空间向量及空间位置关系讲义-2025届高三数学一轮复习

2025届高考数学一轮复习讲义立体几何与空间

向量之空间向量及空间位置关系

一'知识点讲解及规律方法结论总结

i.空间向量的三个定理

共线向量

'一对空间任意两个向量a,b（bWO）,“〃族瘠在A,GR,使①a=kb.

定理

共面向若两个向量a，5②不共线，则向量p与向量a,，共面u存在唯二的有序

量定理实数对（x,y）,使③O=xa+yb.

如果=不向量a,5，c不共面，那么对任意二个空间向量p,存在唯一的有

…序实数组（尤，y，z）,使得p=@xa+yb+zc,{a,b,c}叫做空间的一

空间向量

个基底.

基本定理

注意（1）空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.

（2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.

规律总结

应用共线（面）向量定理证明点共线（面）的方法

2.空间向量的坐标运算

设。=（ai，ai，々3），b=（bi，bi,63），则

（1）〃土）=（防±仇，〃2±岳，。3±万3）；

（2）九。=（九的，九〃2，筋3）（九£R）；

(3)=@〃协1+。2。2+。3。3；

(4)a//b^a=Xb(8W0)〃=肪1，〃2=肪2，3=肪3(=£R)

(5)仍=0u©+0262+4303=°；

(6)IaI=7aa=|研+境+诋;

--a

(7)cos<a,ab_a1fo1+a2^2l3^3

1allftI荷+.+吟荷+g+必

规律总结

空间两点间的距离及中点坐标公式

设点A（xi,yi,zi）,B（X2,y2,Z2）是空间中两点，则

、/~2~22

(1)AC=⑧J(，］一也)+("一竺)+(Z：—z?):

(2)线段A8的中点坐标为(然这，左J,夸).

3.直线的方向向量和平面的法向量

女谟表示非零向量«的曲残段所在直gWI平行或重茶贝I标向

直线的方向向量

量。为直线/的方向向量.

直线—a,取直殡I的方词量m项向量a叫做平面a的法向量.一个

平面的法向量

平面的法向量有无数个，它们是共线向量.

思维拓展

确定平面法向量的方法

(1)直接法：观察是否有垂直于平面的直线，若有，则此直线的方向向量就是平面的法向

量.

(2)待定系数法：建立空间直角坐标系，找出(求出)平面内的两个不共线的向量，如

a—(tzi,a2,的)，b=(仇，历，①)，设平面的法向量为"=(x,y,z),则

T?'Cl—0

-'解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量.

{nb=0,

注意n=(0,0,0)不能作为法向量.

方法技巧

向量的叉乘运算得出的是与。，方垂直的向量，所以可以利用叉乘计算平面的法向

量，运算法则如下：

i,j,4分别表示％,y,z轴正方向的单位向量，a=(xi,yi,zi),b=(忿，”，Z2),则

ijk

aXb=jqy1Zi=(yiZ2-y2Zi)i~(X1Z2—X2Z1)j+(xim—X2_yi)k=(%Z2—"zi,

%272Z?

—XIZ2+X2ZI,%1丁2一X2%).

4.空间位置关系的向量表示

位置关系向重表示

直线/1，/2的方向向量分别为lx//h〃1〃〃2田1=九%2（入£R,入WO）

ni，几2./1-L/2J_〃2=l〃2=0

直线/的方向向量为"，平面I//a"•〃=（）

a的法向量为m./_Lan//m<^n=Xm（入£R,入WO）

a//pn//（九£R,九WO）

平面a,P的法向量分别为

a±P_L/n<=®mn=O

二'基础题练习

1.下列说法正确的是(C)

A.直线的方向向量是唯一确定的

B.若直线a的方向向量和平面a的法向量平行，则。〃a

C.若两平面的法向量平行，则两平面平行

D.若直线a的方向向量与平面a的法向量垂直，则a〃a

2.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则下列向量是平面ABC的一个法

向量的是(C)

A.(-1,1,1)B.(1,-1,1)

D.(-,—,

333

3.在空间直角坐标系中A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),。(尤,

y,z)(x,y,zGR)若A,B,C,。四点共面，贝I］(A)

A.2x+y+z=lB.x+y+z=0C.x—y+z=-4D.x+y—z=0

4.已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60。夹角的是(B)

A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)

5.［教材改编］己知"=(3,a+b,a-b)(a,bGR)是直线/的方向向量，〃=(1,2,

3)是平面a的法向量.若/〃a,则。与b的关系式为5a—6+3=0；若/La,则a+6=

6.

解析由题意可知，若/〃a,则“•〃=(),即3+2(a+6)+3(a—b)=0,整理得5a—b

+3=0.

若/_La,则存在实数九，使得"=坂，即(3,a+b,a~b)=九(1,2,3),则

3=4,仅=3,

15

a+b=2A,解得彳。=万，则a+Z?=6.

a~b=3A,\b=—|,

三'知识点例题讲解及方法技巧总结

命题点1空间向量的基本定理

例1(1)已知空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,且有存=x6<+y砺+z而

(x,y,zGR),则x=2,y=—3,z=2是P,A,B,C四点共面的(A)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

解析由题可知，要使尸，A,B,C四点共面，则需x+y+z=l.当尤=2,y——3,z=2时

满足条件，所以x=2,>=—3,z=2是尸，A,B,C四点共面的充分条件；反之，当四点

共面时，只要x+y+z=l即可，不一定要取x=2,y=~3,z=2,所以x=2,y=~3,z

=2不是尸，A,B,C四点共面的必要条件.故x=2,y=—3,z=2是尸，A,B,C四点共

面的充分不必要条件.

（2）在平行六面体ABC。一AiBiCid中，M为AiG与BA的交点，若荏=eAD=b,

AA［=c,则下列向量中与两相等的向量是（B）

A.-a+-ft+cB.——-a-\--b-\-c

2222

C.--a--/>+cD.-a--Z>+c

2222

解析如图，在平行六面体ABC。一AiSCid中，〃为4G与Bid的交nc

A

点，故不而=之（4血+&。;）=1+|瓦故丽=瓦?+珂+可标='u\r

—ABAA1-\--a-\--b=-a+c+工a+~=--a+-Z>+c,故选B.'

方法技巧

1.证明空间四点共面的方法

（1）利用共线向量定理；（2）利用共面向量定理.

2.空间基底的要求是不共面的三个向量.

训练1［多选］如图，在四面体E48c中，以下说法正确的有（ABC）人

A.若而=:照+|同，则阮=3而/\

B.若。为△ABC的重心，则而三通+上丽+2玩\

C.若PZ丽=0,PC-AB^O,则丽.衣=0"

D.若四面体PA2C各棱长都为2,M,N分别为PA,8C的中点，则I而I=1

角星析对于A,<而=］而+|荏，：.3AD=AC+2AB,：.2AD~2AB=AC-AD,：.2BD

=~DC,则3丽=丽+反=阮，即3丽=就，故A正确；

对于B,:。为AABC的重心，则而+设=0,：.3PQ+QA+QB+QC=3PQ,

：.(.PQ+QA')+(PQ+QB)+(,PQ+QC)=3而，则或+而+丽=3而，即而=

-~PA+-PB+-~PC,故B正确；

333

对于C,若P1就=0,PCAB=0f则瓦1就+而•乐=0,：・前前+同.(AC+CB)=

0,：.PA-BC+PC-AC+PC-CB=O,即.尻+而米—玩丽=0,；.(.PA~PC')-BC+

PC-AC^O,：.CA-BC+PCAC^0,则前•方+而•前=0,：.AC-(,PC+CB)=0,即

ACPB=0,故C正确；

对于D,连接PN,VM/V=P]V-PM=|(PB+PC)(.PB+PC-PA'),

INBPCPAI=-IPAPBPCI,

:.\J\=-2\J+2---

又IPA-PB-PCI2=PA2+7B2+PC2~2PA-'PB-2PA-PC+2PC-'PB=22+22-+22-

2X2X2X|-2X2X2X|+2X2X2X|=8,IMWI=V2,故D错误.故选ABC.

命题点2空间向量的坐标运算

例2(1)若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且(c—a)•

(2b)=~2,则x=2,

解析c—a=(0,0,1—x),(c—a)•(2b)=(0,0,1—x)-2(1,2,1)=2(1—

x)=-2,解得了=2.

(2)如图，已知直三棱柱ABC—AiSG中，CA=CB=1,N5c4=90。，棱c

AAi=2,N是4A的中点，贝II丽I=V3,cos<西，西>=_

瓢N园

解析如图，以C为原点，CA,CB,的方向分别为尤，y,Z轴正方向建

立空间直角坐标系Cxyz.依题意得8(0,1,0),TV(1,0,1).

/.IBNI=J(1-0)+(0-1)+(1-0)=V3.

依题意得Ai(1,0,2),C(0,0,0),Bi(0,1,2).

.,.西=(1,-1,2),鬲=(0,1,2),

.•.瓦;西=3,I西I=V6,I函I二遮

V30

cos<Fi4,CB>=

1rIBAIII西I10’

方法技巧

空间向量的概念以及空间向量的加、减、数乘、数量积运算及其坐标表示是平面向量的类

比推广.

训练2(1)［多选］已知空间向量a=(2,-2,1),b=(3,0,4),则下列说法正确

的是(BC)

A.向量c=(-8,5,6)与a,分垂直

B.向量d=(1,—4,—2)与a,6共面

C.若。与方分别是异面直线"与/2的方向向量，则A与/2所成的角的余弦值为:

D.向量。在向量入上的投影向量为(6,0,8)

解析对于A选项，ac=-16—10+6W0,bc=124+24=0,故c与〃不垂直，A错;

对于B选项，设〃=机。+〃瓦则加(2,-2,1)+n(3,0,4)=(1,-4,—2),

2m+3n=1,，

I272,=2

—2m——4,解得，即2〃一b=d,B对；

(m+4n=-2,

对于C选项，因为cos<a,b>=—^—=~=l，

所以异面直线/1与/2所成的角的余弦值为I，C对；

对于D选项，向量〃在向量力上的投影向量IaIcosVa,b>--^—=3X-X-(3,0,4)

IbI35

=与P，D错.

故选BC.

(2)已知ei，&是空间单位向量，幻《=》.若空间向量力满足方0=2，万氏=|，且对于任

意x,y£R，Ib~(xei+y«2)I2Ib-(%oei+yoe2)I=1(沏，yo£R)，贝!Ixo=—

1__,yp~2?IbI-2V2

解析由题意可令)=x()ei+yoe2+e3,其中I5I=1,e3±ez,Z=l,2.

(%。+也=2,(_i

由"ei=2得xo+也=2,由Zre2=§得包+yo=9,由2弓解得一'

222,2修+%=|，Uo=2,

2

贝4/>=61+2^+«3,IbI=J(et+2e2+e3)=2y/2.

命题点3利用向量法证明平行与垂直问题

例3[2021浙江高考]如图，已知正方体如iCiDi，M,N分别

是A。，的中点，则(A)

A.直线A。与直线垂直，直线MN〃平面48C。

B.直线4。与直线平行，直线MN_L平面BDABi

C.直线与直线DI相交，直线〃平面ABC。

D.直线4。与直线异面，直线MN_L平面

解析解法一以点。为坐标原点，DA,DC,。口所在直线分别为无轴、y轴、z轴，

DA,DC,西的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.设AB=2,则4

(2,0,2),。(0,0,0),Di(0,0,2),B(2,2,0),所以/(1,0,1),N

(1,1,1),所以布=(-2,0,-2),取=(2,2,-2),MN=(0,1,0),

所以硕・瓦豆=-4+0+4=0,所以4£>_L£)iA又由题图易知直线4。与是异面直

线，所以4。与瓦)1异面且垂直，故B,C不正确.因为平面ABCD的一个法向量为"=

(0,0,1),所以而•〃=(),所以MN〃平面ABCD,故A正确.设直线与平面

BDABi所成的角为0,因为平面瓦)。出1的一个法向量为a=(-1,1,0),所以sin©

=Icos<丽，a>I=,-^W'al,=^==—,所以直线MN与平面BDD向不垂直，故D

IMNI-IaIV22

不正确.故选A.

解法二连接AOi,则易得点M■在AOi上，且因为AB_L平面AAi。。，所以

AB±AiD,又A8nAZ)i=A,所以AiD_L平面A8D1,所以4。与8。异面且垂直，故B,

C不正确.在△ABDi中，由中位线定理可得MN〃AB,又MNC平面ABC。，ABU平面

ABCD,所以MN〃平面A8CD,故A正确.易知直线与平面台田口。成45°角，所以A/N

与平面不垂直，故D不正确.故选A.

方法技巧

1.利用空间向量证明平行问题的方法

线线平行证明两条直线的方向向量共线.

(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；

线面平行(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；

(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示.

_(1)证明两个平面的法向量平行;

面面平行

(2)转化为线线平行、线面平行问题.

2.利用空间向量证明垂直问题的方法

线线垂直证明两直线的方向向量垂直，即证它们的数量积为零.

(1)证明直线的方向向量与平面的法向量共线；

线面垂直

(2)证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量都垂直.

(1)其中一个平面与另一个平面的法向量平行；

面面垂直

(2)两个平面的法向量垂直.

注意用向量法证明平行与垂直问题时，要注意解题的规范性.如证明线面平行时，需要说

明一条直线在平面内，另一条直线在平面外.

训练3如图，在矩形ABC。中，AB=2BC,P,。分别为线段AB,CD

的中点，EPmABCD.

求证：(1)4。〃平面CEP；

(2)平面AEQ_L平面。EP.

解析(1)如图，连接P。，因为四边形48CZ)为矩形，且P,。分别

为线段AB,的中点,则PQ±AB.

易知PA,PQ,PE两两垂直，以P为坐标原点，分别以PA,PQ,PE

所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设AB=2,PE=a,则尸(0,0,0),A(1,0,0),Q(0,1,0),

(-1,1,0),D(1,1,0).

所以标=(-1,1,0),PC=(-1,1,0),所以而〃而，即AQ〃尸C.(证明平面夕卜

直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行)

又AQC平面CEP,PCU平面CEP,(注意说明前提条件)

所以AQ〃平面CEP.

(2)由(1)知丽=(1,1,0),即=(0,0,O),

因为而•丽=(-1,1,0)-(1,1,0)=-1+1=0,所以而_L而，即AQ_LPD

因为而•丽=(-1,1,0)-(0,0,a)=0,所以而_L而，即AQ_LPE(证明直线方向

向量与平面内两条相交直线的方向向量都垂直)

入PDCPE=P,PE,PDU平面DEP,所以平面

又AQu平面AEQ,(注意说明前提条件)

所以平面平面DEP.

四'命题点习题讲解

1.［命题点1/2024北京市陈经纶中学模拟］在正方体

中，点E为上底面4G的中心，若族=WR+x屈+y而，贝。尤=_

I,尸上］为一…口

解析如图，在正方体ABC。一AiBiCid中，因为点E为上底面4G的

中心，所以砧=：(&B；+&£»；)=|(荏+而)，故荏=

AAi+A^E=AAi+^AB+^AD,

因为荏=丽＞+x通+＞同，

-1

所以x=y=一.

2.［命题点1,2］已知向量。=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,九)，若

a,b,c三向量共面，则实数九=蔡.

解析因为a,b,c共面，所以设〃=H+yc,故(2,—1,3)=x(―1,4,—2)+

—X+7y=2,

4x+5y=—1,解得九=当.

{一2x+Ay=3,

3.［命题点3］如图，在四面体A—3CQ中，AD_L平面BCD,BC±CD,A

AD=2,BD=242,M是AO的中点，P是的中点，点。在线段ACM

上，且AQ=3QC.求证：PQ〃平面BCD

解析如图，以C为原点，CD,9的方向分别为X轴、y轴正方向，过点C作底面8。

的垂线为z轴，建立空

间直角坐标系，则AZ)〃z轴.

设C£)=a,因为尸为的中点，AQ=30C,

所以。(67,0,0),A(,a,0,2),Af(a,0,1),B(0,

Js-a2,0),P(|,j),Q(%0,j),所以而=(一：,0).

又平面8c。的一个法向量”=(0,0,1),

所以JPQT=0,

又尸。0平面BCD,所以尸。〃平面BCD

五'习题实战演练

1.以下各选项中的三个向量，不能构成空间基底的是(A)

Aa=(1，0(0),b=(。，2,0),c=J,一也0)

B.a=(1,0,0),b—(0,1,0)，c—(0,0,2)

C.a=(1,0,1)b=(0,1,1),c=(2,1,2)

D.a=(1,111)b=(0,1,0)，c=(1,0,2)

解析若空间三个向量a,b,c能构成空间的一个基底，则向量a,b,c不共面，对于选

项A,因为a=(1,0,0)b=(0,2,0),c=-V2,0),则c畛i一争),即

向量a,b,c共面，故选项A中的三个向量不能构成空间基底.选项B,C,D中的三个向

量均不共面，即都能构成空间基底.

2.已知直线/i的一个方向向量”=(2,4,无)，直线，2的一个方向向量5=(2,»2),

若IaI=6,且/」氏贝Ux+y的值是(A)

A.-3或1B.3或一1

C.-3D.1

解析:\a\=/22+42+x2=6,/.x=±4.VZi±；2,••aLb,.\a-b=2X2+4y+2x=

0,.•・丁=一1一|人..,.当％=4时，y=-3;当工=-4时，y=l..・.x+y=-3或x+y=l.

3.已知a=(1,2,—y),b=(x,1,2),且(〃+2万)//(2〃一万)，贝］(B)

AA.x=-1,y=l1B.x=1,y=~4

3J

I

C.x=2,y=—=

4D.x=l,y~l

解析由题意知，a+2》=(2x+1,4,4—y),2a—b=(2—x,3,—2y—2).;(a+

2b)//(2a—b),工存在实数九，使a+25=入(2〃一力),

(4

f2x+1=A(2~x),久=丁

・“4=34,解得

(4—y=2(—2y—2),卜=一生

4.［多选Z2024广东佛山一中校考］下列关于空间向量的命题中，正确的有(BD)

A.直线/的一个方向向量是。=(0,3,0),平面a的一个法向量是"=(0,—5,0),

则l//a

B.若a,b,c可构成空间的一个基底，则向量a+"b+c,c+a也可构成空间的一个基底

C.若非零向量a,b,c满足bLc,贝惰。〃c

D.若瓦5,OB,方可构成空间的一个基底，且而=:瓦?而+］瓦，则A,B,C,。四

点共面

解析对于A,直线/的一个方向向量为a=(0,3,0),平面a的一个法向量是“=

(0,15,0),此时a=1-w,所以/_La,故A错误；

对于B,因为a,b,c可构成空间的一个基底，所以对于空间中的任意一个向量机，存在

唯一的有序实数组(x,y,z),使得ni=M+yb+zc="+；"(〃+方)+-+^(方+c)

+—|~~-(a+c),由空间向量的基本定理可知，向量a+方，b-\-c,c+a也可构成空间的

一个基底，故B正确；

对于C,若非零向量a,b,c满足〃_Lb,bLc,则〃与c关系不定，有可能平行，故C错

、口

沃；

对于D，若函，OB,方可构成空间的一个基底，且适=:市+:画+1方，1+1+1-

1,易知A,B,C,。四点共面，故D正确.故选BD.

5.［2024浙江台州模拟］如图，三棱锥尸一A8C中，PA_L平面ABC,

ABYBC,且AB=BC=2,AP=a.若。是棱PC上的点，满足尸£)=/C,

且则a=立.

解析因为PA_L平面ABC,AB,BCU平面ABC,所以

PA±BC,又A8_LBC,故PA,AB,BC两两垂直，以A为坐标原点，

AB,A尸所在直线分别为y轴，z轴，平行于8C的直线为x轴，建立如

图所示的空间直角坐标系，故A(0,0,0),8(0,2,0),C(2,

2,0),P(0,0,a),因为PD=^PC,所以。(|,|,|a),因为

AD±PB,所以诟.而=(|,|,|a)-(0,2,-a)=|-|a2=0,解得

6.［2024辽宁省部分名校联考］已知正方体ABC。一4出CQ的棱长为2,P是空间内的动

点，且I而+西I=2遍，则万•丽的最大值为(B)

1

A.-8B.-4+2V6C.-D.1

3

解析如图，连接取8。的中点M,连接PM,则而+西=

2PM,贝4I而+西I=I2PMI=2W，Fp|PM|=旧，故动点P

的轨迹为以"为球心，遍为半径的球.由正方体ABC。一AiSGA的棱

长为2,可知正方体A8CD—AiBiGDi外接球的半径为百，故动点P的

轨迹为正方体ABCD-AiBiCiDi的外接球.

取AB的中点N,连接PN,MN,则衣•而=一(R/V+AM)•(西+近)

NA)■(丽一福)=福2一两2=1_丽2.

2

由题可知，IMNI=V2,则旧一或WIPNI^V3+V2,5-2V6^I丽IW5+2逐,

贝4一4一2^—丽2.—4+2访

所以而•丽的最大值为一4+2遇，故选B.

7.［多选/2024浙江联考］如图，在正方体ABC。-45GO中，A4i=2,

点跖N分别在棱AB和上运动(不含端点)，若。则下列

命题正确的是(AD)

A.WXAiA/

B.MN_L平面DrMC

C.线段BN长度的最大值为1

D.三棱锥A—ACiM体积不变

解析如图，以。为坐标原点，DA,DC,DA所在直线分别为无轴，y

轴，z轴，建立空间直角坐标系，则4(2,0,2),Di(0,0,2),

设M(2,。，0),N(2,2,b),a,bQ(0,2),则^^=(2,

a,-2),而=(0,2~a,b),叉DiM上MN,所以瓦行•而=a(2

—a)~2b=Q,得b=a〈2-a).

-2),所以而小丽=a(2-o)-26=0,故AJW_LMN,故A

对于A,A1M=(0,a,

正确;

对于B,C(0,2,0),MC=(-2,2~a,0),M1V-MC=(2—a)VO,所以MN与

MC不垂直，则MN不垂直于平面DiMC,故B错误;

对于C,B(2,2,0),IBNI=b=-~-=~|(a-1)2+|,aG(0,2),所以当

a=l时，IBNI取得最大值点故C错误；

对于D,1M=%_41c也=2xs&cmXAALEXTXZXZXZM%故D正确.故选

AD.

8.［多选/2024广东清远模拟］如图，正方体ABCO—AiBiGA的棱长为

2,点。为底面ABCD的中心，点尸为侧面BSC1C内(不含边界)的

动点，则(AC)

A.DiOXAC

B.存在点P使得。1。〃5尸

C.三棱锥A—OOP的体积为1

D.若DrO±PO,则GP的最小值为:

解析以点。为坐标原点，DA,DC,。。所在直线分别为无轴，y

轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,

2,0),。(0,0,0),Di(0,0,2),Bi(2,2,2),Q(0,2,

2),O(1,1,0),设点尸(x,2,z),其中0<x<2,0<z<2.

对于A选项，於=(-2,2,0),取=(1,1,-2),则前•帝=-2+2=0,所以

DiOLAC,故A正确;

对于B选项，帝=(x—2,0,z-2),瓦5=(1,1,-2),若3尸〃A。，则一=?

=—,解得x=z=2,不符合题意，所以不存在点P,使得&P〃/J。，故B错误；

~2

对于C选项，S口4DDI=：X22=2,点尸到平面AOD1的距离为2,所以匕_DDJ=/_4D%=

-X2X2=i,故C正确；

33

对于D选项，G—1,1,Z),若£>1O_LPO,则瓦5•而=_x-l+l-2z=_r—2z=0,

可得x=2z,

,(0<z<2,

由可得OVzVl,

(0<2z<2,

所以GP=Jx2+(2~2)2+(z~2)2=J5z2—4z+4=15(z-|)，，力卓,当且

仅当z=|时取等号，故D错误.故选AC.

9.如图，己知平行六面体ABCD—AiSGP中，底面ABC£>是边长为1,

)_____c,

的正方形，A4i=2,ZAiAB=ZAiAD=120°.《\3c

(1)求线段AG的长；V-AA\

(2)求异面直线AG与AQ所成角的余弦值；取::。

4k--------R

(3)求证：AAiA-BD.

解析(1)设丽=a,AD=b,AA1=c,这三个向量不共面，｛a,b,c｝构成空间的一个

基底，贝"I〃I=I8I=1,IcI=2,ab=b,oa=cS=2XlXcos120。=—1.因为ZC；=

=

AC~\~CCi=AB-\-AD-\-AA1a~^~b~\~c9所以IAC1I=Ia+8+cI=J(a+b+c)=

222I

JIaI+I&I+IcI+2(ab+bc+ca)=ll2+l2+22+2(0—1—1)=迎.所

以线段AG的长为VI

(2)设异面直线AG与A。所成的角为。，

贝Icos0=Icos<i4C,AD>I=

1r1IACIIMMI

因为ZC；=a+1+c,A1D=b—c,

所以ACI・T4I£)=(a+A+c)•(b—c)=ab—〃・c+庐一c2=0+l+l2—22=-2,

2222

IArDI=J(6-c)=JI&I-26-c+IcI=Jl—2x~(—1)+2=V7,所以

nI-2IV14

COS0=-F―尸=——.

V2XV77

故异面直线AC1与All)所成角的余弦值为手.

(3)因为44；=c,^D=b—a,

所以(b—a)=cb—ca