辽宁省七校2024-2025学年高二年级上册期初考试数学试卷（含答案）

辽宁省七校2024-2025学年高二

上学期期初考试数学试卷

数学试题

考试时间：120分钟满分：150分

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在题目给出的四个选

项中，只有一项符合题目要求）

1.已知复数2=（1+z）+入（1-i）是纯虚数，则实数入=（）

A.-2B.-1C.0D.1

2.已知某圆锥的底面半径为g，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积

为（）

A.2V311B.3兀C.4V3nD.6兀

3.设TH,71为空间中两条不同直线，％?为空间中两个不同平面，下列命题中正

确的为（）

A.若TH上有两个点到平面a的距离相等，则

B.若根、及是异面直线，加ua,m/7p,n//a,则a〃0

C.若他不垂直于a,〃ua,则m必不垂直于n

D.若mla,nu小则“TH〃n”是“a1夕”的既不充分也不必要条件

4.已知函数/（x）=Zsin（a）x+（p）（a）>0,Z>0,OWcpWn）的部分图象如图

所示，且/（0）=1,则（）

兀7T

A・f(x)=2sinB・f(x)=2sin(2x~)

jrTT

Cf(x)=2sin(2x-»,^-)D.f(x)=2sin

5.如图，在正四面体Z5CD中，点E是线段幺。上靠近点。的四等分点，则异

面直线EC与8。所成角的余弦值为（）

3a口加„3旧”V13

AA.----o.---U.-----U.------

26132613

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6.下列命题正确的是（）

A.若）=（T2）,彼=（疗,1）,且则掰=0

B.若花，贝!）之万不共线

C.若赤,云是平面内不共线的向量，且存在实数y使得况+>双=>赤+反,

则4B,。三点共线

若（））（）则在己上的投影向量为\

D.N=-M=l,2,B

4

7.已知2+5cos26if=cos。,cos（2cr+y0）=—

则cos/?的值为（）

8.在△48。中，尸o是边48上一定点，满足耳R二？足，且对于边上任一点

3

尸，恒有诙•瓦》造•第，则△48C为（）

A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形

二.多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错

的得0分）

9.已知复数句,句，下列结论正确的有（）

A.若㈤=卜|[,则Z；=Z；B.若Z]-Z2>0,则Z-2

C.若复数Z,满足Z2=IL+5i,则Z2在复平面对应的点是（-1,7）

2-z

D.若Z[=-4+3i是关于x的方程x2+Px+q=0（p,qeR）的一个根，贝|。=8

10.设函数g（x）=sins®>0）向左平移£个单位长度得到函数,已知“X）在

5a）

[0,2句上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（）

A.〃x）的图象关于直线x=g对称B.0的取值范围是[与,卷]

C.“X）在总上单调递增

D.在（0,2万）上,方程/（尤）=1的根有3个，方程/（x）=-l的根有3个

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11.化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），

如六氟化硫（化学式SFf）、金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得

到一个正八面体（如图1）,已知正八面体F的（如图2）棱长为4,

贝I（）

A.正八面体的外接球体积为等

B.正八面体£-/3。-尸的内切球表面积为等

C.若点尸为棱£8上的动点，则NP+C尸的最小值为4百

D.若点。为棱北上的动点,则三棱锥£-悭。的体积为定值竽

三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.tan（n+a）=2,则sin（a-3兀）+cos（5兀-a）=-----

sin（-ClAcos（兀+a）

4__„__„__„

13.在AABC中，/=l，。为AABC的外心，若AOAB=AO-AC=2>

^AB-AC的值为--------------•

14.在AABC中，角A,5,。的对边分别为。，6,。，若

（）IT

sin5+CB咤,则2a+c的取值范围为

sinC

四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤）

15.如图，在底面是矩形的四棱锥尸-/BCD中，尸/，平面/BCD,E是的中点.

（1）求证：P8//平面E/C；

（2）求证：平面PDC，平面PAD.

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l,—►-*■"TT"—►—*

16.已知向量a=(sinx,1),b=(1,sin(^—―x)A/(x)=a•6

3

(1)求函数/(x)的单调递增区间和最小正周期；

(2)若当x€[0,看]时，关于x的不等式)(x)-1W机有解，求实数机的

取值范围.

17.已知△48C的内角Z,B,C的对边分别为a,b,c,满足上=L

c-ab-a

(i)求角z；

(2)若△45C的外接圆的面积为g,sinB+sinC骂之sinA，求△45C的

OI

面积.

18.如图，在四棱锥尸-45CQ中，尸C,平面48cD,AB//DC,DCLAC.

(I)求证：平面B4C；

(II)若PC=AB=AC=1,求PB与平面B4c成角的正弦值；

(III)设点E为48的中点，过点C,E的平面与棱尸5交于点R且E4〃平

ffiCEF,求巫的值.P

19.若函数/(X)满足:对任意xeRJ(x)=y>1万,则称/(X)为函

数,，

⑴判断工(x)=sin(gx+|^/(x)=tan|x是不是W函数(直接写出结论)；

(2)已在函数/(x)是M函数，且当xe0,y时，/(x)=sinx,求/(x)在|私3兀的

解析式；

(3)在(2)的条件下，xe[0,6可时，关于x的方程〃x)=a(。为常数)有解，

求该方程所有解的和S.

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高二联考数学试卷参考答案及评分标准

一、单选题

1-8.BDBCACBB

二、多选题

9.CD10.BC11.BCD

三、填空题

12.313.214.（73,277]

四、解答题

15.（13分）

解：（1）连接AD交/C于点G,连接EG.

・四边形/BCD是矩形，.G是BD的中点.

又E为尸。的中点，:.PB^EG................................................................4分

•.•EGu平面胡C,尸80平面切C,PB/7EAC.....................6分

(2)•••PAL^ABCD,CDu面48CD,PALCD.

•.•ABC。是矩形，ADLCD.

而P/cAD=/,PA,ADu平面PAD,；.CD_L平面PAD..................11分

又「CDu平面尸DC.二平面PDC_L平面尸/D...............................13分

16.(15分)

(1)因为/(x)=ab=sinx+sinI--x1=^sin.x+-^-cosx=sinlx+

所以函数/（尤）的最小正周期7=2万；.....................4分

TTJT

因为函数〉=sin%的单调增区间为一万+2左犯万+2左）,keZ,

JTTTTT

所以---F2k冗<x-\——<—F2kji,左£Z,

232

S777T

解得----F2k兀（xW—F2k兀,左£Z,

66

所以函数/（无）的单调增区间为7+2版,>2版,^GZ；...................8分

（2）不等式有解，即怨1nln；

r-j-t、[八兀匕r*r、i兀/7T,7〃中.7TC.5TT.71

因0,以—VxH—V—,3^sin——sin—>sin—,

4jf331212123

1

故当x+?=q，即x=°时，/(x)取得最小值，且最小值为〃0)=弓,

所以也2百—1..............................................................15分

17、(15分)

(1)解：(1)因为」_上＞=1

c-ab-a

所以bQb-a)+c(C-Q)=(c-q)Qb-a),

所以庐-ab+c2-ac=bc-ac-ab+c^,即b2+c2-a2=bc,..........4分

222

由余弦定理可得：b+c-a=2bccosAf

所以cos^=—,

2

因为ZE(0,n),

所以A吟；....................................7分

(2)因为△/8C的外接圆的面积为卫L,

3

设△A8C的外接圆半径为r,

即.=卫_,

3

解得r=^L,

r3

由正弦定理得=2广a=2rsinA=2xW^■义坐......

10分

sinA32

因为sinB+sinC=5^~^sinA，由正弦定理得b+c=$歹a=5,

由(1)知b2+c2-a2—be,

所以(6+c)2-7=3bc,得36c=25-7=18,则bc=6,

所以△48。的面积为SARBC=■^■bcsinA="^_X6义^^.........

15分

18、(17分)

(1)因为尸C_L平面/BCD,CDu平面/BCD,所以尸C_LCD,

又。CL/C,AC^PC=C,NC,PCu平面尸NC,

所以。C_L平面尸/C................................................5分

(2)VCD//AB,DCJ_平面PAC

AB_L平面PAC,?.ZAPB为所求

：Rt△PAC中，PC=AC=1,PA=V2

，RtAPAB中，PB=V3

.♦.sinNAPB⑨..................................................11分

3

2

(3)因为以〃平面CEP,平面尸N3c平面CEF=EV,

P/u平面尸NB,所以尸M/E尸，因为点E为A8的中点,

所以点尸为尸3的中点，所以P言F=：1......................17分

19、(17分)

(1)工口)=311,+1是屈函数，证明如下:

4714立「43兀44

因为工(x)=sin—x+—=cos-x,又工=cos—(-----x)=COS(2K——X)=COST

323233

43兀44所以营+x],

=cos)(3+x)=cos(2兀+/)=cos7

故/(x)=sin13+|J是M函数,

2

力(x)=tan§x是M函数，证明如下:

3712-x)=tan(7i-122

因为力--xtan—-tan—tan—K,

333

「(3兀)2/3兀、1/2、2

J21+xJ=tan—―Fx)—tan(兀+,所以

233

2

故人(x)=tan—x是M函数4分

3

3兀3兀

(2)因为/(x)=/----x，所以函数/(x)的周期为7=1，又/(x)=/-----x

22

4

所以函数/(无)关于直线》=牛7r对称，

因为—71,371时，所以X—0,—,

、i/371「3711「3兀9兀13兀、..3兀、「八

当x---e0,—,BPxe-时，/(%)=/(%--)=sm(x--)=cosx,.........7分

3兀「3兀3兀]「9兀IN-、~3兀、,「3兀/3兀5—\

当x—彳£—，即工£—53TT时，/(x)=/(x--)=/[--(x--)]=/(3TT-x),

一9兀"I「3兀]

又xe—,37i时，3兀一尤e0,—,所以

44

3ir37i3兀

/W=f(x-y)=/[y-(x-y)]=f(3n-x)=sin(3兀-x)=sinx

3兀9兀

LCOSX,XG

T?T

综上,y(x)在会,3兀上的解析式为/(x)=<..................io分

包兀

sinx,xe,3

4

,、।，、「，3兀3兀।3兀八3兀

(3)由(2)知，当--,~z~时，——x£。,~~所以

4224

巧

3yr3兀sinx,xe[0,

sn得至」4

/(x)=f(--x)=i(^--x)=-cosx,If(x)=3ir3ni

-cosx,xe[r—,—]

3

又函数的周期为「W，所X«O,6可时，/(X)的