专题03多面体与旋转体（原卷版）

【原卷版】专题03多面体与旋转体本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体；本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系．，与全国其他一些版本的教材不同．【本章教材目录】11.1柱体11.1.1棱柱与圆柱；11.1.2柱体的体积；11.1.3柱体的表面积；11.2锥体11.2.1棱锥与圆锥；11.2.2锥体的体积；11.2.3锥体的表面积；11.3多面体与旋转体11.3.1多面体；11.3.2旋转体；11.4球11.4.1球；11.4.2球的体积；11.4.3球的表面积【本章内容提要】1、多面体与旋转体是两类重要的几何体（1）多面体：由三角形或平面多边形围成的封闭几何体称为多面体；（2）旋转体：一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条直线在空间旋转一周所得到的空间封闭几何体称为旋转体；2、本章所讨论的“简单几何体”有：（1）柱体（包括棱柱和圆柱），其中棱柱是多面体，而圆柱是旋转体；（2）锥体（包括棱锥和圆锥），其中棱锥是多面体，而圆锥是旋转体；（3）球，它是一个旋转体；3、我们主要关注所涉及几何体的体积和表面积的计算（1）柱体的体积和表面积：柱体的体积：V柱＝S底h(S底为底面面积，h为高)；直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的表面积：S表＝ch＋2S底；圆柱的表面积：S表＝ch＋2S底＝2πh＋2πr2；其中，S底，h与c分别是柱体的底面积、高与底面周长，r是圆柱的底面半径;（2）锥体的体积和表面积：锥体的体积：V锥＝eq\f(1,3)S底h(S底为底面面积，h为高)；正棱锥（底面为正三角形或正多边形且高通过底面中心的棱锥）的表面积：S表＝eq\f(1,2)ch′＋S底；圆锥的表面积：S表＝eq\f(1,2)cl＋S底＝πrl＋πr2；其中，S底、h与犮分别是锥体的底面积、高与底面周长，h′是正棱锥的斜高，r与l是圆锥的底半径和母线长；（3）球的体积和表面积：球的体积：V球＝eq\f(4,3)πR3：球面面积：S球＝4πR2；其中，R是球的半径；1、多面体的定义由三角形或平面多边形围成的封闭几何体；如：棱柱、棱锥、棱台等几何体都是多面体；2、多面体的分类多面体可以用它的面的数量进行命名，有几个面的多面体就叫做几面体；例如，三棱锥有一个底面和三个侧面，所以是四面体；长方体（四棱柱）有六个面，是六面体．一般地，一个n棱锥,有一个底面和n个侧面，所以是n＋１面体；n棱柱或n棱台有两个底面和n个侧面，所以是n＋2面体;由此可见，面数最少的多面体是四面体，即三棱锥;3、基本多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形4、四面体四面体在立体几何中的作用相当于三角形在平面几何中的作用；5、正多面体与平面上的正多边形类比，在空间中可以考虑正多面体．如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体；6、旋转体的定义及其相关概念由一个平面封闭图形绕其所在平面上的一条定直线旋转一周所形成的空间封闭几何体称为旋转体；这条直线叫做该旋转体的轴；与旋转体类似地可以定义空间中的旋转面：一条平面曲线（包括直线、折线等）绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的空间图形称为旋转面；7、基本旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形侧面展开图矩形扇形扇环题型1、有关多面体的概念及结构特点例1、（1）判断下列命题的真假（正确的打“√”，错误的打“×”）①多面体至少有四个面；（）②九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形；（）③长方体、正方体都是棱柱；（）④三棱柱的侧面为三角形；（）⑤等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同；（）【说明】本题主要考查多面体与特殊几何体的结构特征；（2）如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是()A．四棱台 B．四棱锥C．四棱柱 D．三棱柱题型2、有关简单多面体的结构特点及截面例2、（1）已知正四棱锥中，底面面积为，侧棱的长为，则该棱锥的高是.

【说明】对于棱锥的计算，关键还是抓住“特殊”的直角三角形；（2）、如图，四边形AA1B1B为边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱；若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征．在立体图中画出截面；【说明】本题考查了简单多面体的结构特点及截面的知识交汇；认识一个几何体，需要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些几何体组成的组合体，并能用平面分割开；题型3、有关简单多面体的平面展开图例3、（1）画出如图所示的几何体的平面展开图（画出其中一种即可）；（2）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长；【说明】1、多面体的展开与折叠：（1）由多面体画平面展开图，一般要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图；（2）由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推；2、求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体的侧面展开，转化为求平面上两点间的最短距离问题；题型4、有关简单多面体的高考真题体验例4、（2019·全国Ⅱ卷）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一；印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）；半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体；半正多面体体现了数学的对称美.（图2）是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1；则该半正多面体共有个面，其棱长为；【说明】本题考查学生的空间想象能力，抽象概括能力，解题关键是从“半正多面体”中作出一个截面为正八边形且正八边形的八个顶点都在边长为1的正方形上，由此易得棱长；题型5、有关旋转体的概念及结构特点例5、（1）下列说法正确的是（）A．矩形绕其一边所在直线旋转一周其余三边形成的面所围成的几何体是圆柱B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台D．圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；【说明】本题考查了特殊旋转体的定义与结构特征（2）、给出以下四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是__________．【说明】本题主要考查了准确掌握圆柱、圆锥、圆台、球的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键．要注意定义中的关键字眼，对于似是而非的问题，可以通过动手操作来解决；题型6、有关简单组合体的结构特征例6、（1）如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的()（2）、已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰(如图)．分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体是由哪些简单几何体构成的？【说明】关于平面图形绕固定轴旋转后得到的几何体的组成问题，可采用如下方法解决：1、引线分割：由平面图形的各定点向旋转轴引垂线，将平面图形分割成不同的直角三角形或直角梯形或矩形；2、旋转成体：将上述分割的图形绕轴旋转形成不同的柱、锥、台体解之；题型7、有关旋转体的计算问题例7、（1）一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为________．（2）圆台的上、下底面半径分别为6和12，平行于底面的截面自上而下分母线为2∶1的两部分，求截面的面积．【说明】对于此类问题，特别注意：将空间问题转化为平面几何问题；圆柱、圆锥、圆台问题要抓住它们的轴截面及其中线段与底面半径、高、母线之间的关系，构造矩形、直角三角形求解；题型8、有关旋转体的侧面展开图问题例8、（1）如图所示，有一个底面半径为1，高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面一周且由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？【说明】本题考查了有关旋转体“面上的最短问题“，一般”展开“往往是有效的方法；（2）、如图所示，圆柱侧面上有两点B，D，在D处有一只蜘蛛，在B处有一只苍蝇，蜘蛛沿怎样的路线行走才能以最短的路程抓住苍蝇？最短路程是多少？【说明】1、用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，得到的截面与底面全等或相似，常结合旋转体的轴截面的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组来解决问题；2、几何体表面上两点间的最短距离问题，都应该将几何体的表面展开，画出展开图，转化为平面上两点间的线段长的计算问题；题型9、将多面体的问题转化为平面问题例9、（1）在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是________．（2）如图所示，直三棱柱ABB1－DCC1中，∠ABB1＝90°，AB＝4，BC＝2，CC1＝1，DC上有一动点P，则△APC1周长的最小值是________．题型10、有关多面体的综合题例10、（1）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．（2）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G，H分别是CE和CF的中点．（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求证：平面BDGH∥平面AEF；（3）求多面体ABCDEF的体积．题型11、有关旋转体的侧面展开图问题例11、（1）某市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，某市公园数量累计达到1025个．下图为某市某公园供游人休息的石凳，它可以看作一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的棱长为20eq\r(2)cm，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为cm2.（2）如图1，普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如图2，已知圆柱的底面直径AB＝16m，母线长AD＝4m，圆锥的高PQ＝6m，则该蒙古包的侧面积约为m2.eq\o(\s\up7(),\s\do5(图1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图2))【答案】144π；题型12、有关几何体的与其他知识的交汇问题例12、已知圆锥SO的底面半径为1，若其底面圆周上存在两点A，B，使得∠ASB＝90°，则该圆锥侧面积的最大值为eq\r(2)π.（2）如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面四边形OABC的直观图，其中O′A′＝3，O′C′＝1，（1）判断平面四边形OABC的形状并求周长；（2）若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．1、面数最少的多面体有________个面.2、棱柱的侧棱最少有________条，棱柱的侧棱长之间的大小关系是________．3、如图所示，不是正四面体的展开图的是________．①②③④4、如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是5、若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是________.6、下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中说法正确的序号是________．7、下列四个命题中正确的是（）A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱8、下列说法中，正确