湖北省鄂东南省示范高中教改联盟校2024届高三下学期五月模拟考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省鄂东南省示范高中教改联盟校2024届高三下学期五月模拟考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足（为虚数单位），则（）A.3 B. C.4 D.5〖答案〗B〖解析〗由，则，所以.故选：B.2.已知集合，则下列表述正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗表示是的含义是正奇数除以4，表示的含义是整数除以4,所以，故选：C.3.已知向量，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设，因为，所以，解得，，即向量在向量上的投影向量为.故选：A4.被9除的余数为（）A.1 B.4 C.5 D.8〖答案〗B〖解析〗其中是9的整数倍.故被9除的余数为4.故选：B.5.已知数列为等差数列，为等比数列，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由为等差数列，为等比数列，，可得.由，当且仅当时取等，可得，故A正确，C错误.当时，；当且仅当时取等，当时，，当且仅当时取等，故B，D都错误.故选：A.6.已知抛物线的焦点为，过的直线与与交于两点（点在轴上方），点，若，则的方程为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设Ax1,，即，由得，，的方程为，由得，，，，，故.故选：B.7.已知点是直线上的动点，由点向圆引切线，切点分别为且，若满足以上条件的点有且只有一个，则（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗连接，则.又，所以四边形为正方形，，于是点在以点为圆心，为半径的圆上.又由满足条件的点有且只有一个，则圆与直线相切，所以点到直线的距离，解得.故选：D.8.已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，设，则，当时，在1,+∞上单调递增，∴f107>f，又，设gx则，令，则，在1,+∞上单调递减，当时，，在上单调递减，，，故选：C.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（）A.“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件B.的下四分位数为95C.在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均减少个单位D.随机变量服从二项分布，则，且的概率最大〖答案〗ACD〖解析〗对于A，与是互斥事件，与不一定互为对立事件，故充分性不成立；与互为对立事件，则与是互斥事件，故必要性成立.所以，“与是互斥事件”是“与互为对立事件”的必要不充分条件，所以A正确；对于B，共有9个数据，而，故下四分位数为从小到大排列的第3个数据，即为91，所以B错误；对于C，在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，则减小，即响应变量将平均减少个单位，故C正确；对于D，.而的概率最大，所以D正确.故选：ACD.10.如图，有一个正四面体ABCD，其棱长为1．下列关于说法中正确的是（）A.过棱AC的截面中，截面面积的最小值为B.若为棱BD(不含端点)上的动点，则存在点P使得C.若M，N分别为直线AC，BD上的动点，则M，N两点的距离最小值为D.与该正四面体各个顶点的距离都相等的截面有10个〖答案〗AC〖解析〗对于，设截面与棱BD的交点为，如图，过棱AC的截面为，则为棱BD的中点时，的面积取得最小值，在等腰中，，可求得，故正确；对于B，因为，所以，所以，设，则，在中，，所以，故B错误；对于C，取线段AC，BD的中点分别为M，N，因为，所以在等腰中，MN为底边上的中线，则，同理可证，故MN为线段AC，BD的公垂线，所以M，N分别为线段AC，BD的中点时，M，N的距离最小，此时，所以，即M，N两点的距离最小值为，故C正确；对于D，与正四面体各个顶点的距离都相等的截面分为以下两类：（1）平行于正四面体的一个面，且到顶点和到底面距离相等，这样的截面有4个；（2）平行于正四面体的两条对棱，且到两条对棱距离相等，这样的截面有3个，故与正四面体各个顶点的距离都相等的截面共有7个，故D错误．故选：AC．11.已知，下列结论正确的是（）A.若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则可以等于B.若在0,π上恰有3个零点，则的取值范围是C.若在上恰有3个零点，则的取值范围是D.若在上单调，且，则的最小正周期为〖答案〗BD〖解析〗A项，向在平移个单位长度后，得到的函数为，由所得图象关于轴对称，，即，不可能取，故A错误.B项，时，，故，即，故B正确.C项，由得，的所有零点为.不妨设是在上的三个零点，则，，解得且.由得，由得，故.当时，且；当时，且，.综上可知，或，故C错误D项，因为在区间上单调，，故.由，且区间上单调，为的一个对称中心.又，且，为的一条对称轴.而，故D正确.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在点处的切线为，则在轴上的截距是______.〖答案〗〖解析〗，的方程为.令得，，故在轴上的截距是－1.13.斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足的重心分别为的外心为.记直线，的斜率为.若，则双曲线的离心率为______.〖答案〗2〖解析〗不妨取的中点.因为的重心为，且在中线上，所以.由中点弦结论知，，，，因为，所以，，又由，可得的外心为的中点，于是由中点弦结论知，又，所以，即.由得，，解得，所以双曲线的离心率.14.设是绝对值不大于10的整数，函数满足，则的所有可能取值组成的集合为______.〖答案〗〖解析〗首先，我们来证明一元三次方程的韦达定理，我们设一元三次方程三个根分别为，而可化为，也可以写成，将展开，合并同类项，得到，所以，，，所以一元三次方程的韦达定理得证，接着证明是的零点.事实上，设，则，其中是整数，假设，即，而，而是整数且是无理数，所以，故，必定是整数，且整数相减的结果不可能在，从而，因为，故f2-3>100，而，矛盾故，即，所以.设的三个根为，其中，则，，得，所以.由及，所以我们得到，解得，也可得到，解得，而是绝对值不大于10的整数，得到，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若点是边上一点，且，求的值.解：（1）由及正弦定理得，整理得，又由余弦定理及三角形内角性质得，.（2），记，则.在Rt中，.①在中，由正弦定理得.②由①②及得，即，解得.由，解得，故.16.如图，四边形是圆台的轴截面，是圆台的母线，点C是的中点．已知，点M是BC的中点．（1）若直线与直线所成角为，证明：平面；（2）记直线与平面ABC所成角为，平面与平面的夹角为，若，求．（1）证明：连接，则四边形是直角梯形.过作于N，则四边形是矩形，，连接，，为的中点.又M为的中点，平面，，平面又平面，，在中，，为的中点，又，，平面，，平面又平面，，，OB，平面，，平面（2）解：以O为原点，直线OC，OB，分别为x，y，z轴建立如图的空间直角坐标系.设，则，，，，设平面的法向量，则，取得，，设平面的法向量，则，取得，解得在中，，由（1）知，17.为了推动“体育助力乡村振兴”，丰富人民群众的文化生活，某地决定举办“村超”足球友谊赛.比赛邀请本地两支村足球队（实力相当）和外地两支村足球队（实力相当）参加.赛事规定：（1）比赛分为两个阶段，第一阶段：四支球队分成两组，每组进行一场比赛；第二阶段：第一阶段的胜者之间、负者之间各进行一场比赛，前者决出第一、二名，后者决出第三、四名.（2）第一阶段分组方案：采取抽签法，每组本地一支球队、外地一支球队.已知各场比赛的胜率和上座率均互相独立，单场比赛的胜率和上座率如下：胜率本地队外地队本地队0.50.6外地队0.40.5上座率本地队外地队本地队0.81外地队10.8（1）第二阶段两场比赛上座率之和记为，求的分布列和数学期望；（2）求本地足球队获得第一名的概率.解：（1）的取值为，2.当时，第一阶段比赛本地队均胜或均负，所以.当时，第一阶段比赛本地队一胜或一负，所以.分布列为1.620.520.48（2）记本地两支球队为甲、乙，外地两支球队为丙、丁，则第一阶段有两种分组方法：①甲、丙一组，乙、丁一组；②甲、丁一组，乙、丙一组，分别记为事件，则.记事件“甲胜乙”为，事件“甲胜丙”为，事件“甲胜丁”为，事件“乙胜丁”为，记事件“甲获得第一名”为，则，同理.记事件“乙获得第一名”为，同理可得.本地足球队获得第一名的概率为.18.在平面直角坐标系中，已知圆和圆的方程分别为和.以坐标原点为端点作射线，与圆和圆分别交于两点.过作轴的垂线，过作轴的垂线，两垂线交于点，设点的轨迹为.（1）求点的轨迹的方程；（2）若曲线与轴交于两点（点位于点上方）.已知点，直线，分别和曲线交于点，直线交轴于点，求的取值范围.解：（1）如图①所示，记以射线为终边的角为，则.设Px,y，则，所以，故点的轨迹的方程为.（2）如图②所示，由题意可知，直线的斜率存在.设，直线为.由得，，则.又.由得，所以.所以，即，即.将韦达定理代入上式得.上式化简得，解得.所以直线过定点，故.设，则，代入椭圆方程有，即，即，则，即.故.19.在数值计算中，帕德近似是一种常用的逼近方法．给定两个正整数，若函数的阶导数存在，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，其中为函数的阶导数．对于给定的正整数，函数的阶帕德近似是唯一的，函数的帕德近似记为．例如，．（1）证明：当时，；（2）当时，比较与的大小；（