2023-2024学年北京市燕山区九年级上学期期末数学模拟试卷（含详解）

2023-2024学年北京市燕山区九年级（上）期末数学模拟试卷

一.选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1.下图中是中心对称图形的是（）

2.1）0的半径为2,线段OP=4,则点尸与I。的位置关系是（）

A.点尸在圆内B.点尸在圆上C.点尸在圆外D.无法确定

3.下列函数中，当x<0时，函数值y随尤的增大而增大的有（）

22

①,二%；②y=-2x+l；@y=-x.©y=3x.

A.4个B.3个C.2个D.1个

4.如图，点。、E分别是VA5C上48、AC边上的中点，VADE为阴影部分.现有一小孩向其投一小石子且已

投中，则石子落在阴影部分的概率是（）

12

A.B.C.D.

2343

5.如图，已知8C是。。直径，ZAOC=58°,则/A的度数为（）

A.28°B.29°C.32°D.42°

6.社区医院十月份接种了新冠疫苗100份，十二月份接种了392份.设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为

x,那么x满足的方程是（）

A.100(1+无)2=392B.392(1-%)2=100

C.100(l+2x)2=392D.100(1+x2)=392

A.(5,2)B.(2,3)C.(1,4)D.(0,0)

8.如图，若二次函数y=ax?+bx+c(a?0)图象的对称轴为x=l,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点

B(-1,0),贝I」

①二次函数的最大值为a+b+c；

②a-b+c<0；

@b2-4ac<0；

④当y>0时，-l<x<3,其中正确的个数是()

二.填空题(共8小题，满分16分，每小题2分)

9.在平面直角坐标系中点5的坐标为(3,1),点3关于原点的对称点的坐标为

10.方程(2%—3)x=3(2x—3)根是.

11.若将抛物线y=2/+i先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为

12.顶点是(5,0),形状、开口方向与抛物线>=-7/都相同的二次函数的表达式为.

13.如图，在Rt/VLBC中，AB=3,BC=4,经过点3且与边AC相切的动圆与AB，3C分别相交于点

P，Q,则线段尸。的最小值为

14.如图，M是。。内一点，已知过点M的。。最长的弦为20cm,最短的弦长为16cm,贝U。加=cm.

15.在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为了扩大城市的绿化面积，进行了大量的树木移栽.下表记录

的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵数：

移栽棵数100100010000

成活棵数899109008

依此估计这种幼树成活的概率是.（结果用小数表示，精确到0.1）

16.从地面竖直向上抛射一个小球，小球的高度/?（米）与运动时间f（秒）之间的关系式为力=30-5产，那么小

球抛出一秒后落地.

三.解答题（共12小题，满分68分）

17.解方程

(1)2/+1=3X；

(2)3y2-6y+4=0.

18(1)利用整式乘法公式计算：1232-124x122;

（2）先化简，再求值：[（xy+2）2—2x2y2—4]+（2孙），其中％=1O,y=--.

19.某市为创评“全国文明城市”称号，周末组织志愿者进行宣传活动.班主任张老师决定从4名女生（小悦、小

惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式选择2名女生去参加.

抽签规则：将4名女生的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老

师从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩下的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名.

(1)该班男生“小刚被抽中”是事件，“小悦被抽中”是事件(填“不可能”“必然”或“随

机”);第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为.

(2)试用画树状图法或列表法求出小惠被抽中的概率.

20.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,点D在BC上，已知N2=70。，求NCOE的大小.

21.m(m+8)=25.

22.已知关于工的一元二次方程x^+2x-k=0有两个不相等的实数根.

(1)求左的取值范围

(2)若左为(1)中最小整数，请求出此时方程的根.

23.在平面直角坐标系xQy中，二次函数丁=必+法+。的图象经过点(1,0方(3,0).

(1)求该二次函数的解析式；

(2)利用描点法画出所给函数的图象；

(3)当1>3时，对于x的每一个值，函数丁=兀+〃的值小于二次函数丁=犬+6%+。的值，直接写出〃的取值

范围.

24.如图，AB是的直径，点C在.。上，CP是LO的切线.点尸在AB的延长线上.

c

(1)求证：NCOB=2NPCB；

（2）若〃是弧AB的中点，CM交AB于点、N,若AB=6,求的值.

25.一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）

与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：

X（元/件）456

V（件）1000095009000

（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；

（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量不少于6000件，求

这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？

（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元

（1</71<6）,捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大.请直接写出m的取值范

围.

26.已知二次函数y=（后-3）--2履+6人（后w3）.

（1）甲说：该二次函数图象必经过点（-2,-12）；乙说：若图象的顶点在x轴上，则左=0；你觉得他们的结论对

吗？请说明理由.

（2）若抛物线经过P（0,加），。（2,九）两点，求证：〃加2—36.

27.如图，VABC为等边三角形，点P在VABC左侧且NAPC=30°,将绕点A顺时针旋转60。

P

（1）画出图形.

（2）在（1）的条件下，求证：PB=AC；

28.如图，在直角坐标系中，以点A（、回,0）为圆心，以2百为半径的圆与x轴交于8,C两点，与y轴交于。，E

两点.

(1)写出8,C,D点坐标(不写计算过程)

(2)若B、C、。三点在抛物线y=ax2+/>x+c上，求这个抛物线解析式.

(3)若圆A的切线交于x轴正半轴于点M,交y轴负半轴于点N,切点为P,NQVW=30°,试判断直线

是否经过所示抛物线的顶点？说明理由.

2023-2024学年北京市燕山区九年级（上）期末数学模拟试卷

一.选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1.下图中是中心对称图形的是（）

A.

C.

【答案】A

【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋

转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直

线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说

这个图形关于这条直线（成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键.

【详解】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180。后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；

选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形;

故选：A.

2.的半径为2,线段OP=4,则点尸与I。的位置关系是（）

A.点尸在圆内B.点尸在圆上C.点尸在圆外D.无法确定

【答案】C

【分析】由。。的半径分别是2,点P到圆心。的距离为4,根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P

与。。的位置关系.

【详解】解：的半径是2,点尸到圆心。的距离为4,

点尸与。。的位置关系是：点在圆外.

故选：C.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系.注意若半径为广，点到圆心的距离为d,则有：当/>/•时，点在圆外；当

d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内.

3.下列函数中，当x<0时，函数值y随x的增大而增大的有（）

®y=®y--2%+1；③y=_尤2；（4）_y=3%2.

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数的性质；一次函数的性质，首先判断每个函数是哪一类函数，再根据函数的性质分别

进行判断.

【详解】解：①此函数是正比例函数，左=1>0,y随X增大而增大，故符合题意;

②此函数是一次比例函数，左=—2<0,y随尤的增大而减小，故不符合题意；

③函数y=中，当尤>0时，y随x的增大而减小，当x<0时，y随尤的增大而增大，故符合题意;

④函数y=3%2中，当x>0时，y随x的增大而增大，当x<0时，y随x的增大而减小，故不符合题意;

故选：C.

4.如图，点。、E分别是VA3C上A3、AC边上的中点，VADE为阴影部分.现有一小孩向其投一小石子且已

【答案】C

【分析】根据三角形中位线定理得出。后〃5。，根据相似三角形的判定定理和性质定理，得出

2

%些=(三］=1,即可求解.

SacVBC)4

【详解】解：：点。、E分别是AB、AC边上的中点，

ADE=-BC,DE//BC,

2

：.AADE^ABC,

.s”/叫」

.'△ABCVBC)4'

石子落在阴影部分的概率是J,故c正确.

4

故选：C.

【点睛】本题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比.也考查了三角形中位

线定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据相似三角形的形状求出巫些=(三］=-.

〃ABCVBC)4

5.如图，已知8c是。。的直径，ZAOC=58°,则/A的度数为()

B

【答案】B

【分析】根据圆周角定理：圆周角是同弧所对圆心角的一半；等腰三角形底角相等即可得到答案.

【详解】解：:NAOC=58。,

1

：.ZB^-ZAOC=29°,

2

•：OA=OB,

，/A=NB=29。，

故选：B.

【点睛】本题考查圆周角定理和等腰三角形性质，掌握这些是本题解题关键.

6.社区医院十月份接种了新冠疫苗100份，十二月份接种了392份.设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为

x,那么x满足的方程是()

A.100(1+x)2=392B.392(1-%)2=100

C.100(1+2%)2=392D.100(1+/)=392

【答案】A

【分析】设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为x,根据该社区医院十二月接种疫苗的数量，即可得出关于x

的一元二次方程，此题得解.

【详解】解：设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为X,

根据题意得：100(1+x)2=392.

故选：A.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

7.如图，VA3C外接圆的圆心坐标是()

(1.4)D.(0,0)

【答案】A

【分析】根据三角形各边的中垂线的交点为三角形外接圆的圆心，作出VA3C外接圆的圆心，进而即可得到坐

标.

【详解】如图，作AB,BC的中垂线，交于点D,点D即为VA5C外接圆的圆心，坐标为(5,2).

故选A.

【点睛】

本题主要考查三角形外接圆的圆心，熟练掌握三角形外接圆的圆心是各边中垂线的交点，是解题的关键.

8.如图，若二次函数y=ax?+bx+c(a?0)图象的对称轴为x=l,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点

B(-1,0),贝I」

①二次函数的最大值为a+b+c；

②a-b+c<0；

(3)b2-4ac<0；

④当y>0时，-l<x<3,其中正确的个数是()

【答案】B

【详解】分析：直接利用二次函数图象的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案.

详解：①：二次函数y=ax2+bx+c(a/))图象的对称轴为x=l,且开口向下，

；.x=l时，y=a+b+c,即二次函数的最大值为a+b+c,故①正确；

②当x=-1时，a-b+c=O,故②错误；

③图象与x轴有2个交点，故b2-4ac>0,故③错误；

④：图象的对称轴为x=l,与x轴交于点A、点B(-1,0),

/.A(3,0),

故当y>0时，-l<x<3,故④正确.

故选B.

点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键.

二.填空题(共8小题，满分16分，每小题2分)

9.在平面直角坐标系中点3的坐标为(3,1),点3关于原点的对称点的坐标为.

【答案】(-3,-1)

【分析】关于原点对称，横纵坐标符号都改变即可.

【详解】VB(3,1),

点B关于原点的对称点的坐标(-3,-1),

故答案为：(-3,-1).

【点睛】本题考查对称点坐标，掌握两点到对称中心的距离相等，原点为对称中心，变为只有符号改变是关

键.

10.方程(2x-3)x=3(2x-3)的根是

3

【答案】xx=—,x2=3

【分析】先移项，然后对方程左边因式分解，然后利用因式分解法解答即可.

【详解】解：（2x—3）x=3（2九一3）

（2x-3）x-3（2x-3）=0

（2x-3）（x-3）=0

2x—3=0或无―3=0

3

解得：再=5，尤2=3

3

故答案为：西=5，%=3.

【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用因式分解法解一元二次方程是解题关键.

11.若将抛物线y=2/+1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得抛物线的解析式为

【答案】y=2（x+1）2-1

【分析】先确定抛物线y=2x2+l的顶点坐标为（0,1）,利用点平移的规律得到点（0,1）平移后所得对应点的坐标

为（-1,-1）,然后利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式.

【详解】解：抛物线y=2x2+l的顶点坐标为（0,1）,点（0,1）向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度

所得对应点的坐标为（-1,-1）,所以新抛物线的解析式为y=2（x+1）2-l.

故答案为y=2（x+1）2-l.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物

线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是

只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.

12.顶点是（5,0）,形状、开口方向与抛物线＞=-7/都相同的二次函数的表达式为.

【答案】y=—7（%—5）2

【分析】本题考查抛物线的顶点式与抛物线性质，掌握抛物线性质与顶点式是解题关键.根据二次函数的顶点式即

可求解.

【详解】解：设抛物线的解析式为y=a（x-力1+左，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线＞=-7好相同，

Q=-7,

...顶点是（5,0）,

Aj7=-7（x-5）2,

这个函数解析式为y=—7（x—5）2,

故答案为：y=-7（x-5）2.

13.如图，在Rt^ABC中，AB=3,BC=4,经过点3且与边AC相切的动圆与AB，3c分别相交于点

P，Q,则线段R2的最小值为

A

【答案】y

【分析】本题考查了勾股定理、三角形三边关系、切线的性质，由勾股定理可得AC=5,利用三角形的面积得出

AC边上的高为?，取P。的中点。，由题意可得尸。为动圆的直径，设-。与AC相切于点E,连接BE、

BD、DE,由三角形三边关系可得「。=。。+。。=3。+。石》3£,从而得到当点。在班上，且

BELAC时，=有最小值，即班为的直径，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：•在RtZkABC中，AB=3,BC=4,

2

AC=SJAB+BC'=A/32+42=5，

设AC边上的高为〃，则S0BC=^47/,

SABC=Q-BC,

:.-ABBC=-ACh,即工x3x4=』x5-/z,

2222

,12

h——,

5

如图，取PQ的中点。，

由题意可得尸。为动圆的直径，

设：。与AC相切于点E，连接正、BD、DE，

A

PQ=PD+DQ=BD+DE>BE,

当点。在班上，且时，=有最小值，即座为"的直径,

VA3C中AC边上的高为彳，

线段P。的最小值为?，

故答案为：—.

14.如图，M是。。内一点，已知过点M的。。最长的弦为20cm,最短的弦长为16cm,则OM=cm.

【答案】6

【分析】过点〃的。。最长的弦就是直径，最短的弦就是垂直于直径的弦.

【详解】解：过点〃的。。最长的弦就是直径，

30=10cm,

最短的弦就是垂直于直径的弦，即BM=8cm.

所以利用勾股定理可得OM=yJoB2-BM2=7102-82=6cm.

【点睛】本题考查了是垂径定理，解题的关键是理清过点M的。。最长的弦就是直径，最短的弦就是垂直于直径

的弦.

15.在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为了扩大城市的绿化面积，进行了大量的树木移栽.下表记录

的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵数：

移栽棵数100100010000

成活棵数899109008

依此估计这种幼树成活的概率是.（结果用小数表示，精确到0.1）

【答案】0.9

【详解】分析：

根据“某事件发生的概率与该事件发生的频率间的关系”进行分析解答即可.

详解：

由表中数据可知，当移栽的幼树棵数分别为100棵，1000棵和10000棵时，幼树成活的频率分别为：

0.89、0.91、0.9,

.•.我们估计这种幼树成活的概率为：P（幼树成活）=0.9.

故答案为：09

点睛：理解”在大次数的实验中，当某事件发生的频率逐渐稳定在一个常数周围小幅波动时，我们就说这个常数

是该事件发生的概率”这句话的含义是正确解答本题的关键.

16.从地面竖直向上抛射一个小球，小球的高度//（米）与运动时间秒）之间的关系式为%=30-5凡那么小

球抛出一秒后落地.

【答案】6

【分析】首先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出场=30-5产，当人=0时f的值即

可.

【详解】解:%=306-5号整理为访=5/（6—/）,

当/?=0时，

即0=5r（6_f）,

得/=6或/=0（舍），

.•.小球抛出6秒后落地，

故答案为：6.

【点睛】考查了二次函数的应用，解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结

果.

三.解答题（共12小题，满分68分）

17.解方程

（1）2/+1=3%；

（2）3y2-6y+4=0.

【答案】（1）xl=1；尤2=5

（2）无实数根

【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

（1）先移项，再运用因式分解法解一元二次方程，即可作答.

（2）先求出判别式，根据A<0,得出此方程无解，即可作答.

【小问1详解】

解：2/+1=3%

2/—3x+1=0

(2x-l)(x-l)=0

2X—1=09x—1=0

.i1

••JCy—］；x-2—2

【小问2详解】

解：3y2-6y+4=0

A=(-6)2-4x3x4=36-48=-12<0

此方程无实数根.

18.(1)利用整式乘法公式计算：1232—124x122;

(2)先化简，再求值：［3+2)2—2/y2_4卜(2孙)，其中尤=］0,y=—L

【答案】(1)1；(2)--xy+2,—

25

【分析】(1)利用平方差公式进行计算即可；

(2)根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入求值即可.

【详解】(1)解：1232-124x122

=1232-(123+1)(123-1)

=1232-(1232-1)

=1232-1232+1

=1；

(2)解：［(盯+2)2-2%2/一4卜(2孙)

=+4xy+4-2x2y2-4)4-(2xy)

=(-x2/+4xy)^-(2xy)

1c

———xy+2,

把x=］0,y=--^代入得，原式=_；xy+2=_；xl0x

2522

【点睛】本题主要考查了整式化简求值，运用平方差公式进行简便计算，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则,

准确计算.

19.某市为创评“全国文明城市”称号，周末组织志愿者进行宣传活动.班主任张老师决定从4名女生(小悦、小

惠、小艳和小倩)中通过抽签的方式选择2名女生去参加.

抽签规则：将4名女生的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老

师从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩下的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名.

(1)该班男生“小刚被抽中”是事件，“小悦被抽中”是事件(填“不可能”“必然”或“随

机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为.

(2)试用画树状图法或列表法求出小惠被抽中的概率.

【答案】(1)不可能；随机；-

4

⑵-

2

【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步

完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

(1)根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式即可得出答案；

(2)列举出所有情况数，看所求的情况占总情况的多少即可.

【小问1详解】

该班男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件，第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为

了

故答案为：不可能；随机；-；

4

【小问2详解】

记小悦、小惠、小艳和小倩这四位女同学分别为A、B、aD,列表如下:

ABcD

A—(B,A)(C,A)(D,A)

B(A,B)—(QB)(D,B)

C(A,C)(B,C)—(D,C)

D(A,D)(B,D)(C,D)—

由表可知，共有12种等可能结果，其中小惠被抽中的有6种结果,

所以小惠被抽中的概率为色=！.

122

20.如图，将△A8C绕点A逆时针旋转得到点。在8c上，已知/8=70。，求/CZJE的大小.

E

A

BDC

【答案】40°

【分析】先由旋转的性质证明A3=A£>,?A£>E?B70?,再利用等边对等角证明？ADB?B70?,从而可得

答案.

【详解】解：把AABC绕点A逆时针旋转得到△AQE,NB=70。，

\AB=AD,?ADEIB70?,

\?ADBIB70?,

\?CDE180??ADB?ADE40?.

【点睛】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握“旋转前后的对应角相等与等边对等角”是解本题

的关键.

21.机(m+S)=25.

【答案】加=-4+^/41,优2=-4-^/41

【分析】首先把左边的式子展开，利用配方法配成完全平方式直接开平方即可.

【详解】解：m(优+8)=25.

m2+Sm=25,

m-+8m+4-2=25+42,

(m+4)2=41,

mi—-4+^/41，加2=-4-.

【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程.配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)把二次项的系数化为1；

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

22.已知关于x的一元二次方程%2+2%-左=0有两个不相等的实数根.

(1)求左的取值范围

(2)若左为(1)中的最小整数，请求出此时方程的根.

【答案】(1)左＞—1；(2)芭=—2,%=。

【分析】(1)根据方程根的情况可得A=〃—4ac=4+4左＞0,求解即可；

(2)将k的值代入，求解一元二次方程即可.

【详解】解：(1)方程有两个不相等的实数根，

r.A=〃—4«c=4+4左＞0，

解得左＞—1.

.:左的取值范围为左＞一1；

(2)•:k为(1)中的最小整数

k=0

方程为/+2%=0

解得：X,=-2,x2=0.

【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握A=Z?2-4ac与一元二次方程根的情况是解题的关键.

23.在平面直角坐标系xOy中，二次函数丁=必+5%+。的图象经过点(1，0)，(3,0).

77

X.・・0i234・・・

y

(1)求该二次函数的解析式；

(2)利用描点法画出所给函数的图象；

(3)当x＞3时，对于x的每一个值，函数y=x+〃的值小于二次函数yuf+Zzx+c的值，直接写出〃的取值

范围.

【答案】(1)y=/—4x+3

(2)见解析(3)—3

【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与性质.熟练掌握二次函数的图象与性质是解

题的关键.

(1)待定系数法求解析式即可；

(2)先列表格，然后描点，连线即可；

(3)由题意知，了+“<必—4X+3,即〃<(x—g)—根据二次函数的图象与性质求解作答即可.

【小问1详解】

l+Z?+c=O

解：将(1，0)，(3,0)代入了=/+法+。得，I,

-9+3。+c=0

b=-4

解得，《

c=3

y-x?—4x+3；

【小问2详解】

解：由题意知，

X01234

y30-103

，图象如下：

【小问3详解】

解：•..当x>3时，对于尤的每一个值，函数丁=*+〃的值小于二次函数丁=/+为:+。的值,

x+rKx2-4x+3>即〃<|x——-----，

I2J4

V1>0,

...当x>3时，—3<[x—g]—?，

24.如图，A3是I0的直径，点C在(。上，CP是।O的切线.点尸在AB的延长线上.

c

M

(1)求证：NCOB=2/PCB；

(2)若M是弧AB的中点，CM交AB于悬N,若AB=6,求MCMN的值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)MC-MN=18.

【分析】(1)根据PC是:一。的切线，48是【。的直径，可得NACO=NPCB,进而可以解决问题；

(2)连接M4,证明AMCsqNM4,可得生=生，根据等腰直角三角形可得=建，由此即可解决

NMAM

问题；

本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握知识点的应用，

正确添加常用辅助线，构造相似三角形.

【小问1详解】

证明：是。。的切线，

/.OC^CP,

：.ZPCB+ZOCB=90°,

：AB是C。的直径，

ZACO+ZOCB=90°,

：.ZACO=/PCB,

•：OA=OC,

ZA=ZACO,

•：ZPCB=ZA,

：.ZCOB=2ZA=2ZPCB；

【小问2详解】

:点河是弧AB的中点,

•••特f=的，

ZACM^ZBAM,

•1,ZAMC^ZAMN,

：.AAMC^ANAdA,

,AMCM

"NM~AM'

AM2=MCMN，

是。的直径，

ZAMB=9Q°,

AM=BM，AB=6,

2AM2=62，

•••A”=18,

：.MCMN=18.

25.一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）

与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：

X(元/件)456

v（件）1000095009000

（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；

（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件.若某一周该商品的销售量不少于6000件，求

这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？

（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元

（1<771<6）,捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大.请直接写出m的取值范

围.

【答案】（1）y=-500%+12000；（2）这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；（3）

3<m<6.

【分析】（1）设y与x的函数关系式为丫=1尔+13,代入表中的数据求解即可；

（2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w,根据总利润=单件利润x销售量列出函数关系式求最大值，注

意x的取值范围;

500(%+27)

（3）写出w关于x的函数关系式，根据当XW15时，利润仍随售价的增大而增大，可得一215,求

2x(-500)

解即可.

【详解】解：(1)设y与x函数关系式为y=kx+b,

[10000=4k+b

代入(4,10000),(5,9500)可得:<9500=5k+b

k=-5QQ

解得：<

b=12QQQ

即y与X的函数关系式为y=-5OOx+12000；

(2)设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w,

3<x<15

根据题意可得:'-500%+12000>6000

解得：3<x<12,

w=y(x-3)

=(-500%+12000)(%-3)

=—5001x—+55125

V3<x<12,

...当x=12时，w有最大值，w=54000,

答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元.

(3)设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w,

当每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元时，

w=y(x-m-3)

=(-500%+12000)(%-m-3)

=-500%2+500(m+27)x-500x24(m-3)

由题意，当烂15时，利润仍随售价的增大而增大，

500(m+27)

可得:2x(-500)~15解得：m>3,

*.*1<m<6

3<m<6

故m的取值范围为：3<m<6.

【点睛】本题考查二次函数的实际应用——最大利润问题，解题的关键是根据题意列出函数关系式，通过配方法

找到最大值.

26.已知二次函数y=(上一3)仁一2履+6左(左工3).

(1)甲说：该二次函数图象必经过点(-2,-12)；乙说：若图象的顶点在x轴上，则攵二0；你觉得他们的结论对

吗？请说明理由.

(2)若抛物线经过P(0,根)，Q(2,〃)两点，求证：〃掰2—36.

【答案】(1)甲和乙的说法都不对，理由见解析

(2)见解析

【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数

的性质解答.

(1)先判断甲乙的说法，然后根据题意和二次函数的性质，说明理由即可；

(2)根据抛物线经过P(O,m),Q(2.)两点，可以得到加、〃与左的关系，然后根据二次函数的性质，即可得

到mn>-36.

【小问1详解】

解：甲和乙的说法都不对，

理由：当x=—2时，

y=4(左一3)+4左+6左=14左一12,故甲的说法不对；

4a-3)x64-(-24)2

令------------------=0,

4(左一3)

1Q

解得，41=0,k,=—,

-5

故乙的说法不对；

【小问2详解】

证明：抛物线》=(%-3)/-2h+6以上片3)经过「(0,加)，。(2,九)两点，

6k=m

4(k—3)—4k+6k=n'

m=6k

n=6左-12'

mn=6k(6k-12)=3