2025年高考一轮复习：圆锥曲线中的定值问题【含解析】

第十节圆锥曲线中的定值问题【原卷版】

题型归类

题型一长度或距离为定值

例1(2023•郑州模拟)已知点R(0,1),直线/：y=4,P为曲线C上的任意一点，且|尸网是尸到

/的距离的皮

⑴求曲线C的方程；

(2)若经过点F且斜率为网4W0)的直线交曲线C于点M,N,线段MN的垂直平分线交y轴于

点、H,求证：牌为定值.

⑴解设P(x,y),由已知得7四十(丁—1)2=：牛一4|,

?2

整理得田+1=1,

此即为曲线C的方程.

⑵证明经过点R且斜率为网上W0)的直线的方程为丁=履+1,

与曲线C方程联立，消去y整理得(4+3产)X2+6日一9=0,

/=36F+4X9X(4+3R)=144(l+F)>0恒成立，

设A/(xi,yi),N(X2,yi),

则=W+的xi一羽|=3+4X4*后=12；二^),%]+^2=-J，,

%]-1-X23k4

设线段AfN的中点为T(xo,yo),则xo=―入一=一了而层，加=入。+1=413产,

线段MN的中垂线的斜率为一J,

其方程为厂房=./在.

令冗=0,解得1=4+3.，

即为点H的纵坐标,

.13(1+F)

・.|阳=1—4+37=4+3左2’

3(1十一)

\FH\4+3后1,、，。

,丽i=TT7]+左2)=7为定值).

~4+3--

感悟提升探求圆锥曲线中的定线段的长的问题，一般用直接求解法，即先利用弦长公式把要

探求的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量

之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值.

训练1已知抛物线C：y2=2px(p>0),其焦点为E。为坐标原点，直线/与抛物线C相交于

不同的两点A,B,M为A3的中点.

(1)若夕=2,“的坐标为(1,1),求直线/的方程.

⑵若直线/过焦点EA3的垂直平分线交x轴于点N,求证：犒^为定值.

(1)解由题意知直线/的斜率存在且不为0,

故设直线I的方程为x-l=t(y-l)

即%=)+1—乙设A(%i,yi),B(X29yi).

[x=ty~\~1一t

由J.9得y2—4/y—4+4/=o,

V9=4x,

・・・/=16於+16—16%=16(於一/+l)>0,

yi+>2="/.4r=2,即t=^.

二・直线l的方程为2x~y—1=0.

2

(2)证明•・•抛物线Cy=2px(p>0)9

...焦点R的坐标为g,o).

由题意知直线I的斜率存在且不为0,

•.•直线I过焦点F,故设直线I的方程为尸。+冬小0),

设A(xi,yi),5a2,yi).

%=(y+与

由<2得J—2〃9一，2=0，

2

y=2px9

，yi+y2=2m，4=4p2p+4P2>0.

•\xi-\-X2=t(yi~\-y2)~\~p=2pi2-\-p,

p“

.'.AfN的方程为y—pt=—^x—pi2—^].

令解得：2+乎

y=0,x0,小e+琴o],

22

\MN\=p2+p20,[FN\=pt+当一?=2户+p,

.2|“Vp2(p2+p2p)

**\FN\=—p"p—=2p，为定值.

题型二斜率或代数式为定值

例2如图，椭圆E：，+，=l(a泌>0)经过点A(0,—1)且离心率为坐.

(1)求椭圆E的方程;

⑵经过点(1,1),且斜率为左的直线与椭圆E交于不同的两点P,。(均异于点A),证明：直线

AP与AQ的斜率之和为定值.

(1)1?由题设知:=亭，b=l,

结合/=庐+》,解得。=爽，

2

所以椭圆E的方程为5r+>2=1.

⑵证明由题设知直线PQ的方程为

y=6x—1)+1(左W2),代入了+丁2=1,

得(1+2/)江一4左(左一l)x+2%(左一2)=0,

由已知/>0,设尸(xi,yi),2(x2,yi),

4k(左——1)2k(左一2)

X1X2WO,则Xl-\-X2=

1+2/2X1X2-1+2产，

从而直线AP,AQ的斜率之和为AAP+左AQ="丑+匕」

kn+2——左,kxi+2—k,(1।,%1+尤2

=--------+--------=2k+(2—幻一+—=2k+(2-k)-----

XIXI'7\X1X1J'/X1X2

4k(左——1)

=2k+Q—k)2k(左_2)=2左一2(左一1)=2(即为定值).

感悟提升在证明一条直线斜率或两条直线斜率和，差或者积与商为定值的问题中，我们需要

先将斜率表示出来，然后利用相关量之间的关系式化简即可.

训练2(2023・武汉模拟)已知椭圆C：2+奈=1(。>5>0)的左、右焦点分别为B,F2,过点八

的直线/交椭圆于A,3两点，交y轴于点若尸1人|=2,△A3R2的周长为8.

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)MA=AF^A,MB=fiF\B,试分析4+〃是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说明理由.

解(1)因为△ABB的周长为8,

所以4〃=8,解得〃=2,

2

由的刑=2,得2商一接=2yj4-b=2,

所以尻=3,

72

因此椭圆C的标准方程为§+5=1.

(2)由题意可知直线/的斜率存在，

设直线I的方程为y=k(x+l),

y=k(x+1),

由

整理得(3+4左2)<+8/%+4烂—12=0,

显然/>0,

设A(xi,yi),3(x2,yi),

r.8后

制+尤2=一干诂

D1l|<

4MT2

「1x2=3+43,

设M(0,k),又为(-1,0),

所以跖4=(%i,yi~k)9FiA=(xi+1,yi),

贝1丸=号不

XI+1

同理可得M5=(x2,yi-k)9FIB=(X2~\~19yi)9

则u=X2

人〃%2+r

济/_XI_LX2_XI(%2+1)+%2(X1+1)

"XI+1X2~\~1(X1+1)(X2+1)

4^—128一

2%LX2+XI+122*3+4R3+4炉

XIX2+X1+X2+14k2—128A2

3+4左2—3+4—+1

8户一24—8后一248

二4左2—12—8左2+3+4妤=—9='

所以7+〃为定值方.

题型三几何图形的面积为定值

一%2

例3在平面直角坐标系X。》中，已知椭圆C：w+V=l，点P(XLVl)-Q(X2，丁2)是椭圆C上

的两个动点，直线。P,OQ的斜率分别为M,ki,若m=&，yi),〃=悖券)，mn=Q.

1

-

⑴求证:ki-k2=4

(2)试探求△OPQ的面积S是不是定值，并说明理由.

(1)证明•依，左2存在，.•.X1X2W0,

.mn—0,..~^~+yiy2—0,

•••7ki'；ki—V1V2—一1.

X1X24A

(2)解是.理由：当直线PQ的斜率不存在,

WXI-X2,yi=一丁2时，

4皿1用行2A

由京_一/传4一贯=6

Y?

由P(»,”)在椭圆。上,得号+/=1,

/.|XI|=A/2,,

•••SAOPQ=^\xi\'\yi—y?\=l.

当直线PQ的斜率存在时，易知直线PQ的斜率不为0,

设直线PQ的方程为y=kx+b(k^0).

y=kx~\~b,

由,得(4/+1)必+8姑x+4"2—4=0,

a+>1，

—8kb4Z;2-4

Xl+X2=4庐+i'XU2=4^+r

..X1X2._

•4+yi>2—n。,

xiX?

/.~^―+(丘1+b)(kx2+Z?)=0,

得2〃一4产=1,

满足/=64M廿-4(4M+1)(4廿—4)=16(4层+1—〃)>0,

i闻1---------------、/43+1—房

**-SKPQ=]^^^PQI(xi+及)2—4XIX2=2|〃C41+]-=1-

：.^OPQ的面积S为定值.

感悟提升探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角

形面积公式（如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解）把要探求的几何图形的面

积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这

个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可.

%2

训练3（2023・重庆诊断节选）已知椭圆E：§+尸=1.若直线/交椭圆后于航，N两点，直线0M

的斜率为上，直线ON的斜率为左2,且左戊2=—今证明：△OMN的面积是定值，并求此定值.

证明当直线/的斜率不存在时，

设直线I：x=t（-3<t<3且fWO）,

得9=1—3

一§一§19

则k\ki=——=—p=-^解得好学

2

所以SOMW=1X2Xt3

A1—制4=1

当直线/的斜率存在时，设M（xi,州），N（X2,yi）,直线/：y=日+机（机20）,

y=kx-\-m9

由,2_i消去y并整理,

9+，-]

得(9F+l)f+18Ag;+9/n2—9=0.

J=(18M2-4(9^+l)(9m2-9)=36(9^-m2+l)>0,

18km9m2-9

Xl+%29必+1'"13=9标+1'

(依i+加)(te+m)-9左2十加21

3*

X1X29m2—99,

化简得93+1=2机2,满足/>0.

\MN\=w+妁xi—X2\=yi+py(X1+X2)2—4XIX2

18km)29疗一96、1+游79游一席+1

=、1+H9^+1J-4X

9F+1—9lc-\-l

又原点。到直线/的距离d=

、1+庐

所以SAOMN=^-\MN\-d=3\11+—\{9卜2—渥+1|词31mH2m之一m23

9庐+1y/l+k2~2加2-

3

综上可知，△OMN的面积为定值京

题型四圆锥曲线中的伴侣点问题

在圆锥曲线的很多性质中，常常出现一对活跃的点4加，0）和0），这一对点总是同时出

现在圆锥曲线的对称轴上，形影不离，相伴而行，我们把这一对特殊点形象地称作圆锥曲线的

r2V2

“伴侣点”.已知M>,0）,即,0）02=居）是双曲线”—右=13>0">0）的一对“伴侣点”，

过点〃作与坐标轴不平行的直线与双曲线相交于43两点，则直线⑷V和3N与x轴成等角.

可得到圆锥曲线的一个统一和谐性质如下：

已知M,N是圆锥曲线的一对“伴侣点”，

过点〃作与坐标轴不平行的直线与曲线相交于A,3两点，则直线A7V和3N与x轴成等角.

例已知点昭＞,0),N(-m,0)(机W0)是抛物线＞2=22式/?＞0)的一对“伴侣点”，过点M作

与x轴不平行的直线交抛物线于A,3两点，证明：直线AN和3N与x轴成等角.

证明因直线AB过点M(m,0),

故可设直线A3的方程为x=m+ny,

将其代入抛物线方程得，y2—2pny-2pm=0,

设A(xi,yi),B(X2,yi),

则yi+y2=2/w,yiy2=~2pm,

又点A,3在直线A3上，

所以xi=/n+〃yi,X2=m-\-ny2,

yi+>2yiX2+y2%i+/n(yi+y?)

所以kAN~\-kBN

xi+m(xi+m)(X2+根)

又y\xi-\-yix\-\-m(y\+")=yi(m+ny2)+y2(m+nyi)+m(yi+*)

=2ny\yi+2m(yi+?)=2〃•(-2pm)+2m-2pn=0,

所以fcw+%BN=0,

即直线AN和BN关于x轴对称，

所以直线AN和3N与x轴成等角.

r2

训练设椭圆C：5+丁=1的右焦点为R过歹的直线/与C交于A,3两点，点般的坐标为

(2,0).

⑴当/与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设。为坐标原点，证明：ZOMA=ZOMB.

⑴解由已知得"1,0),/的方程为尤=1.

把x=l代入椭圆方程与+y2=i,

可得点A的坐标为11,坐)或［1,一半］.

又M2,0),

所以AM的方程为y=—乎x+6或y=^x—y［2.

(2)证明当/与x轴重合时，ZOMA=ZOMB=0°.

当/与x轴垂直时，为A5的垂直平分线，

所以NOMA=NOMB

当/与x轴不重合也不垂直时，

设/的方程为丁=左。一1)(左WO),A(xi,yi),3(x2,yi),

则％1<隹，X2<®直线MA,M3的斜率之和为左MA+左

Ji1乙

,2/aiX2-3k(xi+%2)+4左

由yi=kx\~k,yi—kxi-kICMA+kMB—(»一？)(.—2),

将y=Z(x—l)代入日+y2=l得(2F+l)%2—4女2冗+2女2-2=0.

所以Xl+X2=£g,X1X2=||^|.

4庐一4Z—12/+8K+4左

则2Axi%2—3%（11+冗2）+4左=2—+1=0-

从而左MA+左ws=0,故A£4,MB的倾斜角互补,

所以NOM4=NOMB

综上，ZOMA=ZOMB.

课时作业

一、多选题

1.在棱长为2的正方体A8CD-A4G，中，。为正方形的中心，P为线段co上的一点，则下列说

法正确的是（）

A.存在点P,使得PA=PB

B.三棱锥a-BDP的体积为定值

C.的面积的最小值为6

D.线段48上存在点Q,使得且PQJLOC

2.已知点A,8在圆。：V+寸=4上，点尸在直线/：2x+y-5=0上，贝I]（）

A.直线/与圆。相离

B.当48=2逝时，悭+尸耳的最大值是2行+2

C.当E4,PB为圆。的两条切线时，（OA+O8AOP为定值

D.当B4,尸8为圆O的两条切线时，直线过定点

二、解答题

3.已知椭圆C：5+]=1（〃>6>0）的离心率e=g,且经过点人（一1,一£|.

⑴求椭圆E的标准方程；

（2）如果斜率为1的直线所与椭圆交于两个不同的点E、F,试判断直线AE、AF的斜率之和是否为定值，

若是请求出此定值；若不是，请说明理由.

⑶试求三角形AEF面积S取得最大值时，直线所的方程.

22

4.已知抛物线a：/=4x-4与双曲线=J=l（l<o<2）相交于两点A3,产是C?的右焦点，直线

U.4—Q.

AF分别交GC于CQ（不同于A,8点），直线3c皿分别交x轴于P,。两点.

⑴设4（苞,/）,。（%2，为），求证：是定值；

⑵求W■的取值范围.

FP

22

5.已知月是双曲线=-4=1的左焦点，点A(2,3)在双曲线上且双曲线的离心率为2.

ab

⑴求双曲线的标准方程；

⑵若P是双曲线在第二象限内的动点，3(1,0),记/P与8的内角平分线所在直线斜率为耳，直线外斜率为

K，求证：h+k3是定值.

6.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：U=l(a>6>°)过点，且椭圆的离心率为孝.直

线/:y=x+f与椭圆E相交于两点，线段A3的中垂线交椭圆E于两点.

⑴求E的标准方程；

(2)求线段C。长的最大值；

⑶证明：AC.AO为定值，并求此定值.

22

7.已知椭圆加：谷+4=13>6>0)的左、右焦点分别为与、尸2,斜率不为0的直线/过点耳，与椭圆交

于A,8两点，当直线/垂直于x轴时，|AB|=3,椭圆的离心率e=1.

⑴求椭圆M的方程；

(2)在x轴上是否存在点尸，使得尸从尸8为定值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

22

8.己知双曲线C:土-1=l(b>0)的左、右焦点分别为《，工，A在双曲线C上,且秋，x轴，月耳=30.

4b

⑴求双曲线C的渐近线方程；

⑵设。为双曲线C的右顶点，直线/与双曲线C交于不同于。的E,歹两点，若以斯为直径的圆经过点D,

且。GLEF于G,证明：存在定点使|GH|为定值.

22

9.已知椭圆C:=+M=l(a>b>0)上的点到两个焦点的距离之和为4,且右焦点为(1,0).

ab

(1)求椭圆C的方程；

(2)设A,3分别为椭圆C的左、右顶点，P为椭圆C上一点(不与A3重合)，直线AR3尸分别与直线x=4相

交于点“当点P运动时，求证：以为直径的圆截x轴所得的弦长为定值.

10.已知在平面内，点A(-应,0),B(A/I,0),点尸为动点，满足直线R4与直线尸3的斜率之积为1.

⑴求点P的轨迹方程，并说明表示什么曲线；

⑵若直线/为上述曲线的任意一条切线，证明：点。(-2,0),£>(2,0)分别到直线/的距离之积为定值，并求出

该定值.

221

11.已知椭圆C:1r+:=1(a>8>0)的右顶点(2,0),离心率e=5.

⑴求曲线C的方程；

(2)设斜率为4的直线/交x轴于T,交曲线C于A,8两点，是否存在左使得+忸邛为定值，若存在,

求出左值；若不存在，请说明理由.

22

12.已知双曲线cj-弧=1(。>0/>0)的渐近线方程为>=±瓜，过其右焦点厂且垂直于无轴的直线与

C交于A,B两点,M|AB|=6.

⑴求C的方程.

(2)设尸(%,%)为C上的动点，直线/：誓-咨=1与直线A3交于点与直线x=f(与直线A3不重合)

ab

\MF\

交于点N.是否存在r,使得岛为定值？若存在，求f的值，若不存在，请说明理由.

13.在平面直角坐标系xOx中，P,。是抛物线C:Y=y上两点(异于点。)，过点尸且与C相切的直线/

交x轴于点且直线。。与/的斜率乘积为-2.

⑴求证：直线尸。过定点，并求此定点。的坐标；

⑵过M作/的垂线交椭圆?+y2=i于A,8两点，过O作/的平行线交直线A3于H,记△。尸。的面积为

S,△ABD的面积为T.

①当「取最大值时，求点P的纵坐标；

②证明：存在定点G,使IGH|为定值.

14.己知椭圆C:三+y2=i,A,8是椭圆上的两个不同的点，。为坐标原点，A0,8三点不共线，记AOB

的面积为SAOB

⑴若OA=（外,乂）,。3=（无2，%）,求证：SAOB=；忧%-%%|；

（2）记直线04,08的斜率为匕&，当左心=-；时，试探究S九B是否为定值并说明理由.

第十节圆锥曲线中的定值问题【解析版】

题型归类

题型一长度或距离为定值

例1(2023•郑州模拟)已知点尸(0,1),直线/：y=4,尸为曲线C上的任意一点,

且|尸用是P到/的距离的;.

⑴求曲线C的方程；

(2)若经过点F且斜率为网上W0)的直线交曲线C于点M,N,线段MN的垂直平

分线交y轴于点H,求证：㈱为定值.

⑴解设尸(x,y),由已知得N%2+(y—1)2=1jy—4|,

22

整理得点十1=1,

此即为曲线C的方程.

⑵证明经过点R且斜率为如two)的直线的方程为y=kx+\,

与曲线C方程联立，消去y整理得(4+3/)/+6右一9=0,

/=36/+4X9X(4+3R)=144(1+R)>O恒成立，

设M(xi，")，N(X2,yi),

则，》1+%2=一了若后，

%-1-%23k4

设线段MN的中点为T(%o,yo),则xo~=一4।3Pyo=fcw+1=4।3记，

线段MN的中垂线的斜率为一J,

K

其方程为y—春=—1》+7事)，

令x=0,解得［=4+37,

即为点H的纵坐标,

.13(1+R)

・.尸”|=1—4+3产=4+3左2

3(1+后)

\FH\4+3R1,、d

,而切=返亘王互=a(为定值)•

-4+3产-

感悟提升探求圆锥曲线中的定线段的长的问题，一般用直接求解法，即先利用

弦长公式把要探求的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)

得到弦长表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化

简可得弦长为定值.

训练1已知抛物线C：y2=2px(p>0),其焦点为R。为坐标原点，直线/与抛

物线C相交于不同的两点A,B,M为A3的中点.

(1)若p=2,〃的坐标为(1,1),求直线/的方程.

⑵若直线/过焦点RA3的垂直平分线交x轴于点N,求证：号鬻为定值.

(1)解由题意知直线/的斜率存在且不为0,

故设直线/的方程为x—1=0一1)

即设A(%i,yi),B(%2,/).

x=ty~\~1一t,

由彳9得；49一4+由=0,

l/=4x,

：.A=16116-16t=16(1+1)>0,

丁1+券=4%,/.4/=2,即

・••直线l的方程为2x~y—1=0.

(2)证明•・•抛物线C：y2=2px(p>0),

...焦点R的坐标为g,0).

由题意知直线I的斜率存在且不为0,

,直线I过焦点F,故设直线/的方程为》=什+宗样0),

设A(xi,yi),3(x2,yi).

由，"2得,2一22"一^2=0,

y=2px,

.".yi-\-y2=2pt,J=4/?2?+4/?2>0.

.,.xi+x2=(yi+y2)+p=2pF+p,

'.N/^pt1+^,ptj.

...MN的方程为y~pt=—^x—pi2—^.

令y=0,解得%二0户+乎，°)，

\MN\2=p2+p2t2,|川=夕尸+当一^=夕尸十夕,

.21MM22(p2+p2p)

**\FN\=—pfi+p—=2p,为定值.

题型二斜率或代数式为定值

例2如图，椭圆E：2+%=1(。>°>°)经过点A(0，—1)且离心率为坐.

(1)求椭圆E的方程；

(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,。(均异于点

A),证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.

⑴解由题设知:半，b=l,

结合/=〃+C2,解得。=近，

所以椭圆E的方程为，+产=1.

(2)证明由题设知直线PQ的方程为

%2

y=k(x—1)+1(^2),代入爹+丁=1,

得(1+2F)——4k(k—1)x+2-左一2)=0,

由已知/>0,设尸(xi,yi),2(x2,丁2),

4k(左一1)2k(左一2)

X1X2W0,则Xl+x2=

1+2MX1X2=]+2如，

从而直线AP,AQ的斜率之和为履P+乂0=上丑+型斗

JC1JC2,

kx\-\-2—k,kx2-\-2—k,(1।,xi-\-X2

=------------+-------------=2k+(2-ki-+-\=2k+(2~k)--------

XIXI7\X1W'7X1X2

4k(左一1)

=2左+(2一左)。/7/、-=2左一2/—1)=2(即为定值).

ZK—1)

感悟提升在证明一条直线斜率或两条直线斜率和，差或者积与商为定值的问题

中，我们需要先将斜率表示出来，然后利用相关量之间的关系式化简即可.

训练2(2023・武汉模拟)已知椭圆C：3+5=1(。＞。＞0)的左、右焦点分别为Fi,

F2,过点后的直线/交椭圆于A,3两点，交y轴于点胆，若尸1刑=2,AABF2

的周长为8.

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)M4=Am,MB=nF\B,试分析丸+〃是否为定值，若是，求出这个定值，否

则，说明理由.

解(1)因为△ABB的周长为8,

所以4a=8,解得〃=2,

由尸匹|=2,得27a2—。2=2y4—廿=2,

所以b2=3,

?2

因此椭圆C的标准方程为作+5=1.

(2)由题意可知直线/的斜率存在，

设直线I的方程为y=k(x+l),

y=k(x+1),

由

整理得(3+4F)N+8左2%+4产—12=0,

显然/＞0,

设A(xi,yi),3(x2,yi),

(,8心

项+股=一而F'

则q

4MT2

X1X2=I+4F-

设M(0,k),又0),

所以M4=(xi,yi-k),FiA=(xi+1,yi),

则f

同理可得Af3=(x2,y2-k),FIB=(X2-\-1,yi),

X2

则

XI.X2XI(X2+1)+%2(XI+1)

所以2+〃=

XI+1X2~\-1(XI+1)(X2+1)

4左2—128s

2x1x2+xi+l23+4F3+4左2

xix2+xi+x2+14k2—128k2

1

3+4产3+41c

8^—24—8产-248

—4F—12—8/+3+4产—-9—3'

所以7+〃为定值/

题型三几何图形的面积为定值

一X2

例3在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:1+>2=1,点尸(xi,yi),2(X2,

XI)

>2)是椭圆C上的两个动点，直线OP,0Q的斜率分别为ki,ki,若m=5,切,

n=~2~9TTl'Tl~0.

⑴求证：krk2=一占；

(2)试探求△OPQ的面积S是不是定值，并说明理由.

⑴证明'：ki,匕存在，••.X1X2W0,

•〃/•〃=(),••一1一+，1，2=0,

1

“5方4,

⑵解是.理由：当直线PQ的斜率不存在,

即xi=x2,yi=—"时，

由煎__不得4—尤一°，

Y?

由P（xi,yi）在椭圆。上,得号+才=1,

••S/\OPQ=~^\xi\t\yi_*1=1.

当直线PQ的斜率存在时，易知直线PQ的斜率不为0,

设直线PQ的方程为y=kx+b(k^0).

y—kx~\~b,

由得(4F+l)f+8她x+4〃一4=0,

%+y=i，

~8kb4尻一4

Xl+%2=41+1'丁丁=4尸+「

..XIX2,

-4+yi>2—0,

X]X2

/.+(kxi+b)(kx2+/?)=0,

得2反一4标=1,

满足/=64於反一4（4标+1）（4廿一4）=16（4上2+1—〃）〉（）,

1IAI1-------A/4A;2+1——b2

SA0PQ=1^^^|PQI=/N（X1+X2）2—4XIX2=2瓦Y4左2+1-=1.

...△OPQ的面积S为定值.

感悟提升探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即

可先利用三角形面积公式（如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求

解）把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的

面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式

中，化简即可.

训练3(2023•重庆诊断节选)已知椭圆E：g+f=i.若直线/交椭圆石于MN两

点，直线0M的斜率为直线ON的斜率为左2,且依近=—今证明：丛OMN

的面积是定值，并求此定值.

证明当直线/的斜率不存在时,

设直线/：x=t（-3<t<3且f关0）,

.户1’得41苔,

由,

i9

则kiki=g,解得/=£.

,r,,3

所以SZ\OMN=1X2Xl-g-\t\=2-

当直线/的斜率存在时，设M(%i,yi)9Ng闻，直线/：y=kx+m(m^0)9

y=kx-\-m9

由行消去y并整理,

j+/=1

得（9庐+l）x2+lSkmx-\-9m2—9=0.

J=（18M2-4（9Jt2+l）（9m2-9）=36（9^-m2+l）>0,

18km9m2—9

Xl+%2

9^+r尤1X2=9左2+1，

yi.2（履1+加）（丘2+加）-9、+加2工

所近xiX2xix29m2-99'

化简得93+1=2机2,满足/>0.

\MN\=d1+/由一九2|=^1+^2-^/（Xl+x2）2—4x1X2

_]8版）29/一96，1+一々9左2——2+1

―9一+”—4Mg庐+广9^+1

又原点。到直线/的距离d=

41+卢

2——2

缶z。13：1+——9/一谒+1\m\3|列42冽3

所以S⑻N=]WAM=n—Q-----------r=^=一黄一=2.

3

综上可知，△OMN的面积为定值］.

题型四圆锥曲线中的伴侣点问题

在圆锥曲线的很多性质中，常常出现一对活跃的点4机，0）和3吟，0），这一对

点总是同时出现在圆锥曲线的对称轴上，形影不离，相伴而行，我们把这一对特

殊点形象地称作圆锥曲线的“伴侣点”.已知〃（机，0）,N（〃，0）（加〃=次）是双曲

线,一，=1（。>0，6>0）的一对"伴侣点”，过点M作与坐标轴不平行的直线

与双曲线相交于A,3两点，则直线A7V和3N与x轴成等角.

可得到圆锥曲线的一个统一和谐性质如下：

已知M,N是圆锥曲线的一对“伴侣点”，

过点”作与坐标轴不平行的直线与曲线相交于A,3两点，则直线AN和3N与

x轴成等角.

例已知点MO,0），N（—加0）（mW0）是抛物线y2=2Qxg>0）的一对“伴侣点”，

过点M作与x轴不平行的直线交抛物线于A,3两点，证明：直线AN和3N与

x轴成等角.

证明因直线过点Mg,0）,

故可设直线的方程为x=m+ny,

将其代入抛*物线方程得，y2—2pny—2pm=0,

设A（»,yi）,B（X29yi）9

则丁1+丁2=2〃〃，yiy2=-2pm9

又点A,5在直线AB上，

所以xi=m+nyi,X2=m-\-ny2,

yi+券yu：2+y2Xi+M(yi+y2)

所以kAN~\~kBN

xi+mX2-\-m(xi+m)(x2+m)

又y1X2+yix\+m(yi+y2)=yi(m+nyi)+”(加+“yi)+m(yi+”)

=i,2+2m(yi+y2)=2n-(一2pm)-\-2m-2pn=0,

所以fcw+左BN=O,

即直线AN和BN关于x轴对称，

所以直线AN和BN与x轴成等角.

训练设椭圆C：弓+f=i的右焦点为R过R的直线/与C交于A,3两点,

点M的坐标为(2,0).

(1)当/与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设。为坐标原点，证明：ZOMA=ZOMB.

(1)解由已知得网1,0),/的方程为x=l.

r2

把X=1代入椭圆方程,十丁=1,

可得点A的坐标为［1,坐)或11,一半)

又M2,0),

所以AM的方程为y=—乎》+啦或y=^x—\/2.

(2)证明当/与x轴重合时，ZOMA=ZOMB=0°.

当/与x轴垂直时，。“为A5的垂直平分线，

所以NOMA=NOMB.

当/与x轴不重合也不垂直时，

设/的方程为y=k(x—1)(左WO),A(xi,yi),3(x2,斐),

则》〈也,X2<®直线的4,MB的斜率之和为历必+依〃=/+言.

,2kxixi—3k（xi+%2）+4左

=

由yi=kxi—k,yz=kx2—k得KMA+KMB（刈―？）一（X2—2）,

将丁=网1一1）代入:|_+歹2=1得（2左z+Df—dFx+ZF—ZuO.

止2-一2

所以Xl+X2=

21^+VX1X2=2^+r

e,4R—4左一12R+8R+4左

则2kx1X2—3^（xi+x2）+4k=21c+1=。

从而上MA+左MB=O,故MA,MB的倾斜角互补,

所以NOMA=NOMB

综上，ZOMA=ZOMB.

课时作业

一、多选题

I.在棱长为2的正方体ABCO-ABGA中，。为正方形421G2的中心，尸为线段co上的

一点，则下列说法正确的是（）

A.存在点尸，使得出=尸8

B.三棱锥A3。尸的体积为定值

C.的面积的最小值为百

D.线段48上存在点Q,使得尸且尸QLOC

【答案】ABC

【分析】建立空间直角坐标系，选项A,根据P为线段CO上的一点，设CP=/IC。得P点坐

标，

选项A判断pA|=|P,成立时尸是否存在即可；

选项B因.A3。面积不变，只需判断P到平面34。的距离是否为定值即可；

选项C因A18的长度不变，要求的面积的最小值，只需求尸到48的距离的最小值即

可；

选项D可类似P点坐标的求法，先设Q点坐标，根据垂直向量数量积为0,判断P点、。点

是否存在即可.

如图建立空间直角坐标系，

选项A：r＞（0,0,0）,a（2,0,2）,5（2,2,0）,C（0,2,0）,0（1,1,2）

若存在P点，因P为线段CO上，可设CP=2CO=2（L-l,2）=（4T,24）,2e[0,l]

故P点坐标为（42-几24）,

2

^PAl=PB,贝!|（4_2）2+（2-2）+（24-2）2予―2）?+（-^

得故存在尸点，A正确；

选项B：

取30的中点a,则a（i』,o）,

AO1=（-1,1,-2）,OC=（-l,l,-2）,所以Aa=OC,

故aa〃OC,又A01U平面BAQ,0cz平面BA。，

所以OC〃平面54Q,

因P为线段CO上，故P到平面BAQ的距离不变，

故三棱锥\-BDP的体积为定值，B正确.

选项C：

由选项A知2尸=（几一2,-A,22）,g=（0,-2,2）,

.2J~________________

P到”的距离为:"=卜『-年『水-2）2+（-行+（2行*+4

PA3的面积的最小时，d取最小值，

根据二次函数的性质，当a=1时，d取最小值为迈，

2

此时的面积为:X|A@X,=；X2忘x,=6,故C正确

选项D：

若Q存在，设台。：〃%：^。,-2〃,？"），z/e[O,l]

则。（2,2—2〃,2〃），

则PQ=（2—4,4—2//,2〃一22）,

因PQLA/,PQYOC

PQAiB=O

所以

PQOC^O

12（2-2〃）-2（2〃-2幻=。

।[-（2-2）+（2-2//）+2（2//-2A）=0，

（A=-4

[〃=一3，

不合题意，故D错误.

故选：ABC

2.已知点A,B在圆O：Y+y2=4上，点尸在直线/：2x+y-5=0上，则（）

A.直线/与圆。相离

B.当AB=2指时，国+画的最大值是2石+2

C.当以，PB为圆。的两条切线时，（。4+。8）。尸为定值

D.当小，依为圆。的两条切线时，直线A8过定点。J

【答案】AC

【分析】利用点到直线的距离判断A；取A8中点。，由线段长判断B；由Rt△240中,

|OP|cosZPOA=|。4],同理如cosZPOB=网，结合数量积的定义可判断C；求出直线A8

的方程判断D作答.

一|-5|I-

【详解】对于A,因为。到直线/的距离）==下＞2,即直线/与圆。相离，A正确;

V22+l2

对于B,令AB的中点为则OD_LAB,|0D|==5与=1,

点。在以。为圆心，1为半径的圆上，

\PA+PB\=\2PD\=2.\PD\,显然当P在/上运动时，|尸。无最大值，B不正确;

对于C,当尸AP2为切线时，PALOA,PBrOB,

所以在RtAPAO中，|oP|cosNPOA=|Q4],

同理]。尸|cosZPOB=|OB|,

(CM+OB)-OP=|OA|•|(?p|cosZPOA+|(?B|-|OP|COSZPOB

=|OA|-104cosZPOA+\OB\.|6>P|COSNPOB=+\OB^=8,故C正确.

对于D,设尸(。,5-2°),当尸4尸8为切线时，PA±OA,PB±OB,

点A,8在以OP为直径的圆上，

此圆的方程为x(x-a)+>(y-5+2a)=0,于是直线A8为ax+(5-2“)y=4,

即a(x-2y)+5y-4=0,

所以直线A3过定点D不正确.

故选：AC.

二、解答题

3.已知椭圆C：+，=1(。>6>0)的离心率e=；,且经过点41-1,一"|

(1)求椭圆E的标准方程;

⑵如果斜率为1的直线EF与椭圆交于两个不同的点E、F,试判断直线AE、的斜率之

和是否为定值，若是请求出此定值；若不是，请说明理由.

⑶试求三角形A"面积S取得最大值时，直线EF的方程.

22

【答案】(1)?+(=1

⑵直线AE、AF的斜率之和是为定值0

.1「1+后

【分析】(1)由题意可得e=£=〈，(-1)2,/=/+°2,求解即可；

a2b2

(2)设£&,芳),网孙％),直线班1的方程为：y=g尤+根，联立椭圆方程消元，结合韦

(M+%)=-m/、

达定理可得一2°，设A5,%),代入

［玉/=m—3/

七+加=皿+上^=5一%”2一玄(％7严一%)整理可得；

玉一百)X2-XQ(玉一式0)(%2一%0)

(3)利用弦长公式求得国司=日112-31,利用点线距离求得点A到直线E尸的距离

l+m1._______339

dJ非\,从而求得S=—J12—3机2|加+1,设/(机)=—=——机4——m3+_加2+6根+3,求

导判断单调性，从而可求得最大值，即可求解.

【详解】(1)由题意，e=£==，

a2

椭圆c经过点/一1,一小，H(-I)21一£|

12)2-+U=1

ab

22

又°2=/+°2,解得/=3,/=4,所以椭圆方程为L+匕=1.

43

(2)设以百,%),尸(无2，%)，直线所的方程为：y=；尤+根，

22

代入土+匕=1,得：X2+mx+m2—3=0.

43

A=疗-4(疗-3)>0即一2<利<2,且卜十*;二.

\)［玉兀2=根