2025版高中数学一轮复习情境试题创新练二三角函数及解三角形理含解析新人教A版VIP

PAGE情境试题创新练(二)三角函数及解三角形1．广场上有一盏路灯挂在高9米的电线杆顶上，记电线杆的底部为A，把路灯看作一个点光源，身高1.5米的女孩站在离A点5米的点B处，女孩以5米为半径围着电线杆走一个圆圈，人影扫过的面积约是(π取3.14)()A．30.166m2 B．C．34.54m2 D．【解析】选C.如图所示，设BP＝x，依据题意知，eq\f(x,x＋5)＝eq\f(1.5,9)＝eq\f(1,6)，解得x＝1，所以人影扫过的面积约是S＝π(62－52)≈3.14×11＝34.54(m2).2．南山中学红豆园内的红豆树已有百年历史．百年红豆树，十年树一花．时间流转，红豆花开，读书爱国的气息随着花开风起．如图，小明为了测量红豆树高度，他在正西方向选取与红豆树根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得红豆树根部C在西偏北30°的方向上，步行40米到B处，测得树根部C在西偏北75°的方向上，树梢D的仰角为30°，则红豆树的高度为()A．10eq\r(6)米 B．20eq\r(3)米C．eq\f(20\r(3),3)米 D．eq\f(20\r(6),3)米【解析】选D.依据题图知，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，AB＝40，由正弦定理得，eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(40,sin45°)，解得BC＝eq\f(40×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝20eq\r(2)，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，所以CD＝BCtan30°＝20eq\r(2)×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(20\r(6),3)，所以红豆树的高度为eq\f(20\r(6),3)米．3．德国闻名天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．假如把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”现将底与腰之比或腰与底之比为eq\f(\r(5)－1,2)的等腰三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°或108°的等腰三角形．如图，△ABC，△BCD，△ADE都是黄金三角形，若AB＝2，则DE的大小为()A．eq\r(5)－1B．eq\f(\r(5)＋1,2)C．2D．eq\r(5)＋1【解析】选C.由题意eq\f(BC,AB)＝eq\f(\r(5)－1,2)，即BC＝eq\r(5)－1，因为eq\f(BC,DC)＝eq\f(\r(5)－1,2)，所以DC＝2，由题意黄金三角形是一个顶角为36°或108°的等腰三角形，可知∠A＝36°，△ABC是等腰三角形，所以∠CBD＝108°，△BCD是等腰三角形，则∠BCD＝36°，那么∠ECD＝72°，因为△ADE是黄金三角形，所以∠CED＝72°，则DC＝DE，所以DE＝2.4.珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压始终在进行，珠穆朗玛峰的高度也始终在改变．由于地势险峻，气候恶劣，通常采纳人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采纳了分段测量的方法，从山脚起先，直到到达山顶，再把全部的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2024年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员起先新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知直立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A，B的高度差约为(sin70°≈0.94)()A．10米B．C．9.40米D．【解析】选C.依据题意画出如图的模型，则CB＝10，∠OAB＝70°，∠OAC＝80°，所以∠CAB＝10°，∠ACB＝10°，所以AB＝10，所以在Rt△AOB中，BO＝10sin70°≈9.4(米).5．刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n很大时，用圆内接正n边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率π≈3.1416.在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不行割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想．运用此思想，当π取3.1416时可得sin1°的近似值为()A．0.00873B．0.01745C．0.02618D．0.03491【解析】选B.将一个单位圆分成180个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为2°，由垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长AB＝2AC＝2×1×sin1°＝2sin1°，因为这180个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长所以180×2×1×sin1＝360sin1°≈2π，所以sin1°≈eq\f(2π,360°)≈eq\f(2×3.1416,360)≈0.01745.6．将一条匀称松软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形态叫悬链线，例如悬索桥等．建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为f(x)＝acosheq\f(x,a)，其中a为悬链线系数，coshx称为双曲余弦函数，其函数表达式为coshx＝eq\f(ex＋e－x,2)，相应地双曲正弦函数的函数表达式为sinhx＝eq\f(ex－e－x,2).若直线x＝m与双曲余弦函数C1和双曲正弦函数C2分别相交于点A，B，曲线C1在点A处的切线与曲线C2在点B处的切线相交于点P，则()A．y＝sinhxcoshx是偶函数B．cosh(x＋y)＝coshxcoshy－sinhxsinhyC．|BP|随m的增大而减小D．△PAB的面积随m的增大而减小【解析】选D.对于选项A：y＝sinhxcoshx＝eq\f(e2x－e－2x,4)是奇函数，所以A错误；对于选项B：coshxcoshy－sinhxsinhy＝eq\f(ex＋e－x,2)·eq\f(ey＋e－y,2)－eq\f(ex－e－x,2)·eq\f(ey－e－y,2)＝eq\f(ex＋y＋e－x－y＋ex－y＋ey－x,4)－eq\f(ex＋y＋e－x－y－ex－y－ey－x,4)＝eq\f(ex－y＋ey－x,2)＝cosh(x－y)，所以B错误；对于选项C，D：设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(em＋e－m,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，\f(em－e－m,2)))，由曲线C1在点A处的切线方程为：y－eq\f(em＋e－m,2)＝eq\f(em－e－m,2)(x－m)，曲线C2在点B处的切线方程为：y－eq\f(em－e－m,2)＝eq\f(em＋e－m,2)(x－m)，联立求得点P的坐标为(m＋1，em)，则|BP|2＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(em－\f(em－e－m,2)))eq\s\up12(2)＝1＋eq\f(（em＋e－m）,4)，S△PAB＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)e－m，所以|BP|随m的增大而先减小后增大，△PAB的面积随m的增大而减小，所以C错误，D正确．7．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平．他在著作《数书九章》中叙述了已知三角形的三条边长a，b，c，求三角形面积的方法．其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))\s\up12(2)))).已知△ABC的三条边长为a，b，c，其面积为12，且a2＋c2－b2＝14，则△ABC周长的最小值为()A．12B．14C．16D．18【解析】选C.由已知：S＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2)))\s\up12(2))))①，且a2＋c2－b2＝14②，S＝12.由将②式代入①式得：12＝eq\r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(14,2)))\s\up12(2))))⇒ac＝25，所以△ABC周长＝a＋c＋b＝a＋c＋eq\r(a2＋c2－14)≥2eq\r(ac)＋eq\r(2ac－14)＝16.取等条件a＝c＝5，b＝6，故周长的最小值为16.8．在高辨别率遥感影像上，阴影表现为低亮度值，其分布范围反映了地物成像时遮光状况的二维信息，可以通过线段AB长度(如图：粗线条部分)与建筑物高度的几何关系来确定地表建筑物的高度数据．在不考虑太阳方位角对建筑物阴影影响的状况下，太阳高度角、卫星高度角与建筑物高度、线段AB的关系如图所示，在某时刻测得太阳高度角为β，卫星高度角为α，阴影部分长度为L，由此可计算建筑物的高度为()A．eq\f(L（tanα－tanβ）,tanα·tanβ) B．eq\f(Ltanαtanβ,tanα－tanβ)C．eq\f(Ltanαtanβ,tan（α－β）) D．eq\f(Ltan（α－β）,tanαtanβ)【解析】选B.如图所示：由于CD⊥BD，所以在Rt△ACD中，tanα＝eq\f(y,x).在Rt△BCD中，tanβ＝eq\f(y,x＋L)，所以eq\f(tanα,tanβ)＝eq\f(x＋L,x)，解得x＝eq\f(Ltanβ,tanα－tanβ)，所以y＝eq\f(Ltanαtanβ,tanα－tanβ).9．已知南北回来线的纬度为23°26′，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|φ－δ|.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值，假如在北半球某地(纬度为φ0)的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于________(结果用含有h0和φ0的式子表示).【解析】θ＝90°－|φ－ξ|＝90°－|φ0－(－23°26′)|，所以eq\f(h0,影长)＝tanθ，所以影长＝eq\f(h0,tanθ)＝tan(φ0＋23°26′)·h0.所以两楼的距离应不小于tan(φ0＋23°26′)·h0.答案：tan(φ0＋23°26′)·h010．下面是一半径为2米的水轮，水轮的圆心O距离水面1米，已知水轮自点M起先以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点M距水面的高度d(米)(在水平面下d为负数)与时间t(秒)满意函数关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋1(A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))，则函数关系式为________．【解析】由题意知水轮的半径为2，水轮圆心O距离水面1，所以A＝2；又水轮每分钟旋转4圈，所以转一圈须要15秒，所以T＝15＝eq\f(2π,