两条直线的位置关系（八大题型）讲义（解析版）-2025年高考数学一轮复习（新教材新高考）

第02讲两条直线的位置关系

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：直线平行与垂直的判定..................................................4

知识点2：三种距离..............................................................5

解题方法总结...................................................................5

题型一：两直线位置关系的判定...................................................7

题型二：两直线的交点与距离问题.................................................9

题型三：有关距离的最值问题....................................................13

题型四：点关于点对称..........................................................23

题型五：点关于线对称..........................................................25

题型六：线关于点对称..........................................................27

题型七：线关于线对称..........................................................29

题型八：直线系方程............................................................31

04真题练习•命题洞见............................................................32

05课本典例•高考素材............................................................33

06易错分析•答题模板............................................................36

易错点：两平行直线间的距离公式应用错误........................................36

答题模板：已知两直线平行或垂直求参数..........................................37

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

高考对两条直线的位置关系的考查比较稳

（1）两条直线的平行与

2022年上海卷第7题，5分定，考查内容'频率、题型难度均变化不大，备

垂直

2020年III卷第8题，5分考时应熟练掌握两条直线的位置关系、距离公

（2）两直线的交点与距

2020年上海卷第7题，5分式'对称问题等，特别要重视两条直线的位置关

离问题

系以及点到直线的距离公式这两个考点.

复习目标：

（1）能根据斜率判定两条直线平行或垂直.

（2）能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.

（3）掌握平面上两点间的距离公式'点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

考点突确.题理辉宝

知识固本

知识点1:直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示.

两直线方程平行垂直

《：4%+4丁+£=0A^B2—&B]=0且

A4+4与二。

/2:4%+B2y+C2=0BXC2-B2CJ7^0

4：y=%+优（斜率存在）

4：y=kx+b

22ky=k2,brw.或左i•&=-1或左与左2中有一个为

L:x=x,X=X,X=X,XW%20,另一个不存在.

,‘（斜率不存在）l21

l2:x=x2

【诊断自测】（多选题）已知两条直々玄4，的方程分另|J为3x+4y+12=0与依+8y—11=0,下列结论正确

的是（）

7

A.若"%，则。=6B.若"〃2,则两条平行直线之间的距离为一

4

32

C.若4，/2，则。=§D.若aw6,则直线4，6一定相交

【答案】AD

【解析】两条直线第4的方程分别为3元+分+12=0与办+8y-11=0,它们不重合，

若/"〃2，贝!]4a=3x8,得。=6,检验符合，故A选项正确；

若4/〃2，由A选项可知，4：6x+8j-ll=0,直线4的方程可化为6x+8y+24=0,

|11+24|7

故两条平行直线之间的距离为,二%,故B选项不正确；

V36+642

32

若/一4，贝Ij3a+4x8=。，得1=,故C选项不正确；

由A选项知，当。=6时，lx//l2,所以若aw6,则直线4，4一定相交，故D选项正确.

故选：AD.

知识点2：三种距离

1、两点间的距离

平面上两点耳（玉,%£（三,女）的距离公式为I片£1=依-%）2+（乂-%）2-

特别地，原点。（0,0）与任一点P（x,y）的距离|OP|=Jd+y2.

2、点到直线的距离

|引0+5%+CI

点片（%,为）到直线l:Ax+By+C=0的距离d

VA2+B2

特别地，若直线为/：x=m,则点好（%,%）到/的距离”=|机-飞|；若直线为/：y=n,则点弓（尤。,％）到

/的距离

3、两条平行线间的距离

已知44是两条平行线，求乙4间距离的方法：

U）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.

（2）设《：Ar+Bv+G=0"。：衿+为+G=。，则（与4之间的距离d=隼羊工

'VA2+B2

注：两平行直线方程中，x,y前面对应系数要相等.

4、双根式

双根式/5）=而=2+3+口土直/+3+生型函数求解,首先想到两点间的距离，或者利用单调性

求解.

【诊断自测】（多选题）已知点”（1,4）到直线/:如+广1=0的距离为3,则实数加等于（）

A.0B-7C.3D.2

【答案】AB

|m+4-l|、3

【解析】依题意二3,即4m2-3m=0,解得〃z=0或帆="

yjm2+1

故选：AB.

解题方法总结

1、点关于点对称

点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点尸（为，必）关于点。（%,%）的对称点为P（%，y2）＞则根

X+x

x=-9------

据中点坐标公式，有02

可得对称点P'(x2,%)的坐标为(2x0-X],2%-%)

2、点关于直线对称

点P(%i,%)关于直线/:Ax+5y+C=0对称的点为P®，%)，连接PP，交/于反点，贝卜垂直平分

kl-kpp,=—1

PP'，所以FP_L/，且A/为pp中点，又因为加在直线/上，故可得＜^r±+^rAV±+AV'出

A2+JB2+C=0

3、直线关于点对称

法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求

出直线方程;

法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.

4、直线关于直线对称

求直线4：dx+》y+c=O，关于直线4：公+ey+/=0(两直线不平行)的对称直线/

第一步：联立心L算出交点P5，%)

第二步：在《上任找一点(非交点)Qa,%),利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点

Q\X2,y2)

第三步：利用两点式写出《方程

5、常见的一些特殊的对称

点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).

点(x,y)关于直线》=龙的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).

点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=Z?的对称点为(无，2b—y)■

点(x,y)关于点(a,6)的对称点为(2a—x,2b—y)■

点(x,y)关于直线x+y=左的对称点为(左-y,k—x)＞关于直线x-y=左的对称点为(左+y,x—k)-

6、过定点直线系

过已知点尸(%,%)的直线系方程y-%=々(x-X。)(左为参数).

7、斜率为定值直线系

斜率为左的直线系方程y=Ax+6(6是参数).

8、平行直线系

与己知直线Ar+3y+C=0平行的直线系方程Ax+3y+；l=0(刃为参数).

9、垂直直线系

与已知直线Ax+3y+C=0垂直的直线系方程3x-Ay+X=0（2为参数）.

10、过两直线交点的直线系

过直线4：A1x+Bxy+G=0与I2：4x+B.,y+C2=0的交点的直线系方程：

\x+Bxy+C1+A（A,x+B2y+C2）=0为参数）.

题型洞察

题型一：两直线位置关系的判定

【典例14】（湖北省“宜荆荆恩”2024届高三9月起点考试数学试题）已知两条直线

lx:ox+4y—1=0,/2:x+ay+2=0,则"a=2”是"///1'的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当“〃2时，：=2*一，则。=±2,

1a2

所以““=2”是的充分不必要条件.

故选：A

21

【典例1-2］已知a>0,b>0,直线（a-l）x+y-l=0和x+2缈+1=0垂直，则一+：的最小值为（）

ab

A.16B.8C.4D.2

【答案】B

【解析】a>0,b>0,直线4:（。一1）%+y—l=0,Z2:x+2by+l=0,4±Z2»

・•.（a—l）xl+lx2J=0,即Q+2Z?=1.

rn.i212a+4ba+2b_4ba__Uba..也口所比n1口4生口卡一

贝1］一+—=------+------=2+—+—+2>4+2/--------=4+4=8o,当且仅当a=2Z?=工时，等号成乂,

ababab\ab2

故±2+*1的最小值为8,

ab

故选：B.

【方法技巧】

【解题方法总结】

判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设

Z］:Alx+Bly+Cl=0（A，4不全为0）,l2:A,x+B2y+C2=0（4.B?不全为0）,贝U：

当4与-44—0时，直线4,相交；

当时，44直线平行或重合，代回检验；

当44-a生=0时，44直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆.

【变式1-1】直线3x-6+2”+左+5=0与直线履+（2%-3）y+2=0相交，则实数左的值为（）

A.左-1或左片9B.左#1或人力一9

C.左二1且左片9D.左二1且*:N—9

【答案】D

【解析］由直线3无一/+2）y+k+5=0与直线丘+（2左一3）y+2=0相交，得3（2左一3）—左［一（%+2）］彳0,

即（k+9）（Z—1）#0,解得左片1且左w—9,

所以实数上的值为左片1且左片一9.

故选：D

【变式1-21点尸（％,X）,。（々，%）为直线点-y+2=0上不同的两点，则直线4：%、=1与直线

:x?x-y2y=1的位置关系是（）

A.相交B.平行C.重合D.不确定

【答案】A

【解析】由点P（外,％）,。（々,%）为直线点-y+2=。上不同的两点，

则直线4：为x-%y=1与直线4：%无-%，=i的斜率存在时一定为‘■，逗，

H%

可以把这两个斜率看成直线上两点到原点的斜率的倒数，

由已知可得人”片自2,则立二三，即两直线不可能平行与重合，则只能相交；

X%

若直线4:x/-=1与直线/2：x/-=1的斜率有一个不存在，则另一个斜率必存在，也能判定两直线

相交；

故选：A.

【变式1-3］（2024•高三•广东•开学考试）已知直线乙：-根氏+'-1=。，直线乙：（2m-3）x+y-3=0,

则加=一3是/J%的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

f—^^2——3

【解析】因为4〃4=<,c=相=1或〃?=一3,

|-1w-3

所以〃?=一3是乙〃6的充分不必要条件.

故选:A.

【变式1-4]（2024•高三•上海宝山•开学考试）已知集合4=｛（%刈尤+畋+2”0卜

3=｛（x,y）|以+ay-1=0｝,则下列结论正确的是（）

A.存在aeR,使得A=0

B.当q=_]时，A（~>B=,—

C.当A3=0时，a=\

D.对任意的aeR,都有Aw3

【答案】D

【解析】对于A,尤+冲+2a=0表示过定点（0,-2）,且斜率不为0的直线,

二集合A表示直线x+Q+2a=0上所有的点，.〔Aw。，A错误;

对于B,当”=—1时，A={(x,y)|x-y-2=0},3={(x,y)|-x-y—1=。},

1

x=—

J__3

由Ar,B=，错误;

3'-2，-2B

y=-2

对于C,当6=0时，a=0,满足AB=0；

当即awO时，直线x+ay+2〃=0与以+@一1=0平行,

a—a2“r&

>解得：a=l；

-1/2a-2

综上所述：当48=0时，。=0或々=1,C错误;

对于D,若A=B,贝iJarO且直线x+ay+2a=0与ox+分一1=0重合,

：.\a~a2，方程组无解，；.Aw3，D正确.

[-1=2/

故选：D.

题型二：两直线的交点与距离问题

【典例2-1]（2024•高三•江苏苏州•开学考试）已知直线4：x+y+C=O与直线4：Ax+8y+C=。交于

（LD,则原点到直线）距离的最大值为（）

A.2B.J2C.—D.1

2

【答案】B

【解析】因为两直线交于(1,1),

贝！]1+1+C=O,即C=—2,且A+8+C=0,贝ljA+B=2；

|C|22

由原点到直线4的距离d=

VA2+B2卜+仅_町p(A2-2A+2)

由A2—2A+2=(A—1)2+1»1,

则14近，当且仅当A=1时，d取最大值也，止匕时3=1.

即两直线重合时，原点到直线的距离最大.

故选：B.

-4工+2的交点在第一象限，则实数左的取值范围是（

【典例2・2】若直线,=1+2k+1与直线y

2

5J2j_5_£2]_

A.B.C.D.

2,25?22，-25?2

【答案】A

2—4k

y=x+2k+lx=--------

32—4k24+5

【解析】1与n<即交点为

y=——x+22左+53'3

2y=--------

3

生竺>0

351

因为交点在第一象限，所以=>——<x<—.

2>022

3

故选：A

【方法技巧】

两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构.

【变式2-1】已知点A（2,l）,8（3,4）,C（-2,-l）,则ABC的面积为.

【答案】5

【解析】设A3边上的高为心则//就是点C到所在直线的距离.

易知\AB\=^/（3-2）2+（4-1）2=M.

由两点式可得AB边所在直线的方程为芸=言，即35=。.

|3x(-2)-(-l)-5|

点到直线3x-y-5=0的距离仁

^32+(-iy

所以ABC的面积为％,=3/卜回*/2=3*痴*4历=5.

故答案为：5

【变式2-2］已知平面上点P(3,3)和直线/:2y+3=0,点尸到直线/的距离为％则d=_.

【答案】19/4.5

□

【解析】依题意，直线/：'=-；,而点P(3,3),

3Q

所以d=3-(-5)=5.

9

故答案为：—

【变式2・3】已知直线/:(加+l)x-y-3帆-2=0,则点尸(T-1)到直线/的距离的最大值为.

【答案】2百

［解析］直线/:(m+l)x-j-3m-2=0,即x—y—2+m(x-3)=0,

［x—y—2=0

由;c，解得x=3,y=l,所以直线/恒过定点43,1),

x—3=0

最大值为|AP1=J(3+1)2+(1+1)2=2A/5,

所以点P(-l,-l)到直线l的距离的最大值为2行，

故答案为：2小

【变式2-4】已知点A(-1,2),B(1,4),若直线/过点2,—3),且4、B到直线/的距离相等，则直线/的

方程为—.

【答案】X—y—1=0或3x-y+3=O

【解析】依题意，A8到直线/的距离相等.

A5的中点为(0,3),

当/过(0,3)以及M(-2,-3)时，

—3—3

直线/的方程为y=—^7；x+3=3x+3,3x-y+3=O.

-2—0

直线A3的斜率为一二=1,

当直线/过”(-2,-3)并与AB平行时，

直线/的方程为>+3=lx(x+2),x—y—1=0.

综上所述，直线/的方程为左一，一1=0或3x-y+3=o.

故答案为：X-y-1=0或3x-y+3=0

【变式2-5】4：x-y+3=O,与直线小2》+〃沙-2=。平行，则直线4与/2的距离为.

【答案】272

【解析】因为““，所以lx〃?=(-l)x2,解得〃?=-2,

lx:x-y+3=0,/2:x-y-l=0,

由两平行直线的距离公式可得：d=2近,

故答案为：2五

【变式2-6】若恰有两组的实数对(A5)满足关系式卷震=金等〜则符合题意的’的值

为.

【答案】当2

【解析】।音可以看成点“(2,1)到直线/:Ax+5y+3=0的距离4，

二3可以看成点N(5,-2)到直线/：Ax+By+3^0的距离d2,

由已知可得，t>0,I：Ax+By+3=0不过原点，

|2A+3+3|_|5A—23+31

又由恰有两组的实数对(AB)满足关系式

A/A2+B2A/A2+B2

所以可以看成有且仅有两条直线满足4=4,直线肱V方程：x+y-3=0,

所以满足题意的直线/：

第一条是线段MV的垂直平分线，当/：及+By+3=。是跖V的垂直平分线时，

因为|政V|=3&,所以4=4=:"叫=乎，符合题意；

第二条只能取自与直线MV平行的两条直线中的一条，且此时另一条直线过原点,

此时第二条直线的方程为X+y-6=0,

所以此时4=4=述，即/=述，符合题意；

1222

2

故答案为：述.

2

【变式2-7］（2024•全国•模拟预测）已知直线4i=2x和4：y=^+l与无轴围成的三角形是等腰三角形,

则上的取值不可能为（）

A.-2B.--C.D.

322

【答案】D

【解析】令直线4,的倾斜角分别为a,。，贝Utana=2,tane=3

当围成的等腰三角形底边在无轴上时，0=7i-a,k=tan（Tr-a）=-tantz=-2；

当围成的等腰三角形底边在直线4上时，6=葭或。=方+1，

ca

2tan一/T

因为tane=----------=2,且tan^〉。，解得tan>="一,

1-tan2^222

2

匚匚2,八a。5—1-p.k=tan0=tanCL\1—1—v5

所以k=tan。=tan—=--------，或122厂，。-2；

221ytan—

2

rm7八c2tanc2x24

当围成的等腰三角形底边在直线4上时，O=2a,贝Uk=tan6=tan2a=------------=-------=——.

l-tan2a1-223

故选：D.

题型三：有关距离的最值问题

【典例3-1】我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问

题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点,当/(x)=VX2-2X+10+>/X2-10A+29取得最小值时，

实数x的值为（）

13qD.4

A.—B.3C.

55

【答案】C

【解析】/(x)=Vx2-2x+10+&-10X+29=必-5>+4+J(x-iy+9，

表示平面上点M(x,0)与点A(5,2),8(1,-3)的距离和，

7.1-3

连接AB,与x轴交于”(x,0),此时直线A3方程为y=尤-1)-3,

5—1

17

令y=o,贝=w

______________17

,)(无)的最〃、值为J(5-l)2+(2+3)2=如,止匕时x=不

故选：C.

【典例3-2】设/(元,y)=Jx2+y2+J(x+2)2+y2+y/(2-x)2+(y+3)2+Jx2+(y+4)2，其中

-2<%42,-44好0.则/(尤4)的最小值为()

A.8B.9C.6+713D.4+36

【答案】B

【解析】设A(-2,0),8(2,-3),C(0,-4),P(x,y),则解羽］表示:z=\OP\+\P^+\PB\+\PC\,

心B则直线”的方程为y=—(x+2),令x=0,则好一。，

—2—2442

所以直线A3与》轴相交于点兄

所以|OP|+|PC46>C=4,|B4|+|PB闫裕|=5,

所以z±9,当点尸为乙时，等号成立，故/(x,y)的最小值为9.

故选：B.

【方法技巧】

数学结合，利用距离的几何意义进行转化.

【变式3-1］已知。，b,C,。为四个实数，且。一人=一2,c—d=0,a+b=c+d,则

归+3-4)2+&2+(］一5)2的最小值为()

A.历—夜B.述C.2

D.5

22

【答案】D

k—?k+Dk

【解析】设a+b=c+d=k,则〃=于*=三,0=4=',

所以y/a2+(Z?-4)2+&2+(d-5)2=[(左一4『+4]+[(k-5)2+251

=—"("4)2+4+J("5)2+25

而J(iy+4+J(Z-5『+25可看做x轴上动点P(k,0)与两定点M(4-2),N(5,5)的距离和，如图,

由图可知当尸运动到々时，|PN|+|PM|最小，最小值为|"N|=J(5—41+(5+2)2=5五,

所以亚+(1)2+也2+3一5)2的最小值为¥X5®=5.

故选：D

【变式3-2］已知(加,九)为直线无+>-1=0上的一点，则+川+J(%+2)2+/的最小值为()

A.V1OB.26C.4D.372

【答案】A

【解析】如图，+4+J(加+2)2+〃2为点p(m,n)到原点。和到点4(-2,0)的距离之和,

ab,八

—+——1=0,

22/曰:二即WU).

即1Poi+|叫设。(0,0)关于直线x+y-1=0对称的点为8(9),则<7得

四,

a

易得|PO|=|「牛当A,P,3三点共线时，|PO|+|PA|取到最小值，且最小值为IPOI+IPA1=1AB1=716.

故选：A.

【变式3-3】J10x2-6x+l+J10d+4x+4的最小值为()

A.3B.2V2C.辿D.

55

【答案】D

【解析】由题意知，

，10$-6x+l+J10f+4x+4=y/ldd(x.+(0一前+J(x+版+(0-1)2],

3113

设P(x,0),M(―,—),N(-—,—),

则Ja-Q+（0力+自+>+（0-|）2的几何意义为|PM|+|PN|的值,

如图，作点关于X轴的对称点”（高4）,连接MVT,

与尤轴的交点即为所求点尸，此时|P"|+|PN|取得最小值，为|M0[.

即小木+（0-3/4）2+（0-|）2的最小值为唱，

所以A/10X2-6x+l+VlOx2+4X+4的最小值为^-

故选：D

【变式3-4]已知实数占,乙，豆，%，满足/+才=4,君+货=9,XjX2+y,y2=0,贝lj

忖+K—9|+后+%-4的最小值是.

【答案】18-V26/-V26+18

【解析】依题意，方程x；+y；=4、£+货=9分别表示以原点。为圆心，2、3为半径的圆,

令5（占,%）,4（尤2，基）,即点昆A分别在f+V=4、x2+y2=91.,如图，

显然。8=（七,乂）,。4二（冗2，%），OB-OA=xYx2+yxy2=0,即有O5_LQ4，

IAB|=7lOA|2+|OB|2=V13，取线段AB中点尸，连接。尸，则[0尸|=；|A2|=芈,

因此点尸在以原点为圆心，巫为半径的圆上，

2

而|刃+M-丹+\x2+y2-9\=回'蒙呼+民菱外,

即忖+%-9|+,+%-9|表示点A,B到直线l:x+y-9=0的距离和的也倍,

过A,8分别作直线/的垂线，垂足分别为M,N,过P作PD垂直于直线/于点。，

于是AM//PD/ABN,\AM\+\BN\=2\PD\,

上+%-9|+"+%-9|=应(|41/|+|乳|)=2啦|20,原点O到直线/的距离人五

9V13

显然|尸d-\OP\=,当且仅当点O,P,。共线，且点尸在线段OD上时取等号,

722

所以（|七+乂一9|+民+y2-9\)min=2j2\PD\nin=18-庄.

故答案为：18-庄

【变式3-5】已知点RQ分别在直线4：x+y+2=O与直线/2：x+y-l=0上，且PQM，点4（-3,-3）,

3(3,0),则|"|+|PQ|+|QB|的最小值为

3M+30

【答案】

2

【解析】易知“4,作出图象如下，过3点作直线则尸。/〃,

Vi

直线/:y=x-3,过尸作直线PC//QB,与直线/交于点C,易知四边形PCBQ为平行四边形,

故PC=,且B到直线4的距离等于C到\的距离,

设C(/,-3),则)+，.+2|=史"31

解得，=5或，=-万（舍），所以c

A/2

而+|PQ|+|QB|=|"|+|尸0|+|尸C,且|尸Q|=心钾3_3A/2

（定值）,

近一2

显然|4尸|+1尸①|AC|=J13-1[+[一3+|J=平

故只需求出IAPI+IPCI的最小值即可,

故|"|+|PQ|+\QB\的最小值为3厢+3加

故答案为:3M+3母

2

【变式3・6］（多选题）已知两点A（-5,-1）,川0,4）点尸是直线/：y=2x-1上的动点，则下列结论中正

确的是（）

A.存在尸（1,1）使附+烟最小B.存在P［,O］使|M+|哨最小

C.存在尸（5,9）使|网-「到最小D.存在P（O,-l）使归山-|尸邳最小

【答案】ABD

〃+4_m+0]

-----=2x---------1

79m=4

【解析】对于A：设点3关于直线/的对称点为C（"2,〃），所以，、2,所以所以

〃一4入y

------x2=-l

,m-0

C(4,2),

所以|酬+归8闫4。，当且仅当尸为AC与/交点时满足题意,

-1-212

又因为AC:y—2=—--(A:—4),BpAC:y=—x+—f

-5-4v733

f12r1

所以133,所以",所以尸(U),故A正确；

y=2x-lU

对于B：设P（x,2x-1）,所以|PA「+|?=（x+5）2+（2x-l+iy+f+（2x-l-4）2,

所以|P4「+|P砰=1。当且仅当x=1•时|PA「+|P砰有最小值,

此时2x-l=0,所以尸故B正确；

对于C：如下图，根据A5与/的位置关系可判断出|网-忙却有最大值，无最小值，故C错误;

对于D：因为俨4|-|「耳20,取等号时|P4|=|PB|,即尸为AB垂直平分线与/的交点，

-1+41(-5+0、

y--------------------7—x-----------

因为垂直平分线方程为24-(-1)(2),即产T-1,

0-(-5)

所以It；；[;所以所以P(0，T)，故D正确；

故选：ABD.

【变式3-7](多选题)已知直线，：x-2y+8=0和三点A(2,0),B(-2T),C(2,5),过点C的直线4与X轴、y

轴的正半轴交于M,N两点.下列结论正确的是()

A.尸在直线/上，则|PA|+|P目的最小值为4四

B.直线/上一点尸。2,10)使|闸_|网最大

uumuULiu

C.当iavn・|CN|最小时4的方程是x+y-7=0

UULUUUUU

D.当「OM|ON|最小时」的方程是5x+尸15=0

【答案】BC

【解析】对于A：设点3关于直线/的对称点为9(九"),

«+4

--------x-=-i

则加+22,，解得B'3836

-2+m-2x^^+8=0

、22

:.\PA\+\PB\=|PA|+|尸＞\AB'\=

当A,3',尸三点共线时取最小值.A错误;

B'

对于B：||因-|尸川〈恒用，当A,3,尸三点共线时取最大值,

4

又L：丫=](x-2),即x-y-2=0,

x—y—2=0

联立x.2y+8=。,解得I2"l。,

即直线/上一点尸（12,10）使归网-|叫最大，B正确;

对于C：设4=-2)+5,Z<0,

当x=。时，＞=一2%+5,当、=。时，x=--+2,

k

当且仅当，=/,即左=—1时等号成立，

止匕时4：y=—(%—2)+5,即元+y—7=0,C正确；

uuumunr/5、23

对于D：||•|ON|=——+2(—2左+5)=20+—+4(-)1)>20+2—x4(—左)=40,

\k)—k\—k

755

当且仅当q=4（d）,即左=时等号成立，

—k2

此时4：＞=-1（尤-2）+5,即5x+2y-20=0,D错误.

故选：BC.

【变式3-8］已知点M（玉,％）在直线（：y=x+2，点N（%2，%）在直线‘2：V=1上，且"N_L/］，

&+（%-盯+4%-5）2+及的最小值为（）

A.述B.C.V41-V2D.5

22

【答案】D

【解析】由已知击：+（%-4）2表示点M（x“i）到点4（0,4）的距离，

22

7（x2-5）+y2表示点可（叼/2）到点3（5,0）的距离，

所以Jx；+（x-41+J&-5『+为=|以4MN2|,

过点A作AC，4,垂足为C,

因为直线4的方程为x-y+2=0,A（0,4）,

所以|AC|==聋=0,

71+1

又直线4：y=x+2与直线4：y=x平行，MNId、,

所以|削|=盥1=应，所以肱V//ACJ肱V|=M。，

所以四边形AAWC为平行四边形，所以|AM|=|OV|,

所以业+（%_4『+一5）2+£=|CNj+1N3|,

又|CN|+|Nfi|2|CB|,当且仅当C,N,B三点共线时等号成立，

所以当点N为线段CB与直线6的交点时，

222

1Jxl+（yl-4）+7（%2-5）+yf取最小值，最小值为|C3|，

因为过点A（0,4）与直线人垂直的直线的方程为y=-x+4,

(y=—x+4x=l

联立可得

[y=x+2y=3

所以点C的坐标为（1,3）,所以|CB|=J（5_1）2+（0-3）2,

所以J"®-"?+&「5）2+£的最小值为5,

故选：D.

【变式3-9]过定点A的动直线x+切=0和过定点5的动直线区-y-2k+1=0交于点M,则|幽+|阿|的

最大值是()

A.2忘B.3C.VlOD.V15

【答案】C

【解析】由题意知X+6=0过定点4(0,0),

动直线丘-。-2%+1=0即%(x-2)-y+l=0过定点8(2,1),

对于直线X+6=0和动直线"一》一2左+1=0满足lx左+Zx(—1)=0,

故两直线垂直，

因此点M