(完整)2012年结构力学(龙驭球、包世华)第三版教学课件

结构力学(StructuralMechanics)授课人：赵荣国土木工程与力学学院力法(ForceMethod)第七章10/11/20242结构力学目录

(contents)7-1超静定结构的组成和超静定次数7-2力法的基本概念7-3超静定刚架和排架7-4超静定桁架和组合结构7-5对称结构的计算7-6两铰拱的计算7-7无铰拱的计算7-8支座移动和温度改变时的计算7-9超静定结构位移的计算--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10/11/20243结构力学§

7-1超静定结构的组成和超静定次数7-1-1超静定结构的组成具有几何不变性、而又有多余约束的结构。其反力和内力能否只凭静力平衡方程确定?10/11/20244结构力学7-1-2超静定结构的类型超静定组合结构超静定梁超定刚架超静定桁架超静定拱10/11/20245结构力学也可以通过撤除多余约束来确定超静定次数,通常的方式有如下几种:1.

去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束。ABCDABCDX1X1ABABX17-1-2超静定次数多余约束力的数目，称为超静定的次数。超静定次数=-W10/11/20246结构力学2.

去掉一个单铰，相当于去掉两个约束。ABCX2ABX1X1X2(a)(b)10/11/20247结构力学3.

切断一根梁式杆，或在刚结处作一切口，或去掉一个固定端，相当于去掉三个约束。ABBAX1X2X3X2ABX1X1X2X3X3(a)(c)(b)10/11/20248结构力学4.

将刚结点改为单铰联结，或将一固定支座改成铰支座，相当于去掉一个约束。ABCABX1X2CABABX3X3X1X210/11/20249结构力学只能拆掉多余约束，不能拆掉必要约束。A支座或B支座处的水平链杆为多余约束，而A支座或B支座的竖向链杆为必要约束。注意:AB10/11/202410结构力学对于同一超静定结构，可以采取不同的方式去掉多余约束，而得到不同的基本结构。例如图所示超静定结构。(a)X(b)X(c)X(d)图中b、c、d所示不同的基本结构。10/11/202411结构力学

§7-2力法的基本概念7-2-1基本思路基本体系qx1x1q

1P

1121ql原结构位移条件：

1P+11=0因为

11=

11X1所以11X1

+1P=0X1=-

1P/

11等效条件x1=1

1110/11/202412结构力学我们就以这个一次超静定结构为例，说明力法中的三个基本概念。1.

力法的基本未知量。7-2-2力法基本概念ABqX1图7-2b把多余力当作处于关键地位的未知量称为力法的基本未知量。力法也由此得名。ABq图7-2a10/11/202413结构力学2.

力法的基本结构和基本体系超静定结构中的多余约束(此处为支座B)去掉后，得到的静定结构称为力法的基本结构。如图AB基本结构10/11/202414结构力学让基本结构上作用着与原结构相同的荷载和多余约束相应的多余未知力，称为力法的基本体系。如图qX1AB基本体系基本体系就是由静定结构过渡到超静定结构的桥梁。10/11/202415结构力学3.

力法的基本方程由前面的讨论得到两个概念：第一，明确了解超静定问题的关键是求出多余未知力X1；第二，基本体系是求解超静定问题的桥梁。10/11/202416结构力学1)基本体系在怎样的条件下才能转化为原结构？接下来讨论2)怎样才能把多余未知力求出来？10/11/202417结构力学将原结构与基本体系比较：ABql原结构ABqX1l基本体系ABqX1X1过大ABqX1X1过小基本体系转为原结构的条件是:

1=010/11/202418结构力学下面讨论怎样将X1求出来。应用叠加原理将位移条件

1=0写成展开形式。ABX1

11ABq

1P根据叠加原理，有

1=

11+

1P=010/11/202419结构力学再令

11表示X1为单位力时，即X1=1时,B点沿X1方向的位移，如图所示。AB

11由叠加原理，有

11=

11

X1

1=

11+

1P=0

1=

11

X1+

1P=0(7-1)力法的基本方程10/11/202420结构力学ABBAMP图由图乘法求得：代入力法方程式(7-1)，有10/11/202421结构力学最后作弯矩图和剪力图如图所示ABABM图FQ图例如：A端的弯矩为:10/11/202422结构力学4.力法的典型方程如图所示刚架为三次超静定结构，分析时必须去掉它的三个多余约束。ABEIEIEIFP1FP2原结构通过一个三次超静定的刚架说明如何建立力法方程10/11/202423结构力学1）取固定端B支座处的三个多余约束力为基本未知量，则基本体系如图所示。BAX1X2X3FP1FP2基本体系10/11/202424结构力学2）由于原结构在支座B处没有水平竖向和转角位移，因此基本体系上B点沿X1、X2、X3方向的位移应与原结构相应位置的位移相等，都应等于零。即

1=0，

2=0，

3=0

1是基本体系上B点沿X1方向的位移，即B点的水平位移。

2是基本体系上B点沿X2方向的位移，即B点的竖向位移。

3是基本体系上B截面沿X3方向的位移，即B截面的转角。10/11/202425结构力学3）应用叠加原理把位移条件

1=0，

2=0，

3=0写成展开式。B

31

11

21BA设

11、21和31分别表示当X1=1单独作用在基本结构上时，B点沿X1、X2和X3方向的位移。如图10/11/202426结构力学设

12、22和32分别表示当X2=1单独作用在基本结构上时，B点沿X1、X2和X3方向的位移。如图B

32

12

22BA10/11/202427结构力学设

13、23和33分别表示当X3=1单独作用在基本结构上时，B点沿X1、X2和X3方向的位移。如图B

33

13

23AB10/11/202428结构力学设

1P、2P和3P分别表示当荷载(FP1、FP2)单独作用在基本结构上时，B点沿X1、X2和X3方向的位移，如图B

BAFP2FP1

2P

1P

3P10/11/202429结构力学根据叠加原理，则位移条件可写成：(7-2)这就是根据位移条件建立的求解多余力X1、X2和X3的方程组。大家可归纳出方程组的物理意义吗？10/11/202430结构力学4）系数和自由项的计算问题。力法方程组中的系数和自由项都是基本结构上指定截面的位移，由于基本结构是一个静定结构，所以这些系数和自由项可用前一章介绍的计算位移的方法进行计算。10/11/202431结构力学当原结构在多余力作用处的位移为零时，这n个方程可写为(7-3)7-2-3n次超静定结构

ii称为主系数，

ik称为副系数，

ip(如

1p、

2p

和

3p)则称为自由项。10/11/202432结构力学(7-4)

解力法方程得到多余未知力X1、X2、…、Xn的数值后，超静定结构的内力可根据叠加原理，用下式计算：10/11/202433结构力学解题步骤:选取力法基本体系；列力法基本方程；绘单位弯矩图、荷载弯矩图；求力法方程各系数，解力法方程；绘内力图。10/11/202434结构力学

§7-3超静定刚架和排架7-3-1超静定刚架用力法解算超静定刚架时，其系数和自由项可按下列公式计算:式中Mi、Mk、MP分别代表Xi=1、Xk=1和荷载单独作用时基本结构中的弯矩。超静定刚架的最后弯矩图，可应用叠加法按下式求得：(7-6)10/11/202435结构力学例9-1

试计算图（a）所示刚架。解：

1）基本体系的选取

2)列出力法典型方程BACEI1aa/2a/2(a)FPBAC基本体系(b)FPX2X110/11/202436结构力学3)绘出各单位弯矩图和荷载弯矩图如图a、b、c所示。ACaB(a)ACaBaa(b)ACBFP(c)10/11/202437结构力学4)利用图乘法求得各系数和自由项如下：10/11/202438结构力学代入典型方程并消去，得解联立方程，得多余力求得后，最后弯矩图可按(7-4)计算其结果如图d所示。ACB(d)5)求多余约束并作内力图10/11/202439结构力学7-3-2超静定排架

例7-2

如图为两跨厂房排架的计算简图。求在所示吊车荷载作用下的内力。计算资料如下：(1)截面惯性矩左柱：上段IS1＝10.1×104cm4，下段IX1＝28.6×104cm4右柱及中柱:上段IS2＝16.1×104cm4，下段IX2＝81.8×104cm4(2)右跨吊车荷载竖向荷载为PH＝108kN，PE＝43．9kN。由于PH、PE与下柱轴线有偏心距e＝O.4m，因此在H、E点的力偶荷载为：10/11/202440结构力学解：

1）基本体系的选取10/11/202441结构力学2）作基本体系的、、图10/11/202442结构力学3）计算个系数10/11/202443结构力学4）力法方程为：5）解方程，得6）利用叠加公式作M图，如图d所示10/11/202444结构力学

§7-4超静定桁架和组合结构7-4-1超静定桁架由于在桁架各杆中只产生轴力，故典型方程中的系数应按下列公式计算：10/11/202445结构力学当桁架只承受荷载时，其自由项为桁架各杆的最后内力可按下式计算10/11/202446结构力学[例7-3]

试计算图a所示超静定桁架。已知各杆的材料和截面面积都相同。(a)aa3012FP原结构10/11/202447结构力学[解]

此桁架是一次超静定结构。其基本体系如图b所示。根据切口处两侧截面的相对位移应等于零的条件，可建立力法典型方程如下：3012FPX1X1基本体系(b)10/11/202448结构力学为了计算系数和自由项，先分别求出单位多余力和荷载作用于基本结构时所产生的轴力，如图c、d所示，按前面给出的计算公式，算得30121(c)3012FP00–FP–FP(d)10/11/202449结构力学301213012FP00–FP–FP10/11/202450结构力学代入典型方程后求解，得原结构中各杆轴力按下式计算其结果示于图e。3012FP(e)10/11/202451结构力学7-4-2超静定组合结构力法典型方程中的系数和自由项应采用下列公式进行计算：10/11/202452结构力学解：力法方程10/11/202453结构力学10/11/202454结构力学代入力法方程后，得：再作出相应的M图和N图10/11/202455结构力学

§7-5对称结构的计算对称结构需包括两方面(1)结构的几何形状和支承情况对某一轴线对称。(2)杆件截面和材料性质也对此轴对称。10/11/202456结构力学例如图a所示刚架是一个对称刚架；图b所示矩形涵管也是一个对称结构，并且具有两根对称轴；图c所示刚架，也有一根斜向的对称轴。利用结构的对称性，可使计算大为简化。对称轴EI1EI1EI1对称轴EI2EI2EI2EI2a/2a/2b/2b/2(a)(b)(c)对称轴EIEIll10/11/202457结构力学7-5-1取对称的基本结构在计算对称结构时，选取对称的基本结构，并取对称的或反对称的多余力为基本未知量，往往可使计算简化。[例]

试分析图a所示刚架。AB10kN/m10kN/m6m3m3m6mCDk2EI2EI3EI(a)10/11/202458结构力学[解]

此刚架为对称的三次超静定结构。假设在CD杆的中点切断而代以相应的多余力X1、X2、X3，得到对称的基本结构，其基本体系如图b所示。X2ABX1X1X2X3X310kN/m10kN/mAB10kN/m10kN/m6m3m3m6mCDk2EI2EI3EI(a)(b)10/11/202459结构力学根据切口处两侧截面的相对位移应等于零的条件，可建立典型方程如下：读者想想，式中的系数和自由项均表示什么？10/11/202460结构力学为了计算系数和自由项，我们分别绘出单位弯矩图和荷载弯矩图如图所示。10/11/202461结构力学因为X1和X3是正对称的力，所以M1和M3图都是正对称图形。而X2是反对称的力，所以M2图是反对称图形。又因杆件的刚度是对称的，所以按这些图形来计算系数时，其结果必然是10/11/202462结构力学又由于MP图是正对称图形，所以

2P=0。这样，典型方程为由方程组的第三式可得X2=0。由第一、二两式则可解出X1和X3。10/11/202463结构力学根据上述分析，可得出结论如下：(1)对称结构在正对称荷载作用下，其反对称的未知量必等于零，故只需计算正对称的未知量且其内力和位移都是正对称的。(2)对称结构在反对称荷载作用下，其正对称的未知量必等于零，故只需计算反对称的未知量且其内力和位移都是反对称的。10/11/202464结构力学半刚架法利用对称结构在正对称或反对称荷载作用下的受力变形特性，可截取结构的一半来进行计算，从而减少计算工作量。10/11/202465结构力学对于图中所示的奇数跨刚架，在正对称荷载作用下，内力和变形都是正对称的。在对称轴上的截面k处，只有竖向位移，没有水平位移和转角。FPFP该截面上将有弯矩和轴力，而无剪力。k变形对称FPFP内力对称10/11/202466结构力学对称轴上的k截面，起作联结对称轴两侧半刚架的作用，可把k截面当作约束来理解。在第一章介绍的定向支座所起的作用就如同此刻k截面所起的作用一样，因此图a所示的半刚架就完全代表图b所示的刚架。kFP半刚架计算简图(a)FPFPk(b)10/11/202467结构力学对称结构在反对称荷载作用下，其内力变形都是反对称的，如图所示：对称轴上的k截面处，无竖向位移发生，且轴力和弯矩都等于零而只有剪力存在。FPFPk变形反对称FPFP内力反对称XX10/11/202468结构力学截取半刚架计算时，可用竖向支承链杆代替k截面所起的约束作用，如图所示FPFPkkFP10/11/202469结构力学对于偶数跨的刚架，在正对称或反对称荷载作用下，可有采取上述相同的分析手段，得到半刚架计算简图。kq对称轴(a)偶数跨受对称荷载的结构(c)半边结构q(b)内力、变形对称对称轴仅受轴力，不计轴向变形时，对称轴处无位移qq对称轴10/11/202470结构力学(c)半结构计算简图q对称轴固定端kq对称轴或q对称轴固定端kq对称轴10/11/202471结构力学kFPFP对称轴偶数跨受反对称荷载的结构FPFPI/2I/2对称轴中柱无轴力内力、变形反对称，FPI/2对称轴不计轴向变形时10/11/202472结构力学kFPFP对称轴IFPI/2半结构计算简图k10/11/202473结构力学对于一般荷载作用下的对称结构，可先对荷载进行分组，再分别按正对称和反对称荷载作用下取出相应的半刚架以适当方法求解，一般能使计算得到简化。10/11/202474结构力学例如图所示单跨多层刚架各层受水平集中荷载作用，FP2FP1(a)先对荷载进行分组，如下图所示：FP2FP1+=10/11/202475结构力学由于不考虑杆件轴向变形，正对称荷载作用下(图b)仅有横梁产生轴力，各杆弯矩均为零，故只需计算反对称荷载作用时，(图c)的弯矩即为原结构的弯矩，而这是不难用半刚架法(图d)求得的。FP2FP1(a)(b)(c)(d)+=10/11/202476结构力学[例]

试作下图所示对称、三次超静定结构的弯矩图。4FPI1I1I2IIllh(a)结构及荷载10/11/202477结构力学4FPI1I1I2IIllh(a)结构及荷载2FP2FP2FP2FP+=(b)荷载分解对称荷载组无弯矩反对称荷载组解：图a所示结构对称，但荷载不对称。为此，如图b将荷载分解成两组.10/11/202478结构力学2FPI1II+=(c)反对称半结构(d)荷载分解对称荷载组无荷载反对称荷载组FPFPFPFP对称组经判断为无弯矩状态，反对称组可取图c简图进行分析。图c简图仍是对称结构任意荷载情况，可再次如图d将荷载分解10/11/202479结构力学FP11(f)半刚架弯矩图FP111(xFPh)(g)前一半刚架弯矩图4FP111112(xFPh)(xFPh)(h)刚架弯矩图FP(e)反对称半刚架FPFP10/11/202480结构力学例求作图示圆环的弯矩图,EI=常数。解：取结构的1/4分析若只考虑弯矩对位移的影响，有：10/11/202481结构力学§

7-6两铰拱的计算

超静定拱多数是无铰拱或两铰拱，闭合环形结构可看作是无铰拱的一种特殊情形。10/11/202482结构力学7-6-1不带拉杆两铰拱的计算力法方程：由于拱是曲杆，求位移和

，时不能采用图乘法基本体系如图(c)10/11/202483结构力学可以得到：内力计算公式为：即10/11/202484结构力学7-6-2带拉杆两铰拱的计算力法方程：P2P3P1原结构ABP2P3P1基本体系x1BA10/11/202485结构力学内力计算公式为：由力法方程可求得:10/11/202486结构力学总结从力法计算来看，两铰拱与两铵刚架基本相同，只是位移和需按曲杆公式计算，不能采用图乘法。从受力特性来看，两铰拱与三铰拱基本相同。内力计算式在形式上与三铰拱完全相同。只是其中的H值有所不同：在三铰拱中，推力H是由平衡条件求得的；在两铰拱中，推力H则是由变形条件求得的。10/11/202487结构力学§

7-7无铰拱的计算7-7-1无铰拱的计算第一项简化措施是利用结构的对称性。采用如图(b)的基本体系。力法方程简化为：10/11/202488结构力学(c)(d)第二项简化措施是利用刚臂，进一步使余下的一对副系数和等于零，从而使力法方程简化为三个独立的一元一次方程：怎样实现？10/11/202489结构力学(c)(d)现在需要确定刚臂的长度也就是确定刚臂端点o的位置。对于(d)图所示的体系，在单位力X1=1作用下，内力的算式为：在单位力X2=l作用下，内力的算式为：10/11/202490结构力学(c)(d)可算得：

如图(d)，另取一个参考坐标轴x’y’：y’轴与y轴重合，x’轴与x轴间的距离为a。拱轴上任一点D的新坐标y’与坐标y有如下的关系：这样，今，得10/11/202491结构力学由此得出结论：刚臂的端点o就是弹性面积的形心，叫做弹性中心。以上这种简化处理方法叫做弹性中心法。10/11/202492结构力学

§7-8支座移动和温度改变时的计算7-8-1支座移动的计算例如图(a)所示为一等截面梁AB，左端A为固定端，右端B为滚轴支承。如果左端支座转动角度已知为θ，右端支座下沉距离已知为a，求梁中引起的自内力。[解]

取基本体系如图b所示。