2025年高考数学一轮复习：函数的概念及其表示（十六大题型）（练习）（解析版）

第01讲函数的概念及其表示

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：函数的概念.............................................................................2

题型二：同一函数的判断........................................................................3

题型三：给出函数解析式求解定义域..............................................................5

题型四：抽象函数定义域........................................................................6

题型五：函数定义域的综合应用..................................................................8

题型六：待定系数法求解析式....................................................................9

题型七：换元法求解析式.......................................................................10

题型八：方程组消元法求解析式.................................................................12

题型九：赋值法求解析式.......................................................................14

题型十：求值域的7个基本方法.................................................................15

题型十一：数形结合求值域.....................................................................19

题型十二：值域与求参问题.....................................................................21

题型十三：判别式法求值域.....................................................................23

题型十四：三角换元法求值域...................................................................25

题型十五：分段函数求值、求参数问题...........................................................27

题型十六：分段函数与方程、不等式.............................................................28

02重难创新练.................................................................30

03真题实战练.................................................................36

题型一：函数的概念

1.已知M={x|0VxW2},N={y|0WyV2},在下列四个图形中，能表示集合M到N的函数关系的有（）

【答案】B

【解析】对A：可得定义域为{xIOWxWl},

所以不能表示集合M到N的函数关系；

对B：可得定义域为{x|OV尤42},值域为{y|04xV2},

且满足一个无对应一个y,所以能表示集合M到N的函数关系；

对C：任意xe{x|04x<2},一个尤对应两个y的值，

所以不能表示集合M到N的函数关系；

对D：任意无e{x|0〈尤V2},一个x对应两个，的值，

所以不能表示集合M到N的函数关系；

故选：B.

2.任给〃4-2,0],对应关系/使方程"2+丫=0的解v与M对应，则v=/（a）是函数的一个充分条件是（）

A.ve[-4,4]B.ve（-4,2]C.ve[-2,2]D.ve[<-2]

【答案】A

【解析】根据函数的定义，对任意“e-2,0],按v=_〃2,在v的范围中必有唯一的值与之对应，"2^0,4],

则w[-4,0],则v的范围要包含[-4,0],

故选：A.

3.函数y=/（x）的图象与直线x=l的交点个数（）

A.至少1个B.至多1个C.仅有1个D.有0个、1个或多个

【答案】B

【解析】若1不在函数小)的定义域内，y寸x)的图象与直线x=l没有交点，

若1在函数“r)的定义域内，y寸尤)的图象与直线x=l有1个交点，

故选：B.

4.(2024•广东佛山•模拟预测)在平面直角坐标系尤Oy中，以下方程对应的曲线，绕原点旋转一定角度

之后，可以成为函数图象的是()

A.x2+2y2=4B.x2-y2=4

C.x2+y2=4D.(x-l)2+(y-2)2-4

【答案】B

22

【解析】对于A项，因为炉+2丫2=4,所以土+匕=1,

42

所以方程对应的曲线为椭圆，

所以当椭圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故A项不成立；

22

对于B项，因为d-丁=4,所以工一匕=1,

44

所以方程对应的曲线为双曲线，其渐近线为y=±乙

所以当其绕原点旋转g后，其一定是函数图象，故B项成立；

对于C项，因为炉+产=4,所以方程对应的曲线为圆，

所以当圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故C项不成立；

对于D项，因为。-1)2+。-2)2=4,所以方程对应的曲线为圆，

所以当圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故D项不成立.

故选：B.

题型二：同一函数的判断

5.下列各组函数中，表示同一函数的是

A./(x)=l,g(x)=x。

/、II/、x,x>0

B."x)=N，g(x)={

—A,X<U

4

C.f(x)=x+2,^(x)=------

x—2

D.“力=尤超(尤)=(五)

【答案】B

【解析】A、C、D中，/(x)的定义域均为R,而A中g(无)的定义域为xwO,C中g(无)的定义域为xr2,

D中g(x)的定义域为xNO,故A、C、D均错，B中〃力与g(x)的定义域与值域均相同，故表示同一函数，

故选B.

考点：函数的解析式.

6.下列各组函数是同一函数的是()

①/(X)=，一2/与g(x)=尤;②/(%)=尤与g(x)=后；

③/(x)=尤°与g(x)=5；④/(x)=尤？-2x-1与gQ)=/—2r-1.

X

A.①②B.①③C.③④D.①④

【答案】C

【解析】①/(x)=^Aa了与g(x)=x^/与的定义域是{Hx<O},而/(X)=O'=，故这两个函数

不是同一函数；

②/(尤)=》与g(X)=JF的定义域都是R,g(x)=G=|x|,这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故

这两个函数不是同一函数；

③〃x)=x。与g(x)=。的定义域都是{木工0},并且定义域内/(x)=g(x)=l,对应法则也相同，故这两个

函数是同一函数；

④与g(f)=/2-2r-l定义域相同，对应法则相同，是同一函数；

所以是同一函数的是③④.

故选：C.

7.下列函数中与函数y=x相等的函数是()

22

A.y=B.y=y[^C.y=D.y=--

【答案】B

【解析】两函数若相等，则需其定义域与对应关系均相等，易知函数y=x的定义域为R,

对于函数y=(五其定义域为[0,+8),对于函数y=；,其定义域为(-8,0)U(0,4w),

显然定义域不同，故A、D错误；

对于函数y=#7=x，定义域为R，符合相等函数的要求，即B正确；

对于函数t二正二国，对应关系不同，即C错误.

故选:B

8.下列各组函数是同一个函数的是()

3___________

A.y='+%与二=%B.y=与y=x—l

C.y=—^y=xD.y=忖与y=l

XX

【答案】A

【解析】A:函数y=gt^=邛±12=》和'=天的定义域为R,解析式一样，故A符合题意；

x2+lx2+l

B：函数y=J（x-l）2=|尤T与"尤_1的定义域为R,解析式不一样，故B不符合题意；

2

C：函数y=±=x的定义域为{x|xwo},y=x的定义域为R,解析式一样，故C不符合题意；

X

D：函数>=忖=±1的定义域为{#wO},y=l的定义域为R,解析式不一样，故D不符合题意.

X

故选：A

题型三：给出函数解析式求解定义域

9.已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2无，则函数的定义域为（）

A.{x|x£R}B.{x|x>0}

C.{x|0<%<5}D,卜g<x<5,.

【答案】D

x>0,

【解析】由题意知"。一2x>0,解得g<x<5

2x>10-2x,

即定义域为卜无<5，.

故选：D.

10.函数/（月=7餐的定义域为.

【答案】［0,3）53，-）

【解析】由题意自变量x应满足厂”：…解得xNO且xw3,

所以函数〃x）=正的定义域为［0,3）53,"）.

x-3

故答案为：［。,3）。（3,田）.

11.（2024•四川南充•三模）函数〃幻=反三的定义域为.

【答案】［Tl）U（l，4］

【解析】因为“X）

所以16-％2之0且x-lwO,

解得-4KxW4且九wl,

故函数的定义域为［T1）L（1,4］.

故答案为：［T1）U（L4］

12.函数，（无）=lg（x+3）+-^的定义域为___.

x+2

【答案】（一3,—2）“_2,4W）

x+3>0

【解析】函数〃x）=lg（x+3）++的定义域满足解得X>-3且,

尤+2wO,

故函数“X）的定义域为（-3,-2）"-2,"）.

故答案为：（-3,-2）。（-2,包）.

13.函数小）=川氏（：+3）-1+:的定义域为——■

【答案】（TO）“。,”）

【解析】函数〃耳=丁JJ：的定义域满足:］log2（x+3\l>0,

Jlog2（尤+3）-1x［x/O

解得x>—1且xw0.

故答案为：（-l,O）u（O,+a））.

题型四：抽象函数定义域

14.若函数f（2）的定义域为［0,2］,则函数f（4「£）的定义域为.

【答案】［0』

【解析】对于『（2'）,因为0WxW2,所以由y=2”的单调性得2°42,W22,即142工44,

所以对于有1V4JM4,即4044-"4，，

由y=4"的单调性得OVl-xVl,解得OMxWl,

所以f（4I）的定义域为［0』.

故答案为：［0』.

15.已知函数“X）的定义域是［0,4］,则函数>=芈曹的定义域是__.

Vx-2

【答案】（2,5]

解得：2<X<5,.•.》=^^^的定义域为（2,5].

【解析】由题意知:

故答案为：（2,5].

16.已知函数的定义域为[-2,2],则函数尸（£）=胄，的定义域为（）

A.[-3,1]B.[-3,0)5。』

C.(-l,O)u(O,l)u(l,3]D.[-3,-l)u(-l,O)u(O,l)

【答案】D

【解析】由题意可知，要使厂⑴有意义,

-2<x+l<2-3<x<1

只需要■x>。解得V"0

x#1-1,且xw1

所以xe[-3,—I）”-1,。）"。[），

所以函数网x）的定义域为[-3,-1）5-1,0）50,1）.

故选：D.

17.已知函数y=〃2x）的定义域为—*2]，则函数y=；：；；；的定义域为（）

7

A.[0,-]B.[-3,-1)(-1,4]

C.(-2,4]D.

【答案】D

【解析】由函数y=〃2x)的定义域为得2xe[-3,4],

f-3<l-x<4

因此函数y=,"中,\x+2>0,解得一2<xv—l或一l<x44,

ln(x+2)

尤+2wl

所以函数"送得的定义域为（-2,-1）（-1,4].

故选：D

题型五：函数定义域的综合应用

18.若函数〃x）=业主区的定义域为［3,内），则实数〃=实数》的取值范围

x-b

【答案】-3b<3

/।Z,［x+a>0x>-a

【解析】因为函数/（耳=A矍r/■的定义域为贝I

x手b

而函数〃x）=4号的定义域为［3,+8）,

所以一q=3,b<3,gpa=-3,b<3.

故答案为：-3；b<3.

19.函数/1（x）=lg（欣^m+i）的定义域为R,则实数机的取值范围是.

【答案】［0,4）

【解析】由函数/（尤）=炮（，/+如+1）的定义域为区，

得VxwR,znx?+znx+l>0T旦成立.

当机=0时，1〉0,成立；

fm>0,

当相。0时，需满足<24八于是0<机<4.

［m-4m<0,

综上所述，〃z的取值范围是［0,4）.

故答案为：［0,4）.

20.若函数/（尤）=lg32-2x+f）的定义域为R,则〃的取值范围是（）

4

A.（-oo,-2）B.（-oo,2）C.（2,+oo）D.（-2,+oo）

【答案】C

【解析】•••函数/。）=坨32一2X+9的定义域为R,

所以--2%+@>0恒成立，

4

当a=0时，-2x>0显然不合题意，

a>0

a>2

综上所述，£（2,+8）

故选：C.

1

21.已知函数“无)=的定义域为凡则。的范围是

J(a-1)元2+(a-])尤+]

【答案】口,5)

【解析】有函数解析式知要使/(x)定义域为R,贝色(彳)=(°-1)1+(°-1)x+1>()恒成立，结合二次函数的性

质即可求参数a的范围.当。=1时，/W=l,即定义域为R；

当“1,要使/(x)的定义域为R,贝[]g(x-(a-l)x+l>0在xeR上恒成立,

tz—1>0

"{A=(a-l)2-4(a-l)<0解得lea<5,

综上，Wl<a<5,

故答案为：口,5)

题型六：待定系数法求解析式

22.已知函数/⑴是二次函数，且满足了(2x+l)+/(2x-l)=16/一4X+6,则/(刈=.

【答案】2尤2一x+1

【解析】设二次函数〃"=依2+云+44片0)

已知二次函数/(%)满足/(2x+l)+/(2x-1)=16J;2-4%+6

即：tz(2x+l)2+Z?(2x+l)+c+a(2x—I)?+Z?(2x—l)+c=16x2-4x+6

Sa=16〃=2

可得：4。=-4,解得“1

2a+2c=6c=l

则/(x)=2x2-x+1

23.若〃元)是R上单调递减的一次函数，且/[fa)]=4x-l,贝lj〃x)=.

【答案】-2x+l

【解析】因为八％)是R上单调递减的一次函数，所以可设f(x)=&+6/<0),

所以/[/(x)]=左•/(%)+/?=k(kx+b)+b=k2x+kb+b,

又因为/[/(%)]=4x—1,所以上2%+妨+8=4%—1恒成立，

上2-4

所以,>因为/<°，所以々=-2，b=\.

kb+b=-\

所以f(x)=-2x+l.

故答案为：-2x+l

24.已知二次函数/(x)的图象经过点(-3,2),顶点是(-2,3),则函数/(x)的解析式为.

【答案]f(x)=-九2一4%-1

【解析】根据顶点为(-2,3),设/(%)=〃(％+2)2+3(〃。0),

由/(%)过点(-3,2),得2=QX1+3

解得a=-lf

0X以f(x)——(JV+2)2+3=-12—4x—1

故答案为：f(x)=-x2-4x-1

25.已知"％)是一次函数，且满足3/(%+1)—2〃x—1)=2%+17,求"1)=—.

【答案】2x+7

【解析】因为〃力是一次函数，设/⑴=冰+跳"。),

因为3〃%+1)-2〃1-1)=2%+17,

所以3[a(x+l)+。]—2[a(x—1)+。]=2x+17,

整理可得双+5a+8=2x+17,

所以，[a=.2,,可得[匕a=2

[5〃+。=17[b=7

所以〃x)=2x+7,

故答案为：2x+7.

26.已知定义在R上的函数Ax)对任意实数x,>,恒有/■(元)/(y)=f(x+y),并且函数/(刈在R上单调递

减，请写出一个符合条件的函数解析式.(需注明定义域)

【答案】/(x)=(；),(不唯一)

【解析】由题意例如〃X)=(；)x

“x)/(y)=g，g：=']’=/(无+y)

且在R上单调递减

故答案为：/(X)=(f"(不唯一)

题型七：换元法求解析式

27.(2024•高三•上海黄浦•开学考试)已知〃sinx)=sinY+l,则函数的解析式为/⑺=.

【答案】x+l,xe[-l,U

【解析】依题意,令sinUl],则/⑺=t+l,

所以函数/（X）的解析式为〃x）=x+l,xe[Tl].

故答案为：尤

28.已知函数/（X）满足/（2苫+1）=4/+3,则/'（尤）=1.

【答案】x2-2x+4

【解析】令f=2x+l,贝[|x=厅,

所以/⑺=4(]>+3=/—2/+4,

故/(了)=/-2X+4,

故答案为：X2—2x+4.

21(

29.(2024•全国•模拟预测)已知/(3)=5,则/*

x+113,

【答案】1/2.5

【解析】由题意得，〃3，）=S,

X+1

令3*=@,由"=3」，得尤=二,

332

故答案为：—■

30.已知/（无）是定义域为R的单调函数，且/（〃x）-3x）=4,若2"=log/=c,则（

A./(«)</(/?)</(c)B./(/?)</(c)</(o)

C.f(o)</(c)</(/?)D.f(c)</(Z?)</(o)

【答案】C

【解析】由已知/(〃%)一3%)=4,令”/(力一3%，

又因为/（元）是定义域为R的单调函数.

所以存在唯一fwR,使/⑺=4,即/（x）=3x+r,

所以『"）=4=4,解得"1,

所以f（x）=3x+l.

如图所示作出y=2工与y=logzx的图象,

因为它们互为反函数，则图象关于直线y=%对称，

由2"=log2b=c>0,

在图中作直线y=。，则与y=2-y=X,y=log2x的交点的横坐标依次为a,c,b,

可得avc<Z?,

又因为〃x)=3x+l是单调递增的,

所以“。)</(。)</伍)，

故选：C.

题型八：方程组消元法求解析式

31.函数“X)是一个偶函数，g(x)是一个奇函数，且〃x)+g(x)=一则〃力等于(

X-L

B•言2x

A.-zD.—

X2-1x2-l

【答案】A

【解析】因为函数/(x)是偶函数，函数g(x)为奇函数，则〃r)=〃x),g(-x)=-g(x),

由f(X)+g(%)=-^-7可得f(一无)+g(一无)=>即/(X)—g(X)=-，

X-L—X—iX+L

〃x)+g(x)=2

所以，,解得〃尤)=丁7,其中X*±l,

/(x)-g(x)=-—!

故选：A.

32.设定义在(0,+e)上的函数g(x)满足g(x)=2«-g-1,贝ljg(%)=

【答案】^4x+—{x>0)

【解析】因为定义在9+⑹上的函数g(x)满足g(x)=24—g]£|-l,

将X换成,可得：g(-)=^g(x)-l,将其代入上式可得:

所以g(x)=g«+g(x＞。)，

故答案为：+](尤＞0).

33.若对任意实数x,均有〃x)-2/(-x)=9x+2,求/(x)=

【答案】3x-2/-2+3x

【解析】•♦•/(x)-2/(-x)=9x+2(1)

••.〃f)-2〃x)=9(f)+2(2)

由⑴+2x⑵得—3/(%)=—9x+6,

f(x)=3x-2(xeR).

故答案为：3x-2.

34.已知2/(X)+/[£|=X(XW0),求/(x)的解析式

1

【答案】/(X)=—■——,xe(-oo,0)u(0,+oo).

35x

消去了[口解得〃尤)=卓一4，xe(—,0)50,心)

I犬，3DX

Oy1

故答案为：/(-x)=---—,xe(-＜»,0)u(0,+oo).

33x

35.已知函数f(x)满足/(x)+2/(-x)=2x+3,贝ij/(x)=

【答案】-2x+l/l-2x

【解析】H^/«+2/(-x)=2x+3©,

所以f(-x)+2/(尤)=2•(-无)+3②，

②x2—①得，f(x)=-2x+l.

故答案为：-2x+l.

题型九：赋值法求解析式

36.设函数〃尤)的定义域是(0,+句,且对任意正实数天,y,都有/(个)=〃x)+〃y)恒成立，已知/(2)=1,

则沙一•

【答案】一1

【解析】令>=2,得〃2x)=〃x)+〃2)=〃x)+l,

所以/⑵=〃1)+1=1,解得〃1)=0,

/(i)=/Q]+i=o,解得/1]=一1,

故答案为：-1.

37.已知"％)为定义在R上的奇函数，〃x+2)为偶函数，且对任意的耳，X2G(O,2),玉w%，都有

〃？[伍)<0，试写出符合上述条件的一个函数解析式“力=.

【答案】-sin^x(答案不唯一)

【解析】因为是定义在R上的奇函数，则〃-x)=-/(x),且"0)=0,

又/(x+2)为偶函数，则/(-x+2)=/(x+2),gp/(x+4)=/(-x),

于是〃x+4)=-f(x),则/(x+8)=-/(x+4)=/(x),即是以8为周期的周期函数，

对任意巧，x2e(O,2),无产马,都有可得Ax)在(0,2)单调递减，

2冗7T7T

不妨设/(X)=Asins,由题意，7=—=8,所以0=:，则”x)=Asin7X,

a>44

当xe(O,2)时，%e(0,5，

因为/(x)=Asintx在(0,2)上单调递减，且；y=sinx在10,j上单调递增，

JT

所以A<0,不妨取A=-1,此时/(%)=-sin：%.

4

IT

故符合上述条件的一个函数解析式/(x)=-sin：x,(答案不唯一).

4

故答案为：-sin^x(答案不唯一)

4

38.已知函数/(x)满足以下条件：①在R上单调递增；②对任意毛，巧，均有=

则/(%)的一个解析式为.

【答案】〃x)=2，+2,答案不唯一

【解析】依题意可知〃x)为增函数，且〃%)"(9)=4〃占+9),

故“X)的一个解析式可以为"x)=2，+2.

故答案为：/。)=2-，答案不唯一

题型十：求值域的7个基本方法

39.求下列函数的值域.

⑴y=«-2；

ex?-尤

(2)y=--------7；

X—X+1

(3)y=x-Jl-2x；

/八—4x+3

⑷尸彳^——p

2x—x—1

y2.o

(5)y=^^(X>1).

x-1

【解析】(1)因为«20,所以五-212.故值域为［-2,y).

1C1A233I41

(2)因为y=l-r——且d-x+l=尤-已所以0<rW，所以一F丫<1,故函数

x--x+\I2；44x2-x+l33

的值域为-；/).

,____1—产

(3)令Jl-2x=r,则让0,且％=——，

2

所以)=—(止0).故函数的值域［一8，；.

17

尤2—4x+3(x-l)(x-3)无一3“一文~(2x+l)——.„

(4)y=——［=)0~^=-~7,其中xwl,X-3_21/2」7

2x-尤-1(x-l)(2x+l)2x+l2x+l2x+l22(2x+l)

x-31-3_2

当x=1时,

2x+l2x1+13

7Y—l1

又因为所以

故函数的值域为卜巴-g

⑸因为x>l,所以—>。，所以尸官二(1)：(「)+9~1+3+2%(1).白+2=8,

9

当且仅当兄-1=3,即％=4时，取等号，即y取得最小值8.

x-1

故函数的值域为[8,+/).

40.求下列函数的值域：

X2-4X+4

(i)y=(x>D

x-1

(2)y=30-Jx+1

(3)/(x)=3x+l+二卜勺

【解析】(1)因为％>1,贝

x2-4x+4=(尤f+；2川(1).占一2二°'

可得y=

x-1

当且仅当》-1=工，即x=2时，等号成立,

x-1

所以函数的值域为[0,+8).

(2)令YA/TTTNO,贝晨=产—1,

37>_37

可得>=3(产一1)—=3/7-3=3

n~~n

当时，等号成立，

O

所以函数的值域为一||，+。;

2

(3)因为％<§,则2—3%>0,

9=(2-3x]+—^-3>2J(2-3x)—

可得-/(%)=-3x+l+=3，

3x-2'72-3xV2-3%

91

当且仅当2-即％=-彳时，等号成立，

即/⑺W-3,所以函数的值域为(―,-3].

41.求下列函数的值域：

小2x+l

(i)y=—7，

x-3

4

(2)y=x+—(x〉0),

x

(3)y=A/-2X2+X+3，

(4)y=x+4，1一x

【解析】(1)由题意可得：＞=&与=2+工，

x-3x—3

7

因为——-^0,则yw2,

x-3

所以原函数的值域为(f,2)_(2,用).

(2)因为x＞0,

贝！Jy=%+=4,当且仅当x=±,即％=2时，等号成立,

X\XX

所以原函数的值域为[4,+O)).

3

(3)令一2%2+%+3",解得—

2

「31

可得函数的定义域为-V-，

因为y二,一2彳2+x+3=J—2卜一+方,可得0«1V

所以原函数的值域为卜岁：

(4)设/=Jl-x，贝U尤=1—厂(t20),

所以原函数转化为丁=-』+4/+1(拈0),

因为函数＞=一〃+4/+1的图象开口向下，对称轴方程为t=2e[0,”),

可知当t=2时，函数y=-»+4f+l取到最大值＞max=5，

所以原函数的值域为(-8,5].

42.求下列函数的值域：

⑴y=x+l,xe{1,2,3,4,5}•

(2)y=f-2x+3,xe[0,3)；

-、2尤+1/人

(3)J=---7(》＞4);

x—J

(4)y=2x-y/x-1；

/u、x?—2%+4

⑸厂一^x>2)；

⑹尸下花=(无＜°);

2x?+2x+5

（7）y=

+x+1

【解析】（1）（观察法）由xe{l,2,3,4,5},分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}.

（2）（配方法）y=x2-2x+3=（x-l）2+2,由尤e［0,3）,再结合函数的图像，可得函数的值域为［2,6）.

⑶（分离常数法）”三十型亭^+匕因为X"所以。＜乙＜7,所以2＜”9故

函数的值域为（2,9）.

（4）（换元法）设f=Jx-l,则刀=产+1,且此0,

4

且仅当即x=4时，等号成立.

x-2

故函数的值域为［6,+QO）.

_2尤_2_________2________

(6)因为x<0,所以：=f+3X+4=尤+$3=_卜)+14)]+3,令:一

14—2x)x]—j+3=—1,当且仅当-x=—,即x=—2时，等号成立，所以-1V-<O,—2<—<0,故

函数的值域为[-2,0).

(7)由y=-I----------矢口x£R,

X+X+1

整理得(y-2W+(y_2)x+y-5=0.

当>=2时，方程无解；当"2时，A=(y—2)2-4(y—2)(y—5)20,即2<yW6.

故所求函数的值域为(2,6].

题型十一：数形结合求值域

43.求函数y=7X2-2X+5+VX2-4X+13的最小值.

【解析】解法一：；函数y=6—2x+5+Jx2-4x+13=J(x-l)2+4+J(x-2)2+9的定义域为一切实数.

y-Jx--2x+5=JX：-4x+13.Q.)

又y—A/X?-2x+5>0»即y>Jx~—2尤+5=^(x—I)2+422，

对①式两边平方，得y2—2y\Jx2—2x+5+x2—2x+5=炉—4x+13.

整理，得J—8+2x=Zyjx?—2x+5.②

对②式两边平方，得(y?-8)~+4x(y2-8)+4/=4y1尤2-2X+5),

再整理，得(4y2-4)x2-(12/-32)%-/+36/-64=0.③

4/-4>0,x为实数，A=(12/-32)2-4(4y2-4)(-y4+36y2-64)>0,

化简并整理，W/-28/+52/>0,

即/(/-28y2+52)>0<^/(/-2)(/-26)>0,

又y>2,y2>26,y>>/26,

当>=后时，方程③为100/-280尤+196=0,即25尤2-70尤+49=0，

7

解得X=g,故函数的最小值为技.

解法二：y=42-2X+5+VX2-4.X+13=7(X-1)2+22+7(x-2)2+32

令尸(x,0),4L2),8(2,3),则y=|AP|+|8P|

点A关于x轴的对称点为4(1，-2).

则%*■”1+|3尸|冒4尸|+|破耳4同=每

(其中运用三角形两边之和大于第三边，当且仅当A、P、2三点共线时取“等号”).

44.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题

加以解决.例如，与J(…>+(y_b)2相关的代数问题，可以转化为点A(x,y)与点3(。,6)之间的距离的几

何问题.结合上述观点，函数/(耳=理土N，的值域为.

cosx+1<2」

【答案】[；，2

sinx+1_sinx-(-l)

【解析】仆)=

cosx+1cosx-(-l)'

所以函数〃尤)的几何意义是连结(cosx,sinx)和(T-l)的直线的斜率,

所以“X)的值域为1，2.

故答案为：(；，2

TT，则函数/(x)=sin2尤-26sin%+3行的值域是

45.(2024•陕西铜川・一模)若无£0,-

2+cos2x

【答案】

sin2%-2&sin2x+3^3sin2x+A/3COS2X+2^3_sin2x

【解析】/(%)=

2+cos2x2+coslx2+cos2x

v=sin2x,u=cos2x,贝|--------=----

2+cos2xu+2

TT、

由于九£0,-,则小+y=],且"NO.

设人A

由该式的几何意义得下面图形，0(-2,0),其中直线ZM为圆的切线，由图知MJBW人《的…

由图知的B=0，

在RLAOAD中，有|OD|=2,所以|Ar)|=T°A『=石，

所以tan/ADO=r=坐，所以

DA33

所以，QMk&M

故所求值域为

3

故答案为:

46-函数y=缶2-6x+9+-10x+17的值域是.

【答案】［2^,+oo)

2(^-|)2|

【解析】y=j2d-6x+9+12炉-10尤+17=+

=V2[J(X-1)2+(0-1)2+J(X-1)2+(O+!)2],

其中尸(x,0),A(|则y=V2(|B4|+\PB\),

又|PA|+|PB闫AB|=M，因此y205=2石，值域为[2，?,+oo).

故答案为：[2如,+oo)

题型十二：值域与求参问题

(3a-2)x-4a,x<1

47.已知函数〃x)=iogM，xNl的值域为R,则实数。的取值范围是()

、2

A・卜2，1B-［42］C［-8,一y口.［端

【答案】A

【解析】当时，〃司=1。8y，其值域为

2

当x<l时，/(x)=(3a-2)x-4a的值域应包含(0,+8),所以/'(x)为减函数，

2

所以3a-2<0,且(3Q-2)xl-4。<0,解得-2工〃<§.

故选：A

48.若函数〃»=小-2同在区间［2,5］上的值域为［0,〃5)］,则实数”的取值范围为(

A.[1,272]B.[2,572-5]C.[2,2应]D.[1,572-5]

【答案】D

【解析】令"X)=X|X-24=。，得尤=0或x=2a,因为函数定义域为[2,5],所以无=2a,即函数在x=2a

处取得最小值0,且2ae[2,5],即IWawg,

x2-lax,2a<x<5

则f（x^=x\x-2a\=

2ax-x2,2<x<2a

因为函数的值域为[0"(5)],所以/(x)1mx=/(5)

当时，W/（2）</（5）,gp4o-4<25-10a,得aV—，BPl<a<2;

当2<a«|时，有/⑸，gpa2<25-10a,得-5忘-54a45后-5，即2<a45夜-5.

综上，实数。的取值范围为14。<50-5.

故选：D.

49.已知函数/(x)=logs如:，若函数,(X)的定义域为R，值域为。2],则实数相+〃=()

A.8B.9C.10D.12

【答案】C

m丫2区fm>0fm>0

【解析】由于函数/(x)的定义域为R,则〃>0恒成立,贝叶乙,C，即必，令

%2+1[64-4mn<0[mn>16

后产+”,由于/(x)的值域为[0,2],贝心而

X+1

(t-m)x2-8x+t-n=0,则由A=64—4。一根)«—〃)20,角军得，£口,9],故/=1和，=9是方程

cfm+n=10[m=5

64-4。一㈤。一〃)=0即/_(机+初+