人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题2.2 基本不等式-重难点题型精讲及检测（教师版）

第第页专题2.2基本不等式-重难点题型精讲1.两个不等式eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).2．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．【题型1对基本不等式的理解】【方法点拨】(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：①当a＝b时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等号成立，即a＝b⇒eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；②仅当a＝b时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等号成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)⇒a＝b.【例1】（2022春•肥东县月考）对于不等式：①4+6＞25，②x+1x≥2A．①③正确，②错误 B．②③正确，①错误 C．①②错误，③正确 D．①③错误，②正确【解题思路】由已知结合基本不等式及相关结论分别判断各选项即可．【解答过程】解：因为(4所以4+6＜25，故①错误；当取x＝﹣1因为a2+b2≥2ab（a，b∈R），所以2（a2+b2）≥（a+b）2，所以a2+b2≥【变式1-1】（2022•上海）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（）A．a+b＞2ab B．a+b＜2ab C．a2+2b＞2ab D．a2+2【解题思路】利用已知条件以及基本不等式化简即可判断求解．【解答过程】解：因为a＞b＞0，所以a+b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，又a＞b＞0，所以a+b＞2ab，故A正确，a2+2b≥2a2×2b=2ab，当且仅当a2=2b【变式1-2】（2022春•汤原县期末）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则（）A．ab≥1 B．a+b≥2 C．a2+b2≥2 【解题思路】由已知结合基本基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．【解答过程】解：因为a＞0，b＞0，a+b＝2，所以ab≤（a+b2）2＝1，当且仅当a＝b＝1时取等号，A错误；因为（a+b）2＝a+b+2ab=2+2ab≤2+a+b＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以a+b≤2，B错误；因为a2+b22≥(a+b2)2=1，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以a2+b2≥2，C正确；1a【变式1-3】（2021秋•宿州期末）已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，则下列选项错误的是（）A．0＜b＜12C．ab的最大值是18 D．a2+b2的最小值是【解题思路】结合基本不等式，对选项逐一判断即可．【解答过程】解：根据题意，a＝1﹣2b＞0，b＞0，则0＜b＜12，所以选项2a+4b≥22a⋅4b=22a+2b=22，当且仅当a＝2b所以2a+4b≥22，选项B正确；由a＞0，b＞0，1＝a+2b≥22ab，即ab≤18，当且仅当a＝2b，即a=12所以ab的最大值是18，选项C由a+2b＝1，得a2+b2＝（1﹣2b）2+b2＝5b2﹣4b+1，所以当b=25时，a2+b2有最小值5×（25）2﹣4×25+1【题型2利用基本不等式证明不等式】【方法点拨】(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．(2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．(3)解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式．【例2】（2021秋•上饶期末）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，求证：(1+1【解题思路】本题的关键是把分子的“1”换成a+b，由基本不等式即可证明．【解答过程】解：∵a＞0，b＞0，且a+b＝1∴(1+1a＝5+2ba+2ab≥5+22ba×2ab故原题得证．【变式2-1】（2022•甘肃模拟）已知a，b∈R+，设x=ab，y=（1）xy≥ab；（2）x+y≤a+b．【解题思路】（1）利用基本不等式的性质即可得出．（2）通过平方作差利用乘法公式即可得出．【解答过程】证明：（1）∵a，b∈R+，x=ab，y=∴xy=ab⋅a2+b（2）∵a，b∈R+，x+y=ab则（a+b）2﹣（x+y）2＝（a+b）2−(ab+而（a+b）4﹣（a﹣b）4＝8ab（a2+b2），∴（a+b）4﹣8ab（a2+b2）＝（a﹣b）4，∴（a+b）2≥22ab(a2+b2)，∴（a+b）2﹣（x+y）2≥0，∴【变式2-2】（2021秋•桂林月考）已知a＞0，b＞0．（1）若1a+9b=1，求证：a（2）求证：a+b+1≥ab【解题思路】（1）由基本不等式及乘“1”法即可得证；（2）由基本不等式可得a+1≥2a，b+1≥2b，a+b≥2ab，当且仅当a＝b＝1时等号成立，三个式子相加即可得证．【解答过程】证明：（1）因为1a+9b=1，a＞0所以a+b＝（a+b）（1a+9b）＝10+当且仅当9ab=ba，即a＝4，b＝12时等号成立，所以a+（2）因为a＞0，b＞0，则a+1≥2a，b+1≥2b，a+b≥2ab，当且仅当a＝b＝1时等号成立，所以a+1+b+1+a+b≥2a+2b+2ab，所以a+b+1≥【变式2-3】（2022•黄州区校级模拟）设a，b，c＞0，且ab+bc+ca＝1，求证：（1）a+b+c≥3（2）abc+b【解题思路】（1）运用分析法证明．要证a+b+c≥3，结合条件，两边平方，可得a2+b2+c2≥1（2）问题转化为证明abc+bac+cab【解答过程】证明：（1）运用分析法证明．要证a+b+c≥3，即证（a+b+c）2≥3由a，b，c均为正实数，且ab+bc+ca＝1，即有a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥3，即为a2+b2+c2≥1，①由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，相加可得a2+b2+c2≥zb+bc+ca＝1，则①成立．综上可得，原不等式成立．（2）∵abc+bac+cab=a+b+cabc，而由（1）a+故只需1abc≥a+b+c，即a即：abc+bac+cab≤ab+bc而abc=ab•ac≤ab+ac2，b∴abc+bac+cab≤ab+bc+ac＝1成立，（当且仅当a＝b＝【题型3利用基本不等式求最值（无条件）】【方法点拨】(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．【例3】（2022春•漳州期末）已知a＞1，则a+4A．5 B．6 C．32 D．【解题思路】由已知结合基本不等式即可直接求解．【解答过程】解：因为a＞1，则a+4a−1=a﹣1+4a−1+当且仅当a﹣1=4a−1，即a＝3时取等号．故选：【变式3-1】（2022春•甘孜州期末）y=x+4x(x≥1)A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】利用基本不等式的性质可求得答案．【解答过程】解：由已知函数y=x+4x，∵x≥1，∴4x＞0​当且仅当x=4x​，即x＝2​时等号成立，∴​当x＝2​时，函数y=x+4x​有最小值是【变式3-2】（2022•怀仁市校级二模）函数y=3x+4A．8 B．7 C．6 D．5【解题思路】由x＞13可得3x﹣1＞0，所以y＝3x+43x−1=3x【解答过程】解：由x＞13，得3x﹣1＞所以y＝3x+43x−1=3x﹣1+43x−1+1≥当且仅当3x﹣1=43x−1，即x＝1时等号成立，所以y＝3x+43x−1的最小值为【变式3-3】（2022•香坊区校级模拟）若a＞0，b＞0，求baA．2 B．2 C．22 D．【解题思路】把ba【解答过程】解：∵a＞0，b＞0，∴ba2当且仅当ba2=1b=a2时等号成立，【题型4利用基本不等式求最值（有条件）】【例4】（2022秋•凉州区校级月考）已知a，b为正实数且a+b＝2，则baA．32 B．2+1 C．52 【解题思路】由已知可知ba+【解答过程】解：因为a，b为正实数且a+b＝2，所以ba≥2ba⋅ab+1＝2+1＝3，当且仅当ba=ab，即a【变式4-1】（2022秋•广东月考）若正实数y满足2x+y＝9，则−1A．6+429 B．−6+429 C．【解题思路】推导出−1x−4y=−19（1x+4y）（【解答过程】解：正实数y满足2x+y＝9，∴−1x−4y=−19=−19（6+8xy+yx）≤则−1x−4y【变式4-2】（2022秋•浙江月考）已知正实数x，y满足1x+4y+4=x+yA．13−2 B．2 C．2+13 D【解题思路】由题意可得1x+4y=x+y−4，再将两边同时乘以x+y【解答过程】解：∵正实数x，y满足1x+4y∴(1x+4y当且仅当yx=4xy，即y＝2x，又1x+4y+4=x+y∴（x+y）2﹣4（x+y）≥9，解得x+y≥2+13，∴x+y的最小值为2+13．故选：【变式4-3】（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足a+b＝4，则(a+1A．22+2 B．4 C．254 【解题思路】由题可知(a+1b)(b+1【解答过程】解：∵正实数a、b满足a+b＝4，∴(a+1b)(b+1a)=ab+1ab当且仅当ab=1ab，即ab＝1，a+b＝4时取等号，∴(a+1b)(b+【题型5利用基本不等式求参数】【例5】（2022春•爱民区校级期末）已知x＞0，y＞0且1x+4y=1，若x+y＞m2A．[9，+∞） B．（﹣∞，﹣3] C．[1+∞） D．（﹣9，1）【解题思路】由基本不等式“1”的用法得x+y≥9，进而解不等式m2+8m＜9即可得答案．【解答过程】解：∵x＞0，y＞0，且且1x+∴x+y＝（x+y）（1x+4y）＝5+yx+4xy≥2yx⋅4xy+5＝9，当且仅当yx=4xy，即x＝3，y＝6时取等号．∴（x+y）min＝9，由x+y＞解得：﹣9＜m＜1，即m∈（﹣9，1）．故选：D．【变式5-1】（2021秋•怀仁市校级期末）已知x＞0、y＞0，且2x+1y=1，若2x+y＜m2﹣A．（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞） B．（﹣9，1） C．[﹣9，1] D．（﹣1，9）【解题思路】由已知先利用基本不等式求出2x+y的最小值，然后结合不等式的存在性问题与最值关系进行转化，解二次不等式可求．【解答过程】解：因为x＞0、y＞0，且2x+2x+y＝（2x+y）（2x+1y）＝当且仅当2xy=2yx且2x+1y=1，即x＝y＝若2x+y＜m2﹣8m有解，则9＜m2﹣8m，解得m＞9或m＜﹣1，即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．故选：A．【变式5-2】（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足1a+1b=m，若(a+A．{2} B．[2，+∞） C．（0，2] D．（0，+∞）【解题思路】由题意可得(a+1b)(b+1a)=ab+1ab+2≥＝4【解答过程】解：因为a，b为正实数，所以(a+1b)(b+1a)=ab+当ab=1ab，即ab＝1时等号成立，此时b=1a，又因为1a所以由基本不等式可知a+1a≥2（a＝1时等号成立），所以m≥2【变式5-3】（2021秋•武清区校级月考）设x＞0，y＞0，设2x+3y=1，若3x+2y＞m2A．{x|x≤﹣6或x≥4} B．{x|x≤﹣4或x≥6} C．{x|﹣6＜x＜4} D．{x|﹣4＜x＜6}【解题思路】由x＞0，y＞0，2x+3y=1，得3x+2y＝（2x【解答过程】解：由x＞0，y＞0，2x得3x+2y＝（2x+3y）（3x+2y）=4yx+9x当且仅当4yx=9xy且2x+3y=1又因为3x+2y＞m2+2m恒成立，m2+2m＜24，解得m∈（﹣6，4）．故选：C．【题型6利用基本不等式解决实际问题】【方法点拨】解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．【例6】（2021秋•阳春市校级月考）用一段长为32m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？【解题思路】根据已知条件，求出x+y＝16，再结合基本不等式的公式，即可求解．【解答过程】解：设矩形菜园的长为x（m），宽为y（m），则2（x+y）＝32，x+y＝16，矩形菜园的面积为xy（m2），由xy≤x+y2=16当且仅当x＝y，即x＝y＝8时，等号成立，故这个矩形的长、宽都为8（m）时，菜园的面积最大，最大面积为64（m2）．【变式6-1】（2021秋•凉州区期末）如图，计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为x，宽为y．（1）若菜园面积为72，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（2）若使用的篱笆总长度为30，求1x【解题思路】（1）根据积定，应用基本不等式求和的最小值，注意等号成立条件；（2）应用基本不等式“1”的代换求1x【解答过程】解：（1）由题意知：xy＝72，篱笆总长为x+2y．又x+2y≥22xy=24，当且仅当x＝2y，即x＝12，∴当x＝12，y＝6时，可使所用篱笆总长最小；（2）由题意得：x+2y＝30，又(1∴1x+2y≥310，当且仅当x＝y，即x＝10，y＝【变式6-2】（2021秋•黄浦区校级期中）迎进博会，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm．（1）试用栏目高acm与宽bcm（a＞0，b＞0）表示整个矩形广告面积Scm2；（2）怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形广告面积最小，并求最小值．【解题思路】（1）根据矩形栏目面积确定高与宽的关系，从而可得整个矩形广告面积；（2）利用基本不等式，即可求得最值．【解答过程】解：（1）设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab＝20000，∴b=广告的高为（a+20）cm，宽为（3b+30）cm（其中a＞0，b＞0），广告的面积S＝（a+20）（3b+30）＝30（a+2b）+60600；（2）S＝30（a+2b）+60600＝30（a+40000a）+60600≥30×2a×40000当且仅当a=40000a，即a＝200时，取等号，此时b＝故当广告矩形栏目的高为200cm，宽为100cm时，可使广告的面积最小．【变式6-3】（2021秋•湖州期中）如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB＝xcm．（Ⅰ）若DP＞13（Ⅱ）设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．【解题思路】（Ⅰ）由折叠性质可知△ADP≌△CEP，进而可得AP＝PC＝（x﹣a），再利用勾股定理得到（20﹣x）2+a2＝（x﹣a）2，化简整理求出a，根据AB＞AD求出x的范围即可；（Ⅱ）S=300−10(x+200x)【解答过程】解：（Ⅰ）由矩形周长为40cm，可知AD＝（20﹣x）cm，设DP＝acm，则PC＝（x﹣a）cm，∵△ADP≌△CEP，∴AP＝PC＝（x﹣a）cm．在Rt△ADP中，AD2+DP2＝AP2，即（20﹣x）2+a2＝（x﹣a）2，得a=20−由题意，20−200x＞13x，即x2﹣60由AB＞AD得，10＜x＜20，∴30−103＜x（Ⅱ）S=12AD⋅DP=12(20−x)(20−200x)∵x＞0，∴x+200当且仅当x=200x，即x=102时，(x+200x专题2.2基本不等式-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022春•韩城市期末）函数f(x)=5x+20A．10 B．15 C．20 D．25【解题思路】利用基本不等式化简即可求解．【解答过程】解：由题意f（x）＝5x+20x当且仅当5x=20x，即x＝2时取等号，此时取得最小值为20，故选：2．（3分）（2022春•郫都区校级期末）若实数x、y满足x2+y2＝1+xy，则下列结论中，正确的是（）A．x+y≤1 B．x+y≥2 C．x2+y2≥1 D．x2+y2≤2【解题思路】由x2+y2﹣xy＝1可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3（x+y2）2，x2+y2﹣1＝xy≤分别求出x+y与x2+y2的取值范围即可．【解答过程】解：对于A，B，由x2+y2＝1+xy可得，（x+y）2＝1+3xy≤1+3（x+y2）2即14(x+y)2≤1，∴（x+y）2≤4，∴﹣2≤x+y≤2对于C，D，由x2+y2＝1+xy可得，x2+y2﹣1＝xy≤x2+y22，∴x2+y2≤2，故3．（3分）（2022春•黄陵县校级期末）下列函数中，最小值为2的是（）A．y=x+1x B．y＝x2﹣2xC．y=x2+1【解题思路】选项A，利用排除法，当x＜0时，y＜0；选项B，由配方法，可得y≥3；选项C，利用基本不等式，可得解；选项D，采用换元法，令t=x2+2≥2，则【解答过程】解：选项A，当x＜0时，y＜0，即A不符合题意；选项B，y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3≥3，即B不符合题意；选项C，y＝x2+1x2≥2x2⋅1x2=2，当且仅当x2=1x2，即x＝±1时，等号成立，即C符合题意；选项D，令t=x2+2≥2，则y＝t4．（3分）（2022秋•哈尔滨月考）设a＞0，b＞0，若a+3b＝5，则(a+1)(3b+1)abA．93 B．2 C．62 D．43【解题思路】由已知结合基本不等式即可求解．【解答过程】解：a＞0，b＞0，a+3b＝5，则(a+1)(3b+1)ab=3ab+a+3b+1ab=当且仅当3ab=6ab且a+3b＝5，即a＝2，b＝5．（3分）（2022秋•南关区校级月考）已知正实数a，b满足4a+b+1b+1=1A．6 B．8 C．10 D．12【解题思路】根据a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（4a+b+1b+1【解答过程】解：∵正实数a，b满足4a+b+1b+1=1，∴a+2b＝a+b+b+1﹣1＝（a+b+b+1）（4a+b+1b+1）﹣1＝5+4(b+1)a+b+a+bb+1−1≥5+24(b+1)6．（3分）（2021秋•泽普县校级月考）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（）A．a+b2≥ab(a＞0C．a+b2≤a2+【解题思路】利用数形结合计算出OF，OC，再在Rt△OCF中，利用勾股定理得CF，再由CF≥OF，可解．【解答过程】解：由图形可知：OF=12AB=1在Rt△OCF中，由勾股定理得：CF2又CF≥OF，∴12(a2+b2)≥7．（3分）（2022春•营口期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数a，b满足a+b＝4，且1a+1bA．t≤1 B．t＜1 C．t≤2 D．t＜2【解题思路】利用“乘1法”，可得1a+【解答过程】解：1a+1b=14（a+b）（1a+1b）当且仅当ab=ba，即a＝b＝2时，等号成立，因为a≠b又1a+1b＞t恒成立，所以t8．（3分）（2021秋•李沧区校级月考）若x＞0，y＞0，且2x+1y=1，x+2y＞m2A．﹣8＜m＜1 B．m＜﹣8或m＞1 C．m＜﹣1或m＞8 D．﹣1＜m＜8【解题思路】根据题意，分析可得x+2y＝（x+2y）（2x+1y）＝4++4yx+【解答过程】解：根据题意，x＞0，y＞0，且2x+则x+2y＝（x+2y）（2x+1y）＝4+4yx+xy≥4+2即x+2y的最小值为8，若x+2y＞m2+7m恒成立，必有m2+7m＜8，解可得﹣8＜m＜1．即m的取值范围为（﹣8，1）．故选：A．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021秋•滦南县校级月考）下列函数最小值为2的是（）A．y＝x+1x B．yC．y＝x2+1x2 D【解题思路】对于AD可以利用特殊值法判断；对于BC利用基本不等式判断即可．【解答过程】解：对于A，当x＝﹣1时，y＝﹣2，A错误．对于B，y=x2+2x当且仅当x2+1=1x2+1对于C，y＝x2+1x2≥2x2⋅1x2=2对于D，当x＝0时，很显然最小值不是2，D错误．故选：BC．10．（4分）（2021秋•建华区校级期中）若正数a，b满足a+b＝1，则13a+2A．67 B．47 C．27 【解题思路】构造17×（3a+2+3b+2）×（13a+2【解答过程】解：∵a+b＝1，∴3a+2+3b+2＝7，∴13a+2+13b+2=17×（3a+2+3b∵a，b都是正数，∴3b+23a+2＞0，3a+2由基本不等式可知3b+23a+2+3a+23b+2∴13a+2+13b+2≥27+27=47，当且仅当∴13a+2+13b+2的最小值为11．（4分）（2021秋•烟台期末）已知x＞0，y＞0，且x+y+xy﹣3＝0，则错误的是（）A．xy的取值范围是[1，9] B．x+y的取值范围是[2，+∞） C．x+4y的最小值是3 D．x+2y的最小值是4【解题思路】由已知结合基本不等式分别检验各选项即可判断．【解答过程】解：因为x＞0，y＞0，且x+y+xy﹣3＝0，所以x+y＝3﹣xy≥2xy，当且仅当x＝y＝1时取等号，解得，0＜xy≤1，即0＜所以xy的取值范围为（0，1]，A错误；又xy＝3﹣（x+y）≤(x+y2)2，且仅当x＝y＝1时取等号，解得，x+y又x+y＝3﹣xy＜3；由x+y+xy﹣3＝0，得x=3−yy+1＞0，所以0＜y＜3，1＜y+1所以x+4y=3−yy+1+4y＝4（y+1）+4y+1−x+2y=3−yy+1+2y＝2y−y+1−4y+1=2（y+1）+4当且仅当2y+2=4y+1，即y=2−1时取等号，此时x+2y取得最小值4故选：AC．12．（4分）（2021秋•呼兰区校级期中）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝2，若mm−1≤x+2yxy对任意的x＞0，y＞A．14 B．98 C．127 【解题思路】先结合基本不等式求出x+2yxy的最小值，然后由不等式恒成立转化为mm−1≤（x+2yxy）【解答过程】解：因为x＞0，y＞0，且2x+y＝2，所以x+2yxy=1y+2x=12（1y+2当且仅当2xy=2yx且2x+y＝2，即x＝y=23时取等号，若mm−1≤x+2y则mm−1≤92，整理得7m−9m−1≥0，解得m≥97或三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2021秋•石鼓区校级月考）已知x＞2，x+ax−2（a＞0）最小值为3．则a＝1【解题思路】先变形得到x+ax−2=x﹣2【解答过程】解：∵x＞2，∴x﹣2＞0，∴x+ax−2=x﹣2+ax−2+当且仅当x﹣2=ax−2，即x＝2+a时取等号，∴x+ax−2（a＞0∵x+ax−2（a＞0）最小值为3，∴2a+2＝3，∴a=14．（4分）（2022秋•新罗区校级月考）已知正实数a，b满足ab+a+b＝3，则2a+b的最小值为42−3【解题思路】利用已知关系式求出a=3−b则2a+b＝2×3−bb+1+b=6−2bb+1+b=8−2(b+1)然后利用基本不等式即可求解．【解答过程】解：因为ab+a+b＝3，所以a=3−bb+1，则2a+b＝2×3−b=8b+1+b﹣2=8b+1当且仅当8b+1=b+1，即b＝22−1时取等号，此时最小值为42−315．（4分）（2022•衡南县校级开学）直角三角形的斜边长为5时，其面积有最大（大或小）值，为254【解题思路】先设直角边分别为x，y，则x2+y2＝25，然后结合基本不等式及三角形面积公式可求．【解答过程】解：设两直角边分别为x，y，则x2+y2＝25，因为x2+y2≥2xy，当且仅当x＝y=522时取等号，故xy≤25故答案为：大；25416．（4分）（2022秋•余姚市校级月考）有下列4个关于不等式的结论：①若x＜0，则x+1x≤−2；②若x∈R，则x2+2x2+1≥2；③若x∈R，则|x+1x|≥2；④【解题思路】利用基本不等式逐个判断4个结论即可，注意“一正，二定，三相等”3个条件缺一不可．【解答过程】解：对于①，若x＜0，则﹣x＞0，∴x+1x=−（﹣x+1−x）≤﹣2−x⋅1−x=−2，当且仅当﹣x=1−x，即x＝﹣1时，等号成立，故①正确，对于②，若x∈R，x2+2x2+1=(x2+1)2+1x2+1=x2+1+1x2+1≥2x2+1⋅1x2+1=2，当且仅当x2+1=1x2四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022•望花区校级开学）已知x∈（0，+∞）．（1）求y=x+1（2）求y=x2+2x+3x的最小值，以及【解题思路】（1）由题意利用基本不等式即可求解．（2）由已知可得y=x2+2x+3x=【解答过程】解：（1）因为x∈（0，+∞），所以y=x+1x≥2x⋅1x=2，取等号条件：x因为x∈（0，+∞），所以x＝1，所以函数y=x+1x的值域为[2，+（2）y=x2+2x+3x=2+（x+3x），因为x∈（0，+所以y＝2+（x+3x）≥2+23，取等号条件：x=3x，x因为x∈（0，+∞），所以x=3，当x=3时，该函数取最小值2+218．（6分）（2021秋•新泰市校级期末）已知实数a＞0，b＞0，a+2b＝2．（1）求1a（2）求a2+4b2+5ab的最大值．【解题思路】（1）利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出；（2）利用a＝2﹣2b将a2+4b2+5ab＝﹣2（b−12）2【解答过程】解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+2b＝2，∴1a当且仅当2ab=2ba，即a＝b时等式成立，∴（2）∵a＞0，b＞0，a+2b＝2，∴a＝2﹣2b＞0，可得0＜b＜1，a2+4b2+5ab＝（2﹣2b）2+4b2+5（2﹣2b）b＝﹣2b2+2b+4＝﹣2（b−12）2当b=12时，a2+4b2