湖南省部分学校A佳联考2024届高三5月模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省部分学校A佳联考2024届高三5月模拟考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某台机器每天生产10000个零件，现连续12天检测，得到每天的次品零件个数依次为：8，12，9，18，16，17，15，9，18，20，13，11，则这组样本数据的中位数与第60百分位数之和是（）A.29 B.30 C.30.5 D.31〖答案〗B〖解析〗将这12个数据从小到大排列为，，所以排列后的第8个数即为第60百分位数：16，中位数为，故所求为：.故选：B.2.双曲线的上焦点到双曲线一条渐近线的距离为，则双曲线两条渐近线的斜率之积为（）A. B.4 C. D.2〖答案〗A〖解析〗由对称性，不妨设，双曲线的渐近线是，则由题意，解得，故所求为.故选：A.3.已知m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则〖答案〗D〖解析〗对于A，若，，则或，则m，n相交、平行、异面都有可能，A错误；对于B，若，则与相交或平行，B错误；对于C，若，则，又，则或，C错误；对于D，由，得或，若，则存在过的平面与相交，令交线为，则，而，于是，；若，而，则，因此，D正确.故选：D.4.已知函数的导函数是，且，则下列命题正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，（c为常数），是偶函数，且在上单调递增，又，，则，对于A，，A错误；对于B，，，，B正确；对于C，，，C错误；对于D，，，，D错误.故选：B5.若，则（）A. B. C.1 D.或〖答案〗A〖解析〗由，可得，，两边同时除以并整理可得：，解得：或，当时，，，不符合题意，所以.故选：A.6.已知一个多边形的周长等于，所有各边的长成等差数列，最大的边长为，公差为，则这个多边形的边数为（）A.4 B.6 C.23 D.6或23〖答案〗B〖解析〗由题意可知：，则，即，得，解得：或.当时，不合题意；故选：B.7.某大学一宿舍4名同学参加2024年研究生招生考试，其中两人顺利上初试线，还有两人差几分上线，这两名学生准备从A，B，C，D，E，F这6所大学中任选三所大学申请调剂，则这两名学生在选择了相同大学的条件下，恰好选择了两所相同大学的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意，这两名学生恰好选择了两所相同大学的方法总数为：，这两名学生选择了相同大学的方法总数为：，所以所求概率.故选：C.8.已知是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，过作直线与C交于A，B两点，若，且的面积为，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗我们首先来证明一个引理：若，则，证明如下：设，则由余弦定理有，即，所以，所以，从而引理得证；根据题意可得，，解得，因为，所以，解得，由，，可得三角形为等边三角形，所以，所以，所以，所以是的中点，所以，所以，即，所以.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知是某个简谐运动的函数〖解析〗式，其部分图象如图所示，则下列命题正确的是（）A.B.这个简谐运动的初相为或C.在上单调递减D.将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数〖答案〗AD〖解析〗对于AB，由题意，，因为，所以或，当时，由，解得，此时只能是当时，由，解得，此时无解，综上所述，，这个简谐运动的初相为，故A正确，B错误；对于C，由题意，当时，，而在上不单调，由复合函数单调性可知，在上不单调，故C错误；对于D，将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数，显然，且的定义域（全体实数）关于原点对称，所以是偶函数，故D正确.故选：AD.10.如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（）A.三棱锥的体积是定值B.存在点P，使得与所成的角为C.直线与平面所成角的正弦值的取值范围为D.若，则P的轨迹的长度为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，是定值，A正确；以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则对于B，，使得与所成的角满足：，因为，故，故，而，B错误；对于C，平面的法向量，所以直线与平面所成角的正弦值为：，因为，故故，而，，故即的取值范围为，C正确；对于D，，由，可得，化简可得，在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为，D正确；故选：ACD.11.已知定义域为的函数是的导函数，且满足：是奇函数，则下列判断正确的是（）A.是奇函数 B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由，得，则，又是奇函数，即，从而，，即，则是奇函数，A正确；对于B，在中，令，可得，在中，令，可得，从而，B正确；对于C，在中，以代，可得，与求和，可得，令，可得，C错误；对于D，由以及，可得，从而，则是周期为3的周期函数，，，，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数是方程的两根，则______.〖答案〗4〖解析〗由韦达定理有，且，所以.13.已知，点P是以线段为直径的圆上任意一点，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗以AB中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，，，于是，化简得：，即，因此点M的轨迹是以为圆心，为半径的一个圆，与的位置关系是相交，所以14.对集合，其中，定义向量集合，若对任意，存在，使得，则______.〖答案〗5或〖解析〗取，则存在使得，从而可得，即，所以一定是一正一负（因为0不属于集合），不妨令，则，所以，所以，取，则存在使得，从而可得，若，则矛盾，故不可能同时大于0，若，则矛盾，故不可能同时小于0，所以必定有一正一负，所以有：，则，或，则，情况一：当，时，，从而，或（舍去，集合元素间互异），或，即（舍去，与矛盾），此时（这里不考虑具体与的对应关系，因为由加法交换律可知，两个加数交换位置不影响结果），情况一：当，，，从而，即（舍去，集合元素间互异），或（舍去，集合元素间互异），或，即，此时（这里不考虑具体与的对应关系，因为由加法交换律可知，两个加数交换位置不影响结果），综上所述，或.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.阳春三月，油菜花进入最佳观赏期，长沙县江背镇、望城光明村彭家老屋、浏阳达浒油菜花田、岳麓区含泰社区油菜花田都免费向市民、游客开放，长沙某三所高级中学A，B，C组织学生去这四个景区春游，已知A，B两所学校去每个景区春游的可能性都相同，C学校去岳麓区含泰社区春游的可能性为，去其它三个景区春游的可能性相同.（1）求望城光明村彭家老屋迎来三所学校春游的概率；（2）长沙县江背镇迎来学校所数的分布列及数学期望.解：（1）依题意，A，B两所学校去每个景区春游的概率都是，C学校去岳麓区含泰社区春游的概率为，去其它三个景区春游的概率为所以望城光明村彭家老屋迎来三所学校春游的概率为：.（2）依题意，长沙县江背镇迎来学校所数X的可能值为：0，1，2，3，,，，所以长沙县江背镇迎来学校所数X的分布列为：0123数学期望.16.如图，四棱锥的底面是梯形，平面.（1）求证：平面平面；（2）在棱上是否存在一点E，使得二面角的余弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（1）证明：因为平面，平面，所以，因为，所以，所以，又因为平面，所以平面，因为平面，所以平面平面；（2）解：因为平面，，所以平面，又因为平面，所以，又，所以两两互相垂直，所以以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图，，设，则，，设平面的法向量为n1=x则，即，取，满足条件，所以可取，，，设平面的法向量为，则，即，取，解得，所以，由题意，化简并整理得，解得或（舍去），所以，综上所述，棱上是否存在一点E，且，使得二面角的余弦值为.17.已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，.（1）求E的方程；（2）直线，过l上一点P作E的两条切线，切点分别为M，N.求证：直线过定点，并求出该定点坐标.解：（1）由已知，，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，设的方程为，Ax1,联立，得，则，则，所以，解得，故抛物线E的方程为：.（2）设直线的方程为，，，联立，得，，即，所以，，令，当时，可化为，则，则在处的切线的方程为：，即，同理可得切线的方程为：，联立与的方程，解得，所以，则，满足，则直线的方程为，所以直线过定点，该定点坐标为.18.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.解：（1）函数的定义域为R，求导得，令，求导得，当时，，当时，，函数在上递减，在上递增，，即，①当时，，恒成立，在R上单调递减；②当时，由，得，由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，在R上单调递减；当时，上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知，当时，在R上单调递减，在R上至多一个零点，不满足条件，当时，，令，则，令，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，即，于是，函数在R上单调递增，而，则当时，，当时，，当时，，①若，则fxmin=ga>0，故②若，则，仅有一个实根，不满足条件；③若，则，注意到，f-2=于是在上有一个实根，又，且，令，则，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，hx≥h(43则，又，即，则有，即，于是在上有一个实根，又在上单调递减，在上单调递增，因此在R上至多两个实根，又在及上均至少有一个实根，则在R上恰有两个实根，所以时，在R上恰有两个实根.19.角谷猜想，也称为“”猜想.其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以2；如果是奇数，则将它乘以3再加上1，如此反复运算，该数最终将变为1.这就是对一个正整数运算时“万数归1”现象的猜想.假如对任意正整数，按照上述规则实施第1次运算后的结果记为，实施第2次运算后的结果记为，…，实施第次运算后的结果记为，实施第n次运算后得到数1，停止运算，便可以得到有穷数列，1，其递推关系式为：叫做数列an的原始项.将此递推关系式推广为：（，且），其它规则不变，得到的数列记作数列，试解答以下问题：（1）若，则数列的项数为______；（2）求数列的原始项的所有可能取值构成的集合；（3）若对任意的数列，均有，求d的最小值.解：（1），，所以数列的项数为5.（2），下面证明对于任意的正整数，当时，均存在数列an为数列，时，符合题意，反证，假设存在正整数，当时，不存在数列an为数列，设此时的最小值为，即时，存在数列，时，不存在数列，①当为奇数时，因为存在以为原始项的数列，，所以就是原始项为的数列，与