新高考数学一轮复习讲义：极值与最值（原卷版+解析）

专题16极值与最值

【命题方向目录】

命题方向一：求函数的极值与极值点

命题方向二：根据极值、极值点求参数

命题方向三：求函数的最值(不含参)

命题方向四：求函数的最值(含参)

命题方向五：根据最值求参数

命题方向六：函数单调性、极值、最值得综合应用

命题方向七：不等式恒成立与存在性问题

【2024年高考预测】

2024年高考仍然重点利用导数的极值与最值，恒能成立问题难度可为基础题，也可为中档题，也可为

难题，题型为选择、填空或解答题.特别注意同构式体系的知识，在近两年考查特别多.

【知识点总结】

一、函数极值的概念

设函数y=/(x)在点x0处连续且y=/'(/)=0,若在点尤0附近的左侧f\x)>0,右侧f\x)<0,

则为为函数的极大值点；若在与附近的左侧/'(x)<0,右侧/'(x)>0,则与为函数的极小值点.

函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极

小值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.

二、求可导函数/(X)极值的一般步骤

(1)先确定函数/(X)的定义域；

(2)求导数尸(%)；

(3)求方程/(©=0的根；

(4)检验/'(x)在方程/'(x)=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，

那么函数y=/(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数y=/(x)

在这个根处取得极小值.

注①可导函数/(x)在点与处取得极值的充要条件是：/是导函数的变号零点，即/'(/)=0,且在尤。

左侧与右侧，/'(X)的符号导号.

②;(%)=0是。为极值点的既不充分也不必要条件，如/(x)=d，尸(0)=0,但毛=0不是极值

点.

X。为可导函数/(%)的极值点=>/'(%)=0；但/'(%)=O^xo为/(%)的极值点.

三、函数的最大值、最小值

若函数y=/(x)在闭区间卜,可上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在［a,句上一定能够取得

最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

四、求函数的最大值、最小值的一般步骤

设丁=/(%)是定义在区间可上的函数，y=/(x)在(a,6)可导，求函数y=/(%)在［a,可上的最

大值与最小值，可分两步进行：

(1)求函数y=/(x)在(a,6)内的极值；

(2)将函数y=/(x)的各极值与端点处的函数值/(a),/3)比较，其中最大的一个是最大值，最小

的一个是最小值.

注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值

是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

【方法技巧与总结】

(1)若函数/(九)在区间D上存在最小值/(%).和最大值/(尤)，则

不等式/(x)>a在区间D上恒成立o/G/n>a；

不等式/(x)2a在区间D上恒成立1n>a；

不等式/(x)<b在区间D上恒成立o/(%)1rax<b；

不等式W6在区间D上恒成立O/(x)maxWb；

(2)若函数在区间D上不存在最大(小)值，且值域为(加，n),贝I］

不等式/(x)>a(或f(x)2a)在区间D上恒成立omNa.

不等式/(x)(“或f(x)W在区间D上恒成立=mWb.

(3)若函数/(%)在区间D上存在最小值/⑴1nm和最大值/⑴1mx,即则对不等式

有解问题有以下结论：

不等式在区间D上有解oav"%)出；

不等式aW/(%)在区间D上有解oaW/(尤)1mx；

不等式a>/(x)在区间D上有解oa>于(x)^；

不等式在区间D上有解/(初加；

(4)若函数/(x)在区间D上不存在最大(小)值，如值域为(牡〃)，则对不等式有解问题有以下

结论：

不等式a</(x)(或a</(0)在区间D上有解<^a<n

不等式/?〉/(力(或b2/(%))在区间D上有解=6>m

⑸对于任意的可，总存在we[m,〃],使得(为2)=/(%心%(9)皿；

(6)对于任意的玉e[a,可，总存在马«皿n\,使得/可)冷(/)0〃石)1nto»g(/)而“；

(7)若存在玉£[a,/?],对于任意的％2egn],使得/⑺々㈤0/㈤皿々(々置；

(8)若存在玉e[a,b],对于任意的々elm,n\,使得/(%)2g(9)。"%)1mx*(9).

(9)对于任意的石«a,可，.eg可使得/(石)先(々)0/(%)111axWg(9)1nhi；

(10)对于任意的玉e[a,可，e[m,同使得/(石)2g(々)=/(X1*〃(/心；

(11)若存在石e[a,句,总存在々egn\,使得〃西)会(/2)0/(石)1nbi<g(%2)111ax

(12)若存在％e[a,可，总存在&e[m,n\,使得/(动泊色)0〃%)1raxNg&)111ta.

【典例例题】

命题方向一：求函数的极值与极值点

例1.(2023.吉林通化・梅河口市第五中学校考模拟预测)已知函数〃力=(左-打炉在区间[0,1]上的最大值为

k,则函数〃x)在(。,+8)上()

A.有极大值，无最小值B.无极大值，有最小值

C.有极大值，有最大值D.无极大值，无最大值

例2.(2023・全国•高三专题练习)设三次函数Ax)的导函数为/''(无)，函数y=(无)的图象的一部分如图

所示，则正确的是()

V,

A.f(x)的极大值为了(百)，极小值为了(-6)

B.f(x)的极大值为了(-6)，极小值为/(6)

C.Ax)的极大值为〃-3),极小值为了(3)

D./(X)的极大值为"3),极小值为7•(-3)

例3.(2023•辽宁鞍山•高三校联考期中)已知定义域为(0,+8)的函数Ax)的导函数为了'(x),且函数

g(x)=(log3无-l)"'(x)的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是()

A.一⑺有极小值了(6),极大值/⑴B./⑺有极小值〃6),极大值/(10)

C.f(x)有极小值/⑴，极大值/⑶和/(10)D./⑴有极小值/⑴，极大值〃10)

变式1.(2023•全国•高三对口高考)函数/(元)=(9尤2-1)3+2的极值点是()

B.x=--C.%或工或0D.x=0

A.x=2

333

3

变式2.(2023・全国•高三专题练习)己知函数了。八万/一2x-lnx,则的极小值为

变式3.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（x）=e-"Tnx在x=l处取得极值，则函数g（x）=ax-2sinx的

一个极大值点为.

【通性通解总结】

1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程（（x）=0根左右的符号，更要注意变号后极大值与极

小值是否与已知有矛盾.

2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零.这个零点必须穿越x轴，否

则不是极值点.判断口诀：从左往右找穿越（导函数与x轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大.

命题方向二：根据极值、极值点求参数

14

例4.（2023・全国•高三对口高考）如果函数/0）=-耳/+灰2+5+历在x=i处有极值一§,贝Ub+c的值为

例5.（2023•陕西西安・长安一中校考二模）若函数无）=g公2-/+1在彳=%和x=%，两处取得极值，且

于。，则实数，的取值范围是----------

例6.（2023广西柳州・高三柳州高级中学校联考阶段练习）已知函数“%）=m3+彳2_2依+1,若函数了（对在

（1,2）上有极值，则实数。的取值范围为一.

变式4.（2023・全国•高三专题练习）若〃x）=竺三在（L+8）上存在极值，则数小的取值范围为

X+1

变式5.（2023・全国•高三对口高考）已知函数的导数r（x）=a（x+l）（x-。），若在x=-l处取到极

大值，则。的取值范围是.

变式6.（2023・安徽阜阳•安徽省临泉第一中学校考三模）已知函数〃x）=（lnx）2-依2有两个极值点，则实

数。的取值范围是.

变式7.（2023•河南安阳•统考三模）已知函数〃x）=（加+bx-l）e'（a,6eR）,若x=l是/⑺的极小值点,

则a的取值范围是.

变式8.（2023.湖南衡阳•校联考模拟预测）若x=l是函数〃x）=e'（加+瓜-1）（4<0）的极小值点，贝匹的

取值范围为.

命题方向三：求函数的最值（不含参）

例7.（2023・云南•校联考模拟预测）若x,yeR,则J（x-»+（xe'-y+lj的最小值为（）

A.@B.V2C.\D.正

22e

例8.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/'（x）=x3+2x+2在［-2,2］上的最大值与最小值分别为“和加，

则经过函数g（x）=（M+m）x+［（M+:）x_i］3的图象的对称中心的直线被圆1+V=5截得的最短弦长为

A.10B.5C.斗口.粤

X

例9.（2023•新疆阿勒泰・统考三模）函数丁=丁在。2］上的最小值是（）

21

A.1B.—C.0D.-7=

ee22Ve

变式9.（2023・广西玉林•统考模拟预测）已知x=l为函数〃尤）=8+2尤+3的极值点，则〃x）在区间：,2

X

上的最大值为（）（注：ln2«0.69）

A.3B.7-ln2

C.5D.—+ln2

2

变式10.（2023・四川绵阳•高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）函数/（x）=cosx+（x+l）sinx+l在区间

［0,2K］的最大值为（）

71

A.——B2cD2

2--d-r

命题方向四：求函数的最值(含参)

2

例10.(2023•全国•高三对口高考)已知函数无)=,尤3-2尤2+(2-。)无+1,其中aeR.

(1)若a=2,求曲线y=在点。,〃功处的切线方程；

⑵求Ax)在区间［2,3］上的最大值和最小值.

例11.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(%)=。111(%+1911乂(〃£10.

⑴求Ax)的图象在％=0处的切线方程；

(2)已知Ax)在0,1上的最大值为lng+1］,讨论关于x的方程/(x)=；在［0,对内的根个数，并加以证明.

例12.(2023・四川内江•高三校考阶段练习)已知函数/(力=依3—Zz?+6—a(a>0).

(1)若。=6,曲线y=/(x)在x=x°处的切线过点(1,0),求号的值；

⑵若a>b,求/(x)在区间［0』上的最大值.

变式11.(2023.北京•高考真题)已知函数/(力=一/+3*2+9%+。

⑴求的单调减区间；

⑵若〃力在区间［-2,2］上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.

变式12.(2023•北京石景山•高三统考期末)已知函数/(x)=Qe"-%,g(x)=x-〃lnx(Q£R).

⑴若a=1,求曲线y=f{x）在点（0"（0））处的切线方程;

（2）求g（元）的单调区间；

⑶若/（X）和g（x）有相同的最小值，求a的值.

变式13.（2023•江西上饶•高三校联考阶段练习）已知函数〃x）=Rnx+（a-l）x,aeR.

⑴当a=2时，求曲线y=〃龙）在点。，/⑴）处的切线方程；

⑵求函数“可在区间［l,e］上的最小值；

命题方向五：根据最值求参数

例13.（2023・四川•高三统考对口高考）如果函数y="x-lnx的值域为［1,+8）,那么a=

例14.（2023•山东东营•高三胜利一中校考期末）若函数/。）=/-3》在区间（/-6,a）上有最大值，则实数

a的取值范围是.

例15.（2023•福建•高三校联考阶段练习）若函数〃x）=lnx-ar2+g—2.（其中xe（L+s））存在最小值,

则实数a的取值范围为.

变式14.（2023•江苏南通•高三海安高级中学校考阶段练习）已知函数/（x）=2/一以2+6,若存在a,b,

使得/'（x）在区间［0』的最小值为一1且最大值为1,则符合条件的一组“，b的值为.

变式15.(2023•全国•高三专题练习)如果两个函数存在零点，分别为a,〃，若满足则称两个函

数互为“〃度零点函数”.若/(x)=ln(x-2)与8(力=加-向互为“2度零点函数”，则实数。的最大值为

变式16.(2023•全国•高三专题练习)若函数/(幻=彳3-3彳在区间(/-12,°)上有最大值，则实数。的取值范

围是•

变式17.(2023•全国•高三专题练习)已知。>0,函数8(h=》+^^-2在［2,+8)上的最小值为1,贝|a=

X

命题方向六：函数单调性、极值、最值得综合应用

例16.(2023•山东潍坊三模)已知函数/(xb9+ax-eYaeR)有两个极值点4当.

(1)求实数。的取值范围；

(2)证明：%1+x2<ln4.

例17.(2023・安徽池州•高三池州市第一中学校考阶段练习)已知函数〃司=£和8(力=.有相同的最大

值从

(1)求a,b；

⑵证明：存在直线，=根，其与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交

点的横坐标成等比数列.

3

例18,(2023•山西晋中•统考三模)f(x)=21nx-cuc---.

ax

⑴讨论“X)的单调性；

3

⑵g(无)=/(%)+/+—，若g(无)有两个极值点演,三，且玉<%,试求g(%2)-2g(西)的最大值.

变式18.(2023•天津河东•高三天津市第七中学校考期中)己知函数〃司=(炉+改)］在(0,1)上单调递减.

(1)求。的取值范围；

⑵令g(x)=［(a+3)x+a2+2a-l］e\//(%)=f(x)-g(x),求/z(x)在［1,2］上的最小值.

变式19.(2023•江苏南京•模拟预测)已知函数/(x)=V-"lnx,其中。>0,b>0.

⑴若〃无)21,求6-a的最小值；

(2)^/(%)>3x-2,且6+3有最小值，求上的取值范围.

变式20.(2023•上海黄浦•高三校考阶段练习)已知函数〃x)=2x3-办?+2,其中。>0.

⑴求〃x)的单调区间；

⑵当0<”3时，记”X)在区间［0,1］的最大值为最小值为加，求M-机的取值范围.

命题方向七：不等式恒成立与存在性问题

例19.（2023•黑龙江大庆・大庆实验中学校考模拟预测）已知m,〃为实数，不等式班-力”-”<0在（0,+s）

上恒成立，则上的最小值为（）

m

A.l4B.i3C.i2D.—1

例20.（2023・江苏•高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）若关于x的不等式e'（3%-x）<2x+3对任意的

xe（O,y）恒成立，则整数上的最大值为（）

A.-1B.0C.1D.3

例21.(2023•河北・统考模拟预测)若VxeR,不等式e，_aln(ax-a)+a>0(a>0)成立，则实数“的取值范

围是()

A.(0,e2)B.(e2,+oo)

C.(0,ee)D.(ee,+oo)

变式21.（2023.四川南充・统考三模）已知函数/（x）=lnx,g（x）=e，,叫，々且1,2]使

|g（x1）-g（^2）|>^|f（x1）-f（^2）|（左为常数）成立，则常数上的取值范围为（）

A.（y,e）B.（-00,e]C.（-8,24）D.（-”,2e1

变式22.（2023・陕西商洛•高三陕西省山阳中学校联考期中）已知函数〃%）=1+山，g（尤）=e*,若

，（%）=g（x2）成立，则占-%的最小值为（）

A.1B.2C.eD.In2

变式23.（2023・全国•高三专题练习）己知不等式2%-Wt＞处+!在（°，+8）上恒成立，则实数机的取值

XX

范围是（）.

变式24.（2023・全国•高三专题练习）已知函数〃x）=Ae*+2a,g（x）=-------，对任意罚e[l,2],3x2e[l,3],

都有不等式成立，则。的取值范围是（）

—e,+oo

e

—,+co-e,+8

2

【通性通解总结】

在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最

值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数.

【过关测试】

一、单选题

4,、

1.（2023・全国•高三对口高考）设函数/（力=%+[，则/（冷的极大值点和极小值点分别为（）

A.-4,4B.4,-4C.-2,2D.2,-2

Inx

2.（2023・贵州遵义•统考三模）已知函数〃尤）=依+丁+1在x=l处取得极值0,贝3+匕=（）

b

A.-1B.0C.1D.2

3.（2023•河北•高三校联考阶段练习）已知函数/（耳=丁+中）丁-9x,则的极大值为（）

A.-3B.1C.27D.-5

4.（2023・四川•高三统考对口高考）函数y=（x-2）e'+gx2-x的极值点个数为（）

A.0B.1C.2D.3

5.（2023•河南•高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）函数/'（x）=/+cosx+1在区间[-兀㈤上的最大值

、最小值分别为（）

A.”+],3B.e，，3C.e^+i,ZD.e，，2

6.（2023•陕西宝鸡•校考模拟预测）当x=l时，函数〃无）=aln尤取得最大值一2,贝厅'（4）=（）

x

A.-1B.-C.--D.1

88

7.（2023•甘肃金昌・永昌县第一高级中学统考模拟预测）已知函数〃尤）=尤3一加+3天在R上单调递增，且

g（x）=x+（；在区间（1,2]上既有最大值又有最小值，则实数。的取值范围是（）

A.[3,4）B.（2,3]C.（3,4]D.[2,3）

8.（2023•西藏林芝•统考二模）已知函数"x）=（x-2）e-62+2or-2a,若有两个不同的极值点外,马

（尤1＜々），且当。＜彳＜^2时恒有/（尤）＜-2a,则。的取值范围是（）

C.[e,/]D.（0,e）

二、多选题

9.（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃元）=--1+1球，则（）

A.在x=l处的切线为x轴B./（x）是（0,+功上的减函数

C.x=l为“X）的极值点D./（X）最小值为0

10.（2023•浙江•高三校联考阶段练习）已知函数f（x）=^+；尤2-4无，贝I（）

A.x=l是的极小值点B.〃x）有两个极值点

C.的极小值为1D./（x）在[0,2]上的最大值为2

11.（2023•海南省直辖县级单位•高三嘉积中学校考阶段练习）己知函数/（x）是定义在R上的奇函数，当尤＞0

时，/（x）=e^.（x-l）,则（）

%

A.当％v0时，/（x）=e*（x+l）

B.函数，（x）有2个零点

C./。）>0的解集为（-1,0）51,+8）

D.Vxpx2e7?,都有|〃占）一〃%）|<2

12.（2023•河北石家庄•统考三模）设函数的定义域为R,Xo（%wO）是“X）的极大值点，以下结论一定

正确的是（）

A.VxeR,f（x）<f（%0）B.是〃-x）的极大值点

C.%是一〃x）的极小值点D.是-“-力的极大值点

三、填空题

13.（2023•山西・校联考模拟预测）已知函数〃x）=sin2x-x,xe（（U）,则的极大值点为.

14.（2023•辽宁鞍山•统考模拟预测）己知函数〃力=/+7后-1有两个极值点々，巧，且％22占，则实数

机的取值范围是.

15.（2023•江苏淮安・江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数/（x）=ln2x-依有三个零点，则。的

取值范围是.

16.（2023・上海普陀•曹杨二中校考三模）已知函数/（x）=<2工；］0，若“不）=/仇）（工产马），则占+%

的最大值为.

四、解答题

17.（2023•新疆喀什•校考模拟预测）已知函数/（力=彳.

⑴求出函数/（X）的单调区间；

⑵若g（x）=£/（x）,求g（x）的最小值.

18.（2023•新疆乌鲁木齐•统考三模）已知〃x）=|2x+l|,不等式〃x）V3x的解集为

⑴求集合M；

（2）xeM,不等式+恒成立,求正实数。的最小值.

19.（2023・全国•高三专题练习）函数〃x）=xcosx-sinx在区间［-兀,0］上的最大值.

20.(2023・广西防城港•高三统考阶段练习)已知函数〃x)=(a-x)e"aeR.

(1)求函数的极值；

(2)若对任意xw[0,+®),都有/(x)-xW2成立，求。的取值范围.

rrjX

21.(2023•安徽滁州•高三校考阶段练习)已知函数/(©=毋匚(加,〃eR),在x=l处取得极小值2.

X+〃

⑴求函数“X)的解析式；

⑵求函数〃尤)的极值；

⑶设函数g(x)=/一2ax+a,若对于任意X|CR,总存在马4-1,1],使得g(x2)v/a)，求实数。的取值范

围.

22.(2023・全国•高三对口高考)已知函数/(无)=(/+ax+a)er,(a为常数，e为自然对数的底).

⑴当“=0时，求广(2)；

(2)若〃x)在x=0时取得极小值，试确定a的取值范围；

⑶在(2)的条件下，设由的极大值构成的函数为g(a),将a换元为无，试判断曲线y=g(x)是否能

与直线3x-2y+〃z=0(m为确定的常数)相切，并说明理由.

专题16极值与最值

【命题方向目录】

命题方向一：求函数的极值与极值点

命题方向二：根据极值、极值点求参数

命题方向三：求函数的最值(不含参)

命题方向四：求函数的最值(含参)

命题方向五：根据最值求参数

命题方向六：函数单调性、极值、最值得综合应用

命题方向七：不等式恒成立与存在性问题

[2024年高考预测】

2024年高考仍然重点利用导数的极值与最值，恒能成立问题难度可为基础题，也可为

中档题，也可为难题，题型为选择、填空或解答题.特别注意同构式体系的知识，在近两年

考查特别多.

【知识点总结】

一、函数极值的概念

设函数y=f(x)在点/处连续且y=尸(％)=0，若在点%0附近的左侧/'(%)>0，右

侧/'(x)<0,则/为函数的极大值点；若在/附近的左侧/'00<0,右侧/'。)>0,则

》为函数的极小值点.

函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多

个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与

极小值点统称为极值点.

二、求可导函数/(X)极值的一般步骤

(1)先确定函数/(X)的定义域；

(2)求导数((x)；

(3)求方程/'(%)=0的根；

(4)检验/'(x)在方程/'(%)=0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正,

在右侧附近为负，那么函数y=/(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，

在右侧附近为正，那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值.

注①可导函数/(X)在点尤0处取得极值的充要条件是：/是导函数的变号零点，即

/'(不)=0,且在/左侧与右侧，/'(x)的符号导号.

②/(不)=0是％为极值点的既不充分也不必要条件，如F(x)=d,尸(0)=0,但

x0=0不是极值点.

%为可导函数/(%)的极值点=>/'(%)=0；但/'(%)=0了4/为/(%)的极值点.

三、函数的最大值、最小值

若函数y=f(x)在闭区间［a,b］±.的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在［a,可

上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

四、求函数的最大值、最小值的一般步骤

设y=/(x)是定义在区间［。，句上的函数，y=/(x)在(。力)可导，求函数丁=/(x)在

［a,句上的最大值与最小值，可分两步进行：

(1)求函数y=/(x)在(a,6)内的极值；

(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值/(a),/(打比较，其中最大的一个是

最大值，最小的一个是最小值.

注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值;

函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是

区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

【方法技巧与总结】

(1)若函数在区间D上存在最小值/(%).和最大值/(X),则

不等式/(X)>a在区间D上恒成立疝°>a；

不等式/(x"a在区间D上恒成立o/(力皿》a；

不等式/(%)<6在区间D上恒成立o1mx<b；

不等式/(x)Wb在区间D上恒成立o/(x)1rax<b；

(2)若函数/(x)在区间D上不存在最大(小)值，且值域为(牡〃)，则

不等式/(%)>。(或f(x)2a)在区间D上恒成立omNa.

不等式/(%)<"或/'(x)WZ?)在区间D上恒成立omW/?.

(3)若函数/(九)在区间D上存在最小值“XL和最大值/(力皿，即

/(x)e[m,n],则对不等式有解问题有以下结论：

不等式a</(x)在区间D上有解oa</(九)111ax；

不等式aV/(x)在区间D上有解oaK/Wm/

不等式a>/(可在区间D上有解oa>/(九)mg；

不等式a»/(x)在区间D上有解o心/(力同；

(4)若函数/(X)在区间D上不存在最大(小)值，如值域为(牡〃)，则对不等式有

解问题有以下结论：

不等式a</(x)(或aW/(力)在区间D上有解oa<n

不等式h>/(x)(或b>/(%))在区间D上有解ob>m

(5)对于任意的玉e[a,句，总存在毛e[m,n\,使得

/(^)<g(^)o/(x1)max<g(x2)imx；

(6)对于任意的he[a,可，总存在/e[m,n\,使得

/(^)>g(x2)o/h)min>g(x2)n.n；

(7)若存在％e[a,b],对于任意的n\,使得

/(%)Wg(尤2)O/aL<g(x2L；

(8)若存在％e[a,b],对于任意的n\,使得

(9)对于任意的石e[a,b],x2e[m,使得

(10)对于任意的花€[a,b],x2e[m,〃]使得

/(内)2g(%)o/aL2g(々)2；

(11)若存在％1G[a,可，总存在％e[m,n\,使得

/(%)Wg(九2)O/(玉)min<g(巧Lx

(12)若存在%e[a,万I，总存在％e[m,n\,使得

/(%)*(%)o/&LNg(%L♦

【典例例题】

命题方向一：求函数的极值与极值点

例1.(2023.吉林通化.梅河口市第五中学校考模拟预测)已知函数=在区间

［0』上的最大值为左，则函数/(x)在似+⑹上()

A.有极大值，无最小值B.无极大值，有最小值

C.有极大值，有最大值D.无极大值，无最大值

【答案】D

【解析】由/''(X)=(左一,则无<左一1时/'(x)>。，x>k-10^/,(x)<0,

所以f(x)在(—0,左-1)上递增，(左-L+»)上递减，

而/(0)=左，/⑴在［0,1］上的最大值为鼠

所以左-1W0,即上41,此时在(0,+巧上递减，且无极大值和最大值.

故选：D

例2.(2023•全国•高三专题练习)设三次函数Ax)的导函数为/'(x),函数y=x4'(x)的图

象的一部分如图所示，则正确的是()

A.Ax)的极大值为了(石)，极小值为了(-6)

B./(X)的极大值为力-6)，极小值为了(石)

C.的极大值为/(-3),极小值为/(3)

D./(元)的极大值为/(3),极小值为/(-3)

【答案】D

【解析】当0<x<3时,则x•尸(x)>0,可得析(x)>0；

当x>3时,则『尸(x)<。，可得尸(x)<0；

当—3<x<0时，则x"'(x)<0,可得/'(尤)>0；

当龙<一3时，贝ijx"'(无)>0,可得/(无)<0；

故三次函数〃x)在(-3,3)上单调递增，在(0,-3),(3,y)上单调递减,

可得f(x)的极大值为/(3),极小值为/(-3).

故选：D.

例3.(2023•辽宁鞍山•高三校联考期中)已知定义域为(0,+8)的函数/(*)的导函数为f(x),

且函数8(乃=(1%》-1)了(尤)的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是()

A.Ax)有极小值了(6),极大值/⑴B.f(x)有极小值/(6),极大值了(10)

C./(%)有极小值/(D,极大值/(3)和/(10)D./(%)有极小值/(I),极大值/(10)

【答案】D

【解析】观察图象知，当gO)>。时，0<x<l或3cx<10且无片6,当gO)<。时，l<x<3

或x>10,

而当0<x<3时，log3x-l<0,当x>3时，log3x-l>0,因此当0Vxe1或x>10时，

小)<。，

当l<x<10时，r(%)>0,当且仅当尤=6时取等号，则"X)在(0,1),(10,+8)上单调递减，

在(1,10)上单调递增，

所以/(x)有极小值/⑴，极大值/(I。)，A,B,C不正确；D正确.

故选：D

变式1.(2023•全国•高三对口高考)函数〃彳)=(9/-1丫+2的极值点是()

A.x=2B.工=-；C.x=-；或;或0D.x=0

【答案】D

【解析】/'(x)=3(9x2-iyxl"=54x(3x—l)2(3x+l)2,令/'(x)=。有x=-§或1或0,

但当X取-;或1左右邻域的值时，-(X)同号，故函数/(无)=(9d-l)+2的极值点是x=0.

故选：D

变式2.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/⑴:彳--2x-lnx,则的极小值为

【答案】-1/-0.5

【解析】函数的定义域为(0,+8),

/,(X)=3X-2--=(3X+1)(X-1),

XX

令制即分+1)(1)

x)>0,>0,得X>1,

令_f(x)<0,即(3x+[(xT)<0,得0<彳<1,

故函数/(x)的单调递增区间为(1,+s),单调递减区间为(0,1),

31

故当尤=1时，函数/(X)取得极小值，极小值为了⑴=:-2=-：.

故答案为：-；.

变式3.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=ei-lnx在x=l处取得极值，则函数

g(x)=ax-2sinx的一个极大值点为.

【答案】x=q577"(答案不唯一)

【解析】因为/(x)=e』Tnx,所以(⑴=广"—，则/(l)=e〜-l=0,解得。=1,则

g(%)=%-2sinx,所以gf(x)=l—2cosx,

由g'(x)=l-2cosX=0,得至[|兀=]+2%兀或%=$+2E,keZ,

jr57r

由g'(x)N。，得至++keZ,

由g'a)<。，得至[12%兀一]<%<2%兀+],左£Z,所以g(x)的极大值点为X=2E+£,keZ,

当仁。时，x],故g(x)的一个极大值点为了音(答案不唯一，满足x=2E+弓，keZ

即可).

故答案为：X=*57r

【通性通解总结】

1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程尸(x)=0根左右的符号，更要注意变

号后极大值与极小值是否与已知有矛盾.

2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零.这个零点必

须穿越尤轴，否则不是极值点.判断口诀：从左往右找穿越(导函数与x轴的交点)；上坡

低头找极小，下坡抬头找极大.

命题方向二：根据极值、极值点求参数

14

例4.(2023•全国•高三对口高考)如果函数/(尤)=-y3+加+“+根在x=i处有极值一§,

贝I]b+c的值为.

【答案】2

【解析】因为函数/(彳)=-3%3+云2+”+6。在工=1处有极值-1',

4

所以/'⑴=0,/(1)=-1.

由于f\x)=-x1+2bx+c,所以广⑴=-l+26+c=0.

14

f(l)=--+b+c+bc=~—,

[b=l[b=-l

解得：1或Q•

[°=-1[c=3

[b=ll

当I|时，fM=--x3+x-x-1,

[c=-l3

f,(x)=-x2+2x-l=-(x-l)2<0,所以f(x)单调递减，无极值.

所以方+c=2.

故答案为：2

例5.(2023•陕西西安・长安一中校考二模)若函数〃无)=go?一e-l在x=%和x=z，两

处取得极值，且&«;，则实数。的取值范围是__________.

x22

【答案】岛，+1

【解析】因为〃x)=gor2-ex+l,则/(司=依一1,

令尸(力=奴一^=0,且〃0)=—lw0,整理得“=少，

原题意等价于y=a与y=f有两个不同的交点，

X

构建g(x)=J(xwO),则g[x)=("I1(x.O),

令g'(x)>0,解得x>l；令g'(x)<0,解得0cx<1或x<0；

则g(x)在(1,+8)上单调递增,在(0,1),(F,0)上单调递减,且g(l)=e,

由图可得：若>=。与>=更有两个不同的交点，可得：a>e,X1,x2>0,

X

因为？则322者，

由图可知：当。增大时，则占减小，々增大，可得T■减小，

取％=2%，令％=fe(O,l),则马=21,

因为J,解得t=ln2,

t2t

72

所以〃=巴府’则/而'

t

即实数”的取值范围是总+8・

例6.(2023广西柳州•高三柳州高级中学校联考阶段练习)已知函数〃x)=白3+无2_2依+1,

若函数/⑺在(L2)上有极值，则实数。的取值范围为

【答案】

【解析】因为〃x)=§尤3+无,—2亦+1,所以广(x)=+2x—2a,

/(》)=；尤2+2X一2。为二次函数，且对称轴为毛=一3,

所以函数广(x)=g/+2尤-2a在(-3,小)单调递增，

则函数广(无)=gY+2x-2。在(1,2)单调递增，

因为函数/(X)在(1,2)上有极值，

所以尸(%)=0在(1,2)有解，

7

——2a<0

尸⑴<°即3

根据零点的存在性定理可知广(2)>。'即

--2a>0

3

7R

解得…＜彳，

o3

故答案为:3

变式4.(2023•全国•高三专题练习)若〃口=笠手在(L+s)上存在极值，则数m的取值

范围为•

【答案】卜$。］

「，/、2mx3+3mx2+1

【解析】由题得/("=--―5—，

(X+1)

要使“X)在(1,+8)上存在极值，则f(X)=0在(1,+8)上有解.

因为当时，(x+1)2>0,

-1

令2mx?+3mx2+1=0则加=

2x3+3x2

设则/(加常普『>。

g(x