人教版九年级数学上册专项训练：正多边形和圆（原卷版）

第12讲正多边形和圆

（重点题型方法与技巧）

目录

类型一：圆内接正多边形

类型二：正多边形的有关计算

类型三：混淆正多边形和圆的有关概念致错

类型一：圆内接正多边形

证明一个圆内接多边形是正多边形的两种方法：

（1）证明圆内接多边形的每个内角相等，每条边也相等，二者缺一不可.

（2）证明圆内接多边形的各边所对的弧相等.

技巧：当边数是奇数时，各个内角相等的圆内接多边形是正多边形.

典型例题

例1.（2022•江苏•兴化市教师发展中心九年级阶段练习）如图，四边形A5C。是。。的内接四边形，若/。=85。，

则的度数为（）

A.95°B.105°D.125°

例题2.（2022•浙江•九年级专题练习）已知在圆的内接四边形中，ZA：NC=3：1,则NC的度数

是（）

A.45°B.60°C.90°D.135°

例题3.（2022•江苏•徐州市东苑中学（徐州市第三中学初中部）九年级阶段练习）如图，若A3是OO的直

径，是©O的弦，ZABD=5^,则NC的度数为

A

例题4.（2022•江苏•南京外国语学校仙林分校九年级阶段练习）用两种方法证明“圆内接四边形的对角互补”.

已知：如图，四边形ABCD是。O的内接四边形.

求证：ZA+ZC=180°,ZB+ZD=180°.

证法4度数=g的。度数，NC度数=；加8度数，8c。度数度数=360。

/.ZA+ZC=1x360°=180°,同理，ZB+ZD=180°.

请用不同方法完成证法2.

同类题型演练

1.（2022•陕西西安市中铁中学三模）如图，四边形ABCD内接于（O,ZADC=120°,8。平分/ABC交AC

于点E,若BA=BE.则NAD3的大小为（）

A.35°B.30°C.40°D.45°

2.（2021.河南许昌.九年级期中）己知在圆的内接四边形ABC。中，ZA：NC=1：4,则/C=（）

A.160°B.144°C.120°D.100°

3.（2022•福建省福州第十九中学九年级阶段练习）如图，点。在人8上，点。在半径上，则下列结论

正确的是（）

0c

A.ZACD+-ZAOB=180°B.ZACB+-ZAOB=180°

22

C.ZACB+ZAOB=180°D.ZOAC+ZOBC=180°

4.（2022.江苏•沐阳县怀文中学九年级阶段练习）如图，四边形ABC。是的内接四边形，连接A。、OC,

ZABO=70°,AO//CD,则/OC。的度数为_____°.

5.（2022•江苏・南通市启秀中学九年级阶段练习）如图,四边形ABC。内接于。。，AC平分若

ZBAD=120°,求证：AC=AB+AD.

6.(2022・江苏盐城•九年级阶段练习)如图,五边形A3C0E内接于。0,BC=DE,连接AC,AD,求证:

ZBC£)+ZCAE=180°.

(

类型二：正多边形的有关计算

正多边形的相关计算技巧:

（1）正“边形的半径、边心距、边的一半构成一个直角三角形.有关正〃边形的计算问题都转化为直角三角

形的问题，常作半径、边心距构造直角三角形；

（2）正六边形的边长等于它的半径，正三角形的边长等于它的半径的6倍，正方形的边长等于它的半径

的收倍.

典型例题

例题1.（2021•河北唐山•九年级期中）若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

例题2.（2022•江苏•九年级）中心角为45。的正〃边形的边数〃等于（）

A.12B.10C.8D.6

例题3.（2022•新疆•和硕县第二中学九年级期末）如图，已知正六边形的边心距为3,则它的周长是（）

------

A.6B.12C.673D.12m

例题4.（2022•全国•九年级课时练习）如图，四边形A5C。为。。的内接正四边形，AAEF为。。的内接

正三角形，若O尸恰好是同圆的一个内接正“边形的一边，则〃的值为（）

A.6B.8C.10D.12

例题5.（2022•陕西•西安工业大学附中九年级期中）若一个正多边形恰好有8条对称轴，则这个正多边形的

中心角的度数为.

例题6.（2022•全国•九年级专题练习）如图，正八边形A5C0E尸GH内接于。O,若AC=4,则点。到AC

的距离为.

B

例题7.（2022•江苏•泰州市姜堰区第四中学九年级阶段练习）一个正"边形绕它的中心至少旋转36。才能与

原来的图形完全重合，则”的值为.

例题8.（2022•全国•九年级课时练习）如图，正方形A3CD内接于O,P为BC上的一点，连接少P,CP.

（1）求NCPD的度数；

（2）当点尸为8c的中点时，CP是。的内接正"边形的一边，求"的值.

同类题型演练

1.（2022•全国•九年级课时练习）如图，五边形ABCDE是。的内接正五边形，则正五边形的中心角NCC©

的度数是（）

A.72°B.60°C.48°D.36°

2.（2021•全国•九年级专题练习）已知，正六边形ABCDEF的边长为2,则CF的长为（)

A.73B.2^3C.4D.5

3.（2022•江苏宿迁•一模）我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十

二等分构造出2个矩形和1个正方形（如图），则阴影部分的面积是（

A.1B.8-4>/3C.16-8>/3D.20-10石

4.（2021・全国•九年级专题练习）如图，/\B,AC分别为的内接正三角形和内接正四边形的一边，若BC

恰好是同圆的一个内接正“边形的一边,贝壮的值为（）

A

5.（2022・湖北・武汉市第十一中学九年级阶段练习）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中

国结和雪花两种元素.如图这个图案绕着它的中心旋转后能够与它本身重合，则旋转角a最小可以为

度.

6.（2022.全国.九年级专题练习）如图，在圆内接正六边形ABCOEF中，半径OC=4,OGLBC,垂足为点

G,则正六边形的中心角=—,边长=—,边心距=

7.（2022.全国•九年级课时练习）如图，四边形ABCD为。的内接正四边形，AAEF为，。的内接正三角

形，若。尸恰好是同圆的一个内接正〃边形的一边，则〃的值为.

BD

O

8.（2017•广东•陆丰市民声学校九年级阶段练习）（1）如图①，M、N分别是。。的内接正△ABC的边AB、

BC上的点，且BM=CN,连接OM,ON,求/MON的度数.

（2）图②、③....④中,M、N分别是。O的内接正方形ABCD、正五边ABCDE、正n边形ABCDEFG...

的边AB、BC上的点，且BM=CN,连接OM、ON；则图②中/MON的度数是,图③中NMON

的度数是__________；……由此可猜测在n边形图中NMON的度数是

9.（2022・全国•九年级专题练习）如图,在＜30的内接四边形ABCD中，AB=AD,/C=120。，点E在弧

AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE.

（1）求NAED的度数;

（2）当/DOE=90。时，AE恰好为。。的内接正n边形的一边，求n的值.

类型三：混淆正多边形和圆的有关概念致错

典型例题

例题1.（2021•湖北•公安县教学研究中心九年级期末）边长为4的正方形内接于。。，则的半径是（）

A.aB.2C.272D.4

例题2.（2020•江苏•南京师范大学盐城实验学校九年级阶段练习）正六边形的半径是4,则这个正六边形的

周长是（）

A.20B.12C.24D.28

例题3.（2022•全国•九年级课时练习）如图，正五边形A5CDE内接于。O,连接AC,则NACO的度数是

A.72°B.70°C.60°D.45°

例题4.（2022•福建福州•九年级期末）已知。的内接正六边形的边心距为2.则该圆的的半径为.

例题5.（2022•江苏•九年级专题练习）如图，AC,AO为正六边形A3C0E尸的两条对角线，若该正六边形

的边长为2,则小ACD的周长为.

例题6.（2022•江苏•盐城市鹿鸣路初级中学九年级阶段练习）如图，正方形A3C。内接于。。，尸为8C上

的一点，连接OP,CP.

⑴求NCP。的度数；

⑵当点P为BC的中点时，C尸是。。的内接正〃边形的一边，求〃的值.

同类题型演练

1.（2022•江苏•九年级课时练习）若正六边形的边长为4,则它的外接圆的半径为（）

A.473B.4C.2s/3D.2

2.（2022•江苏•九年级课时练习）如图,已知。的半径为1,则它的内接正方形ABCD的边长为（

A.1B.2

3.（2022•江苏•九年级专题练习）如图,五边形ABCDE是。。的内接正五边形，则/EBC的度数为（）

A.54°B.60°C.71°D.72°

4.（2022・全国•九年级专题练习）。。半径为4,以。。的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为边

作一个三角形，则所得三角形的面积是（）

A.0