2.2.1直线的点斜式方程2

2.2.1直线的点斜式方程明确学习目标课标要求1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题．重点难点1掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；2.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题。知晓结构体系

1夯实必备知识知识点1直线的点斜式方程直线的点斜式方程的概念我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程．方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式，如图所示．理解(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此种形式．(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0.(3)当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0.3.两种特殊的直线：倾斜角图象特征斜率直线方程0°，即，即90°无意义，即不存在，即求直线的点斜式方程的步骤(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．

知识点2直线的斜截式方程1．截距：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．2．直线斜截式方程的概念方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，我们把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式，如图所示．3.理解(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，只能在直线斜率存在的前提下使用；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距．(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.4.斜截式的几种特例表示过原点的直线，表示与轴平行的直线，表示轴求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可．6.根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直反思感悟若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.2提升学科能力题型一点斜式方程例1．经过点，且倾斜角为的点斜式直线方程为.【答案】【分析】求出直线斜率，根据直线的点斜式方程即可得答案.【详解】倾斜角为的直线的斜率为，又该直线经过点，所以其点斜式方程为故答案为：跟踪训练11．已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是．【答案】【分析】求出中点坐标和斜率后，根据点斜式可得结果.【详解】设的中点为，则，又斜率，所以直线的点斜式方程为．故答案为：2．已知过定点的直线m的一个方向向量是，则直线m的点斜式方程为.【答案】【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，再根据点斜式方程即可求解.【详解】因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率为，又因为直线过点，所以直线的点斜式方程为.故答案为：3．写出满足下列条件的直线的点斜式方程：(1)经过点，斜率为3；(2)经过点，倾斜角是；(3)经过点，倾斜角是．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果；（2）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可；（3）利用倾斜角是可得直线斜率为，代入点斜式方程求出结果；【详解】（1）由题意可知，将和斜率3直接代入直线点斜式方程可得，直线的点斜式方程为；（2）由倾斜角是可得直线斜率，将代入点斜式方程即为（3）由倾斜角是可得直线斜率，将代入点斜式方程即为题型二斜截式方程例2．已知直线l过点且方向向量为，则l在x轴上的截距为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，由条件结合直线的点斜式即可求得直线的方程，再令，即可得到结果.【详解】因为直线的方向向量为，所以直线斜率，又直线过点，所以直线方程为，即，令，得，所以在x轴上的截距为.故选：A跟踪训练21．已知直线l：，则（）A．直线l过点B．直线l的斜率为C．直线l的倾斜角为D．直线l在轴上的截距为1【答案】BC【分析】根据直线方程逐项判断.【详解】对于A，将代入，可知不满足方程，故A不正确；对于B，由，知直线l的斜率为，故B正确；对于C，设直线l的倾斜角为α，则，可得，故C正确；对于D，由，令，可得直线l在轴上的截距为－1，故D不正确．故选：BC2．已知两点、，则直线的斜截式方程是．【答案】【分析】直接利用两点的坐标求出直线的方程，进一步转换为斜截式．【详解】已知两点、，故直线的斜率，则方程为：，整理得，转化为直线的斜截式为．故答案为：．3．在中，BC边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点B的坐标为（1，2）.(1)求点A和点C的坐标；(2)求AC边上的高所在的直线l的斜截式方程.【答案】(1)，(2)【分析】（1）先求出A的坐标，再求出AC所在直线方程和BC所在直线方程，最后联立方程求出C的坐标；（2）先求出直线l的斜率，再求出直线l的斜截式方程.【详解】（1）由已知A是BC边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，由，得，故，又因为,所以直线AB和直线AC的倾斜角互补，所以又所以AC所在直线方程为，BC所在直线方程为，由，得，所以点A和点C的坐标为，；（2）由（1）知AC所在直线方程为，所以直线l的斜率为，因为，所以直线l所在的方程为，即，所以直线l的斜截式方程为.题型三直线的图像辨析例3．已知，，则下列直线的方程不可能是的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解.【详解】，直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2，故D正确，当时，,故B不正确，当时，或，由图象知AC正确.故选：B跟踪训练31．直线可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线斜率的正负值与定点即可判断结果．【详解】因为，所以AC错；当时，，故B对；故选：B2．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据直线的斜率和纵截距的正负进行判断．【详解】对B，斜率为正，在轴上的截距也为正，故不可能有斜率为负的情况.故B错.当时，和斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足.故选：D3．方程表示的直线可能是A． B． C． D．【答案】C【解析】分和两种情况讨论，即得答案.【详解】由题意，排除.当时，，此时直线与轴的交点在轴的负半轴上，排除.当时，，此时直线与轴的交点在轴的正半轴上，排除，选.故选：.【点睛】本题考查由直线方程识别图象，考查分类讨论，属于基础题.题型四直线点斜式方程的综合例4．直线的方程为.(1)证明：直线恒经过第一象限；(2)若直线一定经过第二象限，求a的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）可利用直线经过的定点进行说明；（2）结合（1）的结论，只要直线的轴上的截距大于即可.【详解】（1），即直线一定过定点，该点在第一象限，于是直线一定经过第一象限.（2）由于直线经过第一象限的定点，只要该直线在轴上的截距大于即可，而经过轴上的点，则，解得跟踪训练41．经过点，且与直线平行的直线的斜截式方程为；与直线垂直的直线的点斜式方程为.【答案】【分析】根据平行直线的斜率关系，找到斜率，经过点求出直线方程，改写成斜截式方程即可，根据垂直直线的斜率关系，求出斜率，写出对应的方程，改写成点斜式方程即可.【详解】设直线的斜率为，与直线平行的直线的斜率为，与直线垂直的直线斜率为.由得，由两直线平行知.所以所求直线方程为，即；由两直线垂直知，所以与直线垂直的直线的点斜式方程为.故答案为：;2．已知直线l的方程是.(1)求直线l的斜率和倾斜角；(2)求过点且与直线l平行的直线的方程.【答案】(1)斜率为，倾斜角是60°(2)【分析】（1）由直线方程直接求出斜率，进而得到倾斜角；（2）利用点斜式方程求出直线方程.【详解】（1）已知直线l：，所以直线l的斜率，倾斜角是.（2）过点且与直线l平行的直线的斜率是，所求直线方程为：，即.3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与直线交于点，点D的坐标为.（1）求直线的解析式；（2）直线与x轴交于点B，若点E是直线上一动点（不与点B重合），当时，求点E的坐标【答案】（1）；（2）.【分析】（1）设直线的解析式为，将点，代入直线中，解出，可得直线的解析式；（2）设点E的坐标为，求出的坐标，当时，过点C作交直线于E，利用求出，进而可得点E的坐标．【详解】（1）设直线的解析式为，将点，代入直线中得：解得：直线的解析式为：（2）设点E的坐标为令得，点B的坐标为令得，点C的坐标为，，，，当时，如图所示，过点C作交直线于E，，，，解得此时E点的坐标为【点睛】本题考查待定系数法求直线的方程，考查相似三角形的应用，考查学生数形结合能力，属于中档题．3质量检测评价一、单选题1．过点且倾斜角为的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意知直线斜率为1，根据点斜式即可写出直线方程化简即可得解.【详解】过点，且倾斜角为的直线斜率为1，则，即．故选：B．2．直线过点，，则直线在轴上的截距是（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】求出直线的方程，令可解.【详解】由题可得直线的斜率，再由点斜式方程可得，化简可得，令，则直线在轴上的截距为．故选：D．3．已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据点斜式方程求解即可.【详解】直线在轴上的截距为，点在直线上，又直线的斜率为,根据点斜式方程得即.故选：B.4．，和围成的三角形内部和边上的整点有（

）个.A．35 B．36 C．37 D．38【答案】C【分析】做出直线的图像，依据图像进行求解.【详解】显然直线，上无整点，当，，有1个点；当，，有1个点；当，，有2个点；当，，有3个点；当，，有3个点；当，，有4个点；当，，有5个点；当，，有5个点；当，，有6个点；当，，有7个点；得到37个整点.故选：C.【点睛】利用数形结合的方法进行求解.5．直线不经过的象限为（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据直线图象即可判断．【详解】画出直线方程得：故直线不过第三象限，故选：C

6．过点且与直线垂直的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求得所求直线的斜率，再根据点斜式求得正确答案.【详解】直线的斜率为由垂直关系可得垂线的斜率为，又垂线过点，垂线方程为故选：D二、多选题7．已知直线，，则它们的图象可能为（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由两直线的解析式可得直线的斜率为a、纵截距为b，的斜率为，纵截距为a，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】选项A，由的图象可知，，，由的图象可知，，，可能成立；选项B，由的图象可知，，，由的图象可知，，，可能成立；选项C，由的图象可知，，，由的图象可知，，，不成立；选项D，由的图象可知，，，由的图象可知，，，不成立.故选：AB.8．若直线，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】找到斜率之间的关系,即可判断平行与垂直.【详解】设的斜率分别为，结合题意易得：，因为，所以因为且，所以.故选：BD.9．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是()A．y=x+5 B．y=x+5C．y= D．y=【答案】AC【分析】分两种情况求解，过原点时和不过原点时，结合所过点的坐标可求.【详解】当直线过坐标原点时，直线过点,所以直线方程为y=;当直线不过坐标原点时，设直线方程为=1，代入点，可得a=5，即y=x+5.故选:AC.三、填空题10．直线过点，若的斜率为2，则在轴上的截距为【答案】【分析】由点斜式写出直线的方程，求出在轴上的截距即可.【详解】由题意知：直线的方程为，即，所以在轴上的截距为.故答案为：.11．已知斜率为2的直线经过点，则直线的方程为.【答案】【分析】根据直线点斜式方程，直线斜率为且过点时，直线方程为，代入题中已知即可得出答案.【详解】已知直线斜率为2且经过点，由直线点斜式方程得直线的方程为：，即.故答案为：.12．已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则值是.【答案】【分析】根据题意，分别求得直线在轴的截距，结合三角形的面积公式，即可得到结果.【详解】对于直线，能与两坐标轴围成三角形，则，令，得，所以直线与轴交点坐标为，令，得，所以直线与轴交点坐标为，所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，解得.故答案为：四、解答题13．已知的顶点坐标为.(1)试判断的形状：(2)求边上的高所在直线的方程.【答案】(1)直角三角形(2)【分析】（