专题6.2小题易丢分期末考前必做填空30题（提升版）-2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍 【苏科版】（解析版）

2025-2025学年九班级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题6.2小题易丢分期末考前必做填空30题（提升版）一．填空题（共30小题）1．（2025•镇江）从2025、2025、2025、2025、2025这五个数中任意抽取3个数．抽到中位数是2025的3个数的概率等于．【分析】列举得出共有10种等可能状况，其中中位数是2025有3种状况，再由概率公式求解即可．【解析】从2025、2025、2025、2025、2025这五个数中任意抽取3个数为：2025、2025、2025，2025、2025、2025，2025、2025、2025，2025、2025、2025，2025、2025、2025，2025、2025、2025，2025、2025、2025，2025、2025、2025，2025、2025、2025，2025、2025、2025，共有10种等可能状况，其中中位数是2025有3种状况，∴抽到中位数是2025的3个数的概率为，故答案为：．2．（2025春•南通期末）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池．一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发觉其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估量鱼苗数目较多的是甲鱼池．（填甲或乙）【分析】依据题意和题目中的数据可以计算出甲鱼池和乙鱼池中鱼苗的数量，然后比较大小即可．【解析】由题意可得，甲鱼池中的鱼苗数量约为：100÷＝2000（条），乙鱼池中的鱼苗数量约为：100÷＝1000（条），∵2000＞1000，∴初步估量鱼苗数目较多的是甲鱼池，故答案为：甲．3．（2025•沭阳县模拟）如图，△ABC是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，且与△ABC三边相切，已知AB＝5m，AC＝4m，BC＝3m，若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率（π取3）．【分析】设圆形水池与△ABC三边相切且切点分别为D，E，F，圆形水池的中心为O，由切线长定理求出CF，再利用勾股定理的逆定理得出△ABC为直角三角形，由圆的面积公式和直角三角形的面积公式可求出结果．【解析】如下图，设圆形水池与△ABC三边相切且切点分别为D，E，F，圆形水池的中心为O，连接OD、OF、OE，设CF＝xm，则AD＝AE＝AC﹣DC＝（4﹣x）m，BF＝BE＝BC﹣CF＝（3﹣x）m，由AB＝AE+BE，得（3﹣x）+（4﹣x）＝5，解得x＝1，∵AC2+BC2＝42+32＝25，AB2＝52＝25，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∵D、F分别是圆O与AC和BC相切的切点，∴∠ODC＝∠OFC＝90°，OD＝OF，∴四边形DOFC是正方形，即OD＝CF＝1m，∴S△ABC＝AC×BC＝×4×3＝6（m2），S圆O＝π×12＝3（m2）∴落入水池的概率为＝，故答案为：．4．（2025秋•惠山区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，已知tanB＝，S△ACD＝2，则S△ABC＝10．【分析】依据锐角三角函数求出CD与BD的比，由相像三角形面积的比等于相像比的平方求出△CBD的面积，进而可以求出△ABC的面积．【解析】∵CD⊥AB，tanB＝，∴＝，∵△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴△ACD∽△CBD，∴S△ACD：S△CBD＝1：4，∵S△ACD＝2，∴S△CBD＝8，∴S△ABC＝S△ACD+S△CBD＝2+8＝10．故答案为：10．5．（2025秋•工业园区校级期中）在△ABC中，sinB＝，AC＝2，AD是BC边上的高，∠ACD＝45°，则BC的长为2或6．【分析】利用勾股定理、等腰三角形的性质先求出CD、AD，再利用直角三角形的边角间关系求出AB，勾股定理求出BD，最终利用线段的和差阿关系求出BC．【解析】当点D在线段BC的延长线上时，∵AD是BC边上的高，∠ACD＝45°，∴CD＝AD．∵AC2＝CD2+AD2，AC＝2，∴CD＝AD＝2．∵sinB＝＝，∴AB＝2．在Rt△ABD中，BD＝＝＝＝4．∴BC＝BD﹣CD＝4﹣2＝2．若点D在线段BC上时，同理可求BD＝4，CD＝2，∴BC＝6，故答案为：2或6．6．（2025秋•靖江市期中）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若a2＝bc，则sinB的值为．【分析】依据锐角三角函数的定义以及一元二次方程进行解答即可．【解析】∵a2＝bc，即b＝，∴sinB＝＝＝＝（）2＝sin2A，又∵sin2A+sin2B＝1，∴sin2B+sinB﹣1＝0，∴sinB＝（取正值），故答案为：．7．（2025秋•工业园区期中）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为．【分析】连接DE，依据题意可得：AB∥DE，从而利用平行线的性质可得∠APC＝∠EDC，然后利用勾股定理的逆定理证明△DCE是直角三角形，从而可得∠DCE＝90°，再利用锐角三角函数的定义进行计算可得cos∠CDE的值，即可解答．【解析】如图：连接DE，由题意得：AB∥DE，∴∠APC＝∠EDC，在△DCE中，CD2＝22+42＝20，CE2＝12+22＝5，DE2＝32+42＝25，∴CD2+CE2＝DE2，∴△DCE是直角三角形，∴∠DCE＝90°，∴cos∠CDE＝＝，∴cos∠APC＝cos∠CDE＝，故答案为：．8．（2025秋•梁溪区校级期中）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则OE：OA＝1：2，S△BOE：S△BCD＝1：8．【分析】过点D作DF∥AE，交CE于点F，依据已知可得＝，再证明A字模型相像三角形△CDF∽△CAE，从而利用相像三角形的性质可得AE＝DF，＝2，然后依据线段中点的定义可得BO＝OD＝BD，再证明A字模型相像三角形△BEO∽△BFD，从而利用相像三角形的性质可得OE＝DF，BF＝2BE，＝（）2＝，进而可得＝，CF＝BF，最终进行计算即可解答．【解析】过点D作DF∥AE，交CE于点F，∵AD：DC＝1：2，∴＝，∵DF∥AE，∴∠CDF＝∠CAE，∠CFD＝∠CEA，∴△CDF∽△CAE，∴＝＝＝，∴AE＝DF，＝2，∴CF＝2EF，∵O是BD的中点，∴BO＝OD＝BD，∵OE∥DF，∴∠BOE＝∠BDF，∠BEO＝∠BFD，∴△BEO∽△BFD，∴＝＝＝，∴OE＝DF，BF＝2BE，＝（）2＝，∴＝＝，∴OE：OA＝1：2，∵CF＝2EF，BF＝2BE＝2EF，∴CF＝BF，∴△BDF的面积＝△CDF的面积，∴S△BOE：S△BCD＝1：8，故答案为：1：2，1：8．9．（2025秋•惠山区期中）如图，AB、DE是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC＝20°，点D从点C动身沿顺时针方向绕圆心O旋转α°（0＜α＜180），当α＝50、70、160时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相像．【分析】分DE⊥AB或DE⊥BC或DE⊥AC三种情形，分别画出图形，求出旋转角∠COD的度数即可．【解析】当DE⊥AB时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相像．连接OC，∵∠ABC＝20°，OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC＝20°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝90°﹣40°＝50°，∴α＝50，当DE⊥BC时，△BOF∽△BCA，∴∠COD＝∠BOD＝70°，∴α＝70，当DE⊥AC时，直径DE在△ABC中截得的三角形与△ABC相像．∴∠COE＝∠AOE＝∠ABC＝20°，∴α＝∠COD＝160，故答案为：50或70或160．10．（2025秋•建邺区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点P在AB边上运动（不与点A、B重合），过点P作PQ⊥PC，交射线CA于点Q，则线段CQ长度的最小值为3．【分析】先取QC的中点O，连接PO，依据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系可以得到OP和CQ的关系，然后可以得到当OP取得最小值时，CQ就可以取得最小值，然后依据题意可知，当OP⊥AB时取得最小值，再依据相像三角形的判定和性质可以得到OP的值，从而可以得到CQ的最小值．【解析】取QC的中点O，连接PO，如图所示，∵PQ⊥PC，∴OP＝CQ＝OQ＝OC，假如线段CQ长度的最小，只要OP的长度最小即可，故当OP⊥AB时，OP取得最小值，设OP＝x，则AO＝4﹣x，∵∠OAP＝∠BAC，∠APO＝∠ACB，∴△APO∽△ACB，∴，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∴，解得x＝，∴CQ＝2x＝3，即CQ的最小值为3，故答案为：3．11．（2025秋•苏州期中）古希腊数学家欧多克索斯在深化争辩比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的段GN的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，D是边BC的“黄金分割”点，若AB＝AD＝CD＝2，且BD＜DC，则AC的长度是+1．【分析】过A作AE⊥BD于E，由黄金分割的定义得BD＝﹣1，再由等腰三角形的性质得BE＝DE＝，则CE＝CD+DE＝，然后由勾股定理即可解决问题．【解析】如图，过A作AE⊥BD于E，∵D是边BC的“黄金分割”点，且BD＜DC，CD＝2，∴＝，∴BD＝﹣1，∵AE⊥BD，AB＝AD，∴BE＝DE＝BD＝，∴CE＝CD+DE＝2+＝，AE2＝AB2﹣BE2＝22﹣（）2＝，在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC＝＝＝＝+1，故答案为：+1．12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）和R（m，0），其中2＜m＜4，与y轴交于正半轴上一点．下列结论：①a＜0；②4c＜；③若点C（0，y1），D（l，y2），E（4，y3）均在二次函数图象上，则y3＜y1＜y2；④c+4a＜0，其中肯定正确的结论的序号是①④．【分析】依据与坐标轴的交点推断出①a＜0；依据图象与x轴交于两点推断②；依据对称轴和开口方向，综合增减性即可推断③；依据当x＝4时，y＜0，当x＝﹣1时，y＝0可以推断．【解析】∵抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（m，0），与y轴交于正半轴，∴a＜0，故①正确；∵图象与x轴交于两点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∵a＜0，∴4c＞，故②错误；∵图象与x轴交于A（﹣1，0）和B（m，0），其中2＜m＜4，∴＜﹣＜，∴＜﹣＜，∵点C（0，y1），D（1，y2），E（4，y3）均在二次函数图象上，∴y3＜y1＜y2，故③错误；∵抛物线与x轴的交点有一个为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴b＝a+c，∵当x＝4时，y＜0，∴16a+4b+c＜0，∴16a+4a+4c+c＜0，∴c+4a＜0，故④正确，综上所述，正确的结论有①④．故答案为：①④．13．（2025秋•邳州市期中）如图，抛物线y＝﹣x2+4x+a与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且AB∥CD，则线段CD的长为4．【分析】求出抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝2，即可求解．【解析】抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣＝2，令x＝0，则y＝﹣x2+4x+a＝a，故点C的坐标为（0，a），则点D（4，a），故CD＝4，故答案为4．14．（2025秋•工业园区校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）和B（m，0）．其中2＜m＜4．与y轴交于正半轴上一点．下列结论：①a＜0；②4c＜；③若点C（0，y1），D（1，y2），E（4，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；④c+4a＜0．其中肯定正确的结论的序号是①④．【分析】依据与坐标轴的交点推断出①a＜0；依据图象与x轴交于两点推断②；依据对称轴和开口方向，综合增减性即可推断③；依据当x＝4时，y＜0，当x＝﹣1时，y＝0可以推断．【解析】∵抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（m，0），与y轴交于正半轴，∴a＜0，故①正确；∵图象与x轴交于两点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∵a＜0，∴4c＞，故②错误；∵图象与x轴交于A（﹣1，0）和B（m，0），其中2＜m＜4，∴＜﹣＜，∴＜﹣＜，∵点C（0，y1），D（1，y2），E（4，y3）均在二次函数图象上，∴y3＜y1＜y2，故③错误；∵抛物线与x轴的交点有一个为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴b＝a+c∵当x＝4时，y＜0，∴16a+4b+c＜0，∴16a+4a+4c+c＜0，∴c+4a＜0，故④正确，综上所述，正确的结论有①④．故答案为：①④．15．（2025•昆山市校级一模）定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征数．下面给出特征数为[m，l﹣m，2﹣m]的二次函数的一些结论：①当m＝1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m＝2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值：④若m＜0，则当x＞时，y随x的增大而减小．其中全部正确结论的序号是①②③④．【分析】依据特征数的定义，写出二次函数的表达式为y＝mx2+（1﹣m）x+2﹣m．①写出对称轴方程后把m＝1代入即可推断；②把m＝2代入即可推断；③依据开口方向即可推断；④依据对称轴，开口方向，增减性即可推断．【解析】由特征数的定义可得：特征数为[m，1﹣m，2﹣m]的二次函数的表达式为y＝mx2+（1﹣m）x+2﹣m．∵此抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝，∴当m＝1时，对称轴为直线x＝0，即y轴．故①正确；∵当m＝2时，此二次函数表达式为y＝2x2﹣x，令x＝0，则y＝0，∴函数图象过原点，故②正确；∵当m＞0时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故③正确；∵m＜0，∴对称轴x＝＝﹣，抛物线开口向下，∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．即x＜﹣时，y随x的增大而增大．而﹣，∴当x时，y随x的增大而增大，故④正确．故答案为：①②③④．16．（2025秋•如皋市校级月考）定义：min{a，b}＝．若函数y＝min{x+1，﹣x2+2x+3}，则该函数的最大值为3．【分析】设直线y＝x+1，抛物线y＝﹣x2+2x+3，联立直线与抛物线方程得抛物线与直线交点坐标，结合图象求解．【解析】设直线y＝x+1，抛物线y＝﹣x2+2x+3，联立直线与抛物线方程得，解得或，∴直线与抛物线交点坐标为（﹣1，0），（2，3），如图，∴x≤﹣1时，y＝﹣x2+2x+3，函数最大值为y＝0，﹣1＜x≤2时，y＝x+1，函数最大值为y＝3，当x＞2时，y＝﹣x2+2x+3，y＜3，∴x＝2时，函数取最大值为3，故答案为：3．17．（2025•高邮市模拟）若二次函数y＝a（x+m）2+b（a，m，b均为常数，a≠0）的图象与x轴两个交点的坐标是（﹣2，0）和（1，0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是x1＝﹣4，x2＝﹣1．【分析】由抛物线y＝a（x+m+2）2+b是由抛物线y＝a（x+m）2+b向左平移2个单位所得，从而可得平移后抛物线与x轴交点坐标，进而求解．【解析】∵抛物线y＝a（x+m+2）2+b是由抛物线y＝a（x+m）2+b向左平移2个单位所得，∴抛物线y＝a（x+m+2）2+b与x轴交点坐标为（﹣4，0），（﹣1，0），∴方程a（x+m+2）2+b＝0的解是：x1＝﹣4，x2＝﹣1．故答案为：x1＝﹣4，x2＝﹣1．18．（2025秋•仪征市期中）新定义，若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，称为“同类方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”．现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同类方程”．那么代数式ax2+bx+2025能取得最大值是2025．【分析】依据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值．【解析】∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝0是“同类方程”，∴（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝（a+6）（x﹣1）2+1，∴（a+6）x2﹣（b+8）x+6＝（a+6）x2﹣2（a+6）x+a+7，∴，解得：，∴ax2+bx+2025＝﹣x2+2x+2025＝﹣（x﹣1）2+2025，∴当x＝1时，ax2+bx+2025取得最大值为2025．故答案为：2025．19．（2025秋•江阴市校级月考）给出一种运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn﹣1．例如：若函数y＝x5，则有y′＝5x4．已知函数y＝x3，y′＝12，则x的值是±2．【分析】依据定义的新运算可得3x2＝12，然后再利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答．【解析】∵y＝x3，y′＝12，∴3x2＝12，x2＝4，x＝±2，故答案为：±2．20．（2025秋•江都区月考）对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x的值为3．【分析】分两种状况：当x≥﹣2时，当x＜﹣2时，然后依据定义新运算，进行计算即可解答．【解析】分两种状况：当x≥﹣2时，∵x⊗（﹣2）＝10，∴x2+x﹣2＝10，x2+x﹣12＝0，（x+4）（x﹣3）＝0，x+4＝0或x﹣3＝0，x1＝﹣4（舍去），x2＝3，当x＜﹣2时，∵x⊗（﹣2）＝10，∴（﹣2）2+x﹣2＝10，x＝8（舍去），综上所述：x＝3，故答案为：3．21．（2025春•通州区期末）已知m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，则式子的值是27．【分析】利用一元二次方程解的定义和根与系数的关系，接受整体代入求解．【解析】∵m，n是方程x2﹣3x＝2的两个根，∴m2＝3m+2，n2﹣2＝3n，m+n＝3，∴m3﹣10m+n＝m（3m+2）﹣10m+n＝3m2﹣8m+n＝3（3m+2）﹣8m+n＝m+n+6＝3+6＝9，n﹣＝＝＝3，原式＝9×3＝27．故答案为：27．22．（2016秋•盱眙县校级月考）已知一组数据3，a，4，5的众数为4，则这组数据的平均数为4．【分析】要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可；众数是一组数据中消灭次数最多的数据，留意众数可以不止一个．依此先求出a，再求这组数据的平均数．【解答】解，∵数据3，a，4，5的众数为4，∴a＝4，则这组数据的平均数为＝4，故答案为：4．23．（2025•扬州一模）若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x＝1或6．【分析】依据数据x1，x2，…xn与数据x1+a，x2+a，…，xn+a的方差相同这个结论即可解决问题．【解析】∵一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，∴这组数据可能是2，3，4，5，6或1，2，3，4，5，∴x＝1或6，故答案为：1或6．24．（2025秋•高邮市期中）若从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮中剪出一个面积最大的扇形，则该扇形的面积为30πcm2．【分析】依据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用扇形公式计算即可．【解析】过O作OE⊥AB于E，当扇形的半径为OE时扇形OCD面积最大，∵OA＝OB＝60cm，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°，∴OE＝OA＝30cm，∴该扇形的面积为：＝30πcm2，故答案为：30π．25．（2025秋•仪征市期中）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、F、G，∠B＝60°，∠C＝40°，则∠DGF的度数是50°．【分析】连接OD，OF．由三角形内角和定理可求得∠A＝80°，由切线的性质可知：∠ODA＝90°，∠OFA＝90°，从而得到∠A+∠DOF＝180°，故可求得∠DOF＝100°，由圆周角定理可求得∠DGF＝50°．【解析】如图，连接OD，OF，∵∠B＝60°，∠C＝40°，∴∠A＝180°﹣60°﹣40°＝80°．∵AB是圆O的切线，∴∠ODA＝90°．同理∠OFA＝90°．∴∠A+∠DOF＝180°．∴∠DOF＝100°．∴∠DGF＝50°．故答案为：50．26．（2025秋•姜堰区期中）如图，半圆O的直径AB＝4，弦，弦CD在半圆上滑动，点C从点A开头滑动，到点D与点B重合时停止滑动，若M是CD的中点，则在整个滑动过程中线段BM扫过的面积为．【分析】依据勾股定理的逆定理可得△COD是直角三角形，进而得出OM长等于CD的一半，再依据旋转可得OM旋转的圆心角为90°，半径OM＝，依据扇形面积的计算方法进行计算即可．【解析】如图，连接OC、OD、OM，∵OC＝OD＝AB＝2，又∵CD＝2，∵CD2＝8，OC2+OD2＝22+22＝8，∴CD2＝OC2+OD2，∴∠COD＝90°，又∵点M是CD的中点，∴OM＝CD＝，∵弦CD在半圆上滑动，点C从点A开头滑动，到点D与点B重合时停止滑动，OM就围着点O逆时针旋转90°，∴在整个滑动过程中线段BM扫过的面积为＝，故答案为：．27．（2025秋•溧阳市期中）在Rt△ABC中，AC＝4cm，BC＝3cm，∠ACB＝90°，过点A画直线AP⊥AC，与以点C为圆心，5cm长为半径的圆交于点P，则线段PB的长为4或2cm．【分析】画出相应的图形，⊙C与直线AP有两个交点，依据垂径定理和勾股定理可求出AP1＝AP2＝3，进而求出BP的长即可．【解析】如图，∵∠ACB＝90°，AP⊥AC，∴AP1＝AP2，∵CP1＝CP2＝5cm，AC＝4cm，∴AP1＝AP2＝＝3（cm），又∵BC＝3cm＝AP1，AP1∥BC，∴四边形ACBP1是平行四边形，∴BP1＝AC＝4cm，在Rt△BP1P2中，BP1＝4cm，P1P2＝6cm，∴BP2＝＝2（cm），∴BP的长为4cm或2cm，故答案为：4或2．28．（2025秋•常州期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°，BC＝4，OH⊥AC，垂足为H，连接BH，则BH的最大值是+．【分析】由圆周角定理得点H的轨迹是以OC为直径的一段弧，圆心为O'，连接BO'幷延长交弧于点H'，连接OB，再证△OBC是等腰直角三角形，得OB＝OC＝2，则O'H'＝O'O＝OC＝，然后由勾股定理得BO'＝，即可得出结论．【解析】如图