北师大版八年级数学上册 第7章 平行线的证明 （单元基础卷）（含详解）

第7章《平行线的证明》（单元基础卷）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列结论是正确的是（）

A.全等三角形的对应角相等B.对应角相等的两个三角形全等

C.有两条边和一角对应相等的两个三角形全等D.相等的两个角是对顶角

C.Z3+Z4=180°D.Z2=30°,Z4=35

4.如图，在4tBe中，。、£、厂分别在48、BC.AC±,且EF尸48,要使。9户

BC,只需再有下列条件中的（）即可.

A.Z1=Z2B.Z1=ADFEC.Z1=ZAFDD.Z2=ZAFD

5.以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a,b互相平行的

是（）

A.如图1,展开后测得N1=N2

B.如图2,展开后测得N1=N2且N3=N4

C.如图3,测得N1=N2

D.如图4,展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为0,测得0A=0B,0C=0D

6.在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下

四种辅助线，其中不能证明"三角形内角和是180。”的是（）

7.如图，在V/3C中，和的平分线相交于点尸，过点尸作。EII3C,

交4B于点。，交/C于点E,若BD=3,DE=5,则线段EC的长为

（）

A

A.3B.2C.4D.2.5

8.用三个不等式。>6,ab>Q,（〈方中的两个不等式作为题设，余下的一个不等

式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

9.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70。方向的M处，它以每小时40海里

的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40。的N处，则N处

与灯塔P的距离为

A.40海里B.60海里C.70海里D.80海里

10.如图，AABC中，ZACB=90°,沿CD折叠ACBD,使点B恰好落在AC边上

的点E处.若NA=22。，则NBDC等于（）

A.44°B.60°C.67°D.77°

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.如图，直线a、b被直线c所截，若满足，则a、b平行.

12.如图，若N1=N3,DE//OB,则N1与N2的关系是

13.如图，直线a〃b,Zl=110°,Z2=55°,则N3的度数为

14.如图AB〃CD,CE交AB于点A,ADLAC于点A,若Nl=48°,则N2=

15.已知//是锐角，在计算+的值时，小明的结果是20°,小丽的结果

O

是30。，小芳的结果是35。，小静的结果是40°,他们四人的结果有一个是正

确的，那么的结果是正确的.

16.AABC与VHBC关于直线1对称，则NB的度数为.

5。、

!/\飞

C\C-

17.如图，在V/BC中，点。是8C上的点，ABAD=ZABC=40°,将AABD沿着4D

翻折得到则NCDE=______°.

18.如图，已知48//CD,BE平分NABC,DE平分ZADC,ABAD=70°,

/BCD=40°,则NBED的度数为______.

BA

DC

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

19.（8分）如图，AB=CB,BE=BFZ1=Z2,求证：AE=CF.

卜）；

）

V\\//

X

Ali（：

20.（8分）如图，AC和BD相交于点0,OA=OC,0B=0D,求证：DC//AB

DC

O

AB

21.（10分）如图，直线E尸分别与直线4B,CD交于点E,F.EM平分ZBEF,

FN平分/CFE,aEM〃FN.求证：AB//CD.

22.（10分）如图，已知AB〃CF,D是AB上一点，DF交AC于点E,若AB=

BD+CF.

求证：△ADEgaCFE.

23.（10分）如图，点A,D,C,F在同一条直线上，AB=DE,BC=EF.有下列

三个条件：①AC=DF,②NABC=NDEF,③NACB=NDFE.

（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABCgADEF.你选取的条件

为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定AABC24DEF

的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；

（2）利用（1）的结论aABC^4DEF.求证：AB〃DE.

24.（12分）阅读下面内容，并解答问题.

探索三角形的内(外)角平分线形成的角的规律

在三角形中，由三角形的内角平分线、外角平分线所形成的角存在一定的规

律，如果能理解并掌握其中的规律，对解决相关的问题会起到事半功倍的效果.

规律1：三角形的两个内角的角平分线形成的角等于90。加上第三个内角度

数的一半.

规律2：三角形的两个外角的角平分线形成的角等于90。减去与这两个外角

不相邻的内角度数的一半.

如图，已知点P是V/8C的内角平分线3P与C尸的交点，点又是V/8C的外角

ZP=90°+-ZAZA/=9O°--ZT4

平分线与CM的交点.则2,2.

证明：规律1,.「BP,。尸是V/BC的角平分线,

Z1=-ZABCZ2=-ZACB

2,2

.ZL4=18O°-2(Z1+Z2)

Nl+N2=90°-!//

2

ZP=180°-(Zl+Z2)=90°+1z^

Z3=-(ZA+ZACB)Z4=-(ZA+ZABC}

规律2,•；2、，2、)

…"+%=9。。+%

.ZM=180°-(Z3+Z4)=90°-1ZT1

请解决以下问题:

(1)写出上述证明过程中依据的一个定理:

(2)如图，已知点。是V/8C的内角平分线与V/8C的外角平分线的

交点，试探究N。和-4的数量关系？并说明理由.

参考答案

、单选题

1.A

【分析】根据全等三角形的判定和性质以及对顶角的性质判定即可.

解：A、全等三角形的性质是全等三角形的对应角相等，正确；

8、对应角相等的两个三角形相似，不一定全等，故错误；

C、当两个三角形中两条边及一角对应相等时，其中如果这组角是两边的夹

角时两三角形全等，如果不是这两边的夹角的时候不一定全等，故错误；

。、相等的角不一定是对顶角，故错误.

故选：A.

2.C

【分析】先将每个图形补充成三角形，再利用三角形的外角性质逐项判断即

得答案.

解:A、如图1,N1是锐角，且Nl=e+4,所以此图说明“锐角锐角夕

的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；

B、如图2,N2是锐角，且N2=a+〃，所以此图说明“锐角a,锐角/的和

是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；

C、如图3,N3是钝角，且/3=。+夕，所以此图说明“锐角a,锐角夕的和

是锐角”是假命题，故本选项符合题意；

D、如图4,N4是锐角，且N4=a+/，所以此图说明“锐角锐角夕的和

是锐角”是真命题，故本选项不符合题意.

故选：C.

3.B

解：VZ1=Z4

，a〃b（同位角相等，两直线平行），

故选：B.

4.B

解：VEF^AB

/.Z1=Z2（两直线平行，同位角相等）

VZ1=ZDFE

Z2=ZDFE（等量代换）

/.DF^BC（内错角相等，两直线平行）

所以只需满足下列条件中的N1=NDFE

故选B.

5.C

解：A.Z1=Z2,根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确，不符合

题意；

B.：N1=N2且N3=N4,由图可知Nl+N2=180°,Z3+Z4=180°,

.\Z1=Z2=Z3=Z4=9O°,

：.a//b（内错角相等，两直线平行），故正确，不符合题意；

C.测得N1=N2,

VZ1与N2即不是内错角也不是同位角，

二不一定能判定两直线平行，故错误，符合题意；

D.在△AOB和△COD中，

OA=OB

«ZAOB=ZCOD

OC=OD

、9

：.△AOB/△COD,

/.Z0AC=ZDB0,

，a〃b（内错角相等，两直线平行），故正确，不符合题意.

故选C.

6.C

【分析】根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断

即可.

解：：“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的

即，作后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180。的

证明方法不正确，

故选：C.

7.B

【分析】题干要求线段EC的长，根据//BC和的平分线相交于点尸,

且DEll3c得到BD=DF,EF=EC,从而进行分析即可求解.

解：已知//8C和//C8的平分线相交于点F,可得

ZDBF=ZFBC,ZECF=ZFCB,

又DEII3c可得

/DBF=ZFBC=ZDFB,ZECF=ZFCB=ZEFC

即有BD=DF,EF=EC,

由3。=3,。£=5可得

EC=EF=DE-DF=5-3=2.

故选B.

8.D

【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可.

解:命题①，如果。>仇。6>0,那么:<1.

'：a>b,：.a-b>0,,/ab>0,.•.审>0,整理得：>工，.••该命题是真命

abba

题.

命题②，如果。那么湖>0.

ab

..11.11b-a,・入,,

•——<一,・・---<0A,------<0..a>b..・/?一〃<(A),・.ab>0n.

ababab

二.该命题为真命题.

命题③，如果<7，那么。>6.

ab

*.*—<—,-<0,--—<0.*.*ab>0,b—a<0,:•b<a

ababab

.,.该命题为真命题.

故，选D

9.D

【分析】依题意，知MN=40海里/小时又2小时=80海里，

解：：根据方向角的意义和平行的性质，ZM=70°,ZN=40°

,根据三角形内角和定理得NMPN=70。./.ZM=ZMPN=70°.

/.NP=NM=80（海里）.

故选D.

10.C

解：ZXABC中，ZACB=90°,ZA=22°,

.\ZB=90°-ZA=68°.

由折叠的性质可得：ZCED=ZB=68°,ZBDC=ZEDC,

/.ZADE=ZCED-ZA=46°.

故选C.

二、填空题

11.N1=N2或N3=N2或N3+N4=180°

解：以此为例），

.'.a//b（同位角相等两直线平行），

故答案为N1=N2.

12.相等

【分析】根据平行线的判定和性质证明即可.

解：VDE/70B,

/.N2=/3,

VZ1=Z3,

/.Z1=Z2.

故答案为：相等

13.55°

解：本题考查平行线的性质，属于几何初步知识.识别N2与NCDF是内错

角，进而根据两直线平行，同旁内角互补、内错角相等发现它们之间的数量关系

是解题关键.由a〃b,得N3+N2=N1,所以N3=n0°-55°=55°.

14.42°

解：先根据平行线的性质求得NC的度数，再根据三角形的内角和定理求解

即可.

：AB〃CD,Zl=48°

.\ZC=Z1=48°

VADXAC

.\Z2=180°-90°-48°=42°.

15.小明

【分析】根据0°<ZA<90°,得出0°<|z^+10°<25°即可得出答

6

案.

解：是锐角，

/.0°<ZA<90°,

/.0°<-Z^+10°<25°,

6

四人的结果只有小明的结果是正确的.

故答案为小明.

16.105°

【分析】根据轴对称的性质，轴对称图形全等，则

/4=4,NB=NB：NC=",再根据三角形内角和定理即可求得

解：；AABC与V/®。关于直线1对称

:.AABC^AA'B'C

ZA=A',ZB=ZB',ZC=ZC

:.ZC=ZC'=30°

/A=45°

...N8=180°-45°-30°=105°

故答案为：105°

17.20

【分析】根据三角形内角和和翻折的性质解答即可.

解：•••NA4Z)=NABC=40。，将AABO沿着/。翻折得到AAEZ),

NADC=40°+40°=80°,ZADE=ZADB=180°-40°-40°=100°,

ZCDE=100°-80°=20°,

故答案为20

18.55°

【分析】先根据角平分线的定义，得出NABE=NCBE=g/ABC,ZADE=Z

CDE=yZADC,再根据三角形内角和定理，推理得出NBAD+NBCD=2NE,进而

求得NE的度数.

解：：BE平分NABC,DE平分NADC,

ZABE=ZCBE=yZABC,ZADE=ZCDE=yZADC,

,?ZABE+ZBAD=ZE+ZADE,ZBCD+ZCDE=ZE+ZCBE,

/.ZABE+ZBAD+ZBCD+ZCDE=ZE+ZADE+ZE+ZCBE,

/.ZBAD+ZBCD=2ZE,

VZBAD=70°,ZBCD=40°,

/.ZE=y(ZBAD+ZBCD)=~(70°+40°)=55°.

故答案为:55°.

三、解答题

19.

解：证明：VZ1=Z2(已知)，

/.Zl+ZFBE=Z2+ZFBE(等式的性质)，

即ZABE=NCBF.

在NABE和ACBF中，

AB=C3（已知），

<ZABE=/C8/（已证），

8£=8尸（已知），

AABE乌ACBF（SAS）.

/.AE=CF（全等三角形的对应边相等）.

20.

解：*/OA=OC,ZAOB=ZCOD,OB=OD,

/.AAOB^ACOD（SAS）.

/.ZA=ZC.

：.AB〃CD.

21.

解：・；EM平分ZBEF,FN平分NCFE

AMEF=-NBEF,ZNFE=-