2024-2025学年北京某中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京四中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A./4B.77C.<20D."

2.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）

A.2,3,4B.72,74,y/~7C.5,6,7D.5,12,13

3.如图，在口4BCD中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（）

A.ADAE=乙BAE

B.AD=DE

C.DE=BE

D.BC=DE

4.某运动品牌专营店店主对上一周新进的某款T恤衫销售情况统计如下:

尺码39404142434445

平均每天销售数量/件1023303528218

该店主决定本周进货时，增加一些42码的T恤衫，影响该店主决策的统计量是（）

A.中位数B.平均数C.方差D.众数

5.已知关于久的一次函数y=（m-2）久+3,y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）

A.m<2B.m>2C.m>0D.m<0

6.如图所示，DE为△ZBC的中位线，点F在。E上，且乙=90。，若45=

6,BC=8,贝！JEF的长为（）

A.1B.2C.1.5D.2.5

7.如图，正比例函数%=左6和反比例函数丫2=当的图象交于4（-1,2）、

8（1,—2）两点，若、1<丫2,贝卜的取值范围是（）

A.%<—1或%>1

B.%<-1或0V%V1

C.-1<%<0或%>1

D.-1<%<0或0<%<1

8.若关于久的一元二次方程Ze/一6%+9=0有实数根，贝必的取值范围是（）

A.k<lB.fc<1C.fc<1且/cWOD.fc<1且/cH0

9.保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松.某农科实验基地，大力开展种子实验，

让农民能得到高产、易发芽的种子.该农科实验基地两年前有81种农作物种子，经过两年不断的努力培育新

品种，现在有100种农作物种子.若这两年培育新品种数量的平均年增长率为％,则根据题意列出的符合题

意的方程是（）

A.100(1-2x)=81B.100(1+2x)=81

C.81(1-x)2=100D.81(l+x)2=100

10.把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全

隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流/与使用电器的总功率P

的函数图象（如图1）,插线板电源线产生的热量Q与/的函数图象（如图2）.下列结论中错误的是（）

440P/W

A.当P=440勿时，I=2A

B.Q随/的增大而增大

C」每增加14Q的增加量相同

D.P越大，插线板电源线产生的热量Q越多

二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

11.一次函数y-kx+b（k力0）中两个变量x,y的部分对应值如下表所示:

X-4-3-2-10

y97531

那么关于％的不等式依+b>7的解集是.

12.若反比例函数y=七也丰0）的图象经过点4（a,2）和B（b,-2）,则a+b的值为.

13.某招聘考试分笔试和面试两部分，按笔试成绩占80%,面试成绩占20%计算应聘者的总成绩.小明笔试

成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为分.

14.我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形4BCD的边48在轴X

上，4B的中点是坐标原点0,固定点4B,把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D'处，则

点C的对应点C'的坐标为

15.如图，正方形2BCD的中心在原点。上，且正方形2BCD的四个顶点分别

位于两个反比例函数y=|和y=?的图象上的四个分支上，则几=.

16.已知实数x,y满足/+3x+y-3=0,贝1Jx+y的最大值为.

17.如图，四边形4BHK是边长为12的正方形，点C、。在边48上，且4C=

DB=2,点P是线段CD上的动点，分别以4P、P8为边在线段A8的同侧作正方

形2MNP和正方形BRQP,E、F分别为MN、QR的中点，连接EF,设EF的中点

为G,则当点P从点C运动到点。时，点G移动的路径长等于.

18.甲乙两人玩一个游戏：将九(几为奇数)个数排成一列，记作［的,a2，…,a^,甲，乙轮流从这一列数中删除

两个相邻的数，剩余的数成为一列新的数.甲先开始操作，直至这列数被删到只剩下一个数.每次操作时，

甲的原则是使最后剩下的数最大化，乙的原则是使最后剩下的数最小化.

(1)对于［123,4,5］,被删除一次后可以成为［3,4,5］或［1,4,5］以及一些其他情况，写出未列举的其他情况

(2)对于［2,9,1,7,3,4,5,8,6］,最后剩下的数为

三、解答题：本题共11小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(本小题6分)

解方程：

(l)x2-6x+l=0；

(2)(久一2)2=3(%-2).

20.（本小题6分）

某数学兴趣小组同学定期进行课外扩展讨论，并发现了一些有趣的结论.其中他们发现，任意一个AABa

三边均不相等），以一边的端点B为顶点在三角形外作角NC8F,使其等于这条边另一端点C为顶点的三角形

的内角乙4CB,射线BF与这条边上的中线4。的延长线相交于一点E,则以4、B、C、E四个点为顶点的四

边形是平行四边形.基本思路就是利用三角形全等和平行四边形平行线的判定加以解决.请根据这个思路完

成作图和填空.

如图，在△ABC中，点D为BC边上的中点，连接4D.

（1）尺规作图：在下方作射线8F,使得=且射线交4。的延长线于点E（不要求写作法，

保留作图痕迹）；

（2）在（1）所作的图中，连接CE,求证：四边形4BEC是平行四边形.（请补全下面的证明过程）

证明：•.,点。为8c边上的中点，

DC=DB,在△ADC和AEDB中，

'/-ACD=乙EBD

DC=DB

.Z-ADC=Z.EDB

••.△ADg（ASA）,

•••AC=,

•••Z-CBF=Z-ACB,

••・四边形ABEC是平行四边形.

兴趣小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边

形，请根据这个发现完成以下命题：

以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，以

则该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形是.

21.（本小题8分）

如图，在△28C中，NC4B=90。，点D,E分别是BC,AC的中点.连接DE并延长至点F,使得EF=DE.连

接2F,CF,AD.

(1)求证：四边形ADCF是菱形；

(2)连接BF,若乙4cB=60。，AF=2,求BF的长.

22.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系中，一次函数丫=依+6的图象与x轴交于点4(-3,0),与y轴交于点8,且与正比

例函数y="的图象交点为C(a,4),求：

(1)求a的值与一次函数y=kx+b的解析式；

(2)求4BOC的面积；

(3)在y轴上求一点「使4POC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标.

23.(本小题7分)

在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k*0)的图象经过点4(1,3)和8(-1,一1),与过点(一2,0)且平行

于y轴的直线交于点C.

(1)求该函数的表达式及点C的坐标；

(2)当％<-2时，对于x的每一个值，函数y=40)的值大于函数y=kx+6(kK0)的值且小于一2,

直接写出门的取值范围.

24.(本小题8分)

如图，利用一面墙(墙EF最长可利用28米)，围成一个矩形花园ZBCD.与墙平行的一边BC上要预留2米宽的

入口(如图中MN所示，不用砌墙).用砌60米长的墙的材料.

（1）当矩形花园的面积为300平方米时，求力8的长；

（2）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明）

28m

E

M

25.（本小题5分）

商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动,需要控制售价的涨跌幅.下面给出了商品售价和

成本（单位：元）的相关公式和部分信息：

a.计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为:

售价涨跌幅=Wx】。。％，成本涨跌*岂端-x］。。％；

b.规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半;

C.甲、乙两种商品成本与售价信息如下:

甲商品的成本与售价信息表

第一周第二周第三周第四周第五周

成本2550254020

售价40m45nP

乙商品的成本与售价统计图

根据以上信息，回答下列问题：

(1)甲商品这五周成本的平均数为,中位数为;

(2)表中小的值为,从第三周到第五周，甲商品第周的售价最高；

(3)记乙商品这40周售价的方差为*,若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当

周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这40周新售价的方差为s/,则呼

s在填“>”或“<”).

26.(本小题8分)

如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排

尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意.该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯

中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的,向此简易“公道杯”中匀速注入

清水，一段时间后停止，再等水完全排尽.在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如

下:

时间(t/s)12345678

水位高度(/i/czn)2465.755.53

根据以上信息，解决下列问题：

(1)描出以表中各组已知对应值为坐标的点；

(2)当1=s时，杯中水位最高，是cm；

(3)在自动向外排水开始前,杯中水位上升的速度为cm/s-,

(4)求停止注水时t的值；

(5)从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时cm/s.

■■———i—1

h'c—

-

6

5

———l——r

4

j

3

L...-___i.一<Ju..d___...J___j..j

2

i

__、

0i.234561g9IQ广

______i.__I_I...L----•

27.(本小题8分)

如图，在RtA/lBC中，乙B=90。,NBC4=a，点。为线段BC的延长线上一点，将线段BD绕点D顺时针旋

转2a得到线段ED.

(1)如图1,当a=30。，且点8与点D关于点C对称时，求证：EC1BD；

(2)如图2,若点C关于点。的对称点为点F,连结EF,依题意补全图形，求证：AE1EF.

28.(本小题3分)

232

有如下的一列等式：To—a0,7\=arx—a0,T2—a2x—arx+a0,T3—a3x—a2x+a±x—a0,

若将7。+71+72+73+-+%记为41，其中几为正整数，%的各项系数均不为0.那么以下说法正确的是

①若x=1,贝!M4=a4+a2+a0；

②若图=(2x-I)4,那么北的所有系数之和为1；

-++-1.+310

③若&n-々n-l=(2乂-1)2",那么当72=5时，臼。+Cig++44+口2+%=—5—•

29.(本小题7分)

对于平面直角坐标系xOy中的点p(x1,yi)和(2。2，月)，我们称do(P,Q)=咫—久2I+为尸和Q两点的

“亚距离”,进一步，对于平面中的点R和图形。，W,我们给出如下定义：点R到图形中上各点的最短亚距

离为d,点R到图形W上各点的最短亚距离为d',若d=d',则称点R为图形©,下的一个“亚等距点”.

如图，已知4(—4,4),B(—8,0),C(-4,-4),D(-2,0),点4、C、。关于y轴的对称点分别为点4、C'、

D',将正方形。4BC向上平移4个单位得到正方形4EFG.

(1)①d°(4B)=;

②在点R(2,2),PA-2,2),P3(7,8),24(-5,-1)中，哪个点是点力和点C'的亚等距点；

(2)在坐标系中，画出正方形。4BC和正方形力EFG的亚等距点所组成的图形；

⑶已知线段y=kx+b(：O<y<4)上恰好存在3个线段44和线段0D'的亚等距点，直接写出k的取值范

围.

备用图

参考答案

1.B

2.D

3.C

4.0

5.B

6.A

l.C

8.0

9.D

10.C

11.x<—3

12.0

13.81

14.(4,20

15.-3

16.4

17.4

18.[1,2,5]和[1,2,3]3

19.解：(l)x2-6x+1=0,

x2—6x=—1,

久2—6x+9=—1+9,

Q—3)2=8,

则x-3=±2y/l,

所以Xi=3+2/2,x2=3-2\<2.

(2)(x—27=3(x-2),

(x-2)2-3(x-2)=0,

(x—2)(x—2—3)=0,

(%-2)(%-5)=0,

则I-2=0或％-5=0,

所以％1=2,犯=5.

20.(1)解由：如图NCB尸即为所求作的角;

(2)证明：•.•点。为边上的中点，

DC=DB,

在△ADC和AEDB中，

\LACD=乙EBD

DC=DB,

.Z-ADC=Z-EDB

••.△ZDCaEDB(ZSZ),

AC=EB,

Z.CBF=Z.ACB,

AC//BE,

••・四边形4BEC是平行四边形.

21.(1)证明：•・•点E是AC的中点，

•••AE=EC.

EF=DE,

.•・四边形4DCF是平行四边形.

在AABC中，Z_C48=90。，点。是BC的中点,

AD=BD=DC.

••・四边形力DCF是菱形；

♦.•四边形4DCF是菱形,ACB=60°,AF=2,

CFDC=AF=2,^ACF=/.ACD=60°,

・•・乙FCG=180°-Z.ACF-AACD=60°,

・•.Z.GFC=90°-ZFCG=30°,

在△CFG中，^CGF=90°,^GFC=30°,

...CG=^CF=1,

・•.FG=yjCF2-CG2=V3，

vBD=CD=2.

•••BG—BD+CD+CG=5.

在△BFG中，A.BGF=90°

BF=VBG2+GF2=277.

22.解：(1)•••点C在正比例函数图象上,

•••|a=4,解得：a=3,

•・•点C(3,4),4(—3,0)在一次函数图象上,

代入一次函数解析式可得｛1：；匕：°,解这个方程组得仁I,

b=2

二.一次函数的解析式为y=|x+2;

(2)在y=|x+2中，令x=0,解得y=2,

.­.8(0,2)

1

SABOC=]X2x3=3；

(3)•••点C(3,4),

OC=,32+42=5,

当OP=OC时,

•••OP=oc=5,

••・「的坐标为(0,5)或(0,—5),

当CP=C。时，作CK1y轴垂足为K,

CP=CO,CKly轴，

PK=OK,

;点C(3,4),

OK=4,

PK=OK=4,

...P的坐标是(0,8),

当PO=PC时，作CK1y轴垂足为K,

设P的坐标为，(0,t)

在RtAPCK中，PC=OP=t,PK=4—t,KC=3,

(4-t)2+32=/解得”等,

P的坐标是(0,令

综上可知，P的坐标为(0,5)或(0,-5)或(0,8)或

O

23.解：(1)将力(1,3),B(-1,一1)代入y=kx+b(k-0)中,

得色江片一1

.•・函数的表达式为y=2%+l,

•・,过点(一2,0)且平行于y轴的直线为第=-2,

・••点C的横坐标为一2,

在y=2久+1中，令％=—2得y=-3,

・••点C的坐标为(-2,-3)；

(2),•・当先<一2时，对于％的每一个值，函数y=nx(n。0)的值大于函数y=2%+1的值且小于-2,

2x(-2)+14-2几4—2,

解得1<n<-

n的取值范围是1<n<|.

24廨：(1)设矩形花园BC的长为无米，则其宽为区60-％+2)米，依题意得：

1

久60-%+2)%=300,

X2—62x+600=0,

解得：勺=12,&=50,

28<50,

x2=50(不合题意，舍去)，

•*,x—12,

(60-12+2)=25(米)，

答:4B的长为25米；

(2)不能围成500平方米的矩形花园，理由如下：

若矩形花园面积为500平方米，贝|：

1

j(60-x+2)x=500,

化简得：%2-62%+1000=0,

21=622-4000=-156<0,

;该方程无解，

•••不能围成500平方米的矩形花园.

25.(1)32,25；

(2)60,四；

(3)解：由题意知，改规定前“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”，改规定后“当周售价涨跌幅

为当周成本涨跌幅的四分之一”，

改规定后售价的波动比改规定前的售价波动小，

26.(1)

(2)3；6.

(3)2.

(4)设从开始向外排水到停止注水，八关于t的函数表达式为h=kt+b,

把(3,3),(5,5.5)代入，

gnf3=3k+b

15.5=5k+b'

ffc=

解得：J,

44

由表格知，排水的速度为2+(5.75-5.5)+1=2.25(cm/s),

「当t=7时，h—3,

当t=8时，h=0.75,

可求得,停止注水后,八关于t的函数表达式为八=

h=——t-

可得方程组《:工，

h=T+?

I44

解得：

S=5.25

t=6s时，停止注水.

(5)由(4)知，第6s停止注水，此时水位的高度为5.25cm,

所以从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时5.25+2.25+6=?(s).

27.证明：(1)如图，连接BE,

・•.Z.BDE=2a=60°,

,・漩转，

DB=DE,

・•.△BEO为等边三角形，

•・•点B与点。关于点C对称，

BC=DC,

•••EC1BD.

(2)方法一：补全图形如图所示,

连接2F,取4F中点连接BH、EH、DH,

••,点C关于点D的对称点为点F，

。为CF中点,

•・•//为4F中点，

・•.是△ACF的中位线，

・•.DH//AC,

・•.Z.BDH=Z.ACB=a,

•・•Z-BDE=2a,

・•.Z,EDH=乙BDE-(BDH=a,

在△8。”和△ED"中，

DB=DE

Z-BDH=乙EDH,

、DH=DH

.♦△BDH"AEDH(SAS),

・•.BH=EH,

vZ.ABC=90°,”为ZF中点，

.・.BH=AH=FH,

.・.EH=AH=FH,

Z.AEH=LEAH,乙FEH=乙EFH,

根据三角形内角和得NAEF+^EAF+乙EFH=180°,

•・•^AEF=/.AEH+^LFEH,

・•.2/.AEF=180°,

・••/-AEF=90°,

即AE1EF.

方法二：补全图形如图所示，

M

连接FE延长到点M,使FE=EM,连接AM、AF.MC,延长CB=8Q,连接4Q,

•・•点C关于点O的对称点为点F,

・•.O为CF中点，

FE=EM,

E是MF中点，

.­.DEMAMCF的中位线，

1

/.DE//CM,DE=^CM,

•••Z-MCB=Z-BDE=2a,

Z.ACB=a,

・•・/.ACM=乙BCM-Z.ACB=a,

AB1BC,BC=BQ,

•••48垂直平分CQ,

•••AQ—AC,

Z.Q=Z,ACB=a,

Z.Q=Z.ACM,

vBC=BQ,CD=DF,

1

・•.BD=BC+CD=1QF，

••・旋转，

BD=ED,

QF=CM,

在△ZQF和△ACM中，

AQ=AC

^AQF=/.ACM,

、QF=CM

AM=AF,

EF=EM,

AE1EF.

28.(J)若％=1,A4=+A+72+73+n=a。+-a0)+(。2-a1+a。)+(。3—。2+—口。)+

(a4—%+。2-%.+劭)=。4+。2+劭，故①正确；

32

②若^=(2%一1)4则Q4%4-a3x+a2x-arx+a0=(2%-1)，令％=1,则北的所有系数之和为1.故②

正确；

③若力2n-4271-1=(2乂-1产，

那么当九=5时，4A2rl-i42n-i=A10—&=(2%—1)1°,

(To++72+…+79+710)—(To+71+72+…+79)=(2%—I)10，

・•・T10=(2%-1)1。，

10987210

•••a10x—a9x+a8x—a7x+...+a2%—arx+a0=(2%—l),

令X—1得，。10_CLg+CLQ_(Z7+...+。2―+CL。—(2—1)10—1,

令久=—1得%_+的+。8+@7+…+口2+=1+=(-1—2)"=31°,

两式相加的2(的0+他+。6+。4+。2+。0)=1+31°,

1+310

%_o+CLQ+为+。4+。2+。0=—2—,

则③正确；

故答案为：①②③.

29.(1)根据“亚距离”的定义可知：

①：71(-4,4)-5(-8,0),

do(4B)=I-4-(-8)1+|4-0|=4+4=8；

②A，P3；

(2)如图1所示，分别取叭―4,8),N(—4,0),连接MN,设点P为MN上一点，作PQ〃x轴交4B于Q,则点P

到正方形A8CD上一点T的“亚距离”最小时，点T一定会在AQ或4。上，当在4Q上时，过点T作TS1QP于

S,

•••将正方形。ABC向上平移8个单位得到正方形力EFG,

・•・E(0,8),

•・•8(8,0),

OB=OE=8,

OBE是等腰直角三角形，

.­.乙OBE=45°,

■-PQ//OB,

■■■乙TQS=4OBE=45°,

又•••TS1QP,

.•.△rsQ是等腰直角三角形，

QS=TS,

d0(T,P)=\xT—xP\+\yT—yP\=TS+PS—QS+PS=PQ,

.••点P到线段4B上一点的“亚距离”等于PQ,即点P到正方形力BCD的“亚距离”的最小值即为PQ的长，

同理可证明△4PQ为等腰直角三角形，

PQ=PA,

又•••点尸到正方形4EFG上一点的“亚距离”的最小值即为P力的长，

点P即为正方形。力BC和正方形4EFG的亚等距点，

.••线段4N上的点都是正方形OABC和正方形2EFG的亚等距点，

・•・由对称性可知线段4M上的点都是正方形04BC和正方形4EFG的亚等距点；

由对称性可知，过点4且平行于x轴的直线上的点都是正方形。ABC和正方形4EFG的亚等距点；

综上所述，正方形Q4BC和正方形4EFG的亚等距点组成的图形为线段MN(M(-4,8),N(-4,0)),直线y=

(3)解:见图2所示，

■•-4(-4,4),。(一2,0),点4和点。关于y轴对称的点分另！］为4,D'

4'(4,4),。'(2,0)；

设线段44和线段DD'的亚等距点的坐标为K(m,n),

当-2<m<2时,do(K,AA')最个值=|4-n|,d0(K,DD')最小值=|n|d0(K,DD')塞〃、獴=\n\

•••|4-n|=|n|,

4—n=九或4—n=­n,

解得九=2,

・・・此时点K在直线y=2上，且一24m42；

y八

A

DD，