2025年高考数学一轮复习：集合背景下的新定义压轴解答题（四大题型）（解析版）

拔高点突破01集合背景下的新定义压轴解答题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：定义新概念............................................................................2

题型二：定义新运算.............................................................................7

题型三：定义新性质............................................................................10

题型四：定义新背景............................................................................14

03过关测试....................................................................19

亡法牯自与.柒年

//\\

1、解答新定义型创新题的基本思路是：

(1)正确理解新定义；

(2)根据新定义建立关系式；

(3)结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；

(4)运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果.

2、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合

的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题.

3、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则.按照新的运算规则，结合

数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的.

4、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的.我们通过可以结合相

应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题.

题型一：定义新概念

【典例1-1】(2024•北京顺义・二模)已知点集〃“={(和另)，(々，%)，，(x””)}(〃N3)满足0V%,%,

乙+y<2。=1,2,•，耳.对于任意点集若其非空子集A,8满足Ac3=0,AB=Mn,则称集合对

(4功为风,的一个优划分.对任意点集M“及其优划分(A3),记A中所有点的横坐标之和为X(A),B中

所有点的纵坐标之和为丫⑻.

⑴写出M3={(1,1),(2,0),(0,2)}的一个优划分(A3),使其满足X(A)+F(3)=3；

(2)对于任意点集M，求证：存在M的一个优划分(A,3),满足X(A)+F(B)43；

(3)对于任意点集此，求证：存在此的一个优划分(A3),满足X(A)V等且y(B)w等.

【解析】(1)由题因为M3={(1,1),(2,0),(0,2)},

所以若使X(A)+F⑻=3,则可以A={(1,1)},3={(2,0),(0,2)),

此时x（A）=i,y（B）=2,x（A）+y（B）=3,满足题意.

（2）根据题意对于任意点集机=｛（西,％）,（々，％），（演，%）｝，不妨设玉Vx2Vx3,

且OVx”%,人+》<2（i=l,2,3）,

若毛=1,则04%41,

则X（A）=%+%=2,y（3）=为（l，此时恒有X（A）+F（3）<3；

若百43VI，尤3>1，则>3<1，可令4=｛（%，％），（马，%）｝，区=｛（工3，%）｝，

此时乂（4）=%+々42,丫（3）=为<1,则X（A）+y（3）<3,满足题意；

若占41,1<尤24迅，则令人=｛（&%）｝，3=｛（$，%），（/，%）｝，

此时x（a）=%vi,y（3）=%+%<2,则x（A）+y（8）<3,满足题意;

若1<%4%2«%3，贝!1%，内，必<1，贝!J必42—％W2—再，%«2—％242—％1，

令4=｛（%，乂）｝，8=｛（七，％卜（々，%）｝，

止匕时X（A）=X|,y（3）=%+%V4—2X],则X（A）+y（3）W4—玉<3,满足题意；

所以对于任意点集M，都存在“3的一个优划分（A3）,满足X（A）+y（B）43.

（3）不妨设°<占V尤2…V2,

w+1

若%+%++x„<^-,则3取其中一点即可满足；

n+1

右石+%++Xn>，

72+1

+X

则必存在正整数上使得玉+%2+k———<X1+X2++/+/+1，

九+]z"+]

则有<玉+/++/+/+1工（%+1）及+1，于是2（1+1）</+1'

又因为%+1+%+2++%（（2—%+1）+（2-/+2）++（2-天）

（〃+]'

<（2_%+1）+（2_4+2）++（2_天）《（〃_左）（2_/+1）<（〃_k）2—2（,+]）

=[〃+1-（左+1）][-段,g（〃+l）[2优+1）+制，

<|（«+1）-2（«+1）=^,当且仅当人=—■时取等号；

于是取4=｛（冷M）,…,（々,％）｝,3=｛（々+1，%+1）,…,（4,%）｝,

即可满足X（A）V*—且y（B）v*-,命题得证.

【典例1-2】（2024・浙江台州・二模）设A,B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素X,按照

某种确定的对应关系了,在集合8中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时8

中的每一个元素y,都有一个A中的元素尤与它对应，则称A-3为从集合A到集合B的一一对应，

并称集合A与3等势，记作］=］.若集合A与8之间不存在一一对应关系，则称A与8不等势，记作

A^B-

例如：对于集合4=1\［*,2={2葭,eN*},存在---对应关系y=2MxeAye3),因此］=

(1)已知集合C={(x,y)\x2+/=1),D=，(x,试判断1行是否成立?请说明理由；

(2)证明：①(0,1)=(-8,+8)；

②N*W{小三N*}.

%—2x

【解析】(1)设P(%,%)eC,Q=(x,y)e。，令:

U=J3%,

则C与。存在一一对应，所以集合3=5.

(2)①取函数>=12!1兀［尤-3，其中xe(O,l),两个集合之间存在---对应，故

(0,1)=(-00,+00).

备注：函数举例不唯一，只要保证定义域为(0,1),值域为R即可，

—2,0<%<一,In2x,0<xW—,

,X2T2AyrAyrr

如：y=<等等均可,

x-122

②设A=N*,2={小=川'},

假设］=］，即存在对应关系九Af8为一一对应，

对于集合8中的元素{1},{2},{1,2},至少存在一个xeA且彳22)与这三个集合中的某一个对

应，所以集合A中必存在无任，(尤).

记£>={xe4上任/(》)},则£)聂4,故

从而存在aeA,使得

若ae£>,则ae/(a)=。，矛盾；

若a拓Z),贝!|ae/(a)=Z),矛盾.

因此，不存在A到2的---对应，所以

【变式1-1］(2024.江西九江.二模)定义两个“维向量6=(税,％,2,…,X,"),叼=(%,号2,…，马.)的数量积

a」％=%+%济2+•■•+\„xjn(z,jeN+),%.%=a：，记%*为ai的第上个分量(左4”且％€、).如三

维向量4=(2,1,5),其中4的第2分量&2=1.若由,维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含

有〃个〃维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取。或1；③集合中任意两个元素q,aj,满足

a：=a：=T"为常数)且qq=l.则称A为T的完美"维向量集.

⑴求2的完美3维向量集；

(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；

(3)若存在A为T的完美"维向量集，求证：A的所有元素的第左分量和1=7.

【解析】(1)由题意知，集合A中含有3个元素%(，=1,2,3),且每个元素中含有三个分量，

因为62=%=%=2,所以每个元素中的三个分量中有两个取1，一个取0.

所以q=(LL。)，％=(1,1,0),q=(0,LD，

y.al-a2=a1-a3=a2-a3=l,

所以2的完美3维向量集为A={。,1,0),(1,0,1),(0,1』)}.

(2)依题意，完美4维向量集B含有4个元素〃(，=1,2,3,4),且每个元素中含有四个分量，

Te{0,1,2,3,4},

(i)当7=0时，b,e{(0,0,0,0)),与集合中元素的互异性矛盾，舍去；

(ii)当T=1时，bte{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)},不满足条件③，舍去；

(iii)当7=2时，.e{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1)},

因为(1,1,0,0).(0,0,1,1)=0,故(1,1,0,0)与(0,0,1,1)至多有一个在2中，

同理：(1,0,1,0)与(0/,0,1)至多有一个在2中，(L0,0』)与(0,LL0)至多有一个在2中，

故集合8中的元素个数小于4,不满足条件①，舍去；

(iv)当T=3时，bte{(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1)},不满足条件③，舍去；

(v)当7=4时，6{(1,1,1,1)},与集合中元素的互异性矛盾，舍去；

综上所述，不存在完美4维向量集.

(3)依题意，T的完美〃维向量集C含有〃个元素q(i=L2,,〃)，且每个元素中含有〃个分量，

因为cj=T,所以每个元素中有T个分量为1,其余分量为0,

所以5]+邑+•+Sn==nT(*),

由(2)知，7片0」,〃，故2VT<”，

假设存在左，使得T+1WSE，不妨设T+l<44〃.

(i)当S|=〃时，如下图，

此时S1+S2++S„<ZZ+(M-1)=2/J-I<2n<nT,与(*)矛盾，不合题意.

XX

不妨设%=%T+\,l=1,X“J=0,Xn2=X.,3=„,T+!—1,

下面研究c：,c；,&,L,的前T+l个分量中所有含1的个数.

一方面，考虑G，c；,C；,L,4M中任意两个向量的数量积为1,

故X],八x2j,L,xT+1j(j=2,3,••■,T+1)中至多有1个1,

故q,c；,C3，L,%二的前T+1个分量中，

所有含1的个数至多有(T+1)+T=(2T+D个1(**).

另一方面，考虑c「c,=l(Z=l,2,-,T+1),

故q,Q,C3,L,的前T+l个分量中，含有(T+l)+(T+l)=(2T+2)个1,与(**)矛盾，不合题意.

故对任意上〈〃且keN+，Sk<T,由(*)可得&=T.

题型二：定义新运算

【典例2-1】（2024•海南海口•一模）在计算机科学中，〃维数组X=（%，w，…,当）,%e{O,l},ieN+，〃22是

一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用.对于“维数组

A=（a1,«2,L,«n）,B=（&I,Z?2,L,bn）,定义A与B的差为A-8=（|q-闻他一汕，|凡一切）,人与B之间的距

离为d（A,B）=f㈤-用.

1=1

⑴若〃维数组C=（O,O,,0）,证明：d?（AC）+J（B,C）＞J（AB）；

（2）证明：对任意的数组A,B,C,^d（A-C,B-C）=d（A,B）.

⑶设集合S“={x|x=（x”w，,%）,无”{0,l}"eN+，〃22},尸aS“，若集合P中有机（心2）个〃维数组，记

P中所有两元素间的距离的平均值为d（P）,证明：“（尸”2（〃一）,

【解析】（1）设A与B中对应项中同时为0的有x（04x4〃）个，同时为1的有y（04y4〃-％）个，

则对应项不同的为,―x—y个，所以d（A3）=〃-x-y.

所以d（A0）+d（5,C）=2y+_y=d（A,5）；

（2）设AH4%…，4）,3=（乙也，..，2）,C=（C1，C2//）£?；,

因为A-c=（|%-q|M-c2|,，|%-qj），

B-C=（|Z?I-CI|,|Z?2-C2|,

所以d（A_C,B_C）=£k-GH々一qII，

Z=1

因为Ge{0,l},7=1,2,,n.

所以当G=0时，料一4-也-c』=|4一同，

当c,=1时，忖-4-向-4=|（1-4）-（1-4）|=L-可，

所以d（A-C,B-C）=£|何-c卜性-cj=f-4=d（A,B）；

z=li=l

（3）记集合P中所有两个元素间距离的总和为fd仍,q）,

i,六1

一1_吗

则7（p）=k•£d（E，弓）.

i,j=T

设集合P中所有元素的第Kk=1,2,,n）个位置的数字共有tk个1,〃一4个o,

m〃

则£“片，弓）=ZX（，”G，

i,J=lk=\

因为小”7-友>0,

所以小

所以f"仍，号)=tX("zTj〈丁，

i,j=lk=l4

ll-T/f1Sjc八\,2nm2mn

所以d(尸)二-•Zd(月，q)<-———•—=———•

c；,■>>!'7m(m-l)420-1)

【典例2-2】(2024•浙江绍兴・二模)已知此N*,集合{小=2%+2%+…+2"0*<%<.<二,其中

席,…4eN}.

(1)求X2中最小的元素；

⑵设a=>+23eX1,beXIt且。+beX-求匕的值；

*1h

⑶记4=X&C(2ZI,2"+"],"eN*,若集合匕中的元素个数为a，求Z声.

加=12

【解析】(1)X2中的最小元素为2。+?+22=7.

(2)由题得4=21+23=10,设6=2)+2‘，0<z<j(z,jeN).

①当/<3时，6=23+2?=12或6=23+7=10或6=23+2°=9或6=2?+2=6或6=22+2°=5或

6=2+2°=3.

42

经检验，当〃=10时，a+Z?=20=2+2,符合题意，

所以分=10.

②当/=4时，6=24+23=24或6=24+2?=20或6=24+21=18或6=24+2°=17.

经检验，当6=24时，0+6=34=25+2、符合题意，

所以6=24.

③当,25时，不符合题意.

因此，3=24或10.

(3)设xe%,则x=2'。+2,+…+2%,其中，[=左+"-1,

0<i0<i1<---<ik_l<k+n-l,所以=C：+,_],

攵+1〃111

设&=二声，则&=c+^C3+^cL2+-+^ct.

因为c^=c3+c窗,

所以1+i=C：：+gc：：；+:c/+…+，c黑]+C

=4+1(cLi+c：：；)+*©+2+c£；)+…+9(c]+c工)+/(c/+i+cXi)

=[c；+；C：+]+Jc：+2+…++击c%

f~>k+\,f~^k+\।f~>k+\

+।11..11

-^k+l+^k+2+,•,+2Hl

=&+)k+l,10k

2k+2+5rL2k+1

田"1a一（2左+1）!1（2—2）!（2Z+1）!一（2k+l）!

因为2ui22-一■（1］）!2『+1）!化+1）!-X!优+1）!一'

所以Sx=1+gSz，所以&包=21,

又因为H=l+gc；=2,所以'=21

mI

【变式2-1］（2024.浙江嘉兴.二模）己知集合4=^2°'|0<«[<a2<<a,„,a;GNL定义：当=r时，把

集合A中所有的数从小到大排列成数列{伏)},数列他⑺“}的前〃项和为S().例如：/=2时,

2123

6(2)1=20+%=3,b(2)2=20+2=5,/?(2)3=2+2=6,/?(2)4=2°+2=9,,

S(2)4=b(2)[+仇2)z+b(2)3+/2'=23.

⑴写出b(2b涉(2%,并求S⑵i。；

(2)判断88是否为数列抄(3)“}中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；

⑶若2024是数列抄⑺“}中的某一项6(片)由，求2％及S亿)阳的值.

1

【解析】(1)因为〃z=2,止匕时A={2"+2%104tzi<%,4，%eN},

仅2)5=2?+2i=10,仅2%=2?+22=12,

SQL=4(2°+21+23+23+24)=124.

(2)当〃z=3时，A={2"1+2%+2"3|0Wq<的(生，。],%,%eN},

88=2,+2"+展,88是数歹U抄(3)0}中的项，

比它小的项分别有2"，+2%+2%,0?%a2<a3用吗,％吗N,或个，

有2"，+2%+26,0?%%N3,%,%N,C；个，

有20+24+26,02,%?N,C；个，

所以比88小的项共有C：+C；+C；=29个，故88是数列抄⑶,}的第30项.

(3),2024=21°+29+28+27+26+25+23,;.2024是数歹J|{6(7)“}中的项，故办=7,

7

则当=7时，A={2%+2"。++2"104q<a、<,<%,q,a1,,为eN},

方法一：比它小的项分别有以下7种情况:

fl

①*+2"2++2\o<al<a2<<%V9,%,%,©N,10个数字任取7个得C：0个，

a6l0

②2%+22+,+20+2,0<a1<a2<<a6<8,«1502,1.,a6eN,得C；个，

③2al+2"+-+205+2。+2",04q<%<,<%47,q,a,,,%eN,得C；个，

fl|2O48910

@2+20+.+2+2+2+2,0<a1<a2<<a4<6,a,,a2,.,a4eN,得C；个，

78910

⑤2'+2%+2%+2+2+2+2,0<a1<a2<a3<5,a1,a2,a3eN,得C：个，

a678910

@2'+2"z+2+2+2+2+2,0<a1<a2<4,^,^eN,得C；个，

5678910

⑦2。，+2+2+2+2+2+2,0<a1<2,0；eN,得C；个，

所以比2024小的项共有C：0+C；+C；+C；+C+C；+C个，

其中C：o+Cg+C；+C；+Cg+Cj+C；=C：。+C；+C；+C；+C：+C；+3

=c：°+c；+c；+C+C：+c；+C+3-C：

=C：「2

=328

故2024是数列抄⑺,}的第329项，即％=329.

aj

方法二：4={20+2吆++2\0<aA<a2<<%410,阳%,%eN}共有元素C1个，

最大的是7+29+28+2,+26+2‘+2"其次为2K^29+28+27+26+2§+23=2024,

所以2024是数歹!|抄(7)“}的第C：「1=329项，即%=329.

在总共C]=330项中，含有2。的项共有C：。个，同理2122,.21°都各有C：。个，所以

S(7)33O=C：O?(202'++210)=210?2047429870,贝I]

SUo)^=S(7%29=S(7)33o一匕(7)330=429870—2032=427838.

题型三：定义新性质

【典例3-1】(2024•云南昆明•一模)若非空集合A与8,存在对应关系力使A中的每一个元素a,B中总

有唯一的元素6与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作力A-B.

设集合4={-5,-3,-1,1,3,5},B={bt,b2,h}"eN*,77V6),且804.设有序四元数集合

P={X|X=(菁,々,毛,匕)田€4且7=1,2,3,4},Q={y|y=(%,%,%,%)}.对于给定的集合3,定义映射了：

Pr。,记为y=〃X),按映射了,若占eB(i=l,2,3,4),则y,=x,+l；若%wB(z=l,2,3,4),贝(]

4

y1=xi■记品(¥)=2%.

Z=1

⑴若3={-5,1},X=(l»-3,-3,5),写出y,并求，(y)；

(2)若8=也也也｝,X=(1,-3,-3,5),求所有邑⑶的总和;

4

⑶对于给定的x=(%,%,&,%),记产打，求所有与(丫)的总和(用含力的式子表示).

Z=1

【解析】⑴由题意知,r=/(X)=/((1,-3,-3,5))=(1+1,-3,-3,5)=(2,-3,-3,5),

所以SB(Y)=2-3-3+5=1.

(2)对1,-3,5是否属于2进行讨论：

①含1的8的个数为C；=10,此时在映射/下，乂=1+1=2；

不含1的2的个数为C；=10,此时在映射/下，y=l；

所以所有丫中2的总个数和1的总个数均为10；

②含5的2的个数为C；=10,此时在映射/•下，”=5+1=6；

不含5的2的个数为C；=10,此时在映射了下，％=5；

所以所有/中6的总个数和5的总个数均为10；

②含一3的8的个数为C；=10,此时在映射/下，%=-3+1=-2,%=-3+1=-2；

不含-3的8的个数为C；=10,此时在映射了下，%=-3,y3=-3；

所以所有y中-2的总个数和-3的总个数均为20.

综上，所有SB(V)的总和为10x(1+2+5+6)+20x(—2—3)=140—100=40.

(3)对于给定的X=&，w，w，X4),考虑占在映射了下的变化.

由于在A的所有非空子集中，含有为的子集B共25个，

所以在映射了下玉变为％=玉+1；

不含X1的子集2共2$-1个，在映射了下/变为％=网；

所以在映射了下得到的所有%的和为25a+1)+(25-1)^=63占+32.

同理，在映射了下得到的所有％(，=2,3,4)的和25(%+1)+05-1加=63%+32.

所以所有其(卜)的总和为63(%+々+$+*4)+32x4=637九+128.

【典例3-2】(2024•广东江门•一模)将2024表示成5个正整数七，々，£,匕，尤$之和，得到方程

占+尤2+三+匕+%=2024①，称五元有序数组(为程王,斗飞)为方程①的解，对于上述的五元有序数组

(x1,x2,x3,x4,x5),当iy<5时，若0^(无|-弓)=«€>1),则称(石,孙£,*七)是，一密集的一组解.

⑴方程①是否存在一组解(冷%,玉,%%)，使得巧+「匕1=1,2,3,4)等于同一常数?若存在，请求出该常数;

若不存在，请说明理由；

(2)方程①的解中共有多少组是1-密集的？

5

（3）记5=±其，问S是否存在最小值?若存在，请求出S的最小值；若不存在，请说明理由.

4=1

【解析】（1）若/「为1=1,2,3,4）等于同一常数，

根据等差数列的定义可得{%}构成等差数列，所以玉+%+退+%+毛=5退=2024,

解得退=20詈24，与wsN*矛盾，

所以不存在一组解（&%2，七，%%5），使得%+1-匕（，=123,4）等于同一常数；

_12024

（2）因为％=g（玉+%2+%3+%4+%5）=---=404.8,

依题意，=1时,即当时，max（x.-x.）=l,

所以max{%}=405,min|x71=404,

设有y个405,则有5-y个404,由405y+404（5-丁）=2024,解得y=4,

所以X],x3,x4,毛中有4个405,1个404,

所以方程①的解共有5组.

_12024

（3）因为平均数%=W（演+9+%+乂+/）=-§=4°4.8,

又方差〃,即5b2=£卜1-,一=£片-5尤2,

3Z=11=14=1

所以S=502+5孩，因为最为常数，所以当方差/取最小值时s取最小值，

又当t=0时%=%=泡=匕=无5，即5占=2024,方程无正整数解，故舍去；

当r=l时，即（%,马,玉,龙4,龙5）是1-密集时，s取得最小值，

且Sms=4x4052+4042=819316.

【变式3-1]（2024•广东•模拟预测）已知集合A中含有三个元素龙,MZ,同时满足①x<y<z；②x+y>z；

③x+y+z为偶数，那么称集合A具有性质尸.已知集合S”={1,2,3,.、2科（九wN*,心4）,对于集合S“的非

空子集B,若S“中存在三个互不相同的元素ddc,使得a+瓦6+c,c+a均属于8,则称集合B是集合院的

“期待子集”.

⑴试判断集合A={1,2,3,5,7,9}是否具有性质尸，并说明理由；

⑵若集合8={3,4,a}具有性质p,证明：集合8是集合S,的“期待子集”；

（3）证明：集合/具有性质P的充要条件是集合M是集合S”的“期待子集”.

【解析】（1）集合A={1,2,3,5,7,9}不具有性质尸，理由如下：

（i）从集合A中任取三个元素x，y，z均为奇数时，x+y+z为奇数，不满足条件③

（ii）从集合A中任取三个元素x，%z有一个为2,另外两个为奇数时，不妨设>=2,x<z,

则有z—xN2,即Z-尤不满足条件②，

综上所述，可得集合A={123,5,7,9}不具有性质P.

(2)证明：由3+4+。是偶数，得实数。是奇数，

当〃<3<4时，由a+3>4,得即〃=2,不合题意，

当3<4<〃时，由3+4>〃，得4v〃v7,即a=5,或〃=6(舍)，

因为3+4+5=12是偶数，所以集合5={3,4,5},

令。+〃=3/+。=4,。+。=5,解得a=2,b=1,c=3,

显然a,b,ceS,={1,2,3,4,5,6,7,8},

所以集合8是集合S」的“期待子集”得证.

(3)证明：

先证充分性：

当集合M是集合S”的“期待子集”时，存在三个互不相同的4瓦。，使得。++c,c+a均属于/,

不妨设a<b<c,令尤=a+6,y-a+c,z=b+c,贝!jx<y<z,即满足条件①，

因为尤+y-z=(a+6)+(a+c)-S+c)=2a>0,所以尤+y>z,即满足条件②，

因为无+y+z=2(a+Z?+c),所以x+y+z为偶数，即满足条件③，

所以当集合又是集合S"的“期待子集”时，集合M具有性质P.

再证必要性：

当集合M具有性质P,则存在x,y,z,同时满足①x<y<z；②x+y>z；③x+y+z为偶数，

令。=叶产一z,6=u产一y,”叶产t,则由条件①得a<6<c,

由条件②得"叶产1=叶尸>。，

由条件③得a，4c均为整数，

imx+y+zz+x-yz+(z-y)-y

因为z-c=z+%--------=------->----------=z-y>0,

222

所以0<〃<b<c<z,且。，瓦。均为整数，

所以〃，"CES”，

因为a+Z?=%,a+c=y,Z?+c=z,

所以a+"〃+c,c+a均属于A1,

所以当集合M具有性质尸时，集合M是集合S”的“期待子集”.

综上所述，集合M是集合Sn的“期待子集”的充要条件是集合M具有性质P.

题型四：定义新背景

【典例4-1】（2024•全国.模拟预测）拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以

抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑.已知平面片=｛（电y）|Vx,yeR｝,定义对

4（与％）,4优，%）,其度量（距离）d（%4）=ry+（%.并称（比力为一度量平

面.设尤（，4沈△）,£CR+,称平面区域8（元0，£）=｛尤©（比"或知x）＜e｝为以毛为心，£为半径的

球形邻域.

（1）试用集合语言描述两个球形邻域的交集；

（2）证明：（£2,中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；

（3）一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集.证明：（£?，力的一个子集是开集当且仅当其可

被表示为若干个球形邻域的并集.

【解析】（1）设这两个球形邻域分别为旦马），坊（孙a）,

。为四和B2的交集.

①若Bi与B2不相交，则用c坊=0；

②若瓦与与相交，则

2

Z）=2]cB?=｛xe（E\d）|d（如x）＜£,Jn|xe^£,d^\d^x2,x）＜1

=卜€（£2,%）＜£],且“孙^）＜£"2｝

故耳c星=0或｛xe（E\4）.（占，x）＜£”且X）＜£2｝-

（2）我们约定集合族是指以集合为元素的集合，其并运算为

加人&表示集合族｛AJ2eA｝的所有集合的并集

回到原题，设这两个球形邻域分别为4（%，弓），B式马,即，。为与和坊的交集.

①若用与B2不相交，则B^B2=0,即。可以看作零个球形邻域的并集；

②若与与当相交，则取Vye4（不£^r＞B2（x2,邑），

令？=向日弓-刈占，y）,£2-d（x2,y）｝,构造球形邻域q（y,£J.

因为对于VzeB）,（y,，有

"（菁，z）Wd（“y）+d（y,z）4d（石,丁）+£,〈%

必芍z）＜d（%2，y）+d（y,z）＜d（%2，y）+sy-

故ze8]（%,£1）r\B2（x2,务），这说明耳卜，£》）口巴（孙^）nB2（%2,s2）=D.

由于y是。中任取的一点，这说明耳卜，£＞）仁用（为，幻心鸟仁，£2）＞

继而。=yeD{-^}—'yeD4，（y，£）口片（与^）nB2（x2,S2）=D

即0=4（%,0）口鸟（々，巧）可被表示为若干个球形邻域4卜，£＞）的并集.

命题得证.

（3）①先证充分性：当（序，力的一个子集可以写为若干球形邻域的并时，其必为开集.

设G=（炉，力，由⑵可知G可看作若干个球形邻域的并集，

即G=；gAB：（x『£■,）

则VxeG,为＞0使得彳64（修£,）=G,故G是开集.充分性证毕.

②再证必要性：若（严，力的一个子集是开集，则其可被表示为若干个球形邻域的并集.

设G是一个开集，由情况①得VxwG,三£＞0'使得天€耳（匕，J）口G,所以

G=上3{%}屋U*eGBi（%，4）UG

即6=%wGB人X『

故G可被表示为若干个球形邻域Bt（如£,）的并集.必要性证毕.

【典例4-2】（2024•安徽芜湖.二模）对称变换在对称数学中具有重要的研究意义.若一个平面图形K在加

（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变

换.例如，正三角形R在叫（绕中心。作120。的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以

「、

123;

叫是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记但=1]2又如，氏在《

（关于对称轴片所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以4也是R的一个对称变

门231

换，类似地，记4=132•记正三角形R的所有对称变换构成集合一个非空集合G对于给定的代

数运算.来说作成一个群，假如同时满足：

I.V（2,Z?GG,abGG、

II.VQ,6,C£G,（ab）c=a[bc）；

III.3eGGfVa£G,Qe=eQ=Q；

IV.X/a^G,3a~leG»aa~x=axa=e-

对于一个群G,称HI中的e为群G的单位元，称W中的/为。在群G中的逆元.一个群G的一个非空子

集〃叫做G的一个子群，假如“对于G的代数运算来说作成一个群.

图1图2

（1）直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）;

（2）同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一,如

1231322132331232

my=.对于集合S中的元素，定义

3123211322311

瓦4

一种新运算*,规则如下:*

C

瓦b24203

{4，%,%}={4也也}={。，。2，。3}={1，2,3}.

①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群;

②已知X是群G的一个子群，e,e'分别是G,X的单位元，aeH,ax"分别是〃在群G,群H中的

逆元.猜想e,e'之间的关系以及a-L屋之间的关系，并给出证明;

③写出群S的所有子群.

123

【解析】（1）依题意，正三角形R的对称变换如下：绕中心。作120。的旋转变换班=

312

23

绕中心。作240°的旋转变换代=

3

123

绕中心。作360°的旋转变换吗=

2

123

关于对称轴片所在直线的反射变换4=

3

23

关于对称轴4所在直线的反射变换1=

22

23

关于对称轴4所在直线的反射变换4=

1

12312312312312323

综上，s=.（形式不唯一）

312231231332113

ci?b1包4%blb24^^2^^3

(2)①I.VeS,*ws；

、CCCcC

bb24\234b2b3q203q3

瓦bbC\C2C3

II.V23eS,

4包4qcic3^^2^^3

q4bbCaaCCC

%%23G2x2*\23

b

424qC2C34d24d3

%%b

a2ax出a3*瓦24*q

b

4d2d3424qC2q4

qbbq

a2。3*瓦23%a3

bb

4234d2d34d2d3

bb

axbI23qC2。3axb2b3

所以****

4&4qC2q4^<2^^34b?4qdy(^2^^3

123q%a3

in.3G5,VGS

2Ab2b3

%“2a3axa2。3*仇仇4

bb

%瓦4424bib24d3

qb1b2b3123123

而,所以e=

bb

ax瓦2312123

4

IV.VeS,3eS,

a3

a42

3*b24*

4瓦4ax4b2b3

综上可知，集合S对于给定的新运算*来说能作成一个群.

②e=d,a一1=",证明如下:

先证明eef：由于H是G的子群，取awH,则QEG,

根据群的定义，有。e=a,ae'=a,所以ae=ad,

所以I(ae)=ax(ad),即(。一］a)e=a)d

即ee=ee',所以e=d.

再证明Q-I="：由于e=d,e=a~la，er=ara,

所以Q-a=aa,所以。］aQT)=〃，(aa，,

所以e=a'e,所以。一1=a•

③S的所有子群如下:

2323123

22313

12323123123

H3=