2024年高中数学新高二暑期衔接-空间向量及其运算（七大题型）

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第04讲空间向量及其运算

【题型归纳目录】

题型一：空间向量的有关概念及线性运算

题型二：共线向量定理的应用

题型三：共面向量及应用

题型四：空间向量的数量积

题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角

题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度

题型七：利用空间向量的数量积证垂直

【知识点梳理】

知识点一：空间向量的有关概念

1、空间向量

(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量.

(2)长度或模：空间向量的大小.

(3)表示方法：

①几何表示法：空间向量用有向线段表示；

②字母表示法：用字母a,b,c,…表示；若向量"的起点是/,终点是8,也可记作:石，其模记为同

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或网.

知识点诠释：

(1)空间中点的一个平移就是一个向量；

(2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向

量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。

2、几类常见的空间向量

名称方向模记法

零向量任意00

单位向量任意1

_

a的相反向量：一〃

相反向量相反相等

族的相反向量：BA

相等向量相同相等a=b

知识点二：空间向量的线性运算

(1)向量的加法、减法

c

加法OB=OA+OC=a+bD

空间向量

的运算

减法CA^OA-OC^a-b0aA

加法运算①交换律：a+b=b+a

律②结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

(2)空间向量的数乘运算

①定义：实数九与空间向量。的乘积而仍然是一个向量，称为向量的数乘运算.

当XX)时，版与向量。方向相同；

当入<0时，入。与向量。方向相反；

当儿=0时，坂=0；版的长度是。的长度的囚倍.

②运算律

结合"(聿：入〃(入")=(入〃)a.

分配律：(N+〃)a=Xzi+〃a,X(a+6)=X,a+X/>.

知识点诠释：

(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法

则.而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；

(2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则.

(3)空间向量加法的运算的小技巧：

①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，

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即：44+44+44+…+4-14=44

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量;

②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，

即：44+44+/3N4+…+4—4+44=o；

知识点三：共线问题

共线向量

(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行

向量.

(2)方向向量：在直线/上取非零向量处与向量。平行的非零向量称为直线/的方向向量.

规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量”，都有0〃a.

(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量“，伙〃,0),a〃〃的充要条件是存在实数正使。=乂.

(4)如图，。是直线/上一点，在直线/上取非零向量a,则对于直线/上任意一点尸，由数乘向量定义

及向量共线的充要条件可知，存在实数3使得羽=福.

知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：

⑴3//B(BwO)=＞存在唯一实数/，使得@=法;

(2)存在唯一实数几，使得花=戒心0),则日/区.

注意：在力。不可丢掉，否则实数4就不唯一.

(3)共线向量定理的用途：

①判定两条直线平行；(进而证线面平行)

②证明三点共线。

注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线,

进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利

用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。

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知识点四：向量共面问题

共面向量

(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量.

(2)共面向量定理：若两个向量”，6不共线，则向量0与向量a,8共面的充要条件是存在唯一的有序

实数对(x,y),使「=皿+迹.

(3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x,/),使石=/+了就或对空间任意一

点。，^OP=OA+xAB+yAC.

(4)共面向量定理的用途：

①证明四点共面

②线面平行(进而证面面平行)。

知识点五：空间向量数量积的运算

空间向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a,b,则同步|cos{a,b)叫做a,6的数量积，记作“力.即"心=|a||b|cos

{a,b).

规定：零向量与任何向量的数量积为0.

(2)常用结论(a,分为非零向量)

①a_Lb=•。力=0.

(2)a-a=|a||a|cos{a,a}=|a『.

(3)数量积的运算律

数乘向量与数量积的结合律(Aa)b)—a(Aft)

交换律ab=ba

分配律a(b~\~c)=ab+ac

知识点诠释：

(1)由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个

向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同.

(2)两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号

由夹角的余弦值决定.

(3)两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将

它们区别开来，不可混淆.

知识点六：利用数量积证明空间垂直关系

当a_L6时，ab=0.

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知识点七：夹角问题

1、定义：已知两个非零向量2、b,在空间任取一点D,作厉=2丽=3,则/AOB叫做向量方

与B的夹角，记作〈落力，如下图。

根据空间两个向量数量积的定义：ab=同・归卜0$伉力,

那么空间两个向量乙、B的夹角的余弦COS〈7B〉=上^h。

|叶|6|

知识点诠释：

（1）规定:ow〈1,B〉V"

⑵特别地，如果@B〉=o,那么万与B同向；如果〈扇3〉="，那么《与3反向;如果〈优母=90°,那

么G与B垂直，记作5,3。

2、利用空间向量求异面直线所成的角

异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。

在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直

角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹

角的补角。

知识点八：空间向量的长度

1、定义：

在空间两个向量的数量积中，特别地萩=|司恸COSOO=同2,所以向量）的模：

将其推广：

\a±b\=7（5+b）2=^a2+la-b+b2；\a+b+c\=y/（a+b+c）2=4a1+b2+c2+1a-b+1b-c+1c-a。

2、利用向量求线段的长度。

将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，

然后利用同2=求来求解。

【典例例题】

题型一：空间向量的有关概念及线性运算

例1.（2023・高二课时练习）在平行六面体/28-480自中，与向量而相等的向量共有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

【答案】C

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【解析】由图，与向量而大小相等，方向相同的向量有3,瓦G，丽共3个・

故选：C

例2.（2023•山东济南•高二校考期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（）

A.方向相反的两个向量是相反向量

B.空间中任意两个单位向量必相等

C.若向量画，画满足网＞|西，则存〉函

D.相等向量其方向必相同

【答案】D

【解析】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误；

单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误；

向量不能比较大小，故C错误；

相等向量其方向必相同，故D正确；

故选：D.

例3.（2023•山西•高二校联考期中）下列关于空间向量的说法中错误的是（）

A.零向量与任意向量平行

B.任意两个空间向量一定共面

C.零向量是任意向量的方向向量

D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量

【答案】C

【解析】由已知，

选项A,零向量方向是任意的，所以零向量任意向量平行，该选项正确；

选项B,平面由两个不平行的向量确定，任意两个向量可通过平移形成相交，故一定可以确定一个平面，该

选项正确；

选项C,在直线/上取非零向量上把与向量Z平行的非零向量称为直线/的方向向量，该选项错误；

选项D,方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确.

故选：C.

例4.（2023•山东滨州•高二统考期末）如图，在四面体OABC中，OB=b，~OC='c-点M在OA

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上，且满足血=3疝，N为BC的中点,则赤=()

1一3-1一2-1T]一[-27]-3-1一1一

A.—a——b+—cB.——a+—b+—cC.—a——b+—cD.——a+—b+—c

242322232422

【答案】D

【解析】如图，连接ON,

—►1—►1—.

QN是的中点，.•.ON=—08+—OC,

22

­/OM=3MA,OM=^-0A,

4

?.MN=ON-OM=-0B+-OC--OA--a+-b+-c.

224422

故选：D.

例5.(2023・贵州铜仁・高二统考期末)如图，在三棱锥045。中，点尸分别是。8,4c的中点,M是EF

的中点，设万(=a，OB=b，OC=~c^用Z，b,"表示丽？，则丽7=()

1-31-1一3-1一

A.-a--b+-cB.—a——b7+—cc.-a--b+-cD.—a——b+—c

444222424242

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【答案】A

【解析】因为/是E尸的中点，E,尸分别是03,4C的中点,

所以加=:（而+砺）=；（前+茄）+；丽

=^OC-OB+OA-OB^-^OB

=-OA--OB+-OC

444

故选：A

例6.（2023•江苏淮安•高二淮阴中学校联考阶段练习）四面体O-Z2C中，9=3万，。是3c的中点，M

是P。的中点，设厉=万，OB=b^OC=c，则弧'=（）

A.一ci-\—bH—cB.—ciH—bH—c

466444

「3一1r1一n1-1厂」

C.—a+—b+—cD.-a+—b+—c

844344

【答案】C

_—»3—»

【解析】因为赤=3莎，所以。尸=:。/,

4

因为。是BC的中点，所以而=g（砺+就）,

——►1—►―►1—►1―►3—►1—►►31一1

因为M为PQ的中点，所以。屈=一（。夕+00）=—。尸+—00=-OA+-（OB+OC）=-a+-b+-c,

22284844

故选：C.

题型二：共线向量定理的应用

例7.（2023,图二课时练习）已知空间向量0,b，且48=a+2否，BC=-5a+6b>CD=7a-哧），则一■定共

线的三点是（）

A.4B、CB.B、C、DC.4B、DD.4C、D

【答案】C

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【解析】BD=BC+CD=-5a+6b+la-2b=2a+4b

=2(a+2b)=2AB,

又冠与丽过同一点B,

：.A、B、。三点共线.

故选：C.

例8.(2023•吉林松原•高二吉林油田高级中学校考期中)若方=2①，E为空间中不在直线CD上的任意一

点，则直线AB与平面CDE的位置关系是()

A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内

【答案】D

【解析】因益=21，则有直线42与直线CD平行或重合，而点E不在直线CD上，即点E、直线CZ)

确定平面CDE,

若直线45与直线CD平行，当点E在直线AB上时，直线48在平面CDE内，

当点E不在直线上时，CDu平面CDE,平面C0E,于是得/3//平面CDE,

若直线与直线CD重合，则直线在平面CDE内，

所以直线与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.

故选：D

例9.(2023•新疆阿勒泰•高二校联考期末)如果空间向量万万不共线，且历=X@+3B,那么工了的值分别

是()

A.x=-l,y=3B.x=-1,y=-3

C.x=l,y=-3D.x=l,y=3

【答案】C

【解析】由题意可知空间向量不共线，S.a-yb=xa+3b,即(x-l)7-(y+3)B=6,

贝iJx_l=0,_(y+3)=0,即x=l,y=_3,

故选：C.

例10.(2023•河南焦作•高二温县第一高级中学校考阶段练习)若空间向量Z］不共线，且

-3ya+(2x+y)b=xa+10b,贝!J2x-3y=()

A.6B.12C.18D.24

【答案】C

【解析】•；空间向量乙不不共线,

要使-3ya+(2x+y)b-xa+10Z)，

x=6

n2x-3y=18.

J=一2

故选：C.

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例11.（2023•江苏•高二专题练习）满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是（）

A.AB+BC=ACB.AB-BC=AC

C.AB=BCD.P|=|^C|

【答案】C

【解析】对于空间中的任意向量，都有AB+BC=AC，说法/错误；

若方-正=就，则就+就=万，1^AC+CB=AB,据此可知就=赤，即氏C两点重合，选项8错

误；

AB=BC，则/、B、C三点共线，选项C正确；

P|=|5C|,则线段的长度与线段3c的长度相等，不一定有4B、C三点共线，选项。错误；

本题选择C选项.

例12.（2023,高二课时练习）当盟|=|不快0,且3、B不共线时，万+3与G-B的关系是（）

A.共面B.不共面C.共线D.无法确定

【答案】A

【解析】根据平行四边形法则可得，以鼠1为邻边，则可得平行四边形的两条对角线对应的向量分别为

a+b,a-b,

所以2+5与"一力共面.

故选：A.

题型三：共面向量及应用

例13.（2023・高二课时练习）下面关于空间向量的说法正确的是（）

A.若向量°石平行，则a,B所在直线平行

B.若向量所在直线是异面直线，贝。,右不共面

C.若4,B,C,。四点不共面，则向量在，而不共面

D.若/,B,C,。四点不共面，则向量Z5,AC，而不共面

【答案】D

【解析】向量21平行，21所在直线可以重合，也可以平行，A错误；

可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，BC错误；

显然43,AC,ND是空间中有公共端点/,但不共面的三条线段，所以向量次，AC，而不共面，D正

确.

故选：D

例14.（2023・上海闵行•高二上海市七宝中学校考开学考试）已知4B、C是空间中不共线的三个点，若点。

满足刀+2怎+3双=6，则下列说法正确的一项是（）

A.点。是唯一的，且一定与4B、C共面

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B.点O不唯一，但一定与4B、C共面

C.点。是唯一的，但不一定与4B、C共面

D.点。不唯一，也不一定与4B、C共面

【答案】A

【解析】由空间向量的知识可知共面的充要条件为存在实数X/,使、=£+＞），

因为方+2无+3反=6，

VV1UULUIL■1.

所以CM=-2O2-3OC，

所以方，而，反共面，

所以。,48,C四点共面，

因为a+2赤+3历=6，所以+标）+2（历+反）=6,

所以点。唯一.

故选：A.

例15.（2023•辽宁鞍山•高二校联考阶段练习）在下列条件中，能使M与A,B,C一定共面的是（）

A.OM=2OA-OB-OCB.OM=^OA+^OB+^OC

C.MA+MB+MC=QD.OM+OA+OB+OC=0

【答案】C

【解析】空间向量共面定理，OM=xOA+yOB+zOC,若A,B,C不共线，且A,B,C,M共面，则

其充要条件是x+V+z=l；

对于A,因为2-1-1=071,所以不能得出A,B,C,A/■四点共面；

对于B,因为：+；+：=＞1,所以不能得出A,B,C,M四点共面；

对于C,~MA=-MB-MC,则而，MB＞就为共面向量，所以M与A,B,C一定共面；

对于D,因为两+刀+砺+反=6，所以次=-而-砺-反，因为-1-1-1=-3#1,所以不能得出

A,B,C,〃四点共面.

故选：C.

例16.（2023•四川绵阳•高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知。为空间任意一点，43，C,尸四点共面,

但任意三点不共线.如果丽=冽刀+济+双，则机的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【解析】因为而=丽-丽,

所以由丽=机刀+砺+反

^OP-OB^mOA+OB+OC，

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^OP=mOA+2OB+OC

因为。为空间任意一点，4民。,尸满足任意三点不共线，且四点共面，

所以加+2+1=1,故机=一2.

故选：A.

例17.（2023•河南洛阳•高二统考期中）已知点D在V/BC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数

X,y满足比=xE+2y砺-3,贝U：£的最小值为（）

A.-B.—C.1D.2

55

【答案】A

【解析】因为历=xE+2y砺-灰点。在V/5C确定的平面内，

所以x+2y—l=l,即x=2—2y,

所以f=（2-24+y2=5y2_8y+4=5[y—g]

所以当y=g4时，£o+/o的有最小值]4.

故选：A.

例18.（2023•江苏淮安•高二校联考期中）已知4民C三点不共线，。是平面外任意一点，若由

9=！方+：历+4反确定的一点P与43,C三点共面，则彳等于（）

7

A.--B.1C.—D.——

331515

【答案】C

【解析】由P与4民。三点共面以及丽=:厉+；砺+九区，

117

可得，《+§+2=1,所以几=话.

故选：C.

题型四：空间向量的数量积

例19.（2023•高二课时练习）化简：鼠（2石一£）+（£-42=

【答案】b2

r/r八/r、2rrr2r2rrr2r2

【解析】a-\2b-a\+\a-b\=2a-b-a+a-2a-b+b=b

故答案为：b

例20.（2023♦上海•高二专题练习）在三棱锥。-45。中，已知45=40=2,BC=1,就•丽=一3，贝!J

CD=

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【答案】V7

【解析】设NBAC=a,4DAC=/3,显然|就-海|=|前|=1,

则刀,+万2一2|就H%Mcosa=l，即％2-4|就|cosa=-3，

而就•丽=-3，^AC-(AD-AB)=AC-AD-ACAB=-3,

于是得211Ccos/?-214clcosa=-3,21AC\cos/?=-3+21AC\cosa,

CD=|AD-ACAD+AC-2AD-AC=4+AC-4|/C|cos£

------►2------►------►2------k

=4+AC-2(-3+2\AC\cosa)=10+AC-4|/C|cosa=7，

则有।而1=5，所以CD=V7.

故答案为：yf7

例21.(2023•江苏常州•高二江苏省深阳中学校考阶段练习)在棱长为1的正方体/3CO-431GA中，M为

棱cq上任意一点，则与心反？=.

【答案】1

【解析】如图，在正方体中，〃■为棱CG上任意一点，则07=2西=2麴，0<2<1,

.-.2A7-5C=（^C+CM）-AD=（A8+2D+/IZ^）-2D=O+2D2+0=1.

故答案为：1.

例22.（2023•江苏盐城・高二江苏省响水中学校考阶段练习）平行六面体/2CD-4用GA中，以顶点A为端

点的三条棱长都为1,且两两夹角为60。，求西•就的值是.

【答案】1

【解析】由题意得西=茄+而+鹤=15-荔+戴，AC=AB+AD，

则西.%=（而-益+闻•（益+而）=诟2一宿+五益+通■.同

=l-l+lxlxcos60°+lxlxcos60°=1,

故答案为：1.

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D.

例23.（2023•湖南衡阳•高二校考期末）如图，在直三棱柱48C-中，BBX=3,£、尸分别为棱AB、

【答案】9

【解析】因为平面A8C,/3u平面/3C,则BBJ”，同理可知

所以，丽•函=（或+麴+乖）•函=（g而+函+；福）函

1►►►21►►»2

=—BABBi+BB1+—AC・BB、=BB1=9.

2,21

故答案为：9.

例24.（2023•湖北荆州•高二统考阶段练习）如图，正四面体力-BCD的长为1,CE=^CD,则左.刀=

【答案】1/0.5

［解析］AE-AB=(AC+CEyAB=,+河.方=］就+*_就）］.方

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^-AD-AB+-AC-AB^-xlxlxcos60°+—xlxlxcos60°=—

3

故答案为：y

题型五：利用空间向量的数量积求两向量的夹角

例25.（2023•高二课时练习）如图，在正方体ABCD—ABCTY中，求向量就分别与向量彳百，瓦？,

而,CD，H万的夹角•

【解析】连接5。，则在正方体45CD—NEC。中，ACLBD,NB4c=45。,AC=AD,=CD,,

所以(%,而)=(记:15)=45°,

（旅，配7）=180。-①，码=135。,

国，码=NZZ4C=60。,

^C,Cr>)=120°,

例26.（2023・高二课时练习）已知空间向量3与B夹角的余弦值为?，且同=0，忖=6,令5=5-1,

n=a+2b-

⑴求心3为邻边的平行四边形的面积S；

（2）求丽,添夹角的余弦值.

【解析】（1）根据条件，cos（a,b）=

|3|-|6|-sin/5,i\=V2xV3x-----=道;

(2)比•力=(2-

=52+a-6-2&2=2+V2xV3x--2x3=-3

yla2-2a-b+b2=J2—2+3=73，

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a+2b=-2+4+12=372；

73x372-6

例27.（2023•广东深圳•高二深圳市罗湖外语学校校考期末）平行六面体

（1）若N3=4,AD=3,AA'=3,ABAD=90°,ABAA'=60°,ADAA'=60°,求NC'长；

（2）若以顶点A为端点的三条棱长均为2,且它们彼此的夹角都是60°,则AC与所成角的余弦值.

ULUUUQJ_____„----------9

【解析】⑴/氏/。=0，AB-Z7=4X3XCOS600=6，AD-AA'=3x3xcos60°=-

■：AC'^AB+AD+AA'，

2

，西［=四2+|2O|+^4A'^+2AB-AD+2AB-AA'+2AD-AA'

=16+9+9+0+12+9=55,

（2.y：AC^JB+AD，BD'=AD'-AB=AA'+AD-AB>

.•.就•初=（次+石）―（2?+翔-荏）在『+而.2?+|而『=2x2x2xcos60°=4,

I12I►12I，•12I12

V\AC\=网+曲=M+2AB-AD+\AD\=22+2x2x2xcos600+22=12,

V=^AA'+AD-AB^=^AA'^+^AD^+^AB^+2AA'-AD-2.AA'-AB-2AD-AB=3x22-2x2x2xcos60°

=8,Z.\BD'\=2V2,

设/C与8〃所成的角为0,则cose=k°s（就，而=476

明.网—232016

例28.（2023•重庆江津•高二重庆市江津中学校校考阶段练习）如图，在平行六面体/8C。-44GA中，以

顶点A为端点的三条棱长度都为1,且两两夹角为60。.求：

复习材料

(2)西与就夹角的余弦值.

【解析】⑴记益=£，AD=b,AAx=c,则忖=W='|=1,<a^b>=<b,c>=<Q,c>=60。,

a-b=b-c=a-c=—

2

「第2印(

:.\ACI=(a+b+c+a+2a-b+b-c+a-c=3+2x—=6,

X2

.•■|^c；|=V6,即/G的长为";

(2)•••AD]=b+c-a,AC=a+b，

2

|阿明川+问+2师一—=3—1=2,阿=W+W+27Z=3,

.♦J西卜亚,AC=5

--►---/——►一、/-►|-»|2I-»|2一一►—►—►

yi^BDxAC=\b+c-a\'\a+b\=^\-\a\+b'C+a-c=1,

1_V|即西与就夹角的余弦值为骼.

/.cos<BD、,AC

^2x^36'

题型六：利用空间向量的数量积求线段的长度

例29.(2023•辽宁沈阳•高二新民市第一高级中学校考阶段练习)如图所示，平行六面体/BCD-4片G。中,

AB=1,AD=2,AAt=3,ABAD=90°,/-BAAX=ADAA,=60°,求的长.

,这三个向量不共面，｛扇区可构成空间的一个基底，则

Aq=AB+BC+CQ=AB+AD+Z^.

复习材料

】

又AB=1,AD=2,AAX=3,/BAD=90°,/BAA=ZDAAl=60°.

函卜陛+而+词="刀+15+词2

=、

AB+AD+AAX+2AB-AD+2AB-AA.+2AD-AA,

=J词+⑷2+画z+2画.|画cos90。+2画.阳cos60°+2⑷.研cos60°

=A/12+22+32+2xlx2xcos900+2xlx3xcos60°+2x2x3xcos60°

=71+4+9+3+6=723.

故答案为：V23

例30.（2023•湖北咸宁•高二校考阶段练习）如图，在平行六面体中，48=4,40=3,

AA'=5,ZBAD=90°,ZBAA'=ZDAA'=60°.求：

WAA'-AB

（2）NC的长.

【解析】（1）2?•万=|Z?H1^COS/H/B=5X4X；=10.

（2>.-AC'^AC+CC'=A^+AD+AA'，

AC=^AB+AD+AArJ=AB+AD+AAr+2AB-AD+2AB-AA9+2AD-AA9

=16+9+25+0+2x4x5x—+2x3x5x—=85,

22

「J而卜府，即4。'的长为庖.

例3L（2023•江苏淮安•高二洪泽湖高级中学校考阶段练习）如图，在平行六面体43CQ-44G2中,

】

AB=4,AD=3,AAX=5,/BAD=90°NBAA=ZDAA[=60°.求：

AB

复习材料

(2)48］的长;

(3)/G的长.

【解析】(1)由向量的数量积的概念，可得可■万=|您，益kosN4/2=5x4x；=10.

(2)因为ABl-AAX+=AAX+AB,

所以网=J(Z^+万>=jW+^+2蝠万=J25+16+2O=M，

即4月的长为质.

——►—>15—,—►

(3)以为44・4D=5x3xcos60°=耳,皿4B=3x4cos90。=0,

22

所以西卜由+而+西=J(您+而+IW=^11"+AD+AB+2AAl-AD+-2AAcAB+2AD-AB

=^52+32+42+2xl0+2xy+2x0=V85.

例32.(2023・河北唐山•高二滦南县第一中学校考阶段练习)如图1,48C。是平行四边形，AB=AC=\,

//CD=90°.如图2,把平行四边形沿对角线/C折起，使与C。成60°角，求8。的长.

【解析】ZACD=90°,四边形23。为平行四边形，.•.NA4C=90°,

:.AC-CD=0>BA-AC=0;

48与C。成60°角，.•.<茄，函>=60°或120°；

I-----►12I-------►--------------12I-----►12I---------12I------»12------------------►------►------►-------

\BD\=\BA+AC+CD\=画+|yic|+|cn|+2BA-AC+1BA-CD+2AC-CD

3+2|53||CS|COS<A4,C5>=3+2COS<A4,CZ)>；

当〈函，丽>=60。时，I而『=4,解得：|布卜2；

—,_,._,IUUUI

当<A4,CD>=120。时，|叫2=2,解得：㈣=：2；

二.龙)的长为2或也.

例33.(2023,高二课时练习)如图，已知平行六面体48cz)—中，AAX=3,AB=2,AD=4,

/BAD=/BAA】=/DAA、=60。,求4G的长.

复习材料

【解析】在平行六面体/BCD—44。］。］中，AC1=AB+AD+CCX-AB+AD+AAX.

所以为2=（方+石+河2

-►2►2.2»►►►

=AB+AD+44+2AB-AD+2AB•AAX+2AA,•AD

-22+42+32+2X2X4XCOS60°+2x2x3xcos60°+2x3x4xcos60°

=55.

所以I阿卜卮

题型七：利用空间向量的数量积证垂直

例34.（2023•山东泰安,IWJ二统考期中）如图，在平行六面体48cz）-4圈。］。中，AB=AD=4,AAX=5,

/DAB=/BAA=/DA%=60。,M,N分别为QG，。出1中点.

⑴求NG的长；

（2）证明：MN1AQ.

【解析】（1）设Z3=a,AD=b，A,AX-c,则卜|=忖=4,卜|=5,a.b=8，a'c=b'c=10

uuirUUUDumririr

MN=MCi+CiN=-a--b

AQ=AB+BC+Cq=a+b+c.

uunJrr、2

因为/d2=\a+b+c\

r2「2「2/「「「「「八

=a+b+c+2a・b+b・c+c・Q

复习材料

222

=4+4+5+2(8+10+10)

=113,

所以/G=ViE

unrunr(\rir\,xrr

(2)证明：因为MV.4G}(Q+b+c)x

1r2ir2rjr2irr

=—a+—ca——b——b'C

2222

1111

=-X429+-X10——x472——xlO

2222

二0,

所以

例35.(2023・高二课时练习)如图，四棱锥尸-43CZ)的各棱长都为

⑴用向量法证明PC;

⑵求I就+^I的值.

【解析】（1）证明：设/c、BD交于点、O,连接尸O,如图所示;

四棱锥P-A8CZ）中，AB=BC=CD=DA=a,

二四边形/3CD是菱形，

J.BDLAC,且。/=OC,即而，区，丽.能=0；

又PB=PD=a,：.POLBD,即茄，而，丽.丽=0,

55(PO+OC)=0,即丽.京=0,

复习材料

：.BD±PC,BPBDLPC；

(2)根据题意，四棱锥尸-45。。是棱长相等的正四棱锥，且45=〃，

・・・顶点P在底面的射影是正方形ABCD的中心O,

6

在中，PC=a,OC=­a

2f

万

：.OP^OC=—a,

2

_4

：.ZACP=<CP，CA>=<AC>PC>=~，

4

/.(1C+PC)2=AC2+2AC•PC+PC2-(V2a)2+2x72a><axcos^+a2^5a2；

■'■\AC+PC\=45a.

例36.(2023•福建三明•高二福建省尤溪第一中学校考开学考试)如图，在正三棱柱/8C-44G中，底面

V/BC的边长为血.

(1)设侧棱长为1，试用向量法证明：4BJBG；

(2)设/片与3G的夹角为?，求侧棱的长.

【解析】(1)证明：AB^AB+JB^BC^BB.+BC,

因为_L平面48C,所以函.在=0,BBlBC=0,

又因为V/3C为正三角形，

所以〈方，灰;>="一(耳2,及;>="一。=等，

所以福•苑=(万+函)•(两+而)

2

=ABBB}+ABBC+BBi+BBi-BC

=|瓯.|就|cos(丽瑟>+就=-1+1=0,

所以福48I，8CI；

⑵由⑴知葩■•用=|益/就I.COSVN^AQA+^M^-I.

复习材料

----------BB1

所以cos<AB,,BCX>=j,

2+BB；2

所以|西|=2,即侧棱的长为2.

【过关测试】

一、单选题

1.（2023•山东滨州•高二统考期末）如图，二面角/-EF-C的大小为45。，四边形/5FECDEF都是边长

为1的正方形，则8、。两点间的距离是（）

A.72B.V3C.-&D.,3+北

【答案】C

【解析】因为四边形48尸£、斯都是边长为1的正方形，则/E_LEF,DE±EF,

又因为二面角/-EP-C的大小为45。,即/血＞=45。，则侔，丽）=45。,

因为丽=瓦+或+方=或-丽+方，由图易知刀_L或，刀_1丽,

-2»2-2——►►►

所以，丽+ED+AB'-2EA-ED+1EA-AB-2ED-AB

=A/1+1+1-2X1X1XCOS450+0-0=73-72.

故选：C.

2.（2023・高二课时练习）平行六面体/BCD-48'。。中，AB=4,AD=3,AA'=5,ABAD90°,

ZBAA'=ZDAA'^60°,则的长为（）

A.10B.C.V61D.屈

【答案】B

【解析】如图，

复习材料

由题知，方2=16,而2=9,五/=25,

AB-A