小值.

【详解】(1)方法一：f(x)=/(2-x),代入展开得

尤4+ax3+bx2=x4-(a+8)x3+(6a+Z>+24)x2-(12a+4b+32)x+8a+46+16,

ci——a—8

b=6。+b+24a=-4

由等式恒成立,,解得

0=-12a—46—326=4

0=8a+46+16

方法二：

/(x+l)=(X+I)2[(x+l)2+〃(％+l)+b]

=x"+(a+4)+(3a+6+5)*+(3a+2b+4)X+“+ZJ+1

答案第10页，共14页

、=

因为小z+1)为偶函数,则5f4+t九z-0+联。’解得［cli-4.

(2)/(%)=x2任_4%+4)=［X(X-2)F,

设，=x(x-2),则,=(x—1)2一12一1,

:.y=t2>0,

，函数/(x)取得最小值为0,当且仅当x=0或x=2的时取到.

17.(1)73

【分析】(1)首先确定第65百分位数位于［70,80),设其为x,由0.56+(x-70)x0.03=0.65

可求得结果；

(2)根据频率分布直方图计算出第五组和第六组的人数，利用列举法列举出所有可能的基

本事件，并确定满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.

【详解】(1)••・成绩在［40,70)的频率为(0.01+0.026+0.02)x10=0.56,成绩在［40,80)的频

率为0.56+0.03x10=0.86,

・..第65百分位数位于［70,80),设其为x,

则0.56+(尤-70)*0.03=0.65,解得：x=73,二第65百分位数为73.

(2)第5组的人数为：50x0.008x10=4人，可记为4民。,。；

第6组的人数为：50x0.006x10=3人，可记为。也c；

则从中任取2人，有(43),(4C),(4。),(4〃)，(46),(4c),(瓦c),(瓦。)，。,0),

(8,6),(5,c),(C,D),(C,a),(C,b),(C,c),(D,a),(D,b),(D,c),(a,b),(a,c),

(瓦c),共21种情况；

其中至少1人成绩优秀的情况有：(4。)，(4b),(4c),(B,a),(B,b),(C,a),

(C,b),(C,c),(D,a),(D,b),(D,c),(a,b),(a,c),(6,c),共15种情况；

答案第11页，共14页

二至少1人成绩优秀的概率尸=号=二.

217

18.(1)1

呜行

【分析】(1)利用等体积法，由/TBC=4/.EFB=4,解得：VP_EFB=\,进而能得点B到平

面PE万的距离；

(2)解法一：作尸A/_LEF,PN1AC,则尸M_L/,PN_L/,贝!JZMPN是平面PAC与平面PEF

所成的一个平面角，再求解即可；

解法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行求解.

【详解】⑴由题可得VP_ABC=%叩=4,解得：VP_EFB=1,

由^P-EFB=^B-EFP=个i£FP',解得：4=1，

所以，点3到平面PEF的距离为1.

(2)解法一：(几何法)

’面尸跖1面N8C

面尸跖c面A8C=EF

由‘3C_LEF'

BCu面/8C

^>BC1^PEF.结合第1问，可得：BF=\.

AC/IEF

由<E