2024年高考文科数学高考主要知识点归纳汇编

文科数学高考主要知识点归纳

一、集合与常用逻辑用语

1、子集、真子集、交集、并集、补集-----（同学们自己看书《必修1》第一章）

2、f、pvq、p/\q的真假性判断-----（同学们自己看书《选修1-1》第一章）

3、四种命题（原、逆、否、逆否）；原命题o逆否命题；逆命题o否命题。——

（《选修1・1》第一章）

4、特别强调：“都是”的否定“不都是”;“全是”的否定“不全是”

a”

pyq’的否定---

/p是q的充分不必要条侔;

5、p=q,qnp，pnq，qnp，p是q的必要不充

分条件;

/

pnq，qnp，p是q的充要条件；pnq，qnp,p是q的既不充分

也不必要条件。

3%eAGpa)o

6、全称命题:\/xeM,p(x)；特称命题:0

“3xekrX/)

“X/xeM,p(x)”的否定是0

“3x0^M,p(x0)”的否定是VxeM,—>/?(%)”

二、不等式

1、不等式的基本性质:

(1)a>b=a+c>Z?+c;a>b<^a-b>0

,(2)a>b,c>Q^aobc;a>b.cac<bc

(3)a>b>O^an>bn;a>b>0ny[a>y/b

(4)6z>/?>0=>0<—<—;6z<Z?<0=>0>—>-

abab

2、二次函数：

(1)解析式的三种形式：一般式：/(%)=ax2+bx+c(aw0)

顶点式：J(x)=a(x-m)2+n(Qw0)顶点坐标：(m,ri)

零点式：/(x)=a{x-xx)(x-x2)(aw0),西,々是方程改之+Z?x+c=O的根。

（2）对称轴方程：x顶点坐标…看去

（3）最值：当a>0时，狐^看士；当a<0时，盘、=”了

（4）单调性：当a>0时，"X）在（-oo,-2］上单调递减；在［-幺,+8）上单调递增；

2a2a

当〃<0时，/（%）在（-8,-■”］上单调递增；在［+8）上单调递减。

2a2a

3、根的分布问题（主要思想方法：数形结合，联系二次函数的图像）……-（同学

们可根据自己情况选学）

设%,元2是方程依2+法+。=。（。>0）的两个实根，则*y

（2）在（私〃）内有且只有一个实根o<0

(图3)

(图2)

A=Z?2-4ac>0

b

m<---<n

（3）在（私〃）内有两个不相等的实根o

/(«)>0

/(«)>0

/(加)〉0

f(n)<Q

（4）两根分别在（加〃）、（p,q）内，且（w））（p,q）=°

/(P)<0

于⑷>0

4、不等式加+Zzx+c>0与相应函数/（x）=ax2+bx+c方程依之+Z?%+c=0的联系。

5、线性规划一一

(1)二元一次不等式Ax+3y+c>0表示直线心+5y+c=0某一侧所有点组成的平面区

域。,(判断方法一一取特殊点，一般取(0,0)作为特殊点)

(2)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划

问题。

满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解；由所有可行解组成的集合叫做可行

域；

使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。

(3)线性规划问题的解题步骤：

①根据题意，设出变量x,y,z②找出约束条件(列不等式组)③确定目标

函数z=f(x,y)

④画出可行域(不等式组表示的区域的公共部分)

⑤令z=0,作直线/(x,y)=0,再进行直线的平移⑥观察图形，找到最优解，

确定答案。

6、基本不等式：

(1)若a,beR,那么/+0222ab(a=b时等号成立)。

(2)若小。是正数，那么…?而(a=〃时等号成立)“一正，二定，三相等”

2

(3)最值定理：若积个=〃是定值，则和尤+y有最小值2赤；若和%+丁=5是定值，

则积孙有最大值§)2。

三、函数

1、函数的奇偶性：

(1)如果对于函数aX)的定义域内任意一个x,都有/(r)=-〃x),那么称函数

为奇函数。

如果对于函数“幻的定义域内任意一个X,都有〃T)=/(X),那么称函数〃x)为

偶函数。

(2)性质1：奇、偶函数的定义域关于原点对称。

性质2：奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称。

性质3:若奇函数的定义域包括0,则有〃0)=0。

(3)利用定义判断函数奇偶性的方法、步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称。

②确定了(-x)与“X)的关系。③作出相应结论。

2、函数的单调性：

(1)定义：如果函数/⑴在区间D内的任意看,马,

当药<々时，都有/&)</(%),则称/'(x)是区间D上的增函数；

当王<々时，都有/心)〉/每)，则称/(%)是区间D上的减函数。

(2)结论：奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性

相反。

(3)导数与单调性的关系：

在某个区间内，如果/'(x)〉0,那么函数y=/(x)在这个区间内单调递增；

在某个区间(a,。)内，如果/(x)<0,那么函数y=/(x)在这个区间内单调递减。

3、函数的周期性定义：对于函数"X),若存在非零常数T,使得在定义域内总有

/(x+T)=/(x),则称函数/(无)为周期函数，常数T为函数的周期。

4、指数式与对数式：

(1)根式：当n为奇数时，丘=a；当n为偶数时，"=|a|=『a'°。

-a.a<Q

m__[

(2)塞的性质：性;姮=也7•ap=—;aman=am+n

ap

—=am-n;(a-by^anbn;(a"')"=cT;

an

(3)指数式与对数式的互换：a"=N=logflN=b,(a>0且awl,N>0)

(4)对数性质：log。1=0;log,a=l;*g〃=N;

bga*=bg“"Tog“N;log。""=〃log。"

loga(M-N)=logaM+log“N;

(5)1

换底公式：脸出=宰；loga/?-logfetz=l(或写成：^gab=—^—)

log/

5、指数函数：丁=优（a>0且的图像与性质:

7、%函数

(1)定义：形如y=x。(acH)的函数称为募函数。

(2)塞函数y=在第一象限的图像：

a>la=l0<cif<1a<0

(3)几个课标要求掌握的塞函数的图像:

(4)结论：塞函数的图像不过第四象限。

8、图像变换的规律：,平移变换、翻折变换

(1)水平平移y=/(尤)fy=/(x+。)：左加右减

竖直平移y=/(x)fy=/(x)+a:上加下减

(2)y=f(x)^y=\f(x')\t把在x轴下方的图像沿着x轴翻折到上方;

y=/(x)fy=/(|x|):偶函数，图像关于y轴对称。

9、函数与方程

(1)方程〃x)=0的根(实数x)就是函数y=/(x)的零点。

(2)函数y=/(x)的零点是方程/(x)=0的实数根；

也是——函数y=/(x)的图像与x轴的交点的横坐标。

(3)方程/(%)=0有几个实数根o函数y="X)的图像与x轴有几个交点

o函数y=有几个零点

(4)方程了(尤)=g(x)有几个实数根o函数产"X)的图像与y=g(x)的图像有几个交点

(5)零点存在性定理:如果函数y=在区间［a刈上的图像是连续不断的一条直线,

并且有f(a)-f3)<0,那么函数y=在区间3。)内至少有一个零点。

(6)二分法:对于在区间［a,句上连续不断，且满足/(a)"S)<0的函数y=/(x),通

过不断地把函数"X)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点,

进而得到零点近似值的方法叫做二分法。

(7)用二分法求函数7(x)的零点近似值的步骤：……《必修1》的第90页或(名师

金典48页例3的点评)

四、导数

1、函数y=/(x)在点/处的导数的物理意义就是物体在与这一时刻的瞬时速

度。

2、函数y=/(x)在点x。处的导数的几何意义就是曲线y=_/(%)在点(％"(%))处

的切线的斜率。

3、常用的导数公式：

(1)C=0(2)(x")'=〃x"T(3)(sinx)=cosx(4)(cosx)=-sinx

(5)(ev)=ex(6)(In%)=—(7)(-)1=-4

XXX

不太常用的两个：(8)(logx)=—-—(9)(ax)=a*Ina

flxlna

4、导数的运算法则：

(1)"(X)土g(x)]=1/(%)土g(X)(2)[k-f(x)]=k-f\x)

(3)[/(%)•g(x)]=f\x)g{x)+f(x)g\x)(4)/(x)g(x)—/(x)g(x)

g(x)g"x)

5、用导数求函数单调区间的一般步骤:

①求/(X)；②/(x)〉o的解集与定义域的交集所对应的区间为增区间；

/6)<0的解集与定义域的交集所对应的区间为减区间。

6、极值判别法：

如果/(/)'=0,并且在与附近的左侧/(x)>0,右侧/‘(x)<0,那么/(毛)是极大

值；

如果/(%)'=0,并且在与附近的左侧/‘(x)<0,右侧/’(x)〉0,那么/(%)是极小

值。

7、求函数极值的步骤：

(1)求导数/'⑴；(2)求导数/(x)=0的根；

(3)列表，用根判断了⑴在根左右的值的符号；

(4)确定“X)在这个根处是取极大值还是取极小值。

8、求函数了⑴在a切上的最大值与最小值的步骤：

(1)求出/"(X)在内的极值；(2)求出/(a)、/S)的值；

(3)将各极值与/'(a)、/㈤比较，最大的一个是最大值，最小的一个为最小值。

五、平.面向量

1、向量的概念：

(1)既有大小又有方向的量叫做向量，记作:A3,或a。

(2)长度为0的向量叫做零向量，记作0;长度为1的向量叫做单位向量。

(3)方向相同或相反的向量叫做平行向量，也叫共线向量。

(4)长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

(5)向量a的长度，也叫大小，也叫模，记作：|。|

(6)规定：0与任何向量平行。DC

2、向量的加法法则：/7

(1)三角形法则——首尾相接。如：AB+BC=MJB

(2)平行四边形法则——同一起点。如；AB+AD=AC

3、向量的减法法则：

三角形法则——同一起点。如：AB-AC=CB

4、两向量共线的充要条件：

向量6与非零向量。共线o三唯一的实数2,使得方=猫。

5、平面向量的坐标运算：

(1)若a=(X，X)、b=(x2,y2),贝!Ja±Z=(七±%,必土%)

(2)若A(X],%)、3区,%)，贝！IAB=(x2-x1,y2-y1)

(3)若a=(x,y),则Aa=(Ax,Ay)

6、平面向量共线的坐标表示:

右〃=&,%)、b=(x2,y2)9贝!IaJ/b=玉％一%2%=。

7、数量积

（1）定义：已知两个非零向量a和b,它们的夹角为。，则a-b=\a\-\b\-cos0叫做a与

人的数量积。

(2)投影：\b\-cosO-一一称为向量b在。方向上的投影；且\b\-cos3=^-^-

Ia|-cos^―--称为向量a在匕方向上的投影，且Ia\'COS0=^-^~

\b\

(3)运算公式及运算律:

一——2-2

①a-a=a=\a\,②(a+6)-(a-Z?)=«"-b=|~1^|2

...2_

③(a±b)=a±2a-b+b=\a\^+2\a\-\b\cos0+\b^

④a-b=b-a;(%〃)•b=X(a-b)=a-(2Z?);(a±b)'c=a-c±b'c

(4)数量积的坐标运算：若a=（%，X）、b=（ix2,y2）,贝!Ja-b=xlx2+yly2。

非零向量a与人的夹角。：作。i=a,0B=b,贝!|ZAOB=0，

其中O<0<7i9cos0-Qb

\a\­\b\

非零向量a与B同向时,夹角8=0。；反向时，夹角8=180。；垂直时，6=90°。

（6）两个非零向量垂直的充要条件：aLboa・b=0oxrx2+yxy2=0

（7）模的运算公式：\a\=^a或|a\=yjx2+y2

六、三角函数

1、任意角和弧度制

（1）终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角。在内，可以构成集合

S^{j3\/3=a+k-360°,k&Z}

180°

（2）角度o弧度：180。=»弧度；】。=念弧度；1弧度二

n

弧长…"(其中'⑷为圆心角的弧度数)，扇形面积sj

(3)三角函数的定义：在角a的终边上任取一个异于原点的点P(x,y),点P到原点

的距离记为r

(r=|OP|=Jx2+y2),那么：sin«=—;cosa=-;tan«=—;

rrx

三角函数的符号：一全，二正弦，三正切，四余弦。

(6)特殊角的三角函数值：

角a0°30°45°60°90°180°270°360°

717171713%

弧度制0~6~4T~27T~22%

j_V2此

sina010-10

2~T2

V3j_

cosa10-101

T2

同

tana01V3不存在0不存在0

3

sina

2、同角三角函数的基本关系式：sin2cif+cos2dz=l;------=tana

cos。

3、诱导公式：

(1)公式一：sin(o+2左》)=sin。，cos(a+2左乃)=cosa9tan(a+2左乃)=tana

公式二：sin(万一。)=sin。,cos(^--a)=-cosa9tan(^--a)=-tana

公式三：sin(万+a)=—sina,cos(^-+a)=-cosa,tan(»+a)=tana

公式四：sin(2»-a)=-sina9cos(2»-a)=cosa9tan(2^-a)=-tana

sin(—a)=—sina9cos(-cr)=cosa，tan(-cr)=-tana

cos

公式五：sing-a)=cosa9(~-a)=sina

.TC..

公式六:sin(1+a)=cosa,cos(——I-or)=-sinof

4、两角和与差公式：

sin(6r+/?)=sinacos[3+cosasin/39sin(cr-J3)=sinacos(3-cosasin£

cos(6r+J3)=cosacos/3-sinasin/39cos(a-P)-cosacos分+sinasin/?

八、tana+tan£小tana-tanB

tanz(«+/)=--------------三,tanz(«—0)=--------------三

1-tan6Ztanp1+tanatanp

5、二倍角公式：sin2a=2sincrcoscr,tan2a=2tan,

1-tana

cos2cr=cos2a-sin2a-2cos2a-l=l-2sin2a

.21-cos2a1+cos2a

降塞公式:sina=------------cos2a=------------

22

6、正弦、余弦、正切函数的在一个周期内的图像与性质:

y-tanx,xe(----,

乃071

22

（2）性质:

y=sin%y=cosx

定义域(-00,+oo)(-00,+00)

值域[-1,1][-1,1]

当x=%+2k兀,keZ，ymM=1

当X=2k兀,kwZ，>ma*=l

最值

当x=a+2k兀，keZ,=-1

当x=—：+2kf，ym.a=-1

最小正

2TC271

周期

增区间：[--+2^,-+2M增区间：［-万+2M,2面］

单调性22

减区间：[三+2丘,3^+2丘]减区间：［2左肛万+2左万］

22

奇偶性奇函数偶函数

y=tan%

兀

定义域[x\x^—+k7i.keZ}

值域(-00,+00)

最值无

最小正周期71

增区间：（--+^.-+M（左wz）

单调性22

减区间：无

奇偶性奇函数

7、函数y=Asin(s+0)(A>0,<z>>0)

（1）函数尸Asin（s+9）的物理意义：振幅：A，周期7=主，相位：a）x+（p9初

3

相：（P

（2）图像变换：y=sinx-y=sin（x+0）:左加右减

y-sin（元+0）­y=sin（5+:当。>1时，横坐标缩短；当0<°<1时，横坐标伸长。

y=sin（0x+0）—>y=Asin（0x+0）:当A>1时，纵坐标伸长；当O<A<1时，纵坐标缩短。

（3）由函数的图像求丁=4疝（如+9）+3的解析式的步骤:

①求A,A=%；怨—［辿1；②求B,B=＞吗-+y辿；

22

③求T,从而求得。=芋;④求0,通常是利用图像上的已知点。

七、正弦定理、余弦定理

1、正弦定理：—^―-―-27?(R为外接圆半径)

sinAsin5sinC

变形1:(边=＞角)a=2RsinA9b=2RsinB9c=2RsinC9

变形2:(角=＞边)sinA=—,sinB=—,sinC=—

2R2R2R

变形3：sinA:sinB:sinC=＜2:Z?:c

2、余弦定理

a2=b2+c2-2Z?ccosA，b1=〃2+。2-2〃ccos89c2=a2+b2-labcosC

变形：（角n边）

cos」+，rcos—fY

2bclaclab

3、三角形中常用角的变换:

sin(A+B)=sinC，sin(B+C)=sinA,sin(A+C)=sinB

cos(A+B)=-cosC，cos(B+C)=-cosA9cos(A+C)=-cosB

,A+BC,B+CA,A+CB

sin-------=cos——9sin-----=--COS—9sin-------=cos一

222222

A+B.CB+C.AA+C.B

cos-------=sin——，cos-=---s-i-n-—，cos-------=sin——

222222

4、面积公式：SMBC=—bcsmA=-absinC=-acsinB

222

八、数列：

1、4与S”的关系：n~lS“=%+/+■•♦+%

[s„-sn-in>2

2、求数列｛%｝的通项公式的常用方法：

(1)若满足等差数列或等比数列的定义，可直接用通项公式；

(2)若a0-矶=/(〃),且/(〃)可以求和,可用累加法;

(3)若.=f(n),且/⑺可以求积，可用累积法；

a„-i

(4)若册=PKT+q(p应为常数),可用待定系数法转化为等比数列求通项。

3、等差数列与等比数列:

(1)公式对比：

等差数列等比数列

定

a-a_=dCn>2neN")

义nnx9=q(qwO,n>2fneN")

an-l

通

项

公n—1

an=q%=a»

式

两

个

(一+%)・〃当4=1时，S”=nai;

求

n~2

和

n(n-l)

公s=na+2d当"1时，s'=』(lT)=a「a〃U

nil-ql-q

式

性

质an=am+(n-m)d4fqf

性

若p+q-m+n，

质若p+q=m+n,

则a-a=a-a,

二pqnn

则1n+c1m

性

质若P+q=2m9若p+q=2m9

三

贝！|ap+aq=2am则ap-aq=a^

（2）等差中项：如果a,成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，且A=*

2

如果a,G,b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项，且G?=必，G=土疝

4、数列求和的方法：

（1）公式法：等差数列、等比数列的前n项和公式；

（2）分组求和法：拆开之后构成等差或等比数列；

（3）裂项相消法：—=（其中上｝为等差数列，凡一）

。必+1danall+i

常见的拆项公式：」一=!--一；————=!（二——二）；

n（n+1）nn+1（2«-l）（2n+1）22n-l2n+l

—-I,=y/n+l-yfn

y/n+\jn+l

（4）错位相减法:适用于｛a也｝,其中｛%｝是等差数列，也｝是等比数列。

（5）构造法：把不是等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决。

5、等差数列的常用判定方法：

①定义法：a“-*=d（d是常数）②中项公式法：2a什1=a〃+%什2

③通项公式法；an=pn+q（关于n的一次函数）

2

④前n项和公式法：Sn=An+Bn（A,B为常数）

6、等比数列的常用判定方法：

①定义法：%=q（"是不等于0的常数）②中项公式法：an+^an-an+2

an-\

③通项公式法：4=（关于n的一次函数）

九、直线与方程

1、直线的有关概念

（1）倾斜角a：0<a<7i

（2）斜率左：①k=tana（«^90°）;当倾斜角。=90。时，直线的斜率不存在。

②过两点耳（石,必）、鸟（々,%）（工产％2）的斜率公式：k=~~—

x2一再

（3）截距：直线与X轴交点的横坐标叫做直线在X轴上的截距；

直线与y轴交点的纵坐标叫做直线在y轴上的截距。

X,+x

X=2

2

（4）中点坐标公式：A&,%）、3（无2,%）两点的中点般（x,y）满足:

%+为

y=

2

2、直线方程的基本形式：

（1）点斜式：y-yG=左（%一%（））；当左不存在时，x=x。

（2）斜截式：y=kx+b9是直线在y轴上的截距）

（3）截距式：二+；=1（就wO），a、匕分别是直线在x轴、y轴上的截距。

ab

（4）一般式：Ax+By+C=O,（A,B不全为0）

3、两直线的位置关系:

（1）平行：4〃4=七且仇力与；垂直：/J%=K•心=—1

（注：当直线的斜率不存在时，要特殊处理。）

（2）直线（：Ax+Bj+£=0,/2:A2x+B2y+C2=0

平行：\0上=丛手豆；垂直：/1_1_-44+BB=0

452c2

（3）两点间距离：若4和%）、则|45|=/々一/）2+（%-%）2

（4）点P（%%）到直线I:Ax+By+C=o的距离：咄a

VA2+B2

（5）两平行线间的距离：直线4:Ax+By+G=。，，2：+By+C?—0,d—J1」

VA2+B2

4、直线系的有关结论：

（1）与直线y=平行的直线方程可设为：y=kx+m（m彳b）

（2）与直线Ax+3y+C=0平行的直线方程可设为：Ax+By+m=0（m中C）

（3）与直线Ax+3y+C=0垂直的直线方程可设为：Bx—Ay+m=0

5、几种特殊的对称：

（1）点关于x轴对称的点的坐标为：（%，-%）

（2）点Pa,%）关于y轴对称的点的坐标为:（f，%）

（3）点P（Xo,%）关于原点对称的点的坐标为：（-x0,-y0）

6、点与点对称的坐标关系:

x+X

XQ=

设点P(x,y)关于点”(%0，丁0)的对称点P’的坐标是(x，y)，则：<-

7、点关于直线对称的坐标关系：

设点。(七,为)，Q(x2,y2)关于直线hAx+By+C=O对称，则：

%一％=B

x2-xxA

.A±^.A±2I

IA2+B2+C=0

十、圆与方程

1、圆的方程：

(1)圆心为C(a,Q,半径为厂的圆的标准方程：(九一+(y—/?)2=F2

特殊：圆心在坐标原点，♦+-=,

(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=Q(表示圆的充要条件：D2+E2-4F>0)

其中，圆心坐标是(-§-§，半径是包2土;士

2、点和圆的位置关系：若点P与圆心C的距离为d=\PC\,圆的半径为r,贝！|：

d>ro点在圆外；d=ro点在圆上；d<r=点在圆内

对于点Pg,%)和圆(x-a)2+(y-6)2=r2或f+y2+£)x+Ey+R=0,则:

22

(1)点P在圆内O(毛一+(%-b)“<广Ox0+y0+Dx0+Ey0+F<0

2

(2)点尸在圆上o(x0-a)+(%-加2=产=/2++DXo+Eyo+F=0

22

(3)点尸在圆外o(%+(%-6)2〉产ox0+y0+Dxo+Eyo+F>O

3、直线与圆的位置关系：

(1)判断方法：①几何法

直线与圆相离od>r;直线与圆相切od=r;直线与圆相交od<r

Ax+By+C=0

②代数法:联立方程组，得

x2+y2+Dx+Ey+F=0

消去y得一元二次方程〃x)=0,则:

直线与圆相离=△<();直线与圆相切=△=();直线与圆相交=△>€)

(2)圆的切线的几何特征：①过切点的半径垂直切线；②圆心到切线的距离等

于半径(d=r)。

(3)直线被圆截得的弦长:

\AB\=24"

（即：半径、弦心距、半径长构成一个直角三角形。）

4、圆与圆的位置关系的判断：若两圆的半径分别为小/圆心距为d=|C,C21

〃〉（+马o外离；dH0夕卜切；\rx-r2\<d<rx+r2<^相交

8=|彳-々|0内切；0<6<1八-々|内含

十一、圆锥曲线一\（c0J

1、椭圆：（1）定义：平面内与两个定点斗鸟的距离的和等

常数（大于下闯）的点的轨迹叫做椭圆。即：|尸居|+归闾=2a（2a>/闾）

（2）c2=a2-b2（a>b>Q）

（3）几何性质

焦点在X轴上焦点在y轴上

2222

方程^-+^-=1(a>b>0)-+^-=l(a>b>0)

a2b②b2a2

范围-a<x<a9-b<y<b-b<x<b9-a<y<a

u

图像2

A

片(-c,0),F(C,0)FJO-c),C

焦点2F2(0,)

4（一。,0）、4（〃,o）A(0,—a)、A2(0,ci)

顶点

4（0,—A）、B?（0,b）司(—40)、与s,0)

离心e=-(0<e<l)

率a

关于x轴，y轴，原点对称

长轴长=2a;短轴长=2）；焦距=2c

（4）两种标准方程的一般形式：Ax2+By~=1（A>0,B>0,AwB）

2、双曲线：（1）定义：平面内与两个定点斗鸟的距离的差的绝对值等于常数（小

于用8I）的点的轨迹叫做双曲线。即：归耳|-|「同=2a（2a<F阅）注意：

\PF^-\PF^=2a,表示双曲线的一支。

（2）c2=a2+b2（a>0,b>0）

（3）几何性质

焦点在X轴上焦点在y轴上

2222

方程二-t=1匕-土=1

a2b2a2b2

范围x<-a^x>ay<-a^y>a

i：

I止*

图像0X

焦点居(-c,0),F2(C,0)FJO-c),工(0,c)

顶点4（一。,0）、&（。,0）A1(0,-a)\4(0,Q)

,b

渐进y=±-xy=+—x

线ab

离心e=—(e>1)

率a

关于x轴，y轴，原点对称

实轴长=2a;虚轴长=2>；焦距=2c

（4）两种标准方程的一般形式：Ax2+By2=1（AB<0）

3、抛物线：（1）定义：平面内一定点F和一条定直线/的距离相等的点的轨迹叫做

抛物线。

定点F叫做抛物线的焦点，定直线/叫做抛物线的准线。（即：\PF\=d）

（2）性质：离心率e=l

顶

图形焦点坐准线方对称

标准方程点

V标程性

£k

1厂

y2=2px(p>0)(0,0)

7^史g，0）X轴

U2

y2=-2px(p>0)

（-与0）X_L(0,0)X轴

2

p

x2=2py(p>0)（o，T）y=——(0,0)y轴

02

_______1

x2=-2py(p>0)P

（o，-gy=—(0,0)y轴

2

4、轨迹方程的求法：

（1）直接法，一般步骤：建系、设点、列式、化简。（2）定义法（3）相

关点法

5、直线与圆锥曲线的位置关系

（1）判断方法：①联立直线与圆锥曲线方程，构成方程组。

②消去y（或x）得到一个一元二次方程。

③若A>0,则直线与圆锥曲线有2个交点；若A=0,则直线与圆锥曲线有1

个交点；

若△＜（）,则直线与圆锥曲线没有交点。

十二、立体几何

1、空间几何体的结构：（1）柱体：棱柱、圆柱（正棱柱：底面是正多边形的直棱

柱。）

（2）锥体：棱锥、圆锥（正棱锥：底面是正多边形并且各侧面是全等的等腰三角形。）

（3）台体：棱台、圆台（正棱台：各侧面是全等的等腰梯形。）

2、空间几何体的表面积和体积：

（1）侧面积公式：

①直棱柱S=c/z（C为底面周长，为高）②正棱锥S=（C为底面周

2

长，为斜高）

③正棱台5=3（9+02）/（公。2分别为上下底面的周长，〃为斜高）

④圆柱S=2»〃2（r为底面半径，力为高）⑤圆锥S=R7（厂为底面半径，/为

母线长）

⑥圆台S=万储+%）/（小马分别为上下底面半径，/为母线长）

（2）体积公式：①棱柱V=S/z（S为底面积，h为高）②棱锥V=gs/?（S

为底面积，%为高）

③棱台V=g（S]+邓瓦+S2）/z（Sp§2分别为上下底面积，h为高）

④圆柱V=Sh=Tir'h（S为底面积，r为底面半径，力为高）

⑤圆锥丫=入/2=。心（S为底面积，r为底面半径，%为高）

33

⑥圆台v=；（S]+廊;+S2）/z（小§2分别为上下底面积，/2为高）

3、球：（1）球的表面积公式：S=4IR2（2）球的体积公式：丫=¥代（R表示

球的半径）

（3）球的任意截面的圆心与球心的连线垂直截面，若设球的半径为R,截

面圆的半径是r,

截面圆的圆心与球心的连线长为d,贝！）：d2=R2-r\

4、空间几何体的直观图和三视图:

(1)三视图：正视图(自前面向后投射)、侧视图(自左面向右投射)、俯视图(自

上面向下投射)

(2)直观图一一斜二测画法：①Nxoy=45。；②平行于X轴或y轴的线段，在

直观图中仍保持平行；

③平行于X轴的线段的长度不变，平行于y轴的线

段的长度变为原来的一半。

5、空间点、直线、平面之间的位置关系:

(1)平面的基本性质：

①公理1：若一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个

平面内。

②公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。(即：可以确定一个

平面)

推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

③公理3：若两个平面有一个公共点，则它们有且只有一条通过这个点的公共直

线。

④公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。

⑤定理：一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

(2)空间直线的位置关系：①空间两条直线的位置关系：相交、平行、

异面

②异面直线所成的角：过空间任意一点作与这两条异面直线平行的两直线所称的

锐角或直角。^e(0,1]

(3)直线和平面的位置关系：直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行(没

有公共点)。

(4)两个平面的位置关系：相交(有一条公共直线)、平行(没有公共点)。

7、空间中的平行关系

(1)直线和平面平行

①线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,

那么该直线与此平面平行。（符号语言：

②线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，那心

/a

任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行。

（符号语言：IIIa,luf3,a（3=m=lIIm）

（2）平面和平面平行:

①面面平行的判定定理:

都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

符号语言：/ua,mu。,/m=O.lIIP.mll（3-all（3）

②面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，

那么它们的交线平行。

（符号语言：allp.ya=l,yf3-m^lIIm）

③面面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一个平财I/

的直线平行于另一个平面。