习题课椭圆的综合问题及应用教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

习题课椭圆的综合问题及应用教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册学校授课教师课时授课班级授课地点教具课程基本信息1.课程名称：习题课椭圆的综合问题及应用

2.教学年级和班级：2024-2025学年高二上学期，高二（1）班

3.授课时间：2024年10月15日，第3节课

4.教学时数：1课时（45分钟）核心素养目标1.通过分析椭圆的性质，培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。

2.通过解决椭圆相关的综合问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.增强学生运用数学符号语言表达数学概念和关系的能力，提升数学交流素养。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

-学生已经学习了椭圆的定义、标准方程以及焦点、准线等基本概念。

-学生能够计算椭圆的离心率，了解椭圆的几何性质。

-学生具备一定的解析几何基础，能够解决简单的椭圆问题。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

-学生对解析几何有一定的兴趣，但对椭圆的复杂应用问题可能感到困惑。

-学生具备一定的逻辑推理能力和数学运算能力，但可能在解决综合问题时缺乏策略。

-学生学习风格多样，有的喜欢通过图形直观理解，有的偏好通过公式推导。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

-学生可能在处理椭圆与其他图形（如直线、圆）的综合问题时遇到困难。

-学生在应用椭圆的性质解决实际问题时，可能难以建立合适的数学模型。

-学生在解决含有参数的椭圆问题时，可能对参数的取值范围和影响理解不深，导致解题过程中出现错误。教学方法与手段1.教学方法：

-采用讲授法，系统地讲解椭圆的综合问题解题方法和技巧。

-运用讨论法，组织学生分组讨论，共同解决典型例题，促进学生思考和交流。

-实施启发式教学，通过提问引导学生主动探索椭圆问题的解决策略。

2.教学手段：

-使用多媒体设备展示椭圆的动态图像，帮助学生直观理解椭圆的性质。

-利用教学软件进行实时反馈，及时了解学生对知识点的掌握情况。

-结合网络资源，提供额外的练习题和案例分析，丰富学生的学习材料。教学过程1.导入新课

-我首先通过复习上一节课的内容，让学生回顾椭圆的定义、标准方程以及焦点、准线等基本概念。

-接着，我提出一个引导性问题：“同学们，我们之前学习了椭圆的基本性质，那么在实际问题中，椭圆有哪些应用呢？”

-学生思考片刻后，我给出一些椭圆应用的实例，如地球卫星轨道、椭圆齿轮等，激发学生的兴趣。

2.知识讲解

-我通过多媒体展示椭圆的综合问题，如椭圆与直线的交点问题、椭圆与圆的相交问题等。

-我详细讲解每个问题的解题思路和方法，例如：“对于椭圆与直线的交点问题，我们首先要确定直线方程，然后将其与椭圆方程联立，解出交点坐标。”

-在讲解过程中，我不断提问，确保学生能够跟上我的思路，如：“同学们，我们在解这个方程组时，需要注意哪些地方？”

3.例题分析

-我挑选一些具有代表性的例题，让学生观察并尝试解决。

-例如：“下面这个题目，我们需要求椭圆与直线的交点，并讨论交点的个数。请大家先独立思考，然后我们一起来讨论。”

-学生尝试解题后，我邀请几位同学分享他们的解题过程，并进行点评和总结。

4.练习巩固

-我设计一些练习题，让学生分组讨论并解决。

-例如：“现在请大家分成小组，每组选择一道题目进行讨论。在讨论过程中，注意使用我们刚才讲解的方法和技巧。”

-学生讨论完毕后，我邀请每组代表汇报他们的解题过程和结果，对每组的表现给予肯定和指导。

5.课文主旨内容探究

-我引导学生深入探讨椭圆的综合应用问题，如：“同学们，椭圆在物理、工程等领域有哪些具体应用？我们可以如何利用椭圆的性质解决实际问题？”

-学生通过查阅资料、小组讨论等方式，探究椭圆在实际问题中的应用，并分享他们的发现。

-我对学生的探究成果进行总结，强调椭圆在解决实际问题中的重要作用。

6.重点难点讲解

-我针对学生在解题过程中可能遇到的难点，如参数方程的应用、椭圆与圆的相交问题等，进行详细讲解。

-例如：“对于椭圆与圆的相交问题，我们需要先画出图形，观察两图形的位置关系，然后建立方程组进行求解。”

-我通过举例说明，让学生更好地理解这些难点的处理方法。

7.学生展示与反馈

-我邀请学生展示他们在课堂练习中的解题过程，并给予反馈。

-例如：“这位同学，你的解题方法很巧妙，但有一点需要注意，我们在求解过程中要确保方程的解是符合实际情况的。”

-学生根据我的反馈进行调整，再次展示解题过程。

8.总结与拓展

-我对本次课程进行总结，强调椭圆的综合应用问题在数学学习中的重要性。

-例如：“通过本节课的学习，我们不仅掌握了椭圆的综合问题解题方法，还了解了椭圆在实际应用中的价值。”

-最后，我布置一些拓展作业，让学生在课后继续探索椭圆的应用问题，如：“请大家尝试找出椭圆在生活中的其他应用，并撰写一篇小论文。”

9.课堂结束语

-我鼓励学生积极参与数学学习，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。

-例如：“同学们，数学是一门充满智慧的学科，希望大家能够在学习中不断探索、不断创新，不断提高自己的数学素养。”

-我祝愿学生在接下来的学习中取得更好的成绩，并期待他们在数学的世界中绽放光彩。学生学习效果1.学生掌握了椭圆的综合问题解题方法，能够熟练运用椭圆的定义、标准方程以及焦点、准线等基本概念解决实际问题。

2.学生通过课堂练习和小组讨论，提高了逻辑思维能力和空间想象力，能够更好地理解椭圆的几何性质。

3.学生在解决椭圆相关的综合问题时，能够运用数学知识进行推导和计算，提高了运用数学解决实际问题的能力。

4.学生通过观察椭圆的动态图像，加深了对椭圆性质的理解，能够直观地描述椭圆的形状和位置关系。

5.学生在课堂讨论中积极发言，表达自己的观点，提升了数学交流素养，能够运用数学符号语言准确表达数学概念和关系。

6.学生通过解决椭圆问题的过程中，培养了耐心和细心的学习态度，遇到困难时能够坚持不懈地寻找解决问题的方法。

7.学生在学习椭圆的综合问题时，掌握了运用数学软件进行实时反馈的技巧，能够及时了解自己对知识点的掌握情况。

8.学生通过拓展作业的完成，进一步了解了椭圆在实际生活中的应用，增强了将数学知识应用到实际情境中的意识。

9.学生在学习过程中，逐渐形成了自主学习的习惯，能够主动查找相关资料，深入探究椭圆的综合应用问题。

10.学生在本次课程学习后，对数学产生了更浓厚的兴趣，提高了学习数学的热情，为后续的数学学习奠定了坚实的基础。课后作业1.请根据椭圆的标准方程\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)），求椭圆的离心率\(e\)，并讨论当\(a\)和\(b\)取不同值时，离心率\(e\)的变化情况。

2.已知椭圆的焦点为\(F_1(-c,0)\)和\(F_2(c,0)\)，其中\(c>0\)，椭圆上一点\(P(x,y)\)满足\(PF_1+PF_2=2a\)。求证：点\(P\)的轨迹是椭圆，并给出该椭圆的标准方程。

补充说明与例题：

-答案：椭圆的离心率\(e=\frac{c}{a}\)。当\(a\)增大或\(b\)减小时，\(c\)增大，\(e\)增大，椭圆更扁平；当\(a\)减小或\(b\)增大时，\(c\)减小，\(e\)减小，椭圆更圆。

-例题：已知椭圆\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)的离心率是多少？答案：\(e=\frac{\sqrt{16-9}}{4}=\frac{\sqrt{7}}{4}\)。

3.椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)上一点\(P\)到两焦点的距离之和为\(2a\)，求点\(P\)到椭圆中心的距离。

补充说明与例题：

-答案：点\(P\)到椭圆中心的距离为\(b\)。

-例题：椭圆\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)上一点\(P\)到两焦点的距离之和为\(8\)，求点\(P\)到椭圆中心的距离。答案：\(b=3\)。

4.已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的一个焦点为\(F(2,0)\)，且椭圆上一点\(P\)满足\(PF+PF'=6\)，求椭圆的方程。

补充说明与例题：

-答案：椭圆的方程为\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\)。

-例题：已知椭圆的一个焦点为\(F(2,0)\)，且椭圆上一点\(P\)满足\(PF+PF'=6\)，求椭圆的方程。答案：\(a=3,c=2,b^2=a^2-c^2=5\)。

5.直线\(y=kx+m\)与椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)相交于\(A\)、\(B\)两点，求证：\(A\)、\(B\)两点的中点\(M\)在直线\(y=-\frac{ka}{b}\)上。

补充说明与例题：

-答案：联立直线方程和椭圆方程，消去\(y\)，得到一个关于\(x\)的二次方程。解出\(x\)的值，求出\(A\)、\(B\)两点的横坐标之和，即可得到\(M\)点的横坐标，进而证明\(M\)点在直线\(y=-\frac{ka}{b}\)上。

-例题：直线\(y=x+1\)与椭圆\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)相交于\(A\)、\(B\)两点，求证：\(A\)、\(B\)两点的中点\(M\)在直线\(y=-\frac{1}{2}x\)上。答案：通过联立方程组，解出\(A\)、\(B\)两点的坐标，求出中点\(M\)的坐标，验证其在直线\(y=-\frac{1}{2}x\)上。

6.椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的内接矩形的长和宽分别为\(2a\)和\(2b\)，求该矩形的面积。

补充说明与例题：

-答案：内接矩形的面积为\(4ab\)。

-例题：椭圆\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)的内接矩形的面积是多少？答案：\(4\times4\times3=48\)。

7.已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)的离心率为\(e\)，求证：椭圆的焦距\(2c\)与半长轴\(a\)、半短轴\(b\)之间存在关系\(2c=2ae\)。

补充说明与例题：

-答案：由离心率的定义\(e=\frac{c}{a}\)，可以得到\(c=ae\)。因为焦距\(2c=2ae\)，所以关系成立。

-例题：椭圆\(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)的离心率为\(e=\frac{\sqrt{7}}{4}\)，求证：椭圆的焦距\(2c=2ae\)。答案：\(c=2\times4\times\frac{\sqrt{7}}{4}=\sqrt{7}\)，所以\(2c=2ae\)成立。教学评价与反馈1.课堂表现：

-学生在课堂上的参与度较高，能够积极回答问题，展示出对椭圆综合问题解题方法的兴趣。

-学生在听讲过程中，能够认真记录笔记，对椭圆的定义、标准方程等基本概念掌握较为牢固。

-部分学生在解题过程中表现出较高的逻辑推理能力，能够迅速找到解题的关键步骤。

2.小组讨论成果展示：

-小组讨论过程中，学生们能够积极交流，互相帮助，共同解决椭圆综合问题。

-各小组在成果展示时，能够清晰地表达解题思路，展示出良好的团队协作能力。

-小组讨论成果展示环节，学生们对椭圆与直线、圆的相交问题有了更深入的理解。

3.随堂测试：

-随堂测试结果显示，大部分学生对椭圆综合问题的掌握程度较好，能够熟练运用解题方法。

-少数学生在解决含有参数的椭圆问题时，对参数的取值范围和影响理解不够深入，需要加强练习。

-测试中，学生们在椭圆的几何性质应用方面表现较好，但在实际问题解决方面仍有提升空间。

4.课后作业完成情况：

-学生们能够按时完成课后作业，对椭圆综合问题的巩固和拓展起到了积极作用。

-作业中，学生们对椭圆与直线、圆的相交问题有了更深刻的理解，能够灵活运用解题