2022-2024年高考数学试题分类汇编：平面解析几何（选择题、填空题）（解析版）

三年真题

4<05平而斛折几何（这群敢、嫉空座J

目制鲁港。绢施留

考点三年考情（2022-2024）命题趋势

考点1:直线方程与圆的方程2022年全国II卷、2022年全国甲卷（文）

2022年全国乙卷（理）

考点2：直线与圆的位置关系2024年北京卷、2022年全国甲卷（理）

2022年天津卷、2022年北京卷近三年高考对解析几何小

2023年全国I卷、2024年北京卷

考点3：圆与圆的位置关系题的考查比较稳定，考查内

2022年全国I卷

容、频率、题型难度均变化

考点4：轨迹方程及标准方程2023年北京卷、2023年天津卷

2024年全国II卷、2022年天津卷不大，备考时应熟练以下方

2022年全国甲卷（文）向：

考点5：椭圆的几何性质2022年全国I卷

2023年全国甲卷（理）（1）要重视直线方程的求

2023年全国甲卷（文）法、两条直线的位置关系以

考点6：双曲线的几何性质2022年北京卷

2023年全国乙卷（理）及点到直线的距离公式这

考点7：抛物线的几何性质2024年北京卷、2024年天津卷三个考点.

2023年全国乙卷（理）

2023年天津卷、2023年全国II卷（2）要重视直线与圆相交

2024年全国II卷、2022年全国I卷所得弦长及相切所得切线

考点8：弦长问题2022年全国乙卷（理）

2023年全国甲卷（理）的问题.

考点9：离心率问题2024年全国I卷、2022年全国甲卷（文）（3）要重视椭圆、双曲线、

2023年全国I卷、2022年浙江卷

2022年全国乙卷（理）抛物线定义的运用、标准方

2024年全国甲卷（理）程的求法以及简单几何性

2023年全国I卷、2022年全国甲卷（理）

质，尤其是对离心率的求

考点10：焦半径、焦点弦问

2022年全国II卷、2023年北京卷解，更是高考的热点问题，

题

因方法多，试题灵活，在各

考点11：范围与最值问题2022年全国n卷

2024年全国甲卷（文）种题型中均有体现.

2023年全国乙卷（文）

考点12：面积问题2024年天津卷、2023年全国H卷

2023年全国n卷

考点13：新定义问题2024年全国I卷

曾窟飨缀。阖滔运温

考点1:直线方程与圆的方程

22

1.（2022年新高考全国n卷数学真题）已知直线/与椭圆：+3=1在第一象限交于A,B两点，/与x轴,

》轴分别交于M，N两点，且|MA|=|NB|,|MN|=2A/5,则/的方程为.

【答案】x+应y-2&=0

【解析】［方法一］：弦中点问题：点差法

令的中点为E,设4（芯,乂），B（x2,y2）,利用点差法得到晒=-；，

设直线超：y=履+根，k<0,m>0,求出V、N的坐标，

再根据|则求出展加，即可得解；

令A5的中点为E,因为所以|ME|=|NE|,

2222

设B（x2,y^,则工+'=1,叁+”=1,

6363

所以近一立+式一五=0,即瓜一%）（西+々）1（必+%）（%一%）_0

663363

所以竺叫匚奥-J，即左0小38=一;，设直线.：丫=丘+机

k<0,m>0,

（王一尤2）（毛+%）

令％=0得丁=机，令y=o得％=_二，即M-poj,N（0,〃z）,

k

所以£一£

V2k

m

即左xW-=-1，解得后=一41或左=受（舍去），

m222

~2k

又|政V|=2g,BP\MN\=Jm2+（V2m）2=2^/3,解得m=2或机=—2（舍去）,

所以直线AB:y=-^-x+2,即x+也y-2亚=0；

［方法二］:直线与圆锥曲线相交的常规方法

由题意知，点E既为线段的中点又是线段MN的中点，

设3(%,力)，设直线AB:y=Ax+俏，k<0,m>0,

则加(_/,0),N(O,m),4-会3因为网=2后，所以加=6

y=kx+m

联立直线AB与椭圆方程得x2y2消掉y得(1+2F)/+赤丘+2疗-6=0

—+—=1

［63

其中A=(4江y-4(1+2k2)(2毋-6)>0,玉+马=~~-―^,

AC+,上「钻母4Al一2rnkDE/M根、2mkm

・•.AB中点E的横坐标xE=--，又E「纭,万J,/=一衔

2k

■,-k<0,m>0,...仁孝，又|OE|=一菱>+(g)2=5解得m=2

所以直线AB:y=-4+2,BPx+—25/2'=0

2.(2022年高考全国甲卷数学(文)真题)设点M在直线2无+、-1=。上，点(3,0)和(0,1)均在。M上，则

OM的方程为.

【答案】(If+(y+iy=5

【解析】［方法一］:三点共圆

••,点”在直线2x+y-l=0上，

二设点M为又因为点(3,0)和(0,1)均在0M上，

•••点M到两点的距离相等且为半径R,

J(a-3)~+(1-2a)~=+(-2a)~=R,

cr—6a+9+4a2—4a+l=5a2,解得。=1,

R=下,

。”的方程为(x-I)?+(y+=5.

故答案为：(x-l)2+(y+l)2=5

［方法二］:圆的几何性质

由题可知，M是以(3,0)和(0,1)为端点的线段垂直平分线y=3x-4与直线2x+y-1=。的交点4,-”.R=如,

。”的方程为(XT)。+(y+l>=5.

故答案为：(x-l)2+(y+l)2=5

3.(2022年高考全国乙卷数学(理)真题)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程

为.

【答案】(无一2)2+(1)2=13或—(1)2=5或"：+.口哼或［一|1+(>一1)2=詈.

【解析】［方法一］:圆的一般方程

依题意设圆的方程为炉+丫2+。*+&+尸=0,

F=Q但=0

(1)若过(0,0),(4,0),(-1,1),则16+4。+尸=0,解得〃=-4,

1+1-D+E+F=0,=-6

所以圆的方程为无2+V-4x-6y=0,即(无一2)2+(>-3)2=13；

"尸=0fF=0

(2)若过(0,0),(4,0),(4,2),贝卜16+40+尸=0,解得＜。=一4,

16+4+4D+2E+尸=0[E=-2.

所以圆的方程为f+/一4x-2y=0,BP(^-2)2+(y-l)2=5；

F=0

F=0

Q

(3)若过(0,0),(4,2),(-1,1),则1+1-。+£+尸=0解得O=,

16+4+4D+2E+尸=0

«1465

所以圆的方程为f+产|x—/〉=(),即

9

F厂=--1-6

l+l-D+E+F=05

(4)若过(—1,1),(4,0),(4,2),则16+4。+尸=0,解得＜所以圆的方程为

16+4+4D+2E+F=0

E=-2

x-|i+(z)T

2音或

故答案为：(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y_l)2=5或|G7

*+

x-|i+g)j詈

［方法二］:【最优解】圆的标准方程(三点中的两条中垂线的交点为圆心)

设9(0,0),8(4,0),c(-l,l),£>(4,2)

(1)若圆过A、B、C三点，圆心在直线x=2,设圆心坐标为(2,a),

则4+/=9+(4-1)=4=3/="+/=屈，所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13；

(2)若圆过4B、O三点，设圆心坐标为(2,。)，则4+4=4+(〃—2>=>a=l'="+/=否,所以圆

的方程为(x-2)2+(、-1)2=5；

(3)若圆过4C、。三点，则线段AC的中垂线方程为了=尤+1,线段AD的中垂线方程为y=-2x+5,

联立得x==gn厂,所以圆的方程为+。-()2=与

(4)若圆过AaO三点，则线段3D的中垂线方程为>=1,线段2C中垂线方程为y=5x-l,联立得

x=|,y=l=「=£,所以圆的方程为("•|)2+。_1)2=詈

音或

故答案为：(x_2)，(y—3)2=13或(x—2)2+(y—l)2=5或*7

尤一I|+(5嘿

【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁;

方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解.

考点2：直线与圆的位置关系

4.(2024年北京高考数学真题)若直线y=Mx-3)与双曲线。-产=1只有一个公共点，贝必的一个取值

为.

【答案】1(或答案不唯一)

【解析】联立14)"，化简并整理得：(l-4k2)x2+24k2x-36k2-4=0,

y=女(工一3)

由题意得1-=0或A=(24左2『+4(36/+4)(1-咐=0,

解得改=士;或无解，即L=土;，经检验，符合题意.

故答案为：I（或-士，答案不唯一）.

5.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若双曲线V一二=1（〃＞0）的渐近线与圆Y+y2-4y+3=0相

m

切，则机=.

【答案】县

3

丫2Y

【解析】双曲线9-宗=1（"7＞0）的渐近线为y=±\,即X土磔=0,

不妨取x+my=0,圆/+9-分+3=0,即/+（＞_2『=1,所以圆心为（0,2）,半径r=1,

依题意圆心（0,2）到渐近线x+my=0的距离d=/生=1,

VI+m

解得〃Z=或加=一（舍去）.

33

故答案为：县.

3

6.（2022年新高考天津数学高考真题）若直线x-y+"2=0（〃，＞0）与圆（x-l）2+（y-l）2=3相交所得的弦长

为加，贝1|加=.

【答案】2

【解析】圆（x-iy+（y-l）2=3的圆心坐标为（1,1）,半径为

h—1+帆]m

圆心到直线X-y+机=0（机＞0）的距离为J--y=--

由勾股定理可得3,因为机＞0,解得m=2.

故答案为：2.

7.（2022年新高考北京数学高考真题）若直线2x+y-1=。是圆（冗_〃）2+丁=1的一条对称轴，则〃=（）

B.C.1D.-1

2

【答案】A

【解析】由题可知圆心为（。,0），因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即24+0-1=0,解得。=；.

故选:A.

8.（2023年新课标全国I卷数学真题）过点（0厂2）与圆％2+产—4%_1=。相切的两条直线的夹角为。，则

sincif=()

A.1B.—C.—D.—

444

【答案】B

【解析】方法一：因为炉+/-©-1=0,即口一2『+/=5,可得圆心C（2,0）,半径一百,

过点*0,-2）作圆C的切线，切点为A3,

因为归C|二百+（—2）2=272,则|PA|=yl\PC^-r2=6,

可得sinZAPC=£=®,cosZAPC=/=逅，

2V242V24

贝UsinZAPB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x巫x包=姮，

444

cos/APB=cos2/APC=cos2/APC—sin2/APC=［乎［一|乎［=一;<0，

即/APfi为钝角，

所以sina=sin（兀一NAPB）=sinZAPB=；

法二：圆/+y2-4x-l=0的圆心C（2,0）,半径厂=百，

过点P（0,-2）作圆C的切线，切点为A,3,连接

可得|尸。|=百+（—2『=20,则|PA|=|PB|=y/\PC\2-r2=6,

因为|24「+1尸砰一2归从归mcos/APB=|C4「+Q@2一2|C4|.|CB|cosNACB

且/4CR=兀一/APR,则3+3—6cos^APB—5+5—lOcos（兀一^APB^,

即3—cosZAP5=5+5cosZAP5,1^cosZAPB=--<0,

4

即/APB为钝角,贝（Jcosa=cos（n-ZAPS）=-cosZAPB=,

且a为锐角，所以sina=Jl-cos2a=；

4

方法三：圆炉+/-4丈-1=0的圆心C（2,0）,半径r=百，

若切线斜率不存在，则切线方程为x=0,则圆心到切点的距离d=2>r,不合题意；

若切线斜率存在，设切线方程为>=辰-2,即区-〉-2=0,

\2k-2\I-

则।L~~=<5,整理得人2+8左+1=0,且△=64—4=60>0

收+1

设两切线斜率分别为左，&，则尢+&=-8,kxk2=1,

可得上一周=｛（尢+&）2_4左&=2岳,

所以tana=%-封=&?,即包q=&?,可得cosa=^?,

\+kxk2cosaV15

•2

rn11.22•2SillCC

贝！Jsma+cosa=sma-\---------=11,

15

且tze(0,兀)，则sine＞。，解得sina=

炉+/―2x+6y=0的圆心到直线x—y+2=。的距离为()

A.V2B.2C.3D.372

【答案】D

【解析】由题意得小+/一2尤+6y=0,即(xT)2+(y+3)2=10,

则其圆心坐标为。,-3),则圆心到直线x-y+2=0的距离为=3近

故选：D.

考点3：圆与圆的位置关系

10.(2022年新高考全国I卷数学真题)写出与圆Y+y2=i和5_3)2+(>-4>=16都相切的一条直线的方

程.

【答案】y=3+=5或>=7小-235或4-1

442424

【解析】［方法一］：

显然直线的斜率不为0,不妨设直线方程为x+外+c=0,

工曰|c|13+40+cl

于是时=1，飞==4・

故/=1+〃2①，|3+45+°|=|4。|.于是3+4/?+。=4(?或3+4^+。=7<>,

244

——b7=—

再结合①解得।或

\c=l

ic=-

所以直线方程有三条，分另I」为x+l=O,7x-24y-25=0,3x+4y-5=0.

(填一条即可)

［方法二］:

设圆炉+;/=1的圆心。(0,0),半径为4=1,

圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心C(3,4),半径々=4,

则|OC|=5=1+g,因此两圆外切，

由图像可知，共有三条直线符合条件，显然尤+1=0符合题意；

又由方程(x—+(y—4)z=16和/+9=1相减可得方程3x+4y—5=。,

即为过两圆公共切点的切线方程，

又易知两圆圆心所在直线OC的方程为4x-3y=0,

4

直线OC与直线x+l=0的交点为

4k--|7

设过该点的直线为y+g=Mx+l),则|3|解得左=/，

3行」24

从而该切线的方程为7x-2”-25=0.(填一条即可)

［方法三］:

圆4+尸=1的圆心为。(0,0),半径为1,

圆(x-3)~+(y-4)2=16的圆心0］为(3,4),半径为4>

两圆圆心距为斤百=5,等于两圆半径之和，故两圆外切，

如图，

当切线为/时，因为自q=§4，所以勺=-13,设方程为y=-13x+®>0)

d=-11fl=1535

。到/的距离，解得/=],所以/的方程为y=-：x+T，

竹布444

当切线为加时，设直线方程为履+y+p=o,其中p>。，k<o,

4=1

Jl+32725

由题意■，解得—x-----

伙+4+。|2424

P=一

71+F24

当切线为"时，易知切线方程为x=-1,

35725

故答案为：口二+公或尸五犬-五或

考点4：轨迹方程及标准方程

11.(2023年北京高考数学真题)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为0,则C的方程

为.

2

【答案】土f-匕V=1

22

【解析】令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为。力，显然双曲线C的中心为原点，焦点在无轴上，其半焦

距c=2,

由双曲线C的离心率为血，得(=应，解得。=应，则人=，7工7=0，

22

所以双曲线C的方程为土-2=1.

22

r2v2

故答案为：—-^-=1

22

22

12.（2023年天津高考数学真题）已知双曲线=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为耳、F.过F?向一

ab2

条渐近线作垂线，垂足为尸.若|尸耳|=2,直线2耳的斜率为手，则双曲线的方程为（）

【答案】D

A

因为《（G。），不妨设渐近线方程为y=即乐-殁=0,

所以怛g|=/2=史=6,

7a+bc

所以6=2.

ppbh

设/尸。g=e,则tane=_^=HH='，所以|。青=。，所以耳卜C.

ab2

因为;必=；c•%，所以为=,，所以tane="L=工=2,所以号=:，

因为耳(-c,0),

ab

”…7cab2aaV2

所以kpR=-=-Y=~~227=-T=~T

〃ci+ca+Q+4Q+24

---\-c

所以夜（〃+2）=4a,解得°=点,

22

所以双曲线的方程为土-匕=1

故选：D

13.（2022年新高考天津数学高考真题）已知抛物线y2=4&x,片,鸟分别是双曲线£-=1（。>0/>0）的左、

ab

右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点月，与双曲线的渐近线交于点A,若/£工4=（,则双曲线的标

准方程为（）

【答案】C

【解析】抛物线V=4区的准线方程为x=-5则c=5则与（一如,0）、凡（6,0卜

b

-x—

不妨设点A为第二象限内的点，联立a，可得＜be，即点A1,

因为4耳，耳鸟且N居与A=?，则△耳F2A为等腰直角三角形,

且|曲卜闺回，即生=2c,可得2=2,

aa

2

所以，C=6,解得6=2,因此，双曲线的标准方程为Y一乙=1.

c2=a2+b2C=A/54

故选：c.

221

14.（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知椭圆c：=r+[v=l（a>6>0）的离心率为：，4，4分别为

ab3

C的左、右顶点，8为C的上顶点.若丽・砥=-1,则C的方程为（）

【答案】B

【解析】因为离心率e=£

44分别为c的左右顶点，则A（-。,0）,4（。,0）,

B为上顶点,所以3（0,6）.

所以丽=(一”,一加,西=(a,一份，因为瓯=

Q

所以将62=(2代入，解得4=94=8,

故椭圆的方程为X=i.

故选：B.

15.(2024年新课标全国H卷数学真题)已知曲线C：x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂

线段尸P,P'为垂足，则线段PP的中点M的轨迹方程为()

2222

A.二+匕=1(y>0)B.—+^-=1(y>0)

164168

2222

C.匕+土=1(y>0)D.Wi(y>0)

164168

【答案】A

【解析】设点「(羽y),则尸(羽一),尸'(乂0),

因为M为尸尸'的中点，所以为=2y,即P(x,2y),

又尸在圆f+y2=i6(y>0)上，

所以小巾哈号

4SO),=2。)，

22

即点M的轨迹方程为白+。=1">0).

164

故选：A

考点5：椭圆的几何性质

22

16.(2022年新高考全国I卷数学真题)已知椭圆C:0+2=l(a>b>O),C的上顶点为4两个焦点为K，

ab

F2,离心率为3.过瓦且垂直于A玛的直线与c交于。,E两点，IOE1=6,则VADE的周长是.

【答案】13

【解析】；椭圆的离心率为6=上c=：1,；.a=2c,.•.62=/一/=302,...椭圆的方程为

a2

fv2

7■+六=1,即3x?+4y2-12°2=0,不妨设左焦点为月，右焦点为F?,如图所不，•；A居=a,OF2=c,a=2c,

乙明O=1■，二△4£名为正三角形，•.•过兄且垂直于AF2的直线与C交于DE两点，DE为线段A玛的垂

直平分线，.••直线OE的斜率为坐，斜率倒数为6，直线DE的方程：代入椭圆方程

3d+4y2-12/=0,整理化简得到：13y2-6疯7-9c2=0,

判别式△=（6A/§C）2+4X13X9C2=62X16XC2,

2x^^-=2x6x4x—=6,

1313

・•・DE为线段人工的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2,4石=巡，.“4。£的周长等于4取汨的周长,

利用椭圆的定义得到△鸟在周长为

\DF21+\EF2\+\DE\=|DF21+|EF21+|。耳|+|环HDR|+|DF2\+\EFX\+\EF2\=2a+2a=4a=13.

故答案为：13.

22

17.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)设。为坐标原点，"，"为椭圆。：\"+卷=1的两个焦点，点

3

尸在C上，cos/月尸与=不，贝"。尸|=()

D.至

A,”B.叵

522

【答案】B

71=b2tan/耳尸&=b1tan3,

【解析】方法一:设/招尸8=2。,0＜。<2,所以S

2

cos6^-sin01—tan63々刀-曰八1

由cosAFPF=cos20=2八，八—,八=二，解得:tan^=—,

X2cos2^+sm201+tan2052

由椭圆方程可知，/=9万=6工2=/一尸=3,

内国x|"=gx26x|yp卜1°

所以，S/相2=­X6x-,解得：%=3,

9

BP^=9x1-1=2,因此|0尸|

222

故选:B.

方法二:因为|尸图十|尸闾=2«=6①，|尸耳尸词2-2忸制尸阊月工国图2,

即陷「+附「_加即明=12②,联立①②，

159

解得：阿陀闾=万,附「+|「用9=21,

而而=；（西+%）,所以|0尸|=|而|=:所+%],

即匹同访+即=外珂+2西隹+|河二如…/=浮.

故选：B.

方法三:因为|P司+|尸阊=勿=6①,忸居『+忸耳「_2忸耳归到cosNq%=|型式,

即归"「+|尸月「一■|归闻W阊=12②，联立①②，解得：四「+仍用2=21,

由中线定理可知，（2|0P|『+|百用2=2（|P/f+|尸闾）=42,易知阳局=2百，解得：\OP\=^~.

故选：B.

18.（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）设片,瑞为椭圆C:[+y2=i的两个焦点，点尸在C上，若

希•朗=0,贝||尸耳HPE|=（）

A.1B.2C.4D.5

【答案】B

【解析】方法一：因为西•班=0,所以/两居=90。，

从而2附=62121145。=1=9归居|.归闾，所以|尸耳H尸引=2.

故选：B.

方法二：

因为P4•/5=0,所以/尸用工=90。，由椭圆方程可知，c?=5—l=4=>c=2,

所以|P耳「+|尸国2=]耳闾2=42=16,又归耳|+|p闾=2°=2若，平方得:

|「制尸阊2+2|尸耳||尸阊=16+2|尸耳|归我=20,所以1MHp阊=2.

故选：B.

考点6：双曲线的几何性质

19.（2022年新高考北京数学高考真题）已知双曲线/+工=1的渐近线方程为y=土Bx,则m=_______

m3

【答案】-3

22

【解析】对于双曲线产+工r=1,所以租<0,即双曲线的标准方程为/一r工=1,

m-m

则。=1,b=Q,又双曲线产+反=1的渐近线方程为y=±立尤，

m3

所以幺=走，即」==且，解得〃?=一3；

b3yj-m3

故答案为：-3

20.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)设48为双曲线犬-卷=1上两点，下列四个点中，可为线段

A8中点的是()

A.(1,1)B.(-1,2)C.(1,3)D.(-1,-4)

【答案】D

【解析】设4(斗》),8(々,%)，则AB的中点加(±

M+y2

可得KB=生二&，上=三七

Xl—X2/

F

2

M

-

9一

因为在双曲线上，则V2

292-

所以原5•左二C—圣=9.

演-x2

对于选项A：可得左=1,您5=9,则AB:y=9%—8,

y=9x-S

2

联立方程，2V，消去V得72/—2X72X+73=0,

x--=1

19

此时A=(—2X72)2—4X72X73=—288<0,

所以直线A3与双曲线没有交点，故A错误；

995

对于选项B：可得左=—2,%=—5,WM3:y=-耳%—万,

f95

y=——x——

22

联立方程(2，消去>得45尤2+2x45元+61=0,

此时△=(2x45『一4x45x61=—4x45xl6<0,

所以直线A8与双曲线没有交点，故B错误；

对于选项C：可得左=3,左钻=3,则AB:y=3%

由双曲线方程可得。=1力=3,则=为双曲线的渐近线，

所以直线A5与双曲线没有交点，故C错误；

997

对于选项D：k=^,kAB=—,则4氏>=^%-1

f97

y=-x——

44

联立方程｛2，消去V得63Y+126x—193=0,

xy=l

I9

此时A=1262+4X63X193>0,故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；

故选：D.

考点7：抛物线的几何性质

21.（2024年北京高考数学真题）抛物线丁=16工的焦点坐标为.

【答案】（4,0）

【解析】由题意抛物线的标准方程为V=16x,所以其焦点坐标为（4,0）.

故答案为：（4,0）.

22.（2024年天津高考数学真题）圆。-1）2+必=25的圆心与抛物线y2=2px（p>0）的焦点/重合，A为两

曲线的交点，则原点到直线”的距离为.

4

【答案】y/0.8

【解析】圆5-1）2+丁=25的圆心为尸（1,0）,故点=1即。=2,

由+'-25可得了2+2彳-24=0,故x=4或x=-6（舍），

y=4x

故A（4,±4）,故直线叱:〉=±和-1）即4-31-4=0或4了+3>一4=0,

故原点到直线AF的距离为dM=~,

55

4

故答案为：—

23.（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知点A（l,6）在抛物线C丁=2〃元上，则A到。的准线的

距离为.

9

【答案】I

【解析】由题意可得：(«『=20xl,贝lj2P=5,抛物线的方程为V=5x,

准线方程为x=-g,点A到C的准线的距离为1-目]=[

4I4J4

9

故答案为：—.

4

24.(2023年天津高考数学真题)已知过原点。的一条直线，与圆C:(%+2)2+y2=3相切，且，与抛物线

22=2夕穴°>0)交于点。,2两点，若|。"=8,则。=.

【答案】6

【解析】易知圆(》+2)2+/=3和曲线;/=2px关于x轴对称，不妨设切线方程为y=依，k>0,

\2k\广

所以解r得：k=6由

解得：P=6.

所以|0尸|="=8,

3

当％=-括时，同理可得.

故答案为：6.

25.(多选题)(2024年新课标全国H卷数学真题)抛物线C：丁=4尤的准线为/,尸为C上的动点，过尸

作OA:/+(y-4)2=l的一条切线，。为切点，过尸作/的垂线，垂足为8,贝U()

A./与。A相切

B.当尸，A,8三点共线时，|PQ|=VB

C.当|依|=2时，PALAB

D.满足1丛目尸切的点尸有且仅有2个

【答案】ABD

【解析】A选项，抛物线/=4x的准线为％=-1,

。人的圆心(。,4)到直线4-1的距离显然是1,等于圆的半径，

故准线/和。A相切，A选项正确；

B选项，P,A,8三点共线时，即则尸的纵坐标为=4,

由第=4xp,得到辱=4,故尸(4,4),

此时切线长|PQ|=J|PA/一/=一仔=厉,B选项正确；

C选项，当伊4=2时，xp=l,此时第=4x?=4,故尸(1,2)或P(l,-2),

4-24-2

当尸(1,2)时，A(0,4),B(-l,2),kpA=『=—2,=

0—1

不满足七Au,=T;

当P(l,-2)时，A(0,4),B(-l,2),k=^~^=-6,^=-^-=6,

PA0—10—(—1)

不满足kPAkAB=-1；

于是上4LAB不成立，C选项错误；

D选项，方法一：利用抛物线定义转化

根据抛物线的定义，|尸目=|尸耳，这里尸(1,0),

于是|R4|=|PB|时尸点的存在性问题转化成1PAi=|尸司时尸点的存在性问题,

A(0,4),F(l,0),AF中点］1，2］，AF中垂线的斜率为-4=1，

【2)kAF4

于是AF的中垂线方程为：y=^—,与抛物线V=4x联立可得y2_i6y+30=0,

O

A=162-4X30=136>0,WAF的中垂线和抛物线有两个交点，

即存在两个尸点，使得|以|=|正耳，D选项正确.

方法二：(设点直接求解)

设尸由尸5取可得B(-lj),