辽宁省大连市部分学校2024届高三年级下册联合模拟考试数学试题（解析版）

辽宁省大连市部分学校2024届高三下学期联合模拟考试

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.设集合A={。，L2},5={3,〃?},若A5={2},则()

A,[0,1,2,3}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{2,3}

K答案XA

K解析X因为集合人={0,1,2},5={3,772},若AB={2},则机=2,

即集合§={2,3},所以4。6={0,1,2,3}.

故选：A.

2.已知复数z=(2+i)(l-i),则|z|=()

A.V2B.2C.y/5D.710

K答案工D

K解析Hz=(2+i)(l-i)=2-2i+i-i2=3-i,

故目=心+㈠？=丽

故选：D.

3.某质点的位移y(cm)与运动时间x(s)的关系式为y=sin(0x+彷(0>0,°w(-71,初，

其图象如图所示，图象与y轴交点坐标为0,-F,与直线y的相邻三个交点的横

3

C.质点在LQS内的位移图象为单调递减

r-J

D.质点在0,黄s内走过的路程为(3-小卜111

k答案』C

5jrJT2冗9JT

［解析》由已知函数图象得，函数的周期T=------=——，所以。=——=3,故A错

663T

误；

令丁=/(X)，所以/(x)=sin(3x+。)，又f⑼=一专,所以sin。=-且，

因为0G(-兀，兀)，所以°=一^或一一-.

33

又=所以sin(g+°l=cose=!,所以。=一：.故B错误；

ko/2\2)23

717兀

由已知得了(X)图象相邻的两条对称轴分别为直线X=片+回=571,

X-—2--18

7兀5兀

+117r

r_18T_，

218

且/(%)在工*内单调递减,因为「,

1o1oJZJ|_lo1o_

3

所以/(%)在1,-上单调递减，故C正确；

由图象得该质点在0,——s内的路程为1--+彳=E^cm,故D错误.

1o12)22

故选：C.

4.已知圆C：(X-2)2+(J-2)2=4,直线/：(m+2)x-777j-4=0,若/与圆C交于

A,2两点，设坐标原点为。，贝11。川+2|08|的最大值为()

A.4有B.65>C.4^/15D.2A/30

K答案』D

(解析工圆c：(x—2)2+(y—2)2=4的圆心为。(2,2),半径为2,|。。|=2立

直线/的方程可化为巩%—y)+2光—4=0,于是/过定点(2,2),且|AB|=4,

显然20c=OA+OB,即40c*=+OB’+2OAOB

^AB=OA+OB-2OAOB^因止匕I+1OB/=；(4|+|A3，)=24,

设|OA|=2Ccos。，|03|=2Csin。，显然|OA|,|08|e(2应—2,20+2),

贝“。4|+2|O3|=2asin(e+0)<2同，其中tan°=L,当。+夕=工时等号成立,

22

止匕时tan9=2,

|。川=2辰上=粤

(20—2,2拒+2),符合条件,

所以|。4|+2|08|的最大值为2回.

故选：D.

5.已知函数/(x)=e2ax—31nx,若/(x)>d—2ax恒成立，则实数。的取值范围为

()

3/3、

A.(0,—)B.(—,+<»)

2e2e

3

C.(0,-)D.(一,+8)

ee

(答案》B

K解析U/(x)>X，—2ax等价于+2依>三+31nx=e3“*+31nx，

令g(x)=e*+x,贝!|g'(x)=e*+l〉0,所以g(无)是增函数，

所以e?©+2ar>em*+31nx等价于gQax)>g(31nx),

所以2ar>31nx(x>0),所以2a>到丝，

X

令。(X)=也，则矶x)=3-31nx,

XX

所以在(0,e)上，〃(x)>0,人(力单调递增，在(e,+s)上，h'(x)<0,/z(x)单调递减,

o33

所以/%)皿=〃卜)=三，故2。〉一，所以实数a的取值范围为(一,+3).

ee2e

故选：B.

6.已知双曲线C：上——L=1(〃?〉O)的实轴长等于虚轴长的2倍，则C的渐近线方程

3m+2m

y=±—x

2

C.y=±2xy=±y/2x

K答案』c

K解析U由题意得加+2=2，嬴，解得加=2,

22

C:匕-土=1,故渐近线方程为丁=±2葭

82

故选：C.

7.已知a,b,ce(l,4w),—=--,-=----,一=-----,则下列大小关系正确的是

aInlObInllclnl2

A.c>b>aB.a>b>c

C.b>c>aD.c>a>b

K答案』B

K解析』设/(x)=xlnx(x>l),g(x)=(18-x)lnx(x>10),

l,d8ln〃7In/76Inc

因为一二----，—=-----，—=-----，

aInlObInllclnl2

所以alna=81nl0,Z?lnZ?=71nll,clnc=61nl2

即/(a)=g(10),/0)=g(n),/(c)=g(12),

,、，、，、,,1s

g'(x)=(18-x)lnx+(z18-x)(lnx)=-ln%+---1,

JV

显然g'(%)在［10,+8)上单调递减，

gr(x)<g'(10)<0,所以g⑴在［10,+8)上单调递减，

所以g。。)>g(ll)>g(12),即/(a)>/伍)>/(c),

又/'(x)=lnx+l,当％>1时，/(力>0,所以〃尤)在(1,+。)上单调递增,

所以a>b>c,故选：B.

8.如图，平行四边形ABCD中，AB=BD=DC=2,NA=45°.现将△BCD沿

起，使二面角C-5£>-A大小为120。，则折起后得到的三棱锥C-A5D外接球的表面积

为()

B

A.IO71B.15TI

c.2071D.206兀

［答案》C

k解析》如图所示，过点。作OE//AB,过点A作AE//8D,两直线相交于点E,

因为帅=%>=£>。=2,NA=45°,

所以ZAD5=45°,则

由于。故NCDE即为二面角C—8D—A的平面角，

则NCDE=120。，

过点C作。尸，OE于点P，

因为5£>_L£>E,BDLCD,DEcCD=D,DE,CDu平面CDF,

故30,平面CD77,

因为Cbu平面CDE,所以BOLCF,

又BDcDE=D，BD,DEu平面ABDE,

则Cb,平面ABDE，ZCDF=60°,

取AO的中点"，则外接球球心在平面ABD的投影为“，即平面ABDE,

连接方H,AO,CO,则AO=CO,过点。作。G//EH,交直线C尸于点G,

则。〃=EG,

CD=2,CF=CDsin60°=6,DF=CDcos60°=1,

AH=DH=-AD=42,

2

由余弦定理得FH=^JDF2+DH2-2FD-DHcosZFDH

=Jl+2—2xlx@]—f]=6

设OH=h,则EG=/z,故CG=CF-FG=6-h，

由勾股定理得=OG2+CG2=5+（6—〃y，OA2=OH2+AH2=2+/?,

故5+（6—//=2+/，解得/z=6，

故外接球半径为72+77=75，外接球表面积为471-5=2071.

故选：C.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某商场为促销组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有8个大小形状相同的小球，并标注

18这八个数字，抽奖者从中任取一个球，事件A表示“取出球的编号为奇数”，事件B表

示“取出球的编号为偶数”，事件C表示“取出球的编号大于5”，事件。表示“取出球的编号

小于5”,则（）

A.事件A与事件C不互斥B.事件A与事件B互为对立事件

C.事件B与事件C互斥D.事件C与事件D互为对立事件

k答案』AB

K解析』由题意抽奖者从中任取一个球的样本空间为。={1,2,3,4,5,6,7,8},

事件A表示{1,3,5,7},事件B表示{2,4,6,8},事件C表示{6,7,8},事件。表示

{1,2,3,4},

所以AC={7}^0,A3且Ac5=0,BC={6,8}/0,

CcO=0且C£>={1,2,3,4,6,7,8}CQ,

所以事件A与事件C不互斥，事件A与事件3为对立事件，

事件B与事件C不互斥，事件C与事件。互斥但不对立，

故A,B正确，C,D错误.

故选：AB.

10.如图所示，在直三棱柱ABC-$4G中，若AB工BC,AlA^AB=BC^2,则下

列说法中正确的有（）

A.三棱锥用一ABC表面积为4+4及

B.点N在线段4。上运动，则8N+8户的最小值为2有

c.G、〃分别为片瓦、CG的中点，过点5G,“的平面截三棱柱ABC-A4G，则该

截面周长为2逐+27

D.点P在侧面6CG4及其边界上运动，点M在棱A3上运动，若直线C]航，AF是共

面直线，则点尸的轨迹长度为指

K答案XABC

K解析》对于A：在直三棱柱ABC-中

平面ABC,BCu平面ABC,所以8片，6。，

又AB?BB[B,48,88]<z平面AB4A,所以平面，

又ABu平面所以ABLBC,

同理可证A4，

又44=45=50=2,

所以SBB1c=SBB1A=QX2x2=2，AB=B[C=《2。+2?=2也.，

所以5仔=5侬=3*2><20=2立，

所以三棱锥片-ABC表面积s=4+4，L故A正确；

对于B：将与AC沿4c旋转与-ARC共面且位于4c的异侧，

如图所示，

:.BN+B]N=BN+B；NNBB；=<*可=2也，

即点N在线段4。上运动，则BN+B]N的最小值为2石，故B正确，

对于C：延长9、BG，设BH4G=R，连接GR交AG于点S,连接HS,

则过民G,H的截面为如图所示四边形5HSG,

R

因为〃是CG的中点，故是qR的中点，

又G为A耳的中点，所以S为“4用7?的重心，

BG=BH=45,GS="氏=；+府=呼©S=；A£=，

SH=JCS+CQ2=与,

所以截面周长为2石+上乎，故C正确，

对于。C]Mu平面GAB,GM，AP共面，所以APu平面GAB,

又点P在侧面BCCE及其边界上运动，平面CXABn平面BCCXB.=BQ,

所以点P的轨迹为线段8G，且3G=20,故点P的轨迹长度为2&，故D错误.

故选：ABC

11.已知抛物线C：V=》的焦点为产，其准线/与x轴的交点为石，过点尸的直线与C交

于A,B两点，点M为点A在/上的射影，线段人田与了轴的交点为N,线段AN的延

长线交/于点P,则（）

A.\EF\=1

B.AN±MF

C.直线AP与。相切

2

D.tanZAOB（O为坐标原点）有最大值-一

3

K答案】BC

K解析X抛物线C:_/=x的焦点为/准线/为尤=一；,

则所以但刊=；,故A错误；

设A（加2，根）（根＞o）,则M?4

所以"MF=H]=-2机，则直线汹7的方程为y=_2相卜

~4~4'7

得m即（日，

令x=0,y=£,N0

2

m]

所以L贝1]左3•左MF=丁义（一2w）=一1,故A/V_L"F,故B正确;

m2~2-m2m

I1m

因为以=—,所以直线4V的方程为y=-Lx+生,

2m2m2

1m

y——xH—0°

由,2m2,消去X整理得y2—2wy+加2=0,显然/=0,

y2=x

所以直线ANCAP）与C相切，故C正确;

设4（%,%）（弘〉0）,3（%,%），AB：x=ny+~,

1

x=ny+—1

由＜4，可得y0_几V——=0,

24

〔V=犬

显然/＞0,所以%+为="，

所以tanZBOF=逅=』，tanZAOF=^

tanZAOF+tanZBOF

所以tanZAOB=tan(ZAOF+ZBOF)=

1-tanZAOFtanZBOF

3-玉乃N"卜一NTh

1+t-tz%%［佻+/+{|+%%

：（%一%）

1(%+%)+(〃2+1)%%+2

4x7lo

*(%+%)-4%%_4而77

121/2.、1=

4

所以当〃=0时tanNAOB有最大值-一，故D错误.

3

故选：BC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的

几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相

等的图形代表八卦田.已知正八边形A5CDEFGH的边长为2行，点P是正八边形

K答案U8+40

2冗JT

K解析X由题意知，每个三角形的顶角为一=一，AB=272-

84

作A3垂直。C的延长线于点M,根据正八边形的特征知，AM=2行+2,

设AP与所成的角为。，则可,

所以AP.=网网cos6=2闾叫cos6,

由Wcos0的最大值为AM=2V2+2，

所以AB的最大值为2亚x(2血+2)=8+40.

13.函数/(X)=tan(ox+0)3>0，M<])的图象如图所示，图中阴影部分的面积为

6兀，则函数y=/(x)的(解析』式为.

K答案Xf(x)=tan(

区域①和区域③面积相等，故阴影部分的面积即为矩形ABCD的面积，

可得|AB|=3,设函数的最小正周期为T，贝U|AD|=T,

兀1

由题意可得3T=6兀，解得T=2兀，故一=2兀，可得。=—,

(D2

即f(x)=tan[gx+0),

又/(x)的图象过点],—1),即tanQx-^+^=tan^+^=-l,

因为9£,所以+0=解得9=_g.

\乙乙)1ZJq，

故/(x)=tan15X_；J.

14.我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”(如图

(1)),亦称“赵爽弦图”.类比“赵爽弦图”，可构造如图(2)所示的图形，它是由3个全

等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，已知ABC与DEF

的面积之比为7:1,设XA3+〃AC=A£>,贝|彳+〃=.

K解析工设边长为。.QE尸边长为力，

由题意得与.D砂的面积之比为7:1,可彳寻上文旦义==义旦义/义7，

2222

化简得〃2=7/72,可得不妨设Q==1,

如图，作CN_LC4,以。为原点建立平面直角坐标系，

1〃a+(〃?+1)2—7

在，ACD中，设=由余弦定理得-；；=―」"一A—，解得“2=1,

22m(m+l)

故AD=1，CD=2,且设。(x,y),作。GLAC,故S=^xWxlx2=3,

ACD222

故得s=J_XJ7XDG=93,解得DG=叵，由勾股定理得CG=±也，

-CD2277

故。(三互,浮)，易知A(J7,0),浮)，C(0,0),

可得A3=(—且,叵)，AC=(-V7,0),AD=(-^,—),

2277

且XA5=A），/JAC=（—1\/7^/u,0）,

、/7i—、/57

可得/L43+〃AC=（—芋4一^-/l）=AD，

1

3

解得《显然X+〃=—.

2=-

[7

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2

15.如下图，四棱锥P—A6CD的体积为底面ABCD为等腰梯形，BC//AD,

AB=CD=EAD^3BC=3,PD=5POA.AD,。是垂足，平面上4£)，平

(2)若M,N分别为PD,PC的中点，求二面角O—"N—3的余弦值.

(1)证明：连接。3,

:平面B4r)_L平面ABCD,POLAD,平面B4T)c平面ABCD=A。，POu平面

PAD,

POL平面ABC。，

因为ADu平面ABC。，所以POLAD,

由题意可知，等腰梯形ABC。的高为1,

故等腰梯形ABCD的面积为：S=1x(l+3)xl=2,

9-ABC7J=§X2xPO=—,

PO=1,

在Rt_R9D中，PD=亚,PO=1.

:.OD-2,即AO—1,

/.。为AD的三等分点，

BOLAD.

又,：POBO=O,BOu面POB,POu面P08,

ADJ_平面FOB,

:PBu平面P08,

(2)解：取中点E，连接3E,则四边形8CDE为平行四边形，

BE//CD.

,:M,N分别为PD，PC的中点，

J.MN//CD,

/.MN//BE,

.•.M,N,5E四点共面.

连接OC交5E于产，连接NF,则二面角O—"N—5即二面角O—"N—尸.

：PO1平面ABC。，CDu平面ABC。，

•*.POLCD,

易知四边形BCEO为正方形，则OCL5E,

■:BEIICD,/.OCVCD,

又尸。OC=O,POu平面POC,OCu平面POC,

CD,平面POC.

'：MN//CD,.•.肱VJ_平面POC,

：NOu平面POC,NFu平面FOC,

:.MN工NO,MNINF.

，NONE是二面角O—"N—5的平面角，

在Rt_7VFO中，NF=-PO=-,OF^-OC^—，

2222

•CM—6•/cz口_NF_^3

••ON——，••cos/ONF-——，

2ON3

二面角O—MN—5的余弦值为

3

16.水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制（即先赢2

局者胜），首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮由首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者

轮空，依照这样的规则无限地继续下去.

（1）求甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率；

（2）求第九轮比赛甲轮空的概率；

（3）按照以上规则，求前六轮比赛中甲获胜局数的期望.

解：（1）甲第三轮获胜的基本事件有：｛第一、二、三轮甲全胜｝，｛第一轮甲输，第三轮甲

胜｝,

设甲在第，•轮获胜”，则P⑷4）=黑｝可段片热Jyj；

⑵设事件G="第九轮甲轮空"，则P（G）=P（G,_C）+P©_C）,

=P(C„-1)P(C„I%)+P©T)P©Q_1)=|[I-P(C„_1)],

pc

・•・P(c")-g=-g(n-i)~|,P(G)=O，

（3）设一轮比赛中甲胜的局数为X,则X=0,l,2,

P(X=0)=

P(X=2)=

前六轮比赛中甲参与的轮次数为y,则y=3,4,5,6

P(Y=3)=

P(X=5)=C；

二局胜的局数为:---X—=---（局）.

324128

22

17.已知椭圆E:=+2r=l（a〉6〉0）短轴长为2,椭圆E上一点/到？（0,2）距离的最

a~b

大值为3.

（1）求。的取值范围；

（2）当椭圆E的离心率达到最大时，过原点。斜率为左仕W0）的直线/与E交于AC两

点，B4、PC分别与椭圆E的另一个交点为&O.

①是否存在实数2,使得3。的斜率左'等于几左？若存在，求出2的值；若不存在，说明

理由；

②记AC与5。交于点Q,求线段PQ长度的取值范围.

解：（1）设由题知，2b=2,即b=l,

2

贝|］=+/=1,即犬=片—Q2y2(_1W丁41),

a

iB/(j)=|MP|2=x2+(y-2)2=-(tz2-l)/-4y+tz2+4,

则在［Tl］上的最大值为9,对称轴为y=<0,

Q—1

①当冷<一1，即时，/(y)111ax=/(—1)=9,成立;

②当-5—~-1，即Q>A/3时，

a-1

-2=«2+4+^-=«2-l+-^-+

/(Vmax=f

a2-1a2-la2-l

+5z2“/-1)上+5=9,

4

当且仅当91=——,即/=3时等号成立，可知不成立;

Q—1

综上，ae（l,向

1

（2）由（1）得，e—J="21=1—'

aaa

2

所以当Q=也时，离心率达到最大，此时，椭圆月:]+y2=l，

3

①存在丸=一二，理由如下，

2

设4（尤0，也），则。（一％,-依）），其中£+左2片=1,

即（3/+1）芯=3,PA-.y=^^x+2,

xo

kx-2人

y=h—x+2

%

由＜

2

X21

1—3+y'=1

得[（3左2+1）片—12AXQ+12J%2+12%o（kx。~2）x+-0,

即（5-4代））X2+4x0（Ax0-2）X+3A：Q=0,

所以％。/=3_,/=二^，%=幺瓷义•7+2=苧二1

5-4Ax04Ax0-5/4Ax0-54Ax0-5

所以迎d],PC:y=l^^x+2,

（4履0-54fcv0-5J/

y=^^x+2

由＜2'，得[（3左2+1）%；+12AX0+12]%2+12%（"0+2）x+9x；=0,

即（5+4在0）*+4/（5版0+2）x+3x：=0,

〜，3%o-3xkx+2-3x5kr+4

所以To%。=———,x=...-n,y=——0x——彳0+2=0

5+4也D4也+5D/4也+54飙+5

5kx0+45kx0-4

人―7,4Ax+54kx-5-18Ax3,

所以，瓦）的斜率l=一n---------—n=-n=

-3x0-3x030x05

4飙+54kx0-5

②由①知,

3.(3%)5Ax0-43,16Ax0-203.4

BD:y=——kx+-------+——-——二——kx+--------=——kx+-,

5I4Ax0-5J4Ax0-555(4Ax0-5)55

34

BD:y=——kx+—341

由彳55y=--y+-^即

AC:y=kx

13

将丁二一代入椭圆方程得：九=±—,

22

所以，Q的轨迹方程为y=；1—|<x<|

所以，线段P。长度的取值范围为

18.己知数列｛4｝的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列

｛。”｝前几项和为S.,且满足$3=。4，。3+。5=2+。4

(1)求为，为；

(2)求数列｛«„｝的通项公式及数列｛%｝的前2k项和S2k；

(3)在数列｛4｝中，是否存在连续的三项册,金+1，5+2,按原来的顺序成等差数列?若存

在，求出所有满足条件的正整数加的值;若不存在，说明理由

解：(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为4，

贝Uq—1,=2,Q3=1+d,=2g,=1+2d,

因为$3=“4，所以l+2+l+d=2q,即4+d=2q,

因为%+%=2+2，所以1+d+1+2d—2+2q,即3d—2q,

解得d=2,q=3,

所以。9=q+4d=1+8=9,4=—2x33=54；

(2)由(1)知d=2,q=3,

所以对于人N*，有%i—i=1+2伏T)=20l,3=2x31,

n,n=2k—1

所以。〃=<«_i(获N*)，

2-32,n=2k

S2k=(q+4---+(%+^4---------a”)

=[1+3+---+(2^-1)]+2(1+3+32+---+3M)

次(1+2Z—1)।2,J—3/

=左2+3上_1.

（3）在数列｛4｝中，仅存在连续三项q,%，%按原来的顺序成等差数列，此时正整数

m=l,

下面说明理：

若4”=%«，则由金+%>+2=2勺+1，得2x3—+2x3"=2（2左+1）,

化简得4x3-=2k+1，

此式左边是偶数，右边是奇数，不可能成立，

若盘=出1，则由4+4+2=2勺+1，得（2左—1）+（2左+I）=2x2x3i,

化简得左=3"1

令《=$（左eN*），则£+「7；=芋一白=皆<°（左eN*），

所以1=工>（>4>…，

所以只有4=1，此时左=L〃z=2xl-l=l,

综上，在数列｛%｝中，仅存在连续三项%,%，。3按原来的顺序成等差数列，此时正整数

m=lf

19.已知函数/（%）=:加+cx（a>0）.

（1）若函数，（九）有三个零点分别为为，巧，％3，且%+4+退=一3，%/=一9，求函

数〃幻的单调区间；

（2）若广⑴=-：。，3a>2c>2b,证明：函数/⑺在区间（0,2）内一定有极值点；

b

（3）在（2）的条件下，若函数〃尤）的两个极值点之间的距离不小于百，求一的取值范