2024届云南省昆明市某中学高三新课标第四次一轮复习检测数学试题及答案

昆明市第一中学2024届高中新课标高三第四次一轮复习检测

数学试卷

本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴

在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写

在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿

纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

L若复数z满足Z（2+I）=T,则z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.若{A}={x|ax2-4x+l=o}（a,beR）,则a+b等于（）

B.3或L8821

AC.一D.一或一

I24554

3.直线5x—3>=0是双曲线工=1（。〉0）的一条渐近线，则。=（）

a~25

A.9B.5C.4D.3

4.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面边长分别为8cm,6cm的正

四棱台，若棱台的高为3cm,忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为（）

第1页/共6页

图1图2

148,,,

A.—^-cm3B.74cm3C.148cm3D.298cm3

5.某校高三年级有500人，一次数学考试的成绩X服从正态分布N（110,100）.估计该校高三年级本次考

试学生数学成绩在120分以上的有（）

参考数据：若X〜NJ。?），则尸（〃一<7<X三〃+<7）=0.6827,尸（〃一2<7<、<〃+2<7）=0.9545,

尸（〃—3b<X<〃+3cr）=0.9973.

A.75人B.77人C.79人D.81人

6.埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长：

如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.

同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为7.2。.因太

阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的.已知骆驼一天走100个视距段，从亚历山大城到赛伊尼

须走50天.一般认为一个视距段等于157米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（）

A.37680千米B.39250千米C.41200千米D.42192千米

7.已知。=108261=1。837,。=1。859，则下列判断正确的是（）

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.a<c<b

8.已知定义在R上的函数/（x）=e1—e-'+x,则不等式/（x—1）+/（2—2x）»2的解集为（）

A.（-oo,-l]B.（-oo,l]C.[-1,1]D.[l,+oo）

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方

第2页/共6页

图如图所示，则（）

B.估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为

75

C.估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在[60,70）内的学生人数为225

10.如图，点N,B,C,M,N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足〃平面N8C的有（）

11.直线x+y+2=0分别与X轴，N轴交于48两点,点尸在曲线C：了=+2岳上,则A4BP

的面积可能是（）

A.41B.2C.5D.9

12.已知数列｛%｝满足4+]+（-1广二区1=3〃—4且〃eN*），则下列说法正确的是（

A.。2+。4=5，且％一。］=2

B.若数列｛%｝的前16项和为540,则%=6

第3页/共6页

D.当"是奇数时，an+2=("+1),"+1)+%

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知点厂是抛物线C:/=2眇(夕〉0)的焦点，。为坐标原点，若以少为圆心，|尸。|为半径的圆与

直线Gx->+6=0相切，则抛物线C的方程为.

14.已知定义在［2加-1,加+4］上的奇函数/(x),当x>0时，/(x)=3x-L则/(⑼的值为

_।।_V2b_

15.已知扇b是非零向量，同=1,(a+bjla,2在b方向上的投影向量为一~相,同，贝爪团―6|=

16.定义在—1，0'0,3上的奇函数/⑴的导函数为了(X)，且当xe0,］卜寸,

/'(X)tanx-/(x)>0,则不等式/(x)sinx的解集为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.某同学进行投篮训练，已知该同学每次投篮投中的概率均为

2

(1)求该同学进行三次投篮恰好有两次投中的概率；

(2)若该同学进行三次投篮，第一次投中得1分，第二次投中得1分，第三次投中得2分，记X为三次

总得分，求X的分布列及数学期望.

18.在单位圆上的三点B,C构成的锐角AA8C中，内角N,B,C所对的边分别为

凡b,c,sin2c-sin2/=(V2sinC-sin5)sinS•

(1)求Q；

(2)求67—c的取值范围.

19.设各项均不为零的数列｛%｝的前〃项和为S,,4=2,且2疯='%•%+］(〃eN*).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)令,当“最大时，求〃的值.

20.如图，直三棱柱48C-481cl中，点。，£分别为棱44、的中点，

第4页/共6页

AE1AXBX,AB=AC=AA1=4.

(1)设过4D,£三点的平面交81cl于尸，求铲的值；

FCi

(2)设8在线段8c上，当的长度最小时，求点〃到平面4DE的距离.

21.已知二元关系/(x,y)=(2x+y)2—(x+2y)2+ay2+b,曲线E：/(xj)=0,曲线E过点

C(2,0),£>(4,6),直线/：x=l,若。为/上的动点，4,8为E与x轴的交点，且点N在点3的左侧,

与K的另一个交点为。与E的另一个交点为N.

(1)求a,6；

(2)求证：直线VN过定点.

22.已知函数/(%)=a(Inx)2-2xInx+2x+4a>0.

(1)讨论〃x)的单调性；

⑵若l<aWe2,2a+b<0,证明：/⑴只有一个零点.

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昆明市第一中学2024届高中新课标高三第四次一轮复习检测

数学试卷

本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴

在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写

在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿

纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

L若复数z满足Z（2+I）=T,则z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】本题可根据复数的除法法则得出z=-2i,即可得出结果.

55

【详解】因为z（2+i）=-i,

-i-i（2-i）12.

所以z=17T=（2+i）（2T）=_y_不'

则Z对应的点为（一二,一]],在第三象限，

故选：C.

2.若抄｝=｛》辰2-4x+l=o｝（a,beR）,则a+b等于（）

88T1

B昵C.一D.一或一

-I554

【答案】B

第1页/共22页

【解析】

【分析】由题意可知小―4%+1=0只有一个实数根，讨论。=0和叱0,由根的判别式可得答案.

【详解】•.,抄｝=k辰2_4x+l=o｝（°/eR）,‘办2-4》+1=0只有一个实数根.

当（2=0时，｛'｝=｛；｝，止匕时a+/?=；；

当QWO时，A=16-4a=0,所以Q=4,此时6

2

1919

Q+Z?=4H—=—.故6=一或a+Z>=1.

2242

故选：B.

22

3.直线5x—3了=0是双曲线0一匕=1伍〉0）的一条渐近线，则。=（）

a25

A.9B.5C.4D.3

【答案】D

【解析】

【分析】由双曲线的一条渐近线，列方程求。的值.

22

【详解】直线5x—3〉=0是双曲线=—2=1（。〉0）的一条渐近线，

a25

由直线5x—3y=0的斜率为*,得9=*,所以a=3.

3a3

故选：D.

4.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面边长分别为8cm,6cm的正

四棱台，若棱台的高为3cm,忽略收纳罐的厚度，贝!1该香料收纳罐的容积为（）

里百

图1图2

1483

A.—cm3B.74cm3C.148cm3D.298cm3

【答案】C

【解析】

第2页/共22页

【分析】根据棱台的体积公式，计算求值，即得答案.

【详解】由题意可知，该香料收纳罐的容积为:、3义仔+62+斤W）=148cm3.

故选：C.

5.某校高三年级有500人，一次数学考试的成绩X服从正态分布N。10,100）.估计该校高三年级本次考

试学生数学成绩在120分以上的有（）

参考数据：若X〜NJ。，，则尸（〃一cr<XV〃+<7）=0.6827,尸（〃一2cr<X<〃+2cr）=0.9545,

尸（〃—3b<X<〃+3b）=0.9973.

A.75人B.77人C.79人D.81人

【答案】C

【解析】

【分析】X〜N（110,100）,P（X〉120）=l-0+,由概率计算人数即可.

【详解】X〜N（110,100）,〃=110,o-=10,

因为P（〃-cr<X<〃+cr）=0.6827,

所以尸（X〉120）J一尸（11°一1°；旌11°+1°）=1一°，27川586,

所以数学成绩在12。分以上的人数约为500x0.1586779人.

故选：C.

6.埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长：

如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.

同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为7.2。.因太

阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的.已知骆驼一天走100个视距段，从亚历山大城到赛伊尼

须走50天.一般认为一个视距段等于157米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（）

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A.37680千米B.39250千米C.41200千米D.42192千米

【答案】B

【解析】

【分析】首先读懂题意，根据比例关系，即可求解地球周长.

【详解】由亚历山大城到赛伊尼走100x50=5000,则地球大圆周长的视距段为x,

则二得250000个视距段，

360x

则地球的周长为250000x157=39250000米=39250千米.

故选：B

7.已知a=log26,b=log37,c=log59，则下列判断正确的是()

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.a<c<b

【答案】A

【解析】

3

【分析】取中间值一,2,利用对数函数单调性比较可得.

2

【详解】因为a=log26>log24=2,

23

2

b=log37>log33=-,且b=log37<log39=2,

23

c=log59<log552="

所以c<6<a.

故选：A.

8.已知定义在R上的函数/(x)=ei—ei+x,则不等式/(x—1)+/(2—2x)»2的解集为()

第4页/共22页

A.(-oo,-l]B.(-℃,1]c.[-1,1]D.[l,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】分析得到函数〃x)关于点(1,1)中心对称，且在R上单调递增，列不等式求解集即可.

【详解】由于/(x)=e1—e-+x—1+1,

令/=x-l,则g«)=e'-e-'+f,

因为y=e'在R上单调递增，y=e-'在R上单调递减，

y=—e-'在R上单调递增，＞=/在R上单调递增，

所以g«)=e'-十+/在R上单调递增，

又因为g(/)=e'-e-'+f定义域为R,关于原点对称，

又g(_/)=e-'_e'_/=_(e'——'+/)=_g(。，

所以g")为奇函数，关于(0,0)对称，

所以〃x)关于点(1,1)中心对称，且在R上单调递增，

即/(2-m)+/(m)=2,

由/(x-1)+/(2—2x)22可得/(x-1)22—/(2-2x)=f(2x),

贝1Jx-122x,得x〈T,

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用函数的对称性和单调性求解不等式，解题的关键是函数性质的灵

活应用.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方

图如图所示，贝I()

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B.估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为

75

C.估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80D.估计总体中成绩落在［60,70）内的学生人数为225

【答案】AD

【解析】

【分析】先根据频率之和为1可得。=0.005,进而可求每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断即

可.

【详解】由10x(2a+3a+7a+6a+2a)=l,可得。=0.005,故A正确;

前三个矩形的面积和为10x（2a+3（7+7a）=0.6,

所以这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为80,故B错误;

由成绩的频率分布直方图易知，这40名学生的竞赛成绩的众数为75,故C错误;

总体中成绩落在［60,70）内的学生人数为3axl0xl500=225,故D正确.

故选：AD

10.如图，点N,B,C,M,N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足儿W〃平面N8C的有（）

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【答案】AD

【解析】

【分析】结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理确定正确选项.

【详解】对于A,连接££),由下图可知MN//OE//NC,平面NBC，ZCu平面N8C,所以

MN//平面ABC,A正确.

对于B,设〃是EG的中点，A是。尸的中点，由下图，结合正方体的性质可知，AB//NH,

MN//AH//BC,/W7/C",故六边形肱阳C8N为正六边形，所以A,B,C,H,N,M六点共面,

B错误.

对于C,如下图所示，根据正方体的性质可知MV//Z。，由于平面N8C,所以上WN平面

ABC,所以C错误.

对于D,设/C0|NE=。，由于四边形/ECN是矩形，所以。是NE中点，由于8是九化中点，所以

MN//BD,

由于跖VN平面Z8C，平面N8C,所以VN//平面Z8C,D正确.

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故选：AD.

11.直线x+y+2=0分别与x轴，V轴交于43两点，点尸在曲线c：［=+上,贝！U4SP

的面积可能是（）

A.V2B.2C.5D.9

【答案】BC

【解析】

【分析】化简C的方程并确定出对应图象，然后根据到直线的距离结合求解出A48尸面积的取值

范围，由此可判断出正确选项.

【详解】因为直线x+y+2=0分别与x轴，V轴交于48两点,

所以/(-2,0),5(0,-2),则|幽=2&,

又因为点尸在曲线C：y=J—%2+2亚X上,

所以点尸在半圆（x—正『+/=2（y20）上，

圆心c（夜,o）到直线x+歹+2=o的距离为&=l^2l=1+72.

点（0,0）到直线x+y+2=Q的距离为4=1=收，

第8页/共22页

所以点尸到直线x+y+2=0的距离的范围是[J5,1+2行],

-2V2xV2272x（1+272）1

所以△4BP的面积取值范围是一--,---------------即[2,4+j2],所以BC正确，

故选：BC.

12.已知数列｛%｝满足4+1+（—1广＜%_1=3〃—4（〃》2且〃eN*），则下列说法正确的是（）

A.。2+。4=5,且。3-％=2

B.若数列｛4｝的前16项和为540,则q=6

C.数列｛4｝的前4左（左eN*）项中的所有偶数项之和为6k2-k

D.当n是奇数时，as="++%

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项，赋值法求解即可；B选项，先得到出“2+。2左=3（2左+1）—4=6左—1,求出数列｛4｝的

前16项和中偶数项之和，从而得到前16项和中奇数项之和，赋值法得到%w=3/-左+4,从而得到

%5+%3+a”+。9+%+%+%+a1=392+8%=448,求出答案；C选项，在B选项的基础上得到

。2加+2+。2加=6加-1,从而利用等差数列求和公式求解；D选项，在B选项基础上得到%左+1=3左2_后+4,

令〃=2左—1可得答案.

【详解】A选项，。什1+（-1）〃一1•%_]=3〃一4中，令〃=2得。3-％=3x2—4=2,

令〃=3得。4+。2=3乂3—4=5,A正确；

+a

B选项，an+l+（—I）”〔•%_]=3〃-4中，令〃=2左+1得出左+2ik=3（2左+1）—4=6左一1,

所以。4+%=6x1—1=5,必+。6=6x3—1=17,。12+40=6x5—1=29,

。16+%4=6x7—1=41,

相加得的+。4+。6+。8+。10+。12+。14+。16=5+17+29+41—92,

因为数列｛%｝的前16项和为540,所以前16项和中奇数项之和为540-92=448,

第9页/共22页

H1

%+i+（-l）-a“_i=3〃一4中，令n=2k得au+l-alk_x=3x2左一4=6左一4,

所以。2A：+i=6k—4+。2后一1=6k—4+6（k—1）—4+a2k=♦♦♦=6k—4+6（k—1）—4+,,,+6x1—4+%

左（1+左）

=6x-----4k+4=3k9—k+%,

故％5+%3+/i+。9+%+%+。3+。1—3x72—7+〃]+3X62—6+%+,•,+3xI2—1+6+%

=392+8%=448,

解得a、=7,B错误；

C选项，由B选项可知。2加+2+42加=6加一1,

｛4｝的前4M后eN*）项中的共有偶数项球项，故最后两项之和为。妹.2+%"=6（2左—1）一1,

所以数列｛4｝的前4M左eN*）项中的所有偶数项之和为

/、左（5+12左一7）7十“

%+/+,••+。4左一2+a4k—5+11H--F62k—1）—1=------------=6k-k,C正确；

〃+]

D选项，由B选项可知〃2左+1=3左之一左+%,令n=2k-1,则左=——,

w+12

故〃_3x（）〃+l+a-5+1Q+1）

取。〃+2-Jx------+^i------------+%

故当"是奇数时，an+2=+++0,口正确.

故选：ACD

【点睛】当遇到4+2-4=/（〃）时，数列求通项公式或者求和时，往往要分奇数项和偶数项，这类题目

的处理思路可分别令"=2左-1和"=2左，用累加法进行求解.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知点厂是抛物线=2py（p〉0）的焦点，。为坐标原点，若以少为圆心，|尸。|为半径的圆与

直线Gx-y+6=0相切，则抛物线C的方程为.

【答案】X2=8J

【解析】

【分析】根据题意知抛物线方程C：f=2眇（夕〉0）的焦点/[o,]）,利用点少到直线

第10页/共22页

Gx-y+6=0的距离为怛。|列出方程，解得夕=4,从而求解.

【详解】由题意知抛物线C：必=2眇（夕〉0）的焦点小切，

又因为点尸到直线瓜—y+6=0的距离为归。|,

所以：U2+6\|_p,又因为：p>0,解得：2=4,

a=­/二一

43+12

则抛物线。的方程为：x2=8j.

故答案为：x2=8j.

14.已知定义在［2加—1,加+4］上的奇函数〃x）,当x>0时，/（x）=3¥-l,则“加）的值为

【答案】-2

【解析】

【分析】根据奇函数定义域关于原点对称，结合奇函数的性，质运用代入法进行求解即可.

【详解】因为函数/a）是定义在［2加-1,加+4］上的奇函数，

所以有（2加-1）+（加+4）=0,得以=-1,

所以/（—1）=一/⑴=一（3-1）=一2.

故答案为：-2

-II/_V2b_

15.已知行力是非零向量，同=1,e+b）D,2在b方向上的投影向量为一万-,利，则团―们=

【答案】V5

【解析】

【分析】同=1,由得屋3=—1，£在B方向上的投影向量为—-旌可得忖=血，再

由归_/得卜一..

【详解】已知扇B是非零向量，同=1,

第11页/共22页

由(〃+b)_La,有++a%=0,可得73=-1，

—41ba-b41|一|「

Z在B方向上的投影向量为一-丁词，则有恸二一~T9得小也，

由卜=忖+R|-2a-b-5,所以卜_囚二君.

故答案为：V5

16.定义在[一|•,o]D[o,|■]上的奇函数/&)的导函数为了'(X),且当xe[o,]]时,

/'(x)tanx—/(>)〉0,则不等式/(x)<2/[6]sinx的解集为.

【答案】[多用U[词

【解析】

【分析】构造函数尸(x)=」鱼，通过研究尸(X)的奇偶性与单调性求解不等式.

smx

【详解】令尸(乃=/也，因为"X)是定义在(―g,o]u[o,g]上的奇函数，

sinxI2Jv2J

sm(-x)-smxsmx

所以厂(%)为偶函数.

当xe吟时，sinx>0,cosx>0,

由已知f\x)tanx-/(x)>0,

所以F，(x)=八x)sin1/(x)cosx==八X)fanx-/(x))>0,

sinxsinx

则尸(x)在［ogj上单调递增，

/(7)

6

由f(x)<sinx可化为<

sinx.兀

sm—

6

71

即F(x)<，得0<x<一；

6

第12页/共22页

当sinx<0,则小立〉——乙，

I2，smxsin.)

jr

即F(x)>F(——),

6

由F(x)为偶函数，则尸(x)在(q,0)上单调递减,

,口兀71

得——<X<——,

26

所以不等式/(%)<2/^—sinx的解集为［一耳厂.

故答案为:［多用U〔词•

【点睛】关键点点睛本题解题关键是构造函数E(x)=/地并发现尸(X)是偶函数，通过研究其单调性来

sinx

解不等式，特别要注意分段讨论，因为sinx的符号不能确定.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.某同学进行投篮训练，已知该同学每次投篮投中的概率均为

2

(1)求该同学进行三次投篮恰好有两次投中的概率；

(2)若该同学进行三次投篮，第一次投中得1分，第二次投中得1分，第三次投中得2分，记X为三次

总得分，求X的分布列及数学期望.

【答案】(1)93

O

(2)分布列见解析，2

【解析】

【分析】(1)应用独立事件概率乘积公式计算即可；

(2)应用独立事件概率乘积公式结合对立事件的概率公式计算概率，写出分布列计算数学期望即得；

【小问1详解】

记该同学进行三次投篮恰好有两次投中为事件“B”，

…/小1111111113

则尸(5)=-x—x——I——X—x——I——X—X—=—.

—2222222228

【小问2详解】

设事件4,幺2,4分别表示第一次投中，第二次投中，第三次投中,

第13页/共22页

根据题意可知X=0,1,2,3,4.

故尸（x=o）=尸（刁尸（4）尸（4）=；

O

尸（X=1）=尸（4）尸（4）尸（4）+尸（4）尸（4）尸（4）=；,

尸（x=2）=尸（4）尸（4）尸（4）+尸（刁尸仁）尸（4）=；

尸（x=3）=尸（⑷尸（4）尸（4）+尸（书尸（a）尸（4）=；,

尸（X=4）=尸（4）尸（4）尸（4）=3*3；=.

所以于x的分布列为:

X01234

]_j_]_

P

84448

X的数学期望E(X)=0X!+1X』+2XL+3XL+4X1=2.

84448

18.在单位圆上的三点/,B,C构成的锐角448C中，内角4,B,C所对的边分别为

a,Z）,c,sin2c-sin2^=（VlsinC-sin8）sin8.

（1）求a；

（2）求J%—°的取值范围.

【答案】（1）V2

（2）（0,V2）

【解析】

【分析】（1）根据条件，利用正弦定理，角转边得到°2+户一/=①~再结合余弦定理，即可得到

TT

A=-,由外接圆半径及正弦定理求出结果.

4

（2）根据条件，利用正弦定理边化为角，根据两角差的正弦公式，利用余弦函数的性质及角的范围，可求

出结果.

【小问1详解】

第14页/共22页

由sin2C-sin24=(asinC-sin8)sin8及正弦定理得：c2-a2=41bc-b2

212

+仝曰方申工田汨Ab+c—ay[2bcV2

由COS%=----------=-----=---

2bc2bc2

TT

又因为0</<兀，所以4二一

4

因为ANBC外接圆半径为1,a=2siih4=.

【小问2详解】

bc

因为A4BC的外接圆半径A=l,所以=2,

sin8sinC

所以b=2siaS,c-2sinC,

所以y/2b—c-2V2sin5—2sinC—2V2sin(——C)—2sinC=2cosC+2sinC—2sinC=2cosC，

0<C<-

9TT冗

又因为448C为锐角三角形，即；，故一<C<一,

八c3兀「兀42

0<B=----C<—

I42

6

所以0<cosC<=，所以0<2cosC(行，

2

所以0<J2—c<J5，即、区―c的取值范围是(0,、历).

19.设各项均不为零的数列｛4,｝的前"项和为5"，%=2,且2A/^=•4+1(〃eN*).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)令,当“最大时，求”的值.

(10)

【答案】(1)%=2〃

(2)9或10

【解析】

【分析】(1)利用公式%=S”-S.T，求得数列｛的“T｝是首项为2,公差为4的等差数列，数列是

首项为4,公差为4的等差数列，可求数列｛%｝的通项公式；

b>b.

(2)，最大时，则J尸,列不等式求”的值.

\bn,

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【小问1详解】

%=2,且2=J，"〃+1*N).

则有％〉°，4S，=%・%,

当〃=1时，/=E=,所以。2=4,

当时，an=Sn-Sn_x=^^-^^,所以4M—%T=4,

则数列｛。2“一1｝是首项为2,公差为4的等差数列，所以的“一1=2+4("—1)=2(2〃-1),

数列缶2〃｝是首项为4,公差为4的等差数列，所以出"=4+4(〃—1)=2(2〃)，

所以％=2n.

【小问2详解】

由己知得：b=a-｛^\=2〃(21,4=2,4=以，bx<b2,4不是最大项,

"“(10)(10)5225

设数列｛4｝的最大项为bn(»>2),贝U：J,

也地+i

即：22(〃—1)[\]且»2(〃+1)[[],解得9W〃V10,

所以年最大时，”的值为9或10.

20.如图，直三棱柱4BC-481cl中，点。，E分别为棱44、CC；的中点,

AE1AXBVAB=AC=AAX=4.

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（1）设过D,£三点的平面交耳G于尸，求右7的值;

（2）设X在线段上，当。〃的长度最小时，求点〃到平面4DE的距离.

【答案】（1）2

⑵也

21

【解析】

B.F

【分析】（1）先将平面4DE延展，在图中表示出4尸和尸C，根据三角形相似即可求出于不的值；

（2）由题意可以建立空间直角坐标系，根据垂线段最短，确定〃的位置，由点到平面的距离的向量表示公

DH^n

式d=即可求出点”到平面ADE的距离.

【小问1详解】

如图延长/。交84于尸，连接PE交片G于/，

如图所示：

因为。为棱4片的中点，DBX\\AB,且。回

所以凡是星的中点，即PB{=BB{=2CXE,

因为「四||GE,

PB.B.F-

所以△尸8rs△AEC/,所以号=合=2.

。［心rCj

【小问2详解】

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由题知M1平面ABC,则441±AB,

因为4用〃45,且所以48_L4E,所以481平面幺。。/1，

所以481ZC,如图所示，以A为原点，AC,AB,44］分别为x,夕，z轴正方向建立空间直角坐

标系，

所以2（0,0,0）,£>（0,2,4）,£（4,0,2）,5（0,4,0）,C（4,0,0）,设H（x,4—x,0）,（0<x<4）,

AD=（0,2,4）,AE=（4,0,2）,

因为。〃最短，所以。XLBC,

所以丽•就=(x,2—x,—4>(4,—4,0)=8x—8=0,解得x=l,

所以8(1,3,0),则丽=(1,1,-4),

-,、n-AD=02y+4z=0

设平面的法向量〃=(x/,z),贝卜_.即《

n-AE=04x+2z=0

所以3=(1,4,—2),

~DH^iri+r4+(-4)X(-2)13A/21

所以点H到平面ADE的距离d=/+42+(1

问21

21.已知二元关系/(xj)=(2x+y>—(x+2歹y+”2+b,曲线£：/(xj)=0,曲线E过点

C（2,0）,£>（4,6）,直线/：x=l,若0为/上的动点，A,2为E与x轴的交点，且点/在点3的左侧,

。/与£的另一个交点为03与E的另一个交点为N.

（1）求。，b；

（2）求证：直线VN过定点.

第18页/共22页

【答案】(1)。=2,6=-12

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)由题意将/(2,0)=0,/(4,6)=0代入方程/(x,#=0运算可得解;

6mt3/—12

(2)设的y："U=x+/,与曲线E方程联立，由韦达定理可得%+%=，=,由

3~m2~-173m2~-17

A,Q,M三点共线，由3,。，N三点共线，列式消元运算可求得/的值，得证.

【小问1详解】

由题意知，/(2,0)=0,/(4,6)=0,代入方程(2x+y)2—(x+2y『+ay2+b=o,

42—4+6=0

可得

(2x4+6)2-(4+2x6)2+36a+Z)=0,

解得a=2,b=—12.

【小问2详解】

22

由(1)可知(2x+y)2—(x+2yy+2y2—12=0,整理得曲线E：亍—会=1,

设心：叼=X+/,”区,必)，N(x2,y2),2(1,Jo),

得°机2机步+

由题意知4-2,0),8(2,0),联立〈3X^=12，—I)/_63/-12=0,

6mt