2024-2025学年高二数学选择性必修一《椭圆》测试卷及答案解析

2024-2025学年高二数学选择性必修一《椭圆》测试卷

（本卷共19道题；总分：150分；考试时间：120分钟）

姓名：成绩:

单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列方程表示椭圆的是（）

22

xyyz

A.一+一=1B.---=1

259259

22

C.—+—=1D./+2/=8

99

%2y2

2.椭圆二+彳=1上一点尸到左焦点八的距离为2,M是线段尸为的中点，则M到原点。的距离等于（）

259

A.2B.6C.4D.8

3.已知椭圆二十二=1上一点尸到椭圆一个焦点的距离是6,则尸点到另一个焦点的距离为（）

2516

A.2B.3C.4D.5

XV

4.两个焦点分别为尸2的椭圆-7+77=1（〃>。>0）上有一点尸，若△?人"是边长为2的等边三角形，则

azbz

椭圆的方程为（）

x2y2x2y2

A.—+—=1B.=1

169163

x2y2x2y2

C.—+—=1D.一+一=1

4341

汽2y2

5.椭圆一+=1的一个焦点坐标为（0,-1）,则实数m的值为（）

3-m

A.2B.4C.-4D.-2

x2y2

6.直线mx-y-2m+l=0（mGR）与椭圆一+—=1的位置关系是（）

83

A.相离

B.相切

C.相交

D.随着血的取值变化而变化

7.已知椭圆二+二=1（a>6>0）的左、右焦点分别为乃，F1,右顶点为4上顶点为8,若河|=苧乃放|,

a2b2z

则椭圆的离心率为（）

V21V262

A.—B.一C.---D.—

221313

%2y2q2

8.若椭圆于+㈢=1（a>b>0）的中心和两个焦点将两条直线龙=土一广间的距离四等分，则它的一个焦点

azbz\a2-b2

与短轴两个端点连线的夹角为（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

x2y2

（多选）9.已知椭圆C：一+—=1的焦点分别为A,F1,尸为C上一点，贝1J（）

94

A.C的焦距为2逐

_V5

B.C的禺心率为三

C.△尸1PP2的周长为3+备

D.△■F1PR面积的最大值为2遍

（多选）10.如果方程丁+27=1表示焦点在X轴上的椭圆，则实数〃的取值范围可以是（）

a+6

A.（-8,-2）B.（3,+8）c.（-6,-2）D.（-3,+°°）

（多选）H.已知椭圆E：A=l（a〉6>。）的左、右焦点分别为尸1，Fi,左、右顶点分别为A,B,尸是E上

异于A,8的一个动点.若3|4八|=|8尸i|,则下列说法正确的有（）

1

A.椭圆后的禺心率为5

B.若尸尸i_L小尸2,贝kos乙PF2&=5

C.直线PA的斜率与直线PB的斜率之积等于-反

4,

—>—>

D.符合条件P6•PF2=0的点P有且仅有2个

三.填空题（共3小题）

久2y2

12.设椭圆7=l（a〉b〉0）的焦距为2c,若廿=〃c,则椭圆的离心率为.

13.经过点M（遮，-2）,N（-2V3,1）的椭圆的标准方程是.

r2

14.椭圆一+y2=1上的一点尸到左焦点的距离为1,则点尸到椭圆右准线的距离为________________.

4

四.解答题(共5小题)

XVL

15.已知椭圆丁+77=1(。>6>0)的半焦距为c,点(2,-V3)在椭圆上.

azbz

(1)若a=41c,求椭圆的方程；

(2)若c=&，求椭圆的方程.

XV

16.设椭圆>+「=1(a>b>0)的两个焦点分别为/2,点尸在椭圆上，且尸尸△尸尸2,若△尸为尸2的周长

和面积均为24,求椭圆的方程.

17.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是（0,-3）和（0,3）,且椭圆经过点（0,4）,求

（1）该椭圆的标准方程；

4

（2）求过点（3,0）且斜率为g的直线被C所截线段的中点坐标.

XV-T

18.设椭圆方+—=1（。〉次）的左、右焦点分别为尸1）2,上顶点为A,在无轴负半轴上有一点8,满足=F#2,

az3

5.AB1AF2.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线3x-4y+3=0与椭圆交于M,N两点，点P在椭圆上，求△PMN面积的最大值和此时点P的坐标.

xy

19.已知尸1,尸2为椭圆一+7=M0V6V10)的左、右焦点，P是椭圆上一点.

100bT2

(1)求|尸乃|・『/2|的最大值；

64A/3

(2)若/6尸尸2=60°且92的面积为三一，求b的值.

2024-2025学年高二数学选择性必修一《椭圆》测试卷

参考答案与试题解析

单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列方程表示椭圆的是（）

%y

C.一+——=1D.x92+2y92=8

99

解：A选项的方程是直线方程；8选项的方程是双曲线方程；。选项的方程是圆的方程；。选项的方程是椭圆方

程.故选：D.

%2y2

2.椭圆二+—=1上一点尸到左焦点八的距离为2,M是线段尸为的中点，则M到原点。的距离等于（）

259

A.2B.6C.4D.8

x2y2

解：•・•椭圆去+3=1中，〃=5,・・・|尸"+|尸尸2|=2〃=10,

11

结合|PA|=2,得|PF2|=2a-|PPi|=10-2=8,；是△尸8尸2的中位线，|。加|=/尸/2|=/x8=4.

故选：C.

3.已知椭圆1+77=1上一点P到椭圆一个焦点的距离是6,则尸点到另一个焦点的距离为（)

A.2B.3C.4D.5

第2丫2

解：：椭圆于+T--1上一点P到椭圆一个焦点的距离为6,

2516

.,.|PFI|+|PF2|=10,即尸到另一个焦点的距离为10-6=4.故选:C.

XV

4.两个焦点分别为人，尸2的椭圆和十==1（〃〉/?〉0）上有一点P，若△尸尸声2是边长为2的等边三角形，则

椭圆的方程为（）

x2y2x2y2

A.—+—=1B.—+—=1

169163

x2y2x2y2

C.—+—=1D.—+—=1

4341

解：因为△尸尸1尸2是边长为2的等边三角形，由椭圆定义和对称性可知，|尸乃|+|尸尸2|=2+2=2〃,

LXV

又尸1尸2|=2=2C,故。=2,c=l,：.b=V3,所以椭圆的方程为一+二=1,故选：C.

43

xy、

5.椭圆工+-=1的一个焦点坐标为(0,-1),则头数机的值为()

3-m

A.2B.4C.-4D.-2

解：根据焦点坐标可知，椭圆焦点在y轴上，所以有-根-3=1,解得m=-4.故选：C.

6.直线mx-y-2m+l=0(mGR)与椭圆一+—=1的位置关系是()

83

A.相离B.相切C.相交D.随着根的取值变化而变化

解:由线--厂2%+1=0,得〃z(x-2)-y+l=O,联立咚解得

X2y241115

二・直线mx-y-2m+l=0(mGR)过定点(2,1),代入一+—=1,有一+-=一+-=一<1.

8383236

%2y2

・••点(2,1)在椭圆七+一=1的内部，

83

%2y2

则直线如-y-2m+1=0(meR)与椭圆一+—=1的位置关系是相交.故选：C.

83

7.已知椭圆-7+77=1(〃>6>0)的左、右焦点分别为乃，F1,右顶点为A,上顶点为5,若|AB|=浮下由2|,

azbzN

则椭圆的离心率为()

V21V262

A.—B.-C.-----D.—

221313

%?y2

解：已知椭圆二+77=1(a>6>0)的左、右焦点分别为A,F2,右顶点为A,上顶点为8,

a2b2

则A(a,0),B(0,b),Fi(-c,0),Fi(c,0),则网=加+炉,|FIF2|=2C,

又•••明=卓|尸典,.•./+庐=302,.\2a2-C2=3C2,即J=2C2,即2=立，故选:A.

na2

汽2y2q2

8.若椭圆方+方=1(〃>/?>0)的中心和两个焦点将两条直线l=土下^^间的距离四等分，则它的一个焦点

azbz\a2-b2

与短轴两个端点连线的夹角为()

A.45°B.60°C.90°D.120°

%2y2Q2

解：己知椭圆一7+七=1(a>b>0)的中心和两个焦点将两条直线尤=±7^^间的距离四等分，

a2b27az—t)z

贝圾(--1=,0),尸2(忙—，0),由/=k+02可得为尸2詹，0),

2ja2—b22ja2—b2

又Fl(-c,0),贝!]_，=一c,即/=2C2,即。=/6=鱼的设上顶点为A,则tern乙4&。=9=1，

即/4为。=45°,则它的一个焦点与短轴两个端点连线的夹角为90°,故选：C.

二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

x2y2

(多选)9.已知椭圆C二十丁=1的焦点分别为A,Fi,尸为。上一点，贝U()

94

「__V5

A.C的焦距为2而B.C的禺心率为

C.△乃尸尸2的周长为3+痛D.△为尸尸2面积的最大值为2西

XV

解：设椭圆C一十-二1的长轴长为2〃，短轴长为24焦距为2c,

94

则〃2=9,廿=4,<?=9-4=5,故a=3,b=2,c=V5,所以。的焦距为2遮，故A正确；

c

C的离心率为一=77，故3正确；的周长为|P6|+IPF2I+1641=2a+2c=6+2遮，故C错误;

a3

对于。，当点尸位于椭圆的上下顶点时，△尸1尸尸2的面积最大,

1

最大值为5x2X2遮=2遮，故。正确.故选：ABD.

（多选）io.如果方程/+£=】表示焦点在'轴上的椭圆,则实数。的取值范围可以是（

A.(-8,-2)B.(3,+8)C.(-6,-2)D.(-3,+8)

解：..•方程f+-----=1表示焦点在工轴上的椭圆，.•・〃2>Q+6>0,即/-〃-6>0且a>-6,

解得：-6V〃V-2或〃>3..•・实数〃的取值范围是（-6,-2）U（3,+8）.故选：BC.

（多选）11.已知椭圆E：冒+、=l（a>6>0）的左、右焦点分别为乃，F1,左、右顶点分别为A,B,P是E上

异于A,8的一个动点.若31Abi|=|3尸1],则下列说法正确的有（）

A.椭圆E的离心率为一B.若贝1JCOSNPF20=1

23

C.直线PA的斜率与直线PB的斜率之积等于-反

4,

—>—>

D.符合条件P&•PF?=0的点P有且仅有2个

C1.

解：由3HAi=|5川，可得3（Q-c）=a+c,即a=2c,可得e=g=），故A正确；

设〃=2/,贝Uc=bb=V3r,r>0,

22

若尸为J_乃尸2,可得|P尸i|=",\PF2\=2a­—,cos/P/S=二^=二^==故8错误；

CLac卜/4f--tb

设pGn,6可得泉+器=1,即〃2=-A"贝值线B4的斜率与直线PB的斜率之积为高•高

—>—>

由c<b,可得以。为圆心，C为半径的圆与椭圆没有交点，则符合条件PF1•PF2=0的点P不存在，故。错误.

故选：AC.

三.填空题（共3小题）

汽2y2A/5-1

12.设椭圆一;■+77=l（a>b>O）的焦距为2c,若房=〃的则椭圆的离心率为—-----

az_2

解：在椭圆中，a2=b2+c2,因为。2=〃c,所以d+w-〃2=o.

又0=能（0,1）,所以e2+e-l=0,解得e=与］或e=3|二（舍），

■^5^_1^5_1

所以椭圆的离心率为一^.故答案为：——.

22

_工2y2

13.经过点M（遮，-2）,N（-2V3,1）的椭圆的标准方程是—+-=1.

—155----

解：设椭圆方程为（m>0,n>0,二:，解得根=白，n=

x2y2x2y2

，椭圆方程为T十二=1.故答案为：—+—=1.

155155

x2_

14.椭圆一+y2=1上的一点尸到左焦点的距离为1,则点尸到椭圆右准线的距离为2V3.

4----------

x2

解：设尸Go,yo）,由椭圆工+丫2=1上一点尸到左焦点为的距离为1,即|尸历|=〃+的=1,

2+~^~XQ—19解得％o=—

；.尸到右准线的距离1=《-&=竽+竽=2V3.

故答案为：2回

四.解答题（共5小题）

久2y2

15.已知椭圆丁+匕=1（a>b>0）的半焦距为c,点（2,-V3）在椭圆上.

azbz

（1）若〃=V^c,求椭圆的方程；

（2）若c=VL求椭圆的方程.

解：（1）Va=42c,a2=2c2,a2=2（/-廿），）=2侪,

y243

二・椭圆方程为B=1，•二点（2，—V3）在椭圆上.r+77=^,

2b2b22b2b2

%2-y2

.••廿=5,・・・〃2=10,.,•椭圆的方程为一+—=1；

105

（2）Vc=V2,：.a2-b2=2@,

43

•点（2,—V3）在椭圆上.・,•厄■+记=1②，

由①②解得a=2近,b=V6,

、x2y2

二・椭圆的方程为+—=1.

86

x2y2

16.设椭圆于+77=1（。>匕>°）的两个焦点分别为人，/2,点。在椭圆上，且尸尸」尸尸2,若△尸尸汨2的周长

azbz

和面积均为24,求椭圆的方程.

解：-：PF11PF2,.1.|PFI|2+|PF2|2=（2C）2,

由椭圆定义可知|PFl|+|PF2|=2a,

(|PF1|+|PF2|)2-2|PFI||PF2|=4C2,

从而得4a2-2|PFI||PF2|=4C2,：.\PFi\\PF2\=2b2,

2

'-ShPF1F2=^x2\PFi\\PF2\=b=24,

;△尸为尸2的周长24,；.2a+2c=24,；.a+c=12,

由庐=24,可得/-c?=24,(a+c)(a-c)=24,

•*ci~c=2,

x2y2

，椭圆方程为：—+—=1.

4924

17.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(0,-3)和(0,3),且椭圆经过点(0,4),求

(1)该椭圆的标准方程；

4

(2)求过点(3,0)且斜率为g的直线被。所截线段的中点坐标.

解：(1)由题意可知：椭圆焦点为(0,-3)和(0,3),可知椭圆的焦点在y轴上，

一、、汽2y2

设椭圆的标准方程为：—+—=1(a>b>0),c=3,

bzaz

由题意可知：椭圆经过点(0,4),即点(0,4)为椭圆的上顶点，

即〃=4,

由b2=a2-。2=7,

化2丫2

，椭圆的标准方程：—+-=1；

716

(2)依题意可得，直线方程为(x-3),设直线被C所截线段的中点坐标尸(x,y).

笠+V=1

贝耳716,整理得16?-21x+28=0；

j=弓Q-3)

设直线与椭圆的两个交点坐标为A(xi,yi),B(%2,”)，

则由韦达定理得：Xl+X2=

中点横坐标为x="耍”=装,代入直线方程得y=4(|1-3)=一半

...中点坐标为(||,—券).

X2V21—TT

18.设椭圆7+—=l(a>百)的左、右焦点分别为人，放，上顶点为A,在x轴负半轴上有一点8,满足B&=FF,

az3r2

MAB±AF2.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线3x-4y+3=0与椭圆交于M,N两点，点尸在椭圆上，求△「阿面积的最大值和此时点尸的坐标.

解：(1)设椭圆的半焦距为c,c=V^~,

Fi(-c,0),Fi(